1、1 11.21.2 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 1已知向量 a 和 b 的夹角为 120 ，且|a|2，|b|5，则(2ab) a 等于( ) A12 B8 13 C4 D13 答案 D 解析 (2ab) a2a2b a2|a|2|a|b|cos 120 2425 1 2 13. 2 已知两异面直线的方向向量分别为 a， b， 且|a|b|1， a b1 2， 则两直线的夹角为( ) A30 B60 C120 D150 答案 B 解析 设向量 a，b 的夹角为 ，则 cos a b |a|b| 1 2，所以 120 ， 则两个方向向量对应的直线的夹角为 180 120 60 .
2、3已知 e1，e2为单位向量，且 e1e2，若 a2e13e2，bke14e2，ab，则实数 k 的值 为( ) A6 B6 C3 D3 答案 B 解析 由题意可得 a b0，e1 e20，|e1|e2|1， 所以(2e13e2) (ke14e2)0， 所以 2k120， 所以 k6. 4 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a， 点 E， F 分别是 BC， AD 的中点， 则AE AF的值为( ) Aa2 B.1 2a 2 C.1 4a 2 D. 3 4 a2 答案 C 解析 AE AF1 2(AB AC)1 2AD 1 4(AB AD AC AD ) 1 4 aa1 2
3、aa 1 2 1 4a 2. 5已知四边形 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，连接 AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组 向量中，数量积不为零的是( ) A.PC 与BD B.DA 与PB C.PD 与AB D.PA 与CD 答案 A 解析 可用排除法因为 PA平面 ABCD，所以 PACD，PA CD 0，排除 D. 又由 ADAB，ADPA 可得 AD平面 PAB，所以 ADPB，所以DA PB 0， 同理PD AB 0，排除 B，C，故选 A. 6已知|a|13，|b|19，|ab|24，则|ab|_. 答案 22 解析 |ab|2a22a bb21322a b192242， 2
4、a b46，|ab|2a22a bb253046484，故|ab|22. 7已知 a3b 与 7a5b 垂直，且 a4b 与 7a2b 垂直，则a，b_. 答案 60 解析 由条件知(a3b) (7a5b)7|a|215|b|216a b0， (a4b) (7a2b)7|a|28|b|230a b0，两式相减得 46a b23|b|2，所以 a b1 2|b| 2， 代入上面两个式子中的任意一个，得|a|b|， 所以 cosa，b a b |a|b| 1 2|b| 2 |b|2 1 2，所以a，b60 . 8 如图，在正四棱台 ABCDA1B1C1D1中， O，O1分别是对角线 AC，A1C1
5、的中点， 则 AO ， OC _， AO ，O1C1 _， OO1 ，A 1B1 _. 答案 0 0 90 解析 由题意得AO ，OC 方向相同，是在同一条直线 AC 上，故AO ，OC 0 ；O1C1 可平 移到直线 AC 上，与OC 方向相同，故AO ，O1C1 0 ；由题意知 OO1是正四棱台 ABCD A1B1C1D1的高，故 OO1平面 A1B1C1D1，所以 OO1A1B1，故OO1 ，A 1B1 90 . 9.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，求异面直线 A1B 与 AC 所成的角 解 不妨设正方体的棱长为 1， 设AB a，AD b，AA1 c， 则|a|b|c|
6、1， a bb cc a0，A1B ac，ACab. A1B AC(ac) (ab) |a|2a ba cb c1， 而|A1B |AC| 2， cosA1B ，ACA1B AC |A1B |AC| 1 2 2 1 2， 0 A1B ，AC180 ， A1B ，AC60 . 异面直线 A1B 与 AC 所成的角为 60 . 10.如图，正四棱锥 PABCD 的各棱长都为 a. (1)用向量法证明 BDPC； (2)求|AC PC|的值 (1)证明 BD BC CD ， BD PC (BCCD ) PC BC PCCD PC |BC |PC| cos 60 |CD |PC |cos 120 1
7、2a 21 2a 20. BD PC ， BDPC. (2)解 AC PCABBCPC， |AC PC|2|AB|2|BC|2|PC|22AB BC2AB PC2BC PC a2a2a202a2cos 60 2a2cos 60 5a2， |AC PC| 5a. 11设平面上有四个互异的点 A，B，C，D，已知(DB DC 2DA ) (AB AC)0，则ABC 是( ) A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 答案 B 解析 因为DB DC 2DA (DB DA )(DC DA )AB AC， 所以(AB AC) (ABAC)|AB|2|AC|20，所以|AB|AC|， 即
8、ABC 是等腰三角形 12已知 a，b 是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb，且 AB2，CD1，则 a 与 b 所成的角是( ) A30 B45 C60 D90 答案 C 解析 AB ACCD DB ， AB CD (AC CD DB ) CD AC CD CD 2DB CD 01201， 又|AB |2，|CD |1. cosAB ，CD AB CD |AB |CD | 1 21 1 2. 异面直线所成的角是锐角或直角， a 与 b 所成的角是 60 . 13已知空间向量 a，b，c 满足 abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则 a bb cc a 的值 为( ) A13 B
9、5 C5 D13 答案 A 解析 abc0，(abc)20， a2b2c22(a bb cc a)0， a bb cc a3 21242 2 13. 14. 已知棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1的上底面 A1B1C1D1的中心为 O1，则AO1 AC的 值为_ 答案 1 解析 由于AO1 AA 1 A 1O1 AA1 1 2(A1B1 A 1D1 )AA1 1 2(AB AD )，而AC ABAD ， 则AO1 AC AA1 1 2AB AD (AB AD )1 2(AB AD )21. 15 等边ABC中， P在线段AB上， 且AP AB， 若CP ABPA PB， 则实数的值
10、为_ 答案 1 2 2 解析 如图，CP ACAPACAB， 故CP AB(ABAC) AB |AB |2|AB|AC|cos A PA PB(AB) (1)AB(1)|AB|2， 设|AB |a(a0)，则 a21 2a 2(1)a2， 解得 1 2 2 1 2 2 舍 . 16.如图所示，已知线段 AB 在平面 内，线段 AC，线段 BDAB，且 AB7，ACBD 24，线段 BD 与 所成的角为 30 ，求 CD 的长 解 由 AC，可知 ACAB， 过点 D 作 DD1， D1为垂足，连接 BD1， 则DBD1为 BD 与 所成的角， 即DBD130 ， 所以BDD160 ， 因为 AC，DD1，所以 ACDD1， 所以CA ，DB 60 ，所以CA ，BD 120 . 又CD CA ABBD ， 所以|CD |2(CA ABBD )2 |CA |2|AB|2|BD |22CA AB2CA BD 2AB BD . 因为 BDAB，ACAB， 所以BD AB 0，AC AB0. 故|CD |2|CA |2|AB|2|BD |22CA BD 2427224222424cos 120 625， 所以|CD |25，即 CD 的长为 25.