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江苏省苏州大学2020届高考考前数学指导卷含附加题(有答案)

1、苏州大学苏州大学 2020 届高考考前指导卷届高考考前指导卷 数学 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡 相应位置上 . 1.已知集合 | 12Axx , |1Bx x,则AB . 2.已知纯虚数z满足(1 )2i zai ,则实数a等于 . 3.某高速公路移动雷达测速检测车在某时段对某段路过往的 400 辆汽车的车速进行检测, 根据检测的结果绘 制出如图所示的频率分布直方图, 根据直方图的数据估计 400 辆汽车中时速在区间90 110),的约有 辆. 4.函数( )12lgf xxx 的定义域为 . 5.在直角坐标系

2、xOy 中,已知双曲线 2 2 1 (0) y x 的离心率为3,则的值为 . 6.执行如图所示的程序框图,输出的 S 的值为 . 7.展览会会务组安排了分别标有序号为“1 号” 、 “2 号” 、 “3 号”的三辆车,采用等可能随机的顺序前往酒 店接嘉宾.某与会嘉宾设计了两种乘车方案.方案一: 不乘坐第一辆车, 若第二辆车的车序号大于第一辆车 的车序号,就乘坐此车,否则乘坐第三辆车;方案二:直接乘坐第一辆车.则该嘉宾坐到“3 号”车的概 率是 . 8.已知函数( ) cosf xxx ,则( )f x在点( ) 22 f ,处的切线的斜率为 . 9.已知 n S是等比数列 n a前n项的和,

3、若公比2q ,则 135 6 aaa S 的值是 . 10.已知2sincos( ) 4 ,则tan() 4 的值是 . 11.九章算术是我国古代著名数学经典.里面对勾股定理的论述比西方早一千多年,其中有这样一个问题: “今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材, 埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深一寸,锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少? 长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦 1AB 尺,弓形高1CD寸,估算该木材的体积约为 (立方寸). (注:1 丈10尺10

4、0寸,3.14 ) 12.已知函数 2 |log2| 01 ( ) 31 xx f x x x , , , 若存在互不相等的正实数 123 xxx, ,满足 123 xxx且 123 ( )()()f xf xf x,则 31 ( )x f x的最大值为 . 13.已知点 P 为正方形 ABCD 内部一点(包含边界) ,E F ,分别是线段BC CD, 中点.若 0CP DP ,且 APAEAF,则 的取值范围是 . 14.已知 D 是ABC边AC上一点,且 1 2 c3os 4 CDABBCDDA,则3AB BC的最大值为 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区

5、域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) ABC的内角A B C , ,的对边分别为a b c,且 1a ,3cossinCcA. (1)求C; (2)若3b,D是AB上的点,CD平分ACB,求ACD的面积. 16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥PABCD中,底面 ABCD 是矩形,点 E 在棱 PC 上(异于点P C,) ,平面 ABE 与棱 PD 交于点 F. (1)求证:ABEF; (2)若AFEF,求证:平面PAD 平面 ABCD. 17.(本小题满分 14 分) 如图,某公园内有一半圆形人工湖,O 为圆心,半径为 1 千米.为了

6、人民群众美好生活的需求,政府为 民办实事, 拟规划在OCD区域种荷花, 在OBD区域建小型水上项目.已知AOCCOD. (1)求四边形OCDB的面积(用表示) ; (2)当四边形OCDB的面积最大时,求 BD 的长(最终结果可保留根号). 18.(本小题满分 16 分) 如图,已知椭圆 22 22 1 (0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ,短轴长为 2,左、右顶点分别为A B,.设点 ( 2) (0)Mm m ,连接MA交椭圆于点C. (1)求该椭圆的标准方程; (2)若OCCM,求四边形OBMC的面积. 19.(本小题满分 16 分) 已知函数 2 ( )2lnf xxaxx(其中

7、 a 为常数). (1)求函数( )f x的单调区间; (2)设函数( )f x有两个极值点 1212 ()xx xx,若 12 ()f xmx恒成立,求实数m的取值范围. 20.(本小题满分 16 分) 对于数列 n a,若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和,则称 n a为P数列. (1)若 n a的前n项和32 n n S ,试判断 n a是否是P数列,并说明理由; (2)设数列 12310 aaaa, , , ,是首项为1 ,公差为d的等差数列,若该数列是P数列,求d的取值 范围; (3)设无穷数列 n a是首项为a、公比为q的等比数列,有穷数列 nn bc,是从 n a中取出

8、部分项 按原来的顺序所组成的不同数列,其所有项和分别为 12 TT,求 n a是P数列时a与q所满足的 条件,并证明命题“若0a且 12 TT,则 n a不是P数列”. 苏州大学苏州大学 2020 届高考考前指导卷届高考考前指导卷 数学(附加题) 21.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两题 ,并在相应的 答题区域 内作答 ,若多做,则按 作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修选修 4 2:矩阵与变换:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系xOy中,设点(5)P x,在矩阵 M 12 34 对应的变换下得到点(2)Q yy,求 1 x

9、y M. B.选修选修 4 4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐 标方程为sin()2 4 ,曲线C的参数方程为 2cos 3 () sin22 x y , ,求l与曲线C交 点的直角坐标. C.选修选修 4 5:不等式选讲:不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知0,0 xy,且满足 22 1127 4 xy xy ,求 153 4xy 的最小值. 【必做题】第 22 题、第 23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 说明、证明

10、过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 在四棱锥PABCD中,AB/CD,2224ABCDBCAD,60DAB,AEBE, PAD为正三角形,且平面PAD平面ABCD. (1)求二面角PECD的余弦值; (2)线段PC上是否存在一点M,使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为 6 8 ?若存在,指出 点M的位置;若不存在,请说明理由. 23.(本小题满分 10 分) 已知非空集合M满足0 1 2Mn, , * (2)nnN ,.若存在非负整数 ()k kn ,使得当 aM时,均有2kaM ,则称集合M具有性质P.记具有性质P的集合M的个数为 ( )f n. (1)求(2)f的值; (

11、2)求( )f n的表达式. 苏州大学苏州大学 2020 届高考考前指导卷届高考考前指导卷 参考答案 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. |12xx 2.2 3.280 4. 1 (0 2 , 5.2 6.52 7. 5 6 8. 2 9. 1 3 10. 1 2 11.53066 12.4 13. 24 1 33 , 14.16 5 5 解答与提示: 1. |12ABxx. 2. 2(2)(1)22 1222 aiaiiaa zi i .因为z为纯虚数,所以 20 20 a a , , 解得2a. 3.由图可知, 时速在区间80 90) 110 120)

12、 , 的频率为(0.010.02) 100.3, 所以时速在区间90 110), 的频率为1 0.3,所以时速在区间90,110)的车辆约为400 0.7280辆. 4.由 1 20 0 x x , , 解得 1 0 2 x,即函数( )f x的定义域为 1 (0 2 ,. 5.离心率 1 3 1 c e a ,所以2 . 6.执行第一次循环 105Si, ;执行第二次循环207Si,; 执行第三次循环349Si,;执行第四次循环5211Si,终止循环. 所以52S . 7.记方案一与方案二坐到“3 号”车的概率分别为 P1,P2,三辆车的出车顺序可能为:123,132,213,231, 31

13、2,321.方案一坐“3 号”车可能:132,213,231,所以 1 3 6 P ;方案二坐“3 号”车可能:312,321, 所以 2 2 6 P .则该嘉宾坐到“3 号”车的概率 12 5 6 PPP. 8.( )cossinfxxxx ,所以在 2 x 处的切线的斜率为( ) 22 k f . 9. 2 3 1 2 135 6 16 1 () 111 (1)13 1 aq aaaq aqSq q . 10.因为2sincos( ) 4 ,解得 1 tan 3 ,所以 1 1 1 3 tan() 1 42 1 3 . 11.如图,10AB(寸) ,则5AD(寸) ,1CD(寸) ,设圆

14、O 的半径为 x(寸) ,则 (1 )ODx (寸). 在RtADO,由勾股定理可得 222 5(1)xx,解得13x (寸) ,则该木材的体积约为 22 1001316900 x (立方寸). 12.函数 ( )f x的图象如右图所示,由题意, 3 0()2f x,即 3 19x,因为 123 ( )()()f xf xf x,所 以 3133 ( )(3)x f xxx,令 3 (1,3)tx,构造函数 32 ( )3g ttt , 2 ( )36g ttt ,所以当 2t 时, max ( )(2)4g tg,所以 31 ( )x f x的最大值为 4. 13.设正方形 ABCD 的边长

15、为 a,以 A 为原点,AB AD , 所在直线为分别为x y , 轴建立平面直角坐标系,则 (0 0)(0)()(0)AB aC a aDa, , , ,. 设()P xy,因为 0CP DP ,所以 () ()0 xa yax ya, ,即 2 22 ()() 24 aa xya, 设 cos 22 sin 2 aa x a ya , 又 因 为()() 22 aa E aFa, ,APAEAF, 所 以()()() 22 aa x yaa, 即 2 2 a xa a ya , , 所以 22 32 ()(sincos )1sin() 332234 aa xy aa , 由 P 为正 方

16、形 ABCD内 部 一 点 ( 包 含 边 界 ), 可 得2 , , 所 以 444 , 所 以 224 1s i n ()1 3433 , . 14.法一:设ADt,则3CDt,4ACt , 在ABD中, 222 ( 2) cos 2 2 tc ADB t , 在BDC中, 222 (3 )( 2) cos 2 2 3 ta BDC t , 又coscosADBBDC, 所以 222222 ( 2)(3 )( 2) 2 22 2 3 tcta tt ,解得 222 1238tca, 在ABC中, 2222 (4 )2cosACtacacB,即 222 1 16 2 tacac, 由可得 2

17、2 3 932 2 acac. 所以 2222 3335 32(3 )(3 )(3 )()(3 ) 2228 ac acacacac , 即 2 8 32 (3 ) 5 ac ,所以 16 5 3 5 ac, 当且仅当3ac,即 8 58 5 , 515 ac时等号成立, 所以3ABBC的最大值为16 5 5 . 法二:因为3CDAD,所以 3CDDA ,即3()BDBCBABD, 整理得到 31 44 BDBABC,两边平方后有 222913 16168 BDBABCBA BC, 所以 22913 2 16168 BABCBA BC即 229131 2| | 161684 BABCBABC,

18、 整理得到 22 3 329| | 2 BABCBABC, 设|cBAaBC,所以 222 39 329(3) 22 caaccaac, 因为 2 93 33 3 () 2222 aca cca , 所以 2222 935 32(3)(3)(3)(3) 288 caaccacaca, 8 3216 5 3 55 ca ,当且仅当 8 58 5 515 ac,时等号成立, 所以3ABBC的最大值为16 5 5 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15.(本小题满分 14 分) 解: (1)因为1a 且 3cossinCcA ,所以 3 cossinaCcA , 2 分 在ABC

19、中,由正弦定理 sinsin ac AC ,所以sinsinaCcA, 所以3sincossinsinACCA. 4 分 因为(0)A,所以sin0A,所以3cossinCC, 因为(0)C,所以sin0C ,所以cos0C ,所以tan3C , 6 分 因为(0)C,所以 3 C . 8 分 (2)由(1)知, 3 ACB ,因为1a ,3b, 所以ABC的面积 133 3 sinsin 2234 ABC SabACB , 10 分 因为D是AB上的点,CD平分ACB, 所以 1 sin 1 26 1 3 sin 26 BCD ACD a CD Sa Sb b CD , 12 分 因为 AB

20、CACDBCD SSS ,所以 333 39 3 44416 ACDABC SS . 14 分 16.(本小题满分 14 分) 证: (1)因为四边形 ABCD 是矩形,所以ABCD. 2 分 又AB平面 PDC,CD平面 PDC, 所以AB平面 PDC, 5 分 又因为AB 平面 ABE,平面ABE 平面PDCEF, 所以ABEF. 7 分 (2)因为四边形 ABCD 是矩形,所以ABAD. 因为AFEF, (1)中已证ABEF, 所以ABAF, 9 分 因为ABAD,由点 E 在棱 PC 上(异于点 C) , 所以 F 点异于点 D,所以AFADA, 又AFAD, 平面 PAD,所以AB

21、平面 PAD, 12 分 又AB 平面 ABCD,所以平面PAD 平面 ABCD. 14 分 17.(本小题满分 14 分) 解: (1)由题意AOCCOD,设四边形OCDB的面积为( )S, 因为四边形OCDB可以分为OCD和OBD两部分, 所以 11 ( )sinsin(2 ) 22 OCDOBD SSSOC ODOB OD , 3 分 因为1OBOCOD,所以 1 ( )(sinsin2 ) 2 S. 因为020,所以0 2 . 所以四边形OCDB的面积 1 ( )(sinsin2 )(0) 22 S ,. 6 分 (2)由(1) 1 ( )(sinsin2 )(0) 22 S , 所以

22、 22 11 ( )( sin )(sincos )coscossin 22 S 2 1 (4coscos2) 2 , 令( )0S ,即 2 4coscos20,解得 133 cos 8 或 133 cos 8 , 因为0 2 ,所以存在唯一的 0 ,使得 0 133 cos 8 . 10 分 当 0 0时,( )0S,( )S在 0 (0),单调递增; 当 0 2 时,( )0S ,( )S在 0 () 2 ,单调递减, 所以 0 时, max0 ( )()SS, 12 分 此时 222 0 2cos(2)BDOBODOB OD 22 000 1 12cos222(2cos1)4cos ,

23、 从而 0 133 2cos 4 BD (千米). 答:当四边形OCDB的面积最大时,BD 的长为 133 4 千米. 14 分 18.(本小题满分 16 分) 解: (1)因为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ,短轴长为 2, 所以 222 22 2 2 b abc c a , , ,解得 21ab, 所以该椭圆的标准方程为 2 2 1 2 x y. 4 分 (2)因为点( 2) (0)(2 0)Mm mA, 所以直线AM的方程为 (2) 2 2 m yx ,即 2 (2) 4 m yx . 由 2 2 1 2 2 (2) 4 x y m yx , , 消去y

24、得 2222 (4)2 2280mxm xm. 7 分 设 00 ()C xy,则 2 0 2 28 2 4 m x m ,所以 2 0 2 24 2 4 m x m ,所以 0 2 4 4 m y m . 连接OM,取OM的中点R,则 2 () 22 m R, 10 分 连接CR,因为OCCM,所以CROM. 又 3 0 2 0 4 2 224 23 2 2 OMCR m y mmm kk m x , , 所以 3 2 4 1 2 4 23 2 mmm m ,即 42 280mm, 因为0m,所以 2m , 13 分 所以四边形OBMC的面积 2 114 24 2 222 223( 2)4

25、ABMAOC SSS . 16 分 19.(本小题满分 16 分) 解: (1)因为 2 ( )2lnf xxaxx,所以 2 22 ( )0() xax fxx x . 2 分 令 2 22( )pxaxx, 2 16a , 当0即44a 时,( )0p x ,即( )0fx , 所以函数( ) fx单调递增区间为(0),. 当0 即4a或4a时, 22 12 1616 44 aaaa xx , . 若4a,则 12 0 xx,所以0( )px,即( )0fx , 所以函数( ) fx的单调递增区间为0() ,. 若4a,则 21 0 xx,由( )0fx 即 0( )px ,得 1 0 x

26、x或 2 xx; 由 ( )0fx ,即 0( )px 得 12 xxx. 所以函数( ) fx的单调递增区间为 12 0() ()xx, , ,;单调递减区间为 12 ()xx,. 综上,当4a时,函数( ) fx的单调递增区间为(0), ,无减区间;当4a 时,函数( ) fx的单调 递增区间为 12 0() ()xx, , ,单调递减区间为 12 ()xx,. 6 分 (2)由(1)得 2 22 ( )0() xax fxx x , 若( ) fx有两个极值点 12 xx,则 12 xx,是方程 2 220 xax的两个不等正实根, 由(1)知4a .则 121 2 21 2 a xxx

27、 x,故 12 01xx, 8 分 要使 12 ( )f xmx恒成立,只需 1 2 ( )f x m x 恒成立. 因为 222 3 1111111 1111 22 1 ()2ln22ln ln 1 2 22 f xxaxxxxx xxxx xx x , 10 分 令 3 ( )2ln(01)2h ttttt t ,则 2 ( )3ln2h ttt , 12 分 当01t 时,( )0h t , ( )h t为减函数,所以( )(1)3h th . 14 分 由题意,要使 12 ( )f xmx恒成立,只需满足3m. 所以实数m的取值范围 3( ,. 16 分 20.(本小题满分 16 分)

28、 解: (1)由32 n n S ,可知 11 2 3n nnn aSS , 故 1 320 n nn aS 对一切正整数n都成立,故 n a是P数列. 3 分 (2)由题意知,该数列的前n项和为 (1) 2 n n n Snd , 1 1 n and , 由数列 12310 aaaa, , , ,是P数列,可知 211 aSa,故公差0d . 2 1 3 (1)10 22 nn d Sand n 对满足19n中的每一个正整数n都成立, 即 2 3 (1)10 22 d nd n 对于19n都成立. 6 分 由 2 2 3 1(1) 10 22 3 99(1) 10 22 d d d d ,

29、, 可得 8 0 27 d,故d的取值范围是 8 (0) 27 ,. 8 分 (3)若 n a是P数列,则 12 aSaaq, 若0a,则1q ,又由 1nn aS 对一切正整数n都成立, 可知 1 1 n n q aqa q ,即 1 2( )nq q 对一切正整数n都成立, 由 1 ( )0 n q , 1 ( )(0 1) n q ,故20q ,可得2q. 若0a,则1q ,又由 1nn aS 对一切正整数n都成立, 可知 1 1 n n q aqa q ,即(2)1 n q q对一切正整数n都成立, 又当(1q ,时,(2)1 n q q当2n时不成立, 故有 (0 1) (2)1 q

30、 q q , , , 或 2 ( 1 0) (2)1 q q q , , , 解得 15 (0)(0 1) 2 q ,. 所以 n a是P数列时,a与q所满足的条件为 0 2 a q , , 或 0 15 (0 1)(0) 2 a q , , 12 分 下面用反证法证明命题“若0a且 12 TT,则 n a不是P数列”. 假设 n a是P数列,由0a,可知2q且 n a中每一项均为正数, 若 n b中的每一项都在 n c中,则由这两数列是不同数列,可知 12 TT, 若 n c中的每一项都在 n b中,同理可得 12 TT. 若 n b中至少有一项不在 n c中且 n c中至少有一项不在 n

31、b中, 设 nn bc ,是将 nn bc,中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列,它们的所有项和分别为 12 TT , 不妨设, nn bc 中的最大项在 n b中,设为 m a,则2m, 则 21211mm TaaaaT ,故 21 TT ,所以 21 TT, 故总有 12 TT,与 12 TT矛盾.故 n a不是P数列. 16 分 数学(附加题) 21.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两题 ,若多做,则按作答的前两题评分. A.选修选修 4 2:矩阵与变换:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 解:依题意 12 34 5 x 2y y ,即 102 320 xy xy , ,

32、 解得 4 8 x y , , 3 分 由逆矩阵公式知,矩阵 M 12 34 的逆矩阵 1 21 31 22 M, 7 分 所以 1 x y M 21 31 22 4 8 16 10 . 10 分 B.选修选修 4 4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 解:直线 22 (sincos )2 22 l:, 所以直线l的直角坐标方程为20 xy. 3 分 曲线C的普通方程为 22 (2)1 ( 32)xy x , 6 分 22 20 (2)1 ( 32) xy xy x , -, 消去 y 整理得 2 2870 xx, 则 2 2 2 x ,所以交点坐标为 22 ( 2)

33、 22 , . 10 分 C.选修选修 4 5:不等式选讲:不等式选讲(本小题满分 10 分) 解:由00 xy, 22 1127 4 xy xy , 得 22 15316127 444 xy xyxy 22 3 3 8 81127327 33126 88444 xy x xyy . 6 分 当且仅当 2 2 8 1 8 x x y y , , 即 1 2 2 xy,时等号成立. 故 153 4xy 的最小值为 6. 10 分 【必做题】第 22 题、第 23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 1

34、0 分) 解:设O是AD中点,PAD为正三角形,则POAD. 因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,PO平面PAD, 所以POABCD 面. 又因为2ADAE,60DAB, 所以ADE为正三角形, 所以OEAD. 建立如图所示空间直角坐标系Oxyz, 则(0 03)(03 0)( 23 0)( 1 0 0)PECD, , , 于是( 233)(033)(1 03)PCPEDP ,. 2 分 (1)设平面PEC的法向量为 1 ()x y z, ,n, 由 11 0,0PCPEnn,得一个法向量为 1 (0 1 1),n, 平面EDC的一个法向量为 2 (0 0 1),n, 所以

35、 12 12 cos 22 ,nn, 又由图可得二面角PECD为锐角, 所以二面角PECD的余弦值为 2 2 . 4 分 (2)设(01)PMPC ,则( 233 )PM , (12333 )DMDPPM,(033)PE , 6 分 所以 2 |63|6 |cos| | 8| 610104 DM PE DMPE DMPE , 8 分 解得 1 3 或 2 3 ,所以存在点M为线段PC的三等分点. 10 分 23.(本小题满分 10 分) 解: (1)当2n时,0 1 2 0 2 0 1 2M , , , , ,具有性质P, 对应的k分别为0 1 2 1 1,故(2)5f. 3 分 (2)设当n

36、t时,具有性质P的集合M的个数为( )f t, 则当1nt 时,(1)( )(1)f tf tg t, 其中(1)g t 表示1tM 时也具有性质P的集合M的个数, 下面计算(1)g t 关于t的表达式, 此时应有21kt,即 1 2 t k ,故对nt分奇偶讨论. 当t为偶数时,1t为奇数,故应该有 2 2 t k , 则对每一个k,1t和21kt 必然属于集合M, 且t和2kt,k和k共有1tk 组数, 每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合M, 故对每一个k,对应具有性质P的集合M的个数为 0111 111 2 tktk tktktk CCC , 所以 2 1 222 (1)22212 21 ttt g t . 5 分 当t为奇数时,1t为偶数,故应该有 1 2 t k , 同理 11 1 222 (1)22212 221 ttt g t , 7 分 综上,可得 2 2 ( )2 21 (1) ( )2 221 t t f tt f t f tt , 为偶数, , 为奇数, 又(2)5f, 由累加法解得 2 1 2 6 25 ( ) 4 25 t t tt f t tt , 为偶数, , 为奇数, 即 2 1 2 6 25 ( ) 4 25 n n nn f n nn ,为偶数, ,为奇数 10 分