1、1 13.23.2 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 1已知 a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则 b 等于( ) A(2，4,2) B(2,4，2) C(2,0，2) D(2,1，3) 答案 A 解析 ba(1,2，1)(1，2,1)(1,2，1)(2，4,2) 2已知 A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若OC 2 5AB ，则 C 的坐标是( ) A. 6 5， 4 5， 8 5 B. 6 5， 4 5， 8 5 C. 6 5， 4 5， 8 5 D. 6 5， 4 5， 8 5 答案 A 解析 设点 C 的坐标为(x，y，z)， 则OC (x，y，z)
2、，又AB (3，2，4)，OC 2 5AB ， 所以 x6 5，y 4 5，z 8 5， 所以 C 6 5， 4 5， 8 5 . 3已知向量 a(2,3)，b(k，1)，若 a2b 与 ab 平行，则 k 的值是( ) A6 B2 3 C. 2 3 D14 答案 C 解析 由题意得 a2b(22k，5)，且 ab(2k，2)， 又因为 a2b 和 ab 平行，则 2(22k)5(2k)0，解得 k2 3. 4已知向量 a(1,2,3)，b(2，4，6)，|c| 14，若(ab) c7，则 a 与 c 的夹角为 ( ) A30 B60 C120 D150 答案 C 解析 ab(1，2，3)a，
3、故(ab) ca c7，得 a c7， 而|a| 122232 14，所以 cosa，c a c |a|c| 1 2， 所以a，c120 . 5在长方体 ABCDA1B1C1D1中，若 D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线 |AC1 |的长为( ) A9 B. 29 C5 D2 6 答案 B 解析 由已知，可得 C1(0,2,3)，所以|AC1 | 042202302 29. 6若 A(m1，n1,3)，B(2m，n，m2n)，C(m3，n3,9)三点共线，则 mn_. 答案 0 解析 因为AB (m1,1，m2n3)，AC(2，2,6)， 由题意
4、得AB AC，则m1 2 1 2 m2n3 6 ， 所以 m0，n0，mn0. 7若AB (4,6，1)，AC(4,3，2)，|a|1，且 aAB，aAC，则 a_. 答案 3 13， 4 13， 12 13 或 3 13， 4 13， 12 13 解析 设 a(x，y，z)，由题意有 a AB 0， a AC 0， |a|1， 代入坐标可解得 x 3 13， y 4 13， z12 13， 或 x 3 13， y 4 13， z12 13. 8已知点 A(1,3,1)，B(1,3,4)，若AP 2PB，则点 P 的坐标是_ 答案 (1,3,3) 解析 设点 P(x，y，z)，则由AP 2PB
5、，得(x1，y3，z1)2(1x，3y，4z)， 则 x122x， y362y， z182z， 解得 x1， y3， z3， 即 P(1,3,3) 9已知 A(x，5x，2x1)，B(1，x2,2x)，求|AB |取最小值时，A，B 两点的坐标，并求 此时的|AB |. 解 由空间两点间的距离公式得 |AB | 1x2x25x22x2x12 14x232x1914 x8 7 25 7， 当 x8 7时，|AB |有最小值为35 7 . 此时 A 8 7， 27 7 ，9 7 ，B 1，22 7 ，6 7 . 10.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA底面 AB
6、CD，AB 3， BC1，PA2，E 为 PD 的中点 (1)求 AC 与 PB 所成角的余弦值； (2)在侧面 PAB 内找一点 N，使 NE平面 PAC，求 N 点的坐标 解 (1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，B( 3，0,0)，C( 3，1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)，E 0，1 2，1 ，从而AC ( 3，1,0)， PB ( 3，0，2) 设AC 与PB的夹角为 ，则 cos AC PB |AC | |PB| 3 2 7 3 7 14 . AC 与 PB 所成角的余弦值为3 7 14 . (2)由于 N 点在侧面 PAB 内，故可设 N
7、 点坐标为(x，0，z)，则NE x，1 2，1z ， 由 NE平面 PAC 可得， NE AP0， NE AC0， 即 x，1 2，1z 0，0，20， x，1 2，1z 3，1，00， 化简得 z10， 3x1 20， x 3 6 ， z1， 即 N 点的坐标为 3 6 ，0，1 时，NE平面 PAC. 11一束光线自点 P(1,1,1)出发，被 xOy 平面反射到达点 Q(3,3,6)被吸收，那么光线所经过的 距离是( ) A. 37 B. 33 C. 47 D. 57 答案 D 解析 P 关于 xOy 平面对称的点为 P(1,1，1)，则光线所经过的距离为 |PQ|312312612
8、57. 12已知 O 为坐标原点，OA (1,2,3)，OB (2,1,2)，OP (1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动， 则当QA QB 取得最小值时，点 Q 的坐标为( ) A. 1 2， 3 4， 1 3 B. 1 2， 2 3， 3 4 C. 4 3， 4 3， 8 3 D. 4 3， 4 3， 7 3 答案 C 解析 设OQ OP ， 则QA OA OQ OA OP (1，2，32)， QB OB OQ OB OP (2，1，22)， 所以QA QB (1，2，32) (2，1，22)2(3285)2 3 4 3 21 3 . 所以当 4 3时， QA QB 取得最小值， 此
9、时OQ 4 3OP 4 3， 4 3， 8 3 ， 即点 Q 的坐标为 4 3， 4 3， 8 3 . 13若 a(x，2,2)，b(2，3,5)的夹角为钝角，则实数 x 的取值范围是_ 答案 (，2) 解析 由题意，得 a b2x23252x4，设 a，b 的夹角为 ， 因为 为钝角，所以 cos a b |a|b|0，|b|0， 所以 a b0，即 2x40， 所以 x2. 又 a，b 不会反向， 所以实数 x 的取值范围是(，2) 14三棱锥 PABC 各顶点的坐标分别为 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)，则三棱锥 P ABC 的体积为_ 答案 1
10、解析 由 A，B，C，P 四点的坐标，知ABC 为直角三角形，ABAC，PA底面 ABC.由空 间两点间的距离公式，得 AB1，AC2，PA3， 所以三棱锥 PABC 的体积 V1 3 1 21231. 15 已知AB (1,5， 2)， BC(3,1， z)， 若ABBC， BP(x1， y， 3)， 且 BP平面 ABC， 则BP _. 答案 33 7 ， 15 7 ，3 解析 因为AB BC，所以AB BC0， 即 1351(2)z0，所以 z4. 因为 BP平面 ABC，所以BP AB，BPBC，即 1x15y230， 3x1y340， 解得 x40 7 ，y15 7 ， 于是BP 3
11、3 7 ，15 7 ，3 . 16 在正三棱柱 ABCA1B1C1中， 平面 ABC 和平面 A1B1C1为正三角形， 所有的棱长都是 2， M是BC边的中点， 则在棱CC1上是否存在点N， 使得异面直线AB1和MN所成的角等于45 ？ 解 以 A 点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz. 由题意知 A(0,0,0)，C(0,2,0)，B( 3，1,0)，B1( 3，1,2)，M 3 2 ，3 2，0 . 又点 N 在 CC1上，可设 N(0,2，m)(0m2)， 则AB1 ( 3，1,2)，MN 3 2 ，1 2，m ， 所以|AB1 |2 2，|MN | m21， AB1 MN 2m1. 如果异面直线 AB1和 MN 所成的角等于 45 ，那么向量AB1 和MN 的夹角等于 45 或 135 . 又 cos AB1 ，MN AB1 MN |AB1 |MN | 2m1 2 2 m21. 所以 2m1 2 2 m21 2 2 ，解得 m3 4， 这与 0m2 矛盾 所以在 CC1上不存在点 N，使得异面直线 AB1和 MN 所成的角等于 45 .