1、第第 2 2 课时课时 空间向量基本定理的初步应用空间向量基本定理的初步应用 1 已知 O， A， B 是平面上的三个点， 直线 AB 上有一点 C， 满足 2AC CB0， 则OC 等于( ) A2OA OB BOA 2OB C.2 3OA 1 3OB D1 3OA 2 3OB 答案 A 解析 由已知得 2(OC OA )(OB OC )0， OC 2OA OB . 2如图，已知空间四边形 ABCD 中，ACBD，顺次连接各边中点 P，Q，R，S，所得图形 是( ) A长方形 B正方形 C梯形 D菱形 答案 D 解析 因为PQ BQ BP 1 2BC 1 2BA 1 2AC . 同理SR 1
2、 2AC ，所以PQ SR ， 所以四边形 PQRS 为平行四边形 又PS ASAP1 2AD 1 2AB 1 2BD ， 所以|PS |1 2|BD |，即 PS1 2BD. 又|PQ |1 2|AC |， 故 PQ1 2AC，而 ACBD， 所以 PSPQ，故四边形 ABCD 为菱形 3如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，E，F，G 分别是 DC，AB， CC1的中点，则异面直线 A1E 与 GF 所成角的余弦值是( ) A0 B. 3 3 C. 5 5 D. 15 5 答案 A 解析 根据题意可得， A1E GF (A1A AD DE ) (GC CB BF)
3、 (AA1 AD 1 2DC ) (1 2AA1 AD 1 2DC ) 1 2AA1 2 AD2 1 4DC 21 241 1 440， 从而得到A1E 和GF 垂直，故其所成角的余弦值为 0. 4在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，若 AB 2BB1，则 CA1 与 C1B 所成的角的大小是( ) A60 B75 C90 D105 答案 C 解析 设|BB1 |m，CA a，CBb，CC 1 c， 则CA1 ac，C 1B bc， CA1 C 1B (ac) (bc) a bb ca cc2 2m 2mcos 300m 20， CA1 C 1B ， CA1 与 C1B 所成的角的大小是 90
4、 . 5 如图， 二面角 l 等于2 3 ， A， B 是棱 l 上两点， BD, AC 分别在平面 ， 内， ACl ， BDl ，且 2ABACBD2，则 CD 的长等于( ) A2 3 B. 13 C4 D5 答案 B 解析 二面角 l 等于2 3 ，ACl,BDl，所以CA ，BD 2 3 3， CD CA ABBD ， CD 2CA2AB2BD22CA AB2AB BD 2CA BD 22122200222cos 313.即 CD 13. 6已知向量 a，b 满足条件|a|3 2，|b|4，若 mab，nab， a，b135 ， mn， 则实数 _. 答案 3 2 解析 因为 m n
5、0，所以(ab) (ab)0， 所以 a2(1)a bb20， 所以 18(1)3 24 2 2 160， 解得 3 2. 7 如图， 在空间四边形 ABCD 中， ABDCBD 2 ， ABC 4， BCBD1， AB 2， 则异面直线 AB 与 CD 所成角的大小是_ 答案 3 解析 依题意可知 CD BC2BD2 2，AB CD AB (BD BC ) AB BD AB BC0BA BC| | BA | | BC cos 45 1. 设直线 AB 与 CD 所成角为 ，则 cos AB CD | |AB | | CD 1 2 2 1 2，故 3. 8如图，平行六面体 ABCDA1B1C1
6、D1中，|AB|AD|AA1|1，BADBAA1120 ， DAA160 ，则线段 AC1的长度是_ 答案 2 解析 AC1 ABAD AA1 ， AC1 2AB2AD2AA 1 22AB AD 2AB AA 1 2AD AA1 111211 1 2 211 1 2 2111 22， AC1 2. 9在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，设AB a，AD b，AA1 c，E，F 分别是 AD 1，BD 的中点 (1)用向量 a，b，c 表示D1B ，EF； (2)若D1F xaybzc，求实数 x，y，z 的值 解 (1)如图，连接 AC，EF，D1F，BD1， D1B D 1D DB A
7、A1 ABAD abc， EF EAAF1 2D1A 1 2AC 1 2(AA1 AD )1 2(AB AD )1 2(ac) (2)D1F 1 2(D1D D 1B ) 1 2(AA1 D 1B ) 1 2(cabc) 1 2a 1 2bc， x1 2，y 1 2，z1. 10.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 C1D1，D1D 的中点，正方体的棱长为 1. (1)求CE ，AF的余弦值； (2)求证：BD1 EF. (1)解 AF AD DF AD 1 2AA1 ，CECC 1 C 1E AA 1 1 2CD AA1 1 2AB . 因为AB AD 0，AB AA
8、 1 0，AD AA1 0， 所以CE AF AA1 1 2AB AD 1 2AA1 1 2. 又|AF |CE|5 2 ，所以 cosCE ，AF2 5. (2)证明 BD1 BD DD1 AD AB AA 1 ， EF ED 1 D 1F 1 2(AB AA 1 )， 所以BD1 EF0，所以BD 1 EF. 11在四面体 OABC 中，G 是底面ABC 的重心，且OG xOA yOB zOC ，则 log3|xyz| 等于( ) A3 B1 C1 D3 答案 A 解析 连接 AG(图略)， OG OA AG OA 1 3(AC AB)OA 1 3(OC OA OB OA ) 1 3OA
9、1 3OB 1 3OC xOA yOB zOC ， xyz1 3，则 log3|xyz|log3 1 273. 12在三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1底面 ABC, ABBCAA1, ABC90 ， 点 E，F 分 别是棱 AB，BB1的中点， 则直线 EF 和 BC1所成的角是( ) A30 B45 C90 D60 答案 D 解析 因为点 E，F 分别是棱 AB，BB1的中点， 所以 EF BFBE1 2(BB1 BA)，BC 1 BCBB 1 ， 所以EF BC 1 1 2(BB1 BA)(BCBB 1 )1 2BB1 2 ， 设所求异面直线的夹角为 ，则 cos EF BC 1
10、|EF |BC 1 | 1 2，所以 60 . 13如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M 是侧棱 CC1的中点，则异面直 线 AB1和 BM 所成的角的大小是_ 答案 90 解析 不妨设棱长为 2，则AB1 BB 1 BA，BM BC 1 2BB1 ， cosAB1 ，BM BB1 BA BC 1 2BB1 2 2 5 0220 2 2 5 0， 则AB1 ，BM 90 . 14如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ABCDA1B1C1D1 ，其中，以顶点 A 为端点的 三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是 60 ，下列说法中正确的是_(填序号) (AA1 ABAD )22
11、(AC )2 ； AC1 (ABAD )0 ； 向量B1C 与AA 1 的夹角是 60 ； BD1与 AC 所成角的余弦值为 6 3 . 答案 解析 以顶点 A 为端点的三条棱长都相等， 它们彼此的夹角都是 60 ， 可设棱长为 1，则AA1 ABAA 1 AD AD AB 11cos 60 1 2， (AA1 ABAD )2AA1 2AB2AD22AA 1 AB2AB AD 2AA1 AD 111321 26， 而 2(AC )22(ABAD )22(AB 2AD22AB AD ) 2 1121 2 236，所以正确 AC1 (ABAD )(AA1 ABAD ) (AB AD ) AA1 A
12、BAA 1 AD AB 2AB AD AD AB AD20，所以正确 向量B1C A 1D ， 显然AA1D 为等边三角形，则AA1D60 . 所以向量A1D 与AA 1 的夹角是 120 ，向量B 1C 与AA 1 的夹角是 120 ，则不正确 又BD1 AD AA1 AB，ACABAD ， 则|BD1 | AD AA1 AB2 2， |AC | AB AD 2 3， BD1 AC( )AD AA1 AB (AB AD )1， 所以 cosBD1 ，ACBD1 AC |BD1 |AC| 1 2 3 6 6 ， 所以不正确，故正确 15(多选)在四面体 PABC 中，以上说法正确的有( ) A
13、若AD 1 3AC 2 3AB ，则可知 BC3BD B若 Q 为ABC 的重心，则PQ 1 3PA 1 3PB 1 3PC C若PA BC0，PC AB0，则 PB AC0 D若四面体 PABC 各棱长都为 2，M，N 分别为 PA，BC 的中点，则|MN |1 答案 ABC 解析 对于 A, AD 1 3AC 2 3AB ， 3AD AC 2AB， 2AD 2AB ACAD ， 2BD DC ， 3BD BD DC ， 即 3BD BC ，故 A 正确； 对于 B，若 Q 为ABC 的重心，则QA QB QC 0， 3PQ QA QB QC 3PQ ， 3PQ PA PBPC，即PQ 1
14、3PA 1 3PB 1 3PC ，故 B 正确； 对于 C，PA BC0，PC AB0， PA BCPC ACPC CB0， (PA PC) BCPC AC0， CA BCPC AC0， AC ()CB PC 0， AC PB0，故 C 正确； 对于 D，MN PN PM 1 2(PB PC)1 2PA 1 2(PB PC PA), |MN |1 2|PA PBPC|， |PA PBPC| 2 2. |MN | 2，故 D 错误，故选 ABC . 16如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 是 DD1的中点，O 是底面 ABCD 的中心求证： B1O平面 PAC. 证明 如图，连接 BD
15、，则 BD 过点 O，令AB a，AD b，AA1 c，则|a|b|c|1， 且AC ABAD ab， OB1 OB BB1 1 2DB BB1 1 2(AB AD )BB1 1 2a 1 2bc . AC OB 1 (ab) 1 2a 1 2bc 1 2|a| 21 2a b 1 2a b 1 2|b| 2a cb c1 2 1 20. AC OB 1 ，即 ACOB 1. 又AP AD 1 2DD1 b1 2c， OB1 AP 1 2a 1 2bc b1 2 c 1 2a b 1 2|b| 2c b1 4a c 1 4b c 1 2|c| 2 1 2 1 20， OB1 AP， 即 OB1AP.又 ACAPA，AC，AP平面 PAC， OB1平面 PAC.