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2020年秋人教版A版(新教材)高中数学必修第一册 第五章 三角函数 章末检测试卷(含答案解析)

1、章末检测试卷章末检测试卷(五五) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1若扇形的面积为 16 cm2,圆心角为 2 rad,则该扇形的弧长为( ) A4 cm B8 cm C12 cm D16 cm 答案 B 解析 S1 2r 2r216,r4,lr248,故选 B. 2sin 40 sin 50 cos 40 cos 50 等于( ) A0 B1 C1 Dcos 10 答案 A 解析 sin 40 sin 50 cos 40 cos 50 cos(40 50 )0. 3已知角 终边经过点(3,4),则 sin 3 2

2、cos() sin 2 cos 5 2 等于( ) A.4 3 B 4 3 C. 3 4 D 3 4 答案 C 解析 由三角函数的定义可得 tan 4 3, 因此, sin 3 2 cos sin 2 cos 5 2 cos cos cos sin 1 tan 3 4. 4下列函数中,最小正周期为 ,且图象关于直线 x 6对称的是( ) Aysin 2x 6 Bysin x 2 6 Cysin 2x 6 Dysin 2x 3 答案 A 解析 最小正周期为 ,2, 又图象关于直线 x 6对称, f 6 1,故只有 A 符合 5.已知函数 f(x)sin(x)的部分图象如图所示,则 f(x)的单调

3、递减区间为( ) A. 4 4k 3 ,11 12 4k 3 ,kZ B. 13 12 k,5 12k ,kZ C. 42k, 11 12 2k ,kZ D. 13 12 3k 4 ,5 12 3k 4 ,kZ 答案 A 解析 易得周期 T 满足3 4T 7 12 5 12 , 故 T4 3.且图中最高点横坐标 x 7 12 1 4T 7 12 1 4 4 3 4.故一个单调递减区间为 4, 4 T 2 4, 11 12 .又函数周期为 T4 3.故单调递减区间 为 4 4k 3 ,11 12 4k 3 ,kZ. 6若函数 f(x)(1 3tan x)cos x,0 x 2,则 f(x)的最大

4、值为( ) A1 B2 C. 31 D. 32 答案 B 解析 因为 f(x) 1 3 sin x cos x cos x cos x 3sin x2sin x 6 ,0 x 2, 所以当 x 3时,f(x)取得最大值 2. 7若把函数 yf(x)的图象沿 x 轴向左平移 4个单位长度,沿 y 轴向下平移 1 个单位长度,然 后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变), 得到函数ysin x的图象, 则 yf(x)的解析式为( ) Aysin 2x 4 1 Bysin 2x 2 1 Cysin 1 2x 4 1 Dysin 1 2x 2 1 答案 B 解析 把函数 ysin

5、x 图象上每个点的横坐标缩短到原来的1 2(纵坐标保持不变),得到 y sin 2x, 沿 y 轴向上平移 1 个单位长度, 得到 ysin 2x1, 图象沿 x 轴向右平移 4个单位长度, 得到函数 ysin 2 x 4 1sin 2x 2 1. 8若 0 2,且 cos 1 3,sin() 7 9,则 sin 的值是( ) A. 1 27 B. 5 27 C. 1 3 D. 23 27 答案 C 解析 由题设 2,cos 1 3sin 2 2 3 ,又 0 2 2 3 2 ,则 cos() 149 81 4 2 9 ,所以 sin sin() sin()cos cos()sin 7 9 1

6、 3 4 2 9 2 2 3 1 3. 二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分全部选对的得 5 分,部分选对的 得 3 分,有选错的得 0 分) 9给出下列函数:ycos|2x|;y|cos x|;ycos 2x 6 ;ytan 2x 4 .其中最小 正周期为 的有( ) A B C D 答案 ABC 解析 中,ycos|2x|cos 2x,其最小正周期为 ;中,知 y|cos x|是 ycos x 将 x 轴下 方的部分向上翻折得到的, 故周期减半, 即 y|cos x|的最小正周期为 ; 中, ycos 2x 6 的最小正周期 T2 2 ; 中,ytan 2x 4

7、 的最小正周期 T 2. 10已知函数 f(x)2sin 2x 3 1,则下列说法正确的是( ) A函数 f(x)的图象关于点 3,0 对称 B函数 f(x)图象的一条对称轴是 x 12 C若 x 3, 2 ,则函数 f(x)的最小值为 31 D若 0x1x2,则 f(x1)f(x2) 答案 BC 解析 A 项,令 2x 3k(kZ)知函数 f(x)关于点 6 k 2 ,1 (kZ)对称,所以 A 不成立; B 项,令 2x 3 2k(kZ)知函数 f(x)关于 x 5 12 k 2 (kZ)对称,所以 B 成立; C 项,若 x 3, 2 ,2x 3 3, 2 3 , 则函数 f(x)的最小

8、值为 31,C 成立; D 项,由于当 0x1x2,f(x)不具有单调性,所以 D 不成立 11若 cos 2cos 0,则 sin 2sin 等于( ) A0 B. 3 C 3 D. 2 答案 ABC 解析 由 cos 2cos 0 得 2cos21cos 0, 所以 cos 1 或1 2. 当 cos 1 时,有 sin 0; 当 cos 1 2时,有 sin 3 2 . 于是 sin 2sin sin (2cos 1)0 或 3或 3. 12对于函数 f(x) sin x,sin xcos x, cos x,sin xcos x, 下列说法中不正确的是( ) A该函数的值域是1,1 B当

9、且仅当 x2k 2(kZ)时,函数取得最大值 1 C当且仅当 x2k 2(kZ)时,函数取得最小值1 D当且仅当 2kx2k3 2 (kZ)时,f(x)0 答案 ABC 解析 画出函数 f(x)的图象如图所示,由图象容易看出:该函数的值域是 2 2 ,1 ;当且仅 当 x2k 2或 x2k,kZ 时,函数取得最大值 1;当且仅当 x2k 5 4 ,kZ 时,函数 取得最小值 2 2 ;当且仅当 2kx2k3 2 ,kZ 时,f(x)0)的最小正周期为 , 将 yf(x)的图象向左平移 00)的最小正周期为 , 2 2,即 f(x)cos 2x 4 (xR), 将 yf(x)的图象向左平移 0

10、2 个单位长度, 所得函数为 g(x)cos 2x 4 cos 2x2 4 , 又所得图象关于原点对称, 2 4k 2,kZ, 即 k 2 8,kZ,又 0 2, 8. 四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17(10 分)已知 2,sin 4 5. (1)求 sin cos 2sin cos 的值; (2)求 cos 2sin 2 的值 解 (1) 20,0,| 2 的图象过点 P 12,0 ,且图象上与点 P 最近的一个最低点是 Q 6,2 . (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f 12 3 8,且 为第三象限的角,求 sin cos 的值 解 (1)根据题意可知,A2,T

11、 4 12 6 4, T2 ,解得 2. 又 f 12 0,sin 122 0,而|0, 2 2 的图象关于直线 x 3对称,且图象 上相邻两个最高点的距离为 . (1)求 和 的值; (2)若 f 2 3 4 6 2 3 ,求 cos 3 2 的值 解 (1)因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 , 所以 f(x)的最小正周期 T,从而 2 T 2. 又因为 f(x)的图象关于直线 x 3对称, 所以 2 3k 2,kZ, 由 2 2,得 k0, 所以 2 2 3 6. (2)由(1)得 f 2 3sin 2 2 6 3 4 , 所以 sin 6 1 4. 由 6 2 3 得 0 6

12、 2, 所以 cos 6 1sin2 6 1 1 4 2 15 4 . 因此 cos 3 2 sin sin 6 6 sin 6 cos 6cos 6 sin 6 1 4 3 2 15 4 1 2 3 15 8 . 22(12 分)如图,将一块圆心角为 120 ,半径为 20 cm 的扇形铁片裁成一块矩形,有两种裁 法,让矩形一边在扇形的半径 OA 上(如图)或让矩形一边与弦 AB 平行(如图),请问哪种 裁法得到的矩形的最大面积最大?请求出这个最大值 解 对于题干图,MN20sin ,ON20cos , 所以 S1ON MN400sin cos 200sin 2. 所以当 sin 21,即 45 时,S1max200 cm2. 对于题干图,MQ40sin(60 ), MN20cos(60 )20sin60 tan 60 40 3 3 sin , 所以 S2800 3 3 cos260 1 2 . 因为 0 60 , 所以60 260 200, 所以用图这种裁法得到的矩形的最大面积最大,为400 3 3 cm2.