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2020年秋人教版A版(新教材)高中数学必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 章末检测试卷(含答案解析)

1、章末检测试卷章末检测试卷(二二) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1设集合 Ax|x2x20,集合 Bx|1x3,则 AB 等于( ) Ax|1x3 Bx|1x1 Cx|1x2 Dx|2x3 答案 A 解析 Ax|1x2,Bx|1x3, ABx|1xba2b2;a2b2ab;abb ab 1 ab,但 a2b2,故错误; 对于,当 abb2也成立,故错误; 对于,只有当 a0 且 ab 时,b a0,b10, x27x120 的解集为( ) Ax|4x3 Bx|4x2 Cx|3x2 D 答案 A 解析 2x310,

2、x27x120 x35, x3x40 xB CA2 b a a b2,即 A2, Bx24x2(x24x4)2 (x2)222,即 B2,AB. 5若关于 x 的不等式 x24xm0 对任意 0x1 恒成立,则 m 的最大值为( ) A1 B1 C3 D3 答案 C 解析 令 yx24xm,则只需满足在 x1 处的函数值非负即可,解得 m3. 6已知1 2x2 时,y1x 2bxc(b,cR)与 y 2x 2x1 x 在同一点处取得相同的最小值, 那么当1 2x2 时,y1x 2bxc 的最大值是( ) A.13 4 B4 C8 D.5 4 答案 B 解析 y2x 2x1 x x11 x12

3、x 1 x3.当 x1 时, y2取得最小值 3, 所以 y1(x1) 2 3. 所以当 x2 时,(y1)max4. 7已知一元二次方程 x2(m1)x10(mZ)有两个实数根 x1,x2,且 0x11x23,则 m 的值为( ) A4 B5 C6 D7 答案 A 解析 一元二次方程 x2(m1)x10(mZ)有两个实数根 x1,x2,且 0x11x20, 3m0, 解得13 3 m3,又 mZ,可得 m4. 8若m 2x1 mx1 0(m0)对一切 x4 恒成立,则实数 m 的取值范围是( ) Am|m3 B. m m2 Dm|2m3 答案 B 解析 依题意,对任意的 x4, 有 y(mx

4、1) (m2x1)0 恒成立, 结合图象(图略)分析可知 m0, 1 m4, 1 m24, 由此解得 m1 2, 即实数 m 的取值范围是 m m0 的解集相同的不等式有( ) Ax2x20 Bx2x20 Cx2x20 答案 CD 解析 因为 (1)24270 的解集为 R, 逐一验证可知,选项 CD 中的不等式解集为 R. 10对于任意实数 a,b,c,d,下列四个命题中的真命题有( ) A若 ab,则1 ab,则 ac2bc2 C若 ac2bc2,则 ab D若 ab0,cd0,则 acbd 答案 CD 解析 若 a0,b 1 b,A 错; B 中,若 c0,则有 ac2bc2,B 错;C

5、 正确; 由不等式的性质可知 D 正确 11若正数 a,b 满足 ab1,则 1 3a2 1 3b2的可能取值为( ) A.4 7 B. 2 7 C. 1 4 D. 6 7 答案 AD 解析 由 ab1,知 1 3a2 1 3b2 3b23a2 3a23b2 7 9ab10,又因为 ab ab 2 21 4(当 且仅当 ab1 2时等号成立),所以 9ab10 49 4 ,所以 7 9ab10 4 7. 12已知关于 x 的不等式 x24ax3a20(a0)的解集为x|x1xx2,则( ) Ax1x2x1x20 的解集为 a 4 3a0 Bx1x2x1x2的最小值为4 3 Cx1x2 a x1

6、x2的最大值为 4 3 3 Dx1x2 a x1x2的最小值为 4 3 3 答案 ABC 解析 不等式 x24ax3a20(a0)的解集为 x|x1xx2, 根据根与系数的关系,可得 x1x23a2,x1x24a, x1x2x1x20 可化为 3a24a0, 解得4 3a0,A 正确; x1x2x1x23a24a3 a2 3 24 3 4 3, B 正确; x1x2 a x1x24a 1 3a, ab 和1 ab0(或 0ab) 解析 1 a 1 b ba ab b,即 ba0,所以 ab0 或 0ab. 14一元二次不等式 x2axb0 的解集为x|x1,则一元一次不等式 axb0 的 解集

7、为_ 答案 x x3 2 解析 由题意知,3 和 1 是方程 x2axb0 的两根, 所以 31a, 31b, 解得 a2, b3, 不等式 axb0 即为 2x30,所以 x3 2. 15.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆车营运的总利润 y(单位: 10 万元)与营运年数 x(xN*)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示,总利润 y 为正数), 则营运年数的取值范围是_;每辆客车营运_年时,年平均利润最大(本题第 一空 3 分,第二空 2 分) 答案 3,4,5,6,7,8,9(或xN*|6 11x0, 解得 6 11x6 11,又 xN*, 营运年数的取值范围是

8、3,4,5,6,7,8,9(或xN*|6 11x0,若对于任意的正数 m,n,都有 mn8,则满足1 a 1 m 4 n1的 a 的取值范围是 _ 答案 a|a1 解析 由 mn8 可得 mn19, 故1 m 4 n1 1 9(mn1) 1 m 4 n1 1 9 14n1 m 4m n1 1 9(52 4) 9 91, 当且仅当 n12m,即 m3,n5 时,等号成立, 只需1 a1,即 a1. 故 a 的取值范围为a|a1 四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17(10 分)解下列不等式(组): (1) xx20, x21; (2)62xx23x18. 解 (1)原不等式组可化为

9、 x0, 1x1, 即 0x1,所以原不等式组的解集为x|0x1 (2)原不等式等价于 62xx23x, x23x18, 即 x2x60, x23x180, 因式分解,得 x3x20, x6x30, 所以 x2或x3, 3x6, 所以3x2 或 3x6. 所以原不等式的解集为x|3x2 或 3x0(a0 可得(ax1)(x1)0, 即 x1 a (x1)0. 当1 a1 时,即 a1 时,不等式的解为 1 ax1 时,即1a0,不等式的解为 1x 1 a, 当1 a1 时,即 a1 时,不等式的解集为. 综上所述, 当 a1 时,不等式的解集为 x 1 ax1 ; 当1a0 时,不等式的解集为

10、 x 1x0,b0, ab(ab) 8 a 2 b 108b a 2a b 102 8b a 2a b 18, 当且仅当8b a 2a b ,即 a2b 时,等号成立 由 a2b, 8 a 2 b1, 得 a12, b6. 当 a12,b6 时,ab 取得最小值 18. (2)证明 a1 a b1 b c1 c aabc a babc b cabc c 4 b a a b c a a c c b b c 422210, 当且仅当 abc1 3时取等号 a1 a b1 b c1 c 10. 20(12 分)已知“xx|1x1,使等式 x2xm0 成立”是真命题 (1)求实数 m 的取值集合 M;

11、 (2)设不等式(xa)(xa2)0 的解集为 N,若 xN 是 xM 的必要条件,求实数 a 的取值 范围 解 (1)由题意,知 mx2x x1 2 21 4. 由1x1,得1 4m2, 故 M m 1 4m2a,即 a1 时,Nx|2ax1, 2a9 4. 当 a2a,即 a1 时,Nx|ax2a, 则 a1, a1 4, 2a2, 解得 a1 4. 当 a2a,即 a1 时,N,不满足 MN. 综上可得,实数 a 的取值范围为 a a 9 4 . 21(12 分)某商品计划两次提价,有甲、乙、丙三种方案如下,其中 pq0, 方案 第一次(提价) 第二次(提价) 甲 p% q% 乙 q%

12、p% 丙 1 2(pq)% 1 2(pq)% 经过两次提价后,哪种方案提价幅度大? 解 设商品原价为 a,设按甲、乙、丙三种方案两次提价后价格分别为 N甲,N乙,N丙, 则 N甲a(1p%)(1q%), N乙a(1q%)(1p%), N丙a 11 2pq% 11 2pq% a 1pq 200 2. 显然甲、乙两种方案最终价格是一致的, 因此,只需比较 a 1pq 200 2与 a(1p%)(1q%)的大小 N甲N丙a 1 p 100 q 100 pq 10021 pq 100 pq 2 2002 a 2002(2pqp 2q2) a 2002(pq) 2N甲, 丙方案提价比甲、乙方案提价幅度大

13、 22(12 分)为了净化空气,某科研单位根据实验得出,在一定范围内,每喷洒 1 个单位的净 化剂,空气中释放的浓度 y(单位:毫克/立方米)随着时间 x(单位:天)变化的关系如下:当 0 x4 时,y 16 8x1;当 4x10 时,y5 1 2x.若多次喷洒,则某一时刻空气中的净化 剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知,当空气中净化剂的浓 度不低于 4(毫克/立方米)时,它才能起到净化空气的作用 (1)若一次喷洒 4 个单位的净化剂,则净化时间可达几天? (2)若第一次喷洒 2 个单位的净化剂,6 天后再喷洒 a(1a4)个单位的净化剂,要使接下来 的 4 天中能够持

14、续有效净化,试求 a 的最小值(精确到 0.1,参考数据: 2取 1.4) 解 (1)因为一次喷洒 4 个单位的净化剂, 所以浓度 y1可表示为:当 0 x4 时,y1 64 8x4; 当 4x10 时,y1202x. 则当 0 x4 时,由 64 8x44,解得 0 x8, 所以此时 0 x4. 当 4x10 时,由 202x4,解得 x8, 所以此时 4x8. 综合得 0 x8.故若一次喷洒 4 个单位的净化剂, 则有效净化时间可达 8 天 (2)设从第一次喷洒起,经 x(6x10)天, 浓度 y22 51 2x a 16 8x61 10 x 16a 14xa(14x) 16a 14xa4. 因为 414x8,而 1a4, 所以 44 a8,故 y28 aa4. 当且仅当 14x4 a时,y2有最小值为 8 aa4. 令 8 aa44,解得 2416 2a4, 所以 a 的最小值为 2416 21.6.