1、1.21.2 空间向量基本定理空间向量基本定理 第第 1 1 课时课时 空间向量基本定理空间向量基本定理 1设 p：a，b，c 是三个非零向量；q：a，b，c为空间的一个基底，则 p 是 q 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案 B 解析 当非零向量 a，b，c 不共面时，a，b，c可以当基底，否则不能当基底， 当a，b，c为基底时，一定有 a，b，c 为非零向量 因此 pq，qp. 2已知 M，A，B，C 四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量MA ，MB ，MC 成为空间的一个基底的是( ) A.OM 1 3OA 1 3OB 1
2、 3OC B.MA MB MC C.OM OA OB OC D.MA 2MB MC 答案 C 解析 对于选项 A，由OM xOA yOB zOC (xyz1)M，A，B，C 四点共面，知MA ， MB ，MC 共面；对于选项 B，D，易知MA ，MB ，MC 共面，故选 C. 3.如图，梯形 ABCD 中，ABCD，AB2CD，点 O 为空间内任意一点，设OA a，OB b， OC c，则向量OD 可用 a，b，c 表示为( ) Aab2c Bab2c C1 2a 1 2bc D.1 2a 1 2bc 答案 D 解析 OD OC CD OC 1 2BA OC 1 2(OA OB )1 2a 1
3、 2bc. 4已知a，b，c是空间的一个基底，若 pab，qab，则( ) Aa，p，q 是空间的一组基底 Bb，p，q 是空间的一组基底 Cc，p，q 是空间的一组基底 Dp，q 与 a，b，c 中的任何一个都不能构成空间的一组基底 答案 C 解析 假设 ck1pk2q，即 ck1(ab)k2(ab)，得(k1k2)a(k1k2)bc0， 这与a，b，c是空间的一个基底矛盾，故 c，p，q 是空间的一组基底，故选 C. 5.如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，M 为 A1C1的中点，若AB a，AA 1 c，BCb，则下列 向量与BM 相等的是( ) A1 2a 1 2bc B.1 2a
4、1 2bc C1 2a 1 2bc D.1 2a 1 2bc 答案 A 解析 BM BB1 B 1M AA 1 1 2(B1A1 B 1C1 ) AA1 1 2(BA BC) 1 2(ab)c 1 2a 1 2bc. 6在空间四边形 ABCD 中，AC 和 BD 为对角线，G 为ABC 的重心，E 是 BD 上一点，BE 3ED，以AB ，AC，AD 为基底，则GE _. 答案 1 3AC 1 12AB 3 4AD 解析 设 AC 的中点为 F，则GE GB BE 2 3FB 3 4BD 2 3 1 2(BC BA)3 4BD 1 3(AC 2AB)3 4(AD AB ) 1 3AC 1 12
5、AB 3 4AD . 7 如图， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 用AC ， AB 1 ， AD1 作为基向量， 则AC 1 _. 答案 1 2(AD1 AB 1 AC) 解析 2AC1 2AA 1 2AD 2AB (AA 1 AD )(AA1 AB)(AD AB )AD 1 AB 1 AC， AC1 1 2(AD1 AB 1 AC) 8.如图所示，已知 PA平面 ABCD，M，N 分别是 AB，PC 的中点，且 PAAD1，四边形 ABCD 为正方形，以AB ，AD ，AP 为基底，则MN _. 答案 1 2AD 1 2AP 解析 MN MA AP PN MA AP 1 2(PA A
6、D DC ) 1 2AB AP1 2(PA AD AB ) 1 2AD 1 2AP . 9已知平行六面体 OABCOABC，且OA a，OC b，OO c. (1)用 a，b，c 表示向量AC ； (2)设 G，H 分别是侧面 BBCC 和 OABC的中心，用 a，b，c 表示GH . 解 (1)AC ACCC OC OA OO bca. (2)GH GO OH OG OH 1 2(OB OC )1 2(OB OO ) 1 2(abcb) 1 2(abcc) 1 2(cb) 10.如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AB a，AD b，AA1 c，E 为 A 1D1的中点， F 为
7、 BC1与 B1C 的交点 (1)用基底a，b，c表示向量DB1 ，BE，AF； (2)化简DD1 DB CD ，并在图中标出化简结果 解 (1)DB1 DC CB1 DC BB1 BCabc. BE BAAA 1 A 1E a1 2bc. AF ABBFa1 2(bc)a 1 2b 1 2c. (2)DD1 DB CD DD1 (CD DB )DD1 CBDD 1 D 1A1 DA1 . 如图，连接 DA1，则DA1 即为所求 11 点 P 是矩形 ABCD 所在平面外一点， 且 PA平面 ABCD， M， N 分别是 PC， PD 上的点， 且PM 2 3PC ，PNND ，则满足MN x
8、AB yAD zAP 的实数 x，y，z 的值分别为( ) A2 3， 1 6， 1 6 B.2 3， 1 6， 1 6 C2 3， 1 6， 1 6 D2 3， 1 6， 1 6 答案 D 解析 取 PC 的中点 E，连接 NE， 则MN EN EM 1 2CD (PM PE )1 2CD 2 3PC 1 2PC 1 2CD 1 6PC 1 2AB 1 6(AP ABAD )2 3AB 1 6AD 1 6AP ， 比较知 x2 3，y 1 6，z 1 6，故选 D. 12.如图，点 M 为 OA 的中点，OA ，OC ，OD 为空间的一个基底，DM xOA yOC zOD ， 则有序实数组(
9、x，y，z)_. 答案 1 2，0， 1 解析 DM OM OD 1 2OA OD ，所以有序实数组(x，y，z) 1 2，0， 1 . 13已知四面体 ABCD 中，AB a2c，CD 5a6b8c，AC，BD 的中点分别为 E，F，则 EF _.(用 a，b，c 表示) 答案 3a3b5c 解析 如图所示，取 BC 的中点 G，连接 EG，FG， 则EF GF GE 1 2CD 1 2BA 1 2CD 1 2AB 1 2(5a6b8c) 1 2(a2c)3a3b5c. 14如图，已知空间四边形 OABC，M，N 分别是边 OA，BC 的中点，点 G 在 MN 上，且 MG2GN，设OA a
10、，OB b，OC c，则向量OG _.(用 a，b，c 表示) 答案 1 6a 1 3b 1 3c 解析 OG OM MG 1 2OA 2 3MN 1 2OA 2 3(MA AB BN) 1 2OA 2 3 1 2OA OB OA 1 2BC 1 2OA 2 3 OB 1 2OA 1 2OC OB 1 6OA 1 3OB 1 3OC 1 6a 1 3b 1 3c. 15设 OABC 是四面体，G1是ABC 的重心，G 是 OG1上的一点，且 OG3GG1，若OG xOA yOB zOC ，则(x，y，z)为( ) A. 1 4， 1 4， 1 4 B. 3 4， 3 4， 3 4 C. 1 3
11、， 1 3， 1 3 D. 2 3， 2 3， 2 3 答案 A 解析 如图所示，连接 AG1交 BC 于点 E，则点 E 为 BC 的中点， AE 1 2(AB AC) 1 2(OB 2OA OC )， AG1 2 3AE 1 3(OB 2OA OC )， OG 3GG1 3(OG 1 OG )， OG 3 4OG1 3 4(OA AG1 ) 3 4 OA 1 3OB 2 3OA 1 3OC 1 4OA 1 4OB 1 4OC ，故选 A. 16.如图所示，在空间四边形 OABC 中，G，H 分别是ABC，OBC 的重心，设OA a，OB b，OC c，用向量 a，b，c 表示向量GH . 解 因为OG OA AG OA 2 3AD OA 2 3(OD OA )1 3OA 2 3OD 1 3OA 2 3 1 2(OB OC )1 3(abc)， 又OH 2 3OD 2 3 1 2(OB OC )1 3(bc)， 所以GH OH OG 1 3(bc) 1 3(abc) 1 3a.