1、第第 2 2 课时课时 共线向量与共面向量共线向量与共面向量 1已知向量 a，b，且AB a2b，BC5a6b，CD 7a2b，则一定共线的三点是( ) AA，B，D BA，B，C CB，C，D DA，C，D 答案 A 解析 因为AD AB BCCD 3a6b3(a2b)3AB ， 故AD AB ， 又AD 与AB 有公共点A， 所以 A，B，D 三点共线 2对于空间的任意三个向量 a，b，2ab，它们一定是( ) A共面向量 B共线向量 C不共面向量 D既不共线也不共面的向量 答案 A 3在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，向量D1A ，D 1C ，A 1C1 是( ) A有相同起点的
2、向量 B等长向量 C共面向量 D不共面向量 答案 C 解析 因为D1C D 1A AC，且ACA 1C1 ， 所以D1C D 1A A 1C1 ， 即D1C D 1A A 1C1 . 又D1A 与A 1C1 不共线， 所以D1C ，D 1A ，A 1C1 三个向量共面 4已知 P 为空间中任意一点，A，B，C，D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且PA 4 3PB xPC1 6DB ，则实数 x 的值为( ) A.1 3 B 1 3 C. 1 2 D 1 2 答案 A 解析 PA 4 3PB xPC1 6DB 4 3PB xPC1 6(PB PD )3 2PB xPC1 6PD . 又P
3、 是空间任意一点，A，B，C，D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面， 3 2x 1 61，解得 x 1 3. 5(多选)下列命题中错误的是( ) A若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有AB BCCD DA 0 B|a|b|ab|是 a，b 共线的充要条件 C若AB ，CD 共线，则 ABCD D 对空间任意一点 O 与不共线的三点 A， B， C， 若OP xOA yOB zOC (其中 x， y， zR)， 则 P，A，B，C 四点共面 答案 BCD 解析 显然 A 正确； 若 a，b 共线，则|a|b|ab|或|ab|a| |b|，故 B 错误； 若AB ，CD 共线，则直线 AB
4、，CD 可能重合，故 C 错误； 只有当 xyz1 时，P，A，B，C 四点才共面，故 D 错误 6在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若AD 2DB ，CD 1 3CA CB，则 _. 答案 2 3 解析 CD CB DB CB 1 3AB CB1 3(CB CA)2 3CB 1 3CA ， 又CD 1 3CA CB，所以 2 3. 7设 e1，e2是空间两个不共线的向量，已知AB e 1ke2，BC 5e 14e2，DC e12e2， 且 A，B，D 三点共线，则实数 k_. 答案 1 解析 AD AB BCCD 7e1(k6)e2， 且AB 与AD 共线，故AD xAB ， 即
5、7e1(k6)e2xe1xke2， 故(7x)e1(k6xk)e20， 又e1，e2不共线， 7x0， k6kx0， 解得 x7， k1， 故 k 的值为 1. 8已知 O 为空间任一点，A，B，C，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA 2xBO 3yCO 4zDO ，则 2x3y4z_. 答案 1 解析 由题意知 A，B，C，D 共面的充要条件是：对空间任意一点 O，存在实数 x1，y1，z1， 使得OA x1OB y1OC z1OD ，且 x1y1z11，因此，2x3y4z1. 9.如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 C1D1，AB 的中点，E 在 A
6、A1上且 AE2EA1，F 在 CC1上且 CF1 2FC1，判断ME 与NF 是否共线 解 由题意，得ME MD1 D 1A1 A1E 1 2BA CB1 3A1A BNCB1 3C1C CN FC FNNF. 即ME NF ，ME 与NF 共线 10在长方体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 DD1的中点，点 N 在 AC 上，且 ANNC21， 求证：A1N 与A 1B ，A 1M 共面 证明 A1B ABAA 1 ，A 1M A 1D1 D1M AD 1 2AA1 ，AN2 3AC 2 3(AB AD )， A1N ANAA 1 2 3(AB AD )AA1 2 3(AB AA 1
7、)2 3 AD 1 2AA1 2 3A1B 2 3A1M ， A1N 与A 1B ，A 1M 共面 11 若 P， A， B， C 为空间四点， 且有PA PBPC， 则 1 是 A， B， C 三点共线的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案 C 解析 若 1，则PA PB(PCPB)，即BABC，显然，A，B，C 三点共线；若 A， B，C 三点共线，则有AB BC，故PBPA(PCPB)，整理得PA(1)PBPC，令 1，则 1，故选 C. 12平面 内有五点 A，B，C，D，E，其中无三点共线，O 为空间一点，满足OA 1 2OB xOC
8、yOD ，OB 2xOC 1 3OD yOE ，则 x3y 等于( ) A.5 6 B. 7 6 C. 5 3 D. 7 3 答案 B 解析 由点 A，B，C，D 共面得 xy1 2， 又由点 B，C，D，E 共面得 2xy2 3， 联立方程组解得 x1 6，y 1 3， 所以 x3y7 6. 13已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，P，M 为空间任意两点，如果有PM PB1 7BA6AA 1 4A1D1 ，那么 M 必( ) A在平面 BAD1内 B在平面 BA1D 内 C在平面 BA1D1内 D在平面 AB1C1内 答案 C 解析 PM PB1 7BA6AA 1 4A 1D1 PB1
9、BA6BA 1 4A 1D1 PB1 B 1A1 6BA 1 4A 1D1 PA1 6(PA 1 PB)4(PD 1 PA 1 ) 11PA1 6PB4PD 1 ， 于是 M，B，A1，D1四点共面 14有下列命题： 若AB CD ，则 A，B，C，D 四点共线； 若AB AC，则 A，B，C 三点共线； 若 e1，e2为不共线的非零向量，a4e12 5e2，be1 1 10e2，则 a b； 若向量 e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式 k1e1k2e2k3e30，则 k1k2k3 0. 其中是真命题的序号是_(把所有真命题的序号都填上) 答案 解析 根据共线向量的定义，若AB C
10、D ，则 ABCD 或 A，B，C，D 四点共线，故错； 因为AB AC且AB，AC有公共点 A，所以正确； 由于 a4e12 5e24b，所以 ab.故正确；易知也正确 15已知 A，B，C 三点不共线，O 是平面 ABC 外任意一点，若由OP 1 5OA 2 3OB OC 确 定的一点 P 与 A，B，C 三点共面，则 _. 答案 2 15 解析 根据 P，A，B，C 四点共面的条件，知存在实数 x，y，z，使得OP xOA yOB zOC 成立，其中 xyz1，于是1 5 2 31，所以 2 15. 16.如图，已知 M，N 分别为四面体 ABCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心，G 为 AM 上一点， 且 GMGA13. 求证：B，G，N 三点共线 证明 设AB a，ACb，AD c， 则AM AB 2 3 1 2(BC BD ) AB 1 3(BC BD ) AB 1 3(AC ABAD AB ) 1 3(AB ACAD ) 1 3(abc)， BG BA AG BA 3 4AM a1 4(abc) 3 4a 1 4b 1 4c， BN BAANBA1 3(AC AD ) a1 3b 1 3c 4 3BG ， BN BG . 又 BNBGB，B，G，N 三点共线