1、2020 年郴州市初中学业水平考试数学试卷年郴州市初中学业水平考试数学试卷 第第卷（共卷（共 24分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3分，共分，共 24 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1.如图表示互为相反数的两个点是（ ） A. 点A与点B B. 点A与点D C. 点C与点B D. 点C与点D 【答案】B 【解析】 【分析】 根据一个数的相反数定义求解即可 【详解】解：在-3，-1,2,3中，3 和-3 互为相反数，则点 A 与点 D表示互为相反数的两个点 故选：B
2、 【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负 数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是 0 2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空北斗卫星导航系统可 提供高精度的授时服务， 授时精度可达10纳秒 （1秒=1000000000纳秒） 用科学记数法表示10纳秒为 （ ） A. 8 1 10 秒 B. 9 1 10秒 C. 9 10 10秒 D. 9 0.1 10秒 【答案】A 【解析】 【分析】 绝对值小于 1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10 n a ，与较大数的科学记数法不同的是其 所使
3、用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0的个数所决定 【详解】1秒=1000000000 纳秒， 10纳秒=10 1000000000秒=0.000 00001秒=1 10-8秒 故选：A 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10 n a ，其中 1|a|10，n为由原数左边起第 一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 3.下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心 对称图形可得答案 【详解】解：A、不是中心对
4、称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转 180度后两部分重合 4.下列运算正确的是（ ） A. 44 ()aa B. 236 aaa C. 826 D. 325 235aaa 【答案】A 【解析】 【分析】 根据积的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的减法以及合并同类项法则进行计算得出结果进行判断即可 【详解】A. 44 ()aa，计算正确，符合题意； B. 232+35 =aaaa ，故本选项错误； C. 822
5、 222 ，故本选项错误； D. 32 23aa不能计算，故本选项错误； 故选：A 【点睛】本题综合考查了积的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的减法以及合并同类项，熟练掌握运算性 质和法则是解答此题的关键 5.如图，直线, a b被直线, c d所截下列条件能判定/ab的是（ ） A. 13 B. 24180 C. 45 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案 【详解】A、当1=3时，cd，不能判定 ab，故此选项不合题意； B、当2+4=180时，cd，不能判定 ab，故此选项不合题意； C、当4=5时，cd，不能判定 ab，故此选项不合题意； D
6、、当1=2时，ab，故此选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键 6.某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表： 鞋的尺码（cm） 24 24.5 25 25.5 26 26.5 销售数量（双） 2 7 18 10 8 3 则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】 鞋店的经理最关心的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最大的鞋号 【详解】解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数 故选：C 【点睛】
7、本题考查对统计量的意义的理解与运用， 能对统计量进行合理的选择和恰当的运用是解题的关键 7.如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分） ，并将剩余部分沿虚线剪开，得 到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形这两个图能解释下列哪个等式（ ） A. 22 21(1)xxx B. 2 1(1)(1)xxx C. 22 21(1)xxx D. 2 (1)xxx x 【答案】B 【解析】 【分析】 利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可 【详解】第一个图形空白部分的面积是 x2-1， 第二个图形的面积是（x+1） （x-1）
8、则 x2-1=（x+1） （x-1） 故选：B 【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键 8.在平面直角坐标系中，点A是双曲线 1 1 (0) k yx x 上任意一点，连接AO，过点O作AO的垂线与双曲 线 2 2 (0) k yx x 交于点B，连接AB已知2 AO BO ，则 1 2 k k （ ） A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 分别作 AEx轴，BFx 轴，垂足分别为 E，F，证明AOEOBF得到 2 ()4 AOE BOF SAO SBO ，结合反比 例函数的系数的几何意义即可得到答案 【详解】
9、解：过 A 作 AEx轴，过 B作 BFx 轴，垂足分别为 E，F，如图， 则AEO=BFO=90， AOE+OAE=90， AOB=90， BOF+AOE=90， OAE=BOF， AOEOBF， 2 ()4 AOE BOF SAO SBO ，即 1 2 1 | 2 =4 1 | 2 k k ， 1 2 | =4 | k k 1 0k， 2 0k ， 1 2 4 k k 故选：B 【点睛】本题主要考查反比例函数系数的几何意义及相似三角形的判定与性质、三角形的面积，利用相似 三角形的判定与性质表示出 4 AOE BOF S S 是解题的关键 第第卷（共卷（共 106 分）分） 二、填空题（每题
10、二、填空题（每题 3 分，满分分，满分 24 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 9.若分式 1 1x 的值不存在，则x_ 【答案】-1 【解析】 【分析】 根据分式无意义的条件列出关于 x的方程，求出 x的值即可 【详解】分式 1 1x 的值不存在， x+1=0， 解得：x=-1， 故答案为：-1 【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键 10.已知关于x的一元二次方程 2 250 xxc有两个相等的实数根，则c_ 【答案】 25 8 【解析】 【分析】 利用判别式的意义得到 2 2 454 20bacc ，然后解关于 c的方程即可
11、 【详解】2a，5b，cc， 根据题意得 2 2 454 20bacc ， 解得 25 8 c ， 故答案为： 25 8 【点睛】 本题考查了根的判别式： 一元二次方程 2 0axbxc（0a） 的根与 2 4bac有如下关系： 当0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数 根 11.质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品试据此估计这批电子元件 中大约有_件次品 【答案】20 【解析】 【分析】 先求出次品所占的百分比，再根据生产这种零件 1000 件，直接相乘得出答案即可 【详解】随机抽取 100件进行检测，检
12、测出次品 2 件， 次品所占的百分比是： 2 100%2% 100 ， 这一批次产品中的次品件数是： ：1000 2%20(件)， 故答案为：20 【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，根据出现次品的数量求出次品所占的百分比是解题关键 12.某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86,88,90,92,94 ，方差为 2 8.0s 后 来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差 2 s 新 _ 【答案】80 【解析】 【分析】 根据一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可 得出答案 【详解】一组数据中的每一
13、个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去） 这一个常数，方差不变， 所得到的一组新数据的方差为 S新 2=8.0； 故答案为：8.0 【点睛】本题考查方差的意义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关 键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变 13.小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系： 日期x（日） 1 2 3 4 成绩y（个） 40 43 46 49 小红的仰卧起坐成绩 y与日期x之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为_ 【答案】y=3x+37 【解析】 【分析】 利用待定系数法即可求出该函数表达式 【详解】解
14、：设该函数表达式为 y=kx+b，根据题意得： 40 243 kb kb ， 解得 3 37 k b ， 该函数表达式为 y=3x+37 故答案为：y=3x+37 【点睛】本题考查了一次函数的应用，会利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键 14.在平面直角坐标系中， 将AOB以点O为位似中心， 2 3 为位似比作位似变换， 得到 11 AOB 已知(2,3)A， 则点 1 A的坐标是_ 【答案】 2 4 3 ， 【解析】 【分析】 直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可 【详解】解：将AOB以点 O为位似中心， 2 3 为位似比作位似变换，得到A1OB1，A（2，3） ， 点 A
15、1的坐标是： 2 3 23 2 3 ， ， 即 A12 4 3 ， 故答案为： 2 4 3 ， 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键 15.如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60，则圆锥主视图的面积为_ 【答案】48 【解析】 【分析】 圆锥的主视图是等腰三角形，根据圆锥侧面积公式 S=rl 代入数据求出圆锥的底面半径长，再由勾股定理求 出圆锥的高即可 【详解】根据圆锥侧面积公式：S=rl，圆锥的母线长为 10，侧面展开图的面积为 60， 故 60=10r， 解得：r=6 由勾股定理可得圆锥的高= 22 106 =8 圆锥主视图是一个底边为 12，高为 8
16、的等腰三角形， 它的面积= 1 12 8=48 2 ， 故答案为：48 【点睛】本题考查了三视图的知识，圆锥侧面积公式的应用，正确记忆圆锥侧面积公式是解题关键 16.如图，在矩形ABCD中，4,8ADAB分别以点 ,B D为圆心，以大于 1 2 BD的长为半径画弧，两 弧相交于点E和F作直线EF分别与,DC DB AB交于点,M O N，则MN _ 【答案】2 5 【解析】 【分析】 连接 DN，在矩形 ABCD中，AD=4，AB=8，根据勾股定理可得 BD 的长，根据作图过程可得，MN是 BD 的垂直平分线，所以 DN=BN，在 RtADN 中，根据勾股定理得 DN 的长，在 RtDON 中
17、，根据勾股定理 得 ON的长，进而可得 MN的长 【详解】如图，连接 DN， 在矩形 ABCD 中，AD=4，AB=8， BD= 22 4 5ABAD ， 根据作图过程可知： MN 是 BD 的垂直平分线， DN=BN，OB=OD=2 5， AN=AB-BN=AB-DN=8-DN， 在 RtADN中，根据勾股定理，得 DN2=AN2+AD2， DN2=（8-DN）2+42， 解得 DN=5， 在 RtDON中，根据勾股定理，得 ON= 22 5DNOD ， CDAB， MDO=NBO， DMO=BNO， OD=OB， DMOBNO（AAS） ， OM=ON= 5， MN=2 5 故答案为：2
18、5 【点睛】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质，解决本题的关键是 掌握线段垂直平分线的性质 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 17.计算： 10 1 ( )2cos4512( 31) 3 【答案】1 【解析】 【分析】 根据负整指数幂的性质，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂的性质，直接计算即可 【详解】 10 1 (
19、)2cos4512( 31) 3 2 3 2 221 1 22131 1 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，包含零指数幂，负整数指数幂，绝对值及特殊角的余弦值等， 灵活运用是解题关键 18.解方程： 2 4 1 11 x xx 【答案】x=3 【解析】 【分析】 观察可得方程最简公分母为(x2-1)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验 【详解】解： 2 4 1 11 x xx 去分母得， 2 (1)41x xx 解得，x=3， 经检验，x=3 是原方程的根， 所以，原方程的根为：x=3 【点睛】 （1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解； （2）解分式方程
20、 一定注意要检验 19.如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AECF 连接 ,DE DF BE BF求证：四边形BEDF是菱形 【答案】见解析 【解析】 【分析】 连接 BD，由菱形 ABCD的性质得出 OA=OC，OB=OD，ACBD，得出 OE=OF，证出四边形 BEDF是平 行四边形，再由 EFBD，即可证出四边形 BEDF是菱形 【详解】证明：连接 BD，交 AC于 O，如图所示： 四边形 ABCD是菱形， OA=OC，OB=OD，ACBD， AE=CF， OE=OF， 四边形 BEDF是平行四边形， EFBD， 四边形 BEDF是菱形 【点睛】本题考查了
21、菱形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与 性质 20.疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推 送某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A效果很好；B效果 较好；C效果一般；D效果不理想）并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图： （1）此次调查中，共抽查了 名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中a的度数； （3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般从学习小组中随 机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少?（
22、要求画树状图或列表求概率） 【答案】 （1）200； （2）补全条形统计图见解析，72； （3） 1 6 . 【解析】 【分析】 （1）用评价为“效果很好”的人数除以评价为“效果很好”的人数所占百分比即可得到抽查的总人数； （2）首先求出评价为“效果一般”的人数，再补全条形统计图；用评价为“效果一般”的人数除以抽查的 总人数，得到评价为“效果一般”的人数所占百分比乘以 360可得到； （3）用 A，B，C，D 分别表示甲，乙，丙，丁四人，画出树状图（或列表）表示所有等可能的情况数，得 到“1人认为效果很好，1人认为效果较好”结果数，进而用概率公式求解即可. 【详解】 （1）8040%=200（
23、人） ， 故答案为：200； （2）“C”的人数为：200-80-60-20=40（人） ， 补全条形统计图如下： = 40 360 =72 200 ； （3）用 A，B，C，D分别表示甲，乙，丙，丁， 画树状图如下： 共有 12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的有 2 种， P（1人认为效果很好，1人认为效果较好）= 21 126 ； 列表如下 认为效果很好 认为效果较好 A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC 共有 12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的有 2 种， P（
24、1人认为效果很好，1人认为效果较好）= 21 126 ； 【点睛】本题考查了从条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的 关键，要把两图形结合在一起进行解答 同时还考查了画树状图或列表求概率 21.2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运较火箭在海南文昌首飞成功运载火箭从地 面O处发射、当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得4000AD米，仰角为303 秒后，火箭直线 上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45已知,C D两处相距460米，求火箭从A 到B处的平均速度（结果精确到1米，参考数据：31.732,21.414） 【答案】火
25、箭从 A 到 B处的平均速度为 335米/秒 【解析】 【分析】 设火箭从 A到 B处的平均速度为 x米/秒， 根据题意可得 AB=3x， 在 RtADO中， ADO=30， AD=4000， 可得 AO=2000， DO=2000 3， 在 RtBOC 中， BCO=45， 可得 BO=OC， 即可得 2000+3x=20003-460， 进而解得 x 的值 【详解】解：设火箭从 A到 B 处平均速度为 x 米/秒，根据题意可知： AB=3x， 在 RtADO中，ADO=30，AD=4000， AO=2000， DO=2000 3， CD=460， OC=OD-CD=2000 3-460，
26、在 RtBOC 中，BCO=45， BO=OC， OB=OA+AB=2000+3x， 2000+3x=2000 3-460， 解得 x335（米/秒） 答：火箭从 A 到 B处的平均速度为 335米/秒 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义 22.为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单 价为2万元吨，采购两种物资共花费1380万元 （1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨? （2）现在计划安排,A B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资甲物资7吨和乙物资3吨可装满一 辆A型卡车；甲物资5吨和
27、乙物资7吨可装满一辆B型卡车按此要求安排,A B两型卡车的数量，请问有 哪几种运输方案? 【答案】 （1）甲物资采购了 300 吨，乙物质采购了 240 吨； （2）共有 3种运输方案，方案 1：安排 25辆 A 型卡车，25 辆 B型卡车；方案 2：安排 26辆 A型卡车，24辆 B型卡车；方案 3：安排 27辆 A型卡车，23 辆 B 型卡车 【解析】 【分析】 （1）设甲物资采购了 x吨，乙物质采购了 y吨，根据“某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共 540吨，且 采购两种物资共花费 1380万元”，即可得出关于 x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设安排 A型卡车 m辆，
28、则安排 B 型卡车（50-m）辆，根据安排的这 50辆车一次可运输 300 吨甲物质 及 240 吨乙物质，即可得出关于 m的一元一次不等式组，解之即可得出 m的取值范围，再结合 m为正整数 即可得出各运输方案 【详解】解： （1）设甲物资采购了 x 吨，乙物质采购了 y吨， 依题意，得： 540 321380 xy xy ， 解得： 300 240 x y 答：甲物资采购了 300吨，乙物质采购了 240 吨 （2）设安排 A型卡车 m辆，则安排 B 型卡车（50-m）辆， 依题意，得： 75 50300 37 50240 mm mm ， 解得：25m27 1 2 m为正整数， m可以为 2
29、5，26，27， 共有 3种运输方案，方案 1：安排 25辆 A型卡车，25辆 B型卡车；方案 2：安排 26 辆 A型卡车，24 辆 B型卡车；方案 3：安排 27 辆 A型卡车，23 辆 B型卡车 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是： （1）找准等量 关系，正确列出二元一次方程组； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组 23.如图，ABC内接于O，AB是O的直径直线l与O相切于点A，在l上取一点D使得 DADC线段DC，AB的延长线交于点E （1）求证：直线DC是O的切线； （2）若2BC ，30CAB，求阴影部分的面积（结果保留
30、） 【答案】 （1）见解析； （2） 2 2 3 3 【解析】 【分析】 （1）连接 OC，根据 OAOC，DADC 可得OACOCA，DACDCA，再根据直线l与O相 切于点A可得DAO90 ，进而可得DCO90 ，由此可证得直线DC是O的切线； （2）先证明BOC为等边三角形，可得 OBOCBC2，根据扇形面积公式可求得 2 3 BOC S 扇形 ，再利 用含 30的直角三角形的性质及勾股定理可求得2 3CE ，由此可求得2 3 COE S ，最后便可得 2 =2 3 3 COEBOC SSS 阴影扇形 【详解】 （1）证明：连接 OC， OAOC， OACOCA， DADC， DACDC
31、A， 直线l与O相切于点A， DAO90 ， DAC+OAC90 ， DCA+OCA90 ， DCO90 ， OCDC， 又点 C 在O上， 直线DC是O的切线； （2）解：CAB30 ， COB2CAB60 ， 又OBOC， BOC 为等边三角形， OBOCBC2， 2 6022 = 3603 BOC S 扇形 ， OCE90 ，COB60 ， E90 COB30 ， OE2OC4， 在 RtCOE 中， 22 2 3CEOEOC ， 1 2 COE SOC OE 1 22 3 2 2 3 ， 2 =2 3 3 COEBOC SSS 阴影扇形 阴影部分的面积为 2 2 3 3 【点睛】本题考
32、查了切线的性质与判定、扇形的面积公式以及含 30的直角三角形的性质，勾股定理，熟 练掌握切线的性质与判定、扇形的面积公式是解决本题的关键 24.为了探索函数 1 (0)yxx x 的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法 列表： x 1 4 1 3 1 2 1 2 3 4 5 y 17 4 10 3 5 2 2 5 2 10 3 17 4 26 5 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点， 如图1所示： （1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； （2）已知点 1122 ( ,),(,)x yxy在函数
33、图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题： 若 12 01xx，则 1 y 2 y； 若 12 1xx，则 1 y 2 y； 若 12 1x x，则 1 y 2 y（填“”，“=”，“”） （3） 某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池， 其底面积为1平方米， 深为1米 已知底面造价为1千 元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元 请写出y与x的函数关系式； 若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内? 【答案】 （1）见解析； （2）； （3） 1 1yx x ； 1 2 2 x 【解析】 【分析】 （1）用一条光滑
34、曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可； （2）观察函数图象可以看出有最低点，即函数有最小值，结合表格提供的信息即可解决问题； （3）根据底面面积可求出底面另一条边长，进而可求出水池的侧面积，分别表示出底面和侧面的造价， 从而可表示出y与x的函数关系式； 根据函数关系式结合表格可得出 x 的控制范围 【详解】 （1）如图 1 所示； （2）根据图象和表格可知，当 12 01xx时， 1 y 2 y；当 12 1xx，则 1 y 2 y；当 12 1x x，则 1 y 2 y； （3）底面面积为 1 平方米，一边长为 x米， 与之相邻的另一边长为 1 x 米， 水池侧面面积的和为： 11 12
35、122()xx xx 底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米， 11 1 12() 0.51yxx xx 即：y与x的函数关系式为： 1 1yx x ； 该农户预算不超过3.5千元，即 y3.5 1 13.5x x 1 2.5x x ， 根据图象或表格可知，当 2y2.5 时， 1 2 2 x， 因此，该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在 1 2 2 x 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 25.如图1，在等腰直角三角形ADC中， 90 ,4ADCAD点E是AD的中点，以DE为边作正方形 DEFG，连接
36、,AG CE将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为 (090 ) （1）如图2，在旋转过程中， 判断AGD与CED是否全等，并说明理由； 当CECD时，AG与EF交于点H，求GH 的长 （2）如图3，延长CE交直线AG于点P 求证：AGCP； 在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）全等，证明见解析； 8 15 15 ； （2）证明见解析；2 3 2 【解析】 【分析】 （1） 由等腰直角三角形性质和正方形性质根据全等三角形判定定理 （SAS） 即可证明； 过 A 点作 AMGD， 垂足为 M，交 FE 与 N，利用等腰三角形三
37、线合一性质构造直角三角形，由勾股定理求出 AM 的长，进而得 出 15 coscos 4 GAMAGF，再由 cos FG GH AGF 求出结果； （2）根据全等三角形性质可得CGADE D，再在APC和ADC中由三角形内角和定理得出 90GADECADAC，从而证明结论；根据APC=90 得出 PC最大值是GAD最大时，即 GDAG 时，进而可知 CEF 三点共线，F与 P 重合，求出此时 CE 长，继而可得 CP最大值 【详解】解： （1）全等，理由如下： 在等腰直角三角形ADC中，AD=CD，90ADC， 在正方形DEFG中，GD=ED，90GDE， 又90ADEEDC，90ADEAD
38、G， ADGCDE 在AGD和CED中， ADCD ADGCDE GDED ， CAGDED（SAS） ； 如解图 2，过 A点作 AMGD，垂足为 M，交 FE与 N， 点E是AD的中点， 在正方形DEFG中，DE=GD=GF=EF=2， 由得CAGDED， AGCE， 又CECD， 4AGADCD， AMGD， 1 1 2 GMGD， 又 90DF ， 四边形 GMNF 是矩形， 2MNGF， 在Rt AGM中， 2222 4115AMAGGM ， 15 cos 4 AM GAM AG /FGAM， GAMAGF 15 cos 4 FG AGF GH ， 28 15 cos1515 4 F
39、G GH AGF （2）由得CAGDED， CGADE D， 又 90ECDECADAC， 90GADECADAC， 90APC，即：AGCP； 90APC， sinPCAPPAC， 当PAC最大时，PC 最大， DAC=45 ，是定值， GAD最大时，PAC最大，PC最大， AD=4，GD=2， 当 GDAG，30GAD最大，如解图 3， 此时 2222 422 3AGADGD ， 又AGCP，EFFG， F点与 P 点重合， CEFP四点共线， CP=CE+EF=AG+EF=2 3 2 ， 线段PC得最大值为：2 32 【点睛】本题考查了三角形的综合；涉及了全等三角形的判定与性质，正方形的
40、性质，勾股定理，解直角 三角形等知识，能够准确画出旋转后满足条件的两个图形，构造直角三角形求解是关键 26.如图1，抛物线 2 ()30yaxbxa与x轴交于 ( 1,0),(3,0)AB ，与y轴交于点C已知直线 ykxn 过,B C两点 （1）求抛物线和直线BC的表达式； （2）点P是抛物线上的一个动点， 如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D设PDC的面积为 1 S，ADC的面积为 2 S，求 1 2 S S 的最大值； 如图 2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EFBC，垂足为F点Q是对称轴l上的一个 动点，是否存在以点, ,E F P Q为顶点的四边形是平行四
41、边形? 若存在，求出点,P Q的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1） 2 yx2x3 ， 3yx ； （2） 9 25 ；存在，点 P 的坐标为(2，3)，点 Q的坐标为 (1，2)或(1，2) 【解析】 【分析】 （1） 把 A(-1， 0)， B(3， 0)代入 2 ()30yaxbxa可求得抛物线表达式， 再求得点 C的坐标， 把 B(3， 0)，C 的坐标代入y kxn 即可求解； （2）设点 D的坐标为(m，3m)，利用待定系数法求得直线 PA的表达式为 33 11 mm yx mm ， 解方程 2 33 23 11 mm xxx mm ，求得点 P 的横坐标为 4 1 m
42、m ，利用平等线分线段成比例定理求 得 4 1 1 m m PDMN m DAAMm ，得到 2 1 2 2 39 24 1 m S S m ，利用二次函数的性质即可求解； 根据等腰直角三角形的性质求得点F的坐标为(2，1)，分当 EF为边和 EF为对角线时两种情况讨论，即 可求解 【详解】 （1）把 A(-1，0)，B(3，0)代入 2 3yaxbx得： 30 9330 ab ab ， 解得： 1 2 a b ， 抛物线的表达式为 2 yx2x3 ， 令0 x ，则 3y ， 点 C的坐标为(0，3)， 把 B(3，0)，C(0，3)代入ykxn得： 30 3 kn n ， 解得： 1 3
43、k n ， 直线BC的表达式为3yx ； （2）PA交直线 BC于点D， 设点 D 的坐标为(m，3m)， 设直线 PA的表达式为 11 yk xb， 11 11 0 3 kb mkbm ， 解得： 1 1 3 1 3 1 m k m m b m ， 直线 PA的表达式为 33 11 mm yx mm ， 2 33 23 11 mm xxx mm ， 整理得： 4 10 1 m xx m ， 解得： 12 4 1 1 m xx m ，(不合题意，舍去)， 点 D的横坐标为m，点 P的横坐标为 4 1 m m ， 分别过点 D、P 作 x轴的垂线，垂足分别为 M、N，如图： DMPN，OM=m，
44、ON= 4 1 m m ，OA=1， PDC1 2ADC 4 1 1 m m SSPDMN m SSDAAMm 2 2 3 1 mm m 2 2 39 24 1 m m ， 10 ， 当 3 2 m 时，分子取得最大值，即 1 2 S S 有最大值，最大值为 9 25 ； 存在，理由如下： 作FGAB于 G，如图， 2 yx2x3 的对称轴为：1 2 b x a ， OE=1， B(3，0)，C(0，3) OC=OB=3，OCB=90， OCB是等腰直角三角形， EFB=90，BE=OB-OE=2， OCB是等腰直角三角形， EG=GB=EG=1， 点F的坐标为(2，1)， 当 EF为边时，
45、EFPQ 为平行四边形， QE=PF，QEPFy轴， 点 P 的横坐标与点 F的横坐标同为 2， 当2x时， 2 22 233y ， 点 P 的坐标为(2，3)， QE=PF=3-1=2， 点 Q 的坐标为(1，2)； 当 EF为对角线时，如图， 四边形 PEQF平行四边形， QE=PF，QEPFy轴， 同理求得：点 P 的坐标为(2，3)， QE=PF=3-1=2， 点 Q 的坐标为(1，2)； 综上，点 P 的坐标为(2，3)，点 Q的坐标为(1，2)或(1，2)； 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和 性质，平行线公线段成比例定理，等高的三角形的面积的比等于底边的比，二次函数的性质以及平行四边 形的对边的判定和性质， （3）注意要分 AB 是对角线与边两种情况讨论