1、 1 甘肃省兰州市甘肃省兰州市 2020 年中考数学试卷年中考数学试卷 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分) 1.2020 的绝对值是( ) 2.如图是有 5 个完全相同的小正方形组成的几何体,则该几何体的主视图是( ) A B C D 3.据中国电子商务研究中心（100ECCN）发布2020 年度中国共享经济发展报告显示，截止 2020 年 12 月， 共有 190 家共享经济平台获得 1159 56 亿元投资 数据 1159 56 亿元用科学计数法可表示为 （ ） A.115956 108元 B.11.5956 1010元 C.1.15956 1011元 D.1
2、.15956 108元 4.下列二次根式中,是最简二次根式的是( ). A.18 B.13 C.27 D.12 5 如图,AB/CD,ADCD，165 则2 的度数是（ ） A50 B60 C65 D70 6.下列计算正确的是（ ） A.abaa532 B. 1243 aaa C. 2422 6)3-baba（ D. 2235 2aaaa 7.如图,边长为 4 的等边ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则ADE的面积是（ ） A.3 B. 2 3 C. 4 33 D.32 8.如图,矩形 ABCD 中,AB3,BC4,BE/DF 且 BE 与 DF 之间的距离为 3,则 AE 的长
3、度是（ ） (第 7 题) C A E D B 2 A. 7 B 8 3 C 8 7 D 8 5 9如图，将口ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 落在点 E 处，交 BC 于点 F若ABD48 ，CFD 40 ，则E 为（ ） A102 B112 C122 D92 10关于 x 的分式方程1 1 2 x ax 的解为负数，则 a 的取值范围为（ ） A. a1 Ba1 Ca1 且 a2 Da1 且 a2 11如图，已知二次函数)0( 2 acbxaxy的图像如图所示，有下列 5 个结论： 0abc；bac； )1)(ba;a3024的实数；mbammccba其中正确的结论有（ ） A.
4、B. C. D. 12如图，抛物线 2 45 7 2 1 2 xxy与 x 轴的交于点 A、B，把抛物线在 x 轴即其下方的部分记作 C1， 将 C1向左平移得 C2，C2与 x 轴的交于点 B、D若直线mxy 2 1 与 C1、C2共有三个不同的交点，则 m 的取值范围是（ ） A B C D E F A E B D C F 第 11 题图 x O y - 1 1 3 A. 2 5 -m 8 45 B. 2 1 -m 8 29 C. 2 5 -m 8 29 D. 2 1 -m 8 45 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 24 分 13因式分解： 32 yyx 14不等式组
5、xx xx 3 2 -13 3 4 75) 1(2 的解集为 15如图，ABC 的外接圆 O 的半径为 3，C55 ，则劣弧 AB 的长是 16. 如图，M、N 是正方形 ABCD 的边 CD 上的两个动点，满足 AMBN，连接 AB 交 BN 于点 E，连接 DE 交 AM 于点 F，连接 CF，若正方形的边长为 6，则线段 CF 的最小值是 y O D A B C2 C1 O A C B N 第 16 题图 M F E D B A C 4 三、解答题（本大题共 11 小题，满分 102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （5 分）计算： 45tan2-13- 2 1 0
6、2 18.解方程:0223 2 xx 19先化简，再求值： 1 2 ) 1 43 ( x x x x x，其中 2 1 x 20. （6 分）如图，在 RtABC 中 （1）利用尺度作图，在 BC 边上求作一点 P，使得点 P 到 AB 的距离（PD 的长）等于 PC 的长； （2）利用尺规作图，作出（1）中的线段 PD （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） 21（7 分） 学校开展“书香校园”活动以来， 受到同学们的广泛帮助， 学校为了解全校学生课外阅读的情况， 随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计图表 C A B 第 20 题
7、图 5 学生借阅图书的次数统计表学生借阅图书的次数统计表 学生借阅图书的次数统计图学生借阅图书的次数统计图 借阅图书 的次数 0 次 1 次 2 次 3 次 4 次及 以上 人数 7 13 a 10 3 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）a ，b ； （2）该调查统计数据的中位数是 ，众数是 ； （3）请计算扇形统计图中的“3 次”所对应的圆心角的度数； （4）若该校共有 2000 名学生，根据调查结果，统计该校学生在一周内借阅图书“4 次及以上”的人数 22 （7 分）在一个不透明的布袋里装有 4 个标有 1，2，3，4 的小球，它们的形状是、大小完全相同李 强从布袋里随机取出
8、一个小球，记下数字为 x，王芳在剩下的 3 个小球中随机取出一个小球，记下数字为 y，这样就确定了点 M 的坐标（x，y） （1）画树状图或列表，写出点 M 所有可能的坐标； （2）求点 M（x，y）在函数 yx1 的图像上的概率 23. （7 分）如图，斜坡 BE，坡顶 B 到水平地面的距离 AB 为 3 米，坡底 AE 为 18 米，在 B 处，E 处分别 测得 CD 顶部点 D 的仰角为 30 ，60 求 CD 的高度 （结果保留根号） B A D C F E 2 次 0 次 1 次 26% 3 次 b% 4 次及 以上 6 24 （7 分）某商家销售一款商品，进价每件 80 元，售价每
9、件 145 元，每天销售 40 件，每销售一件需支付 给商家管理费 5 元，未来一个月（按 30 天计算） ，这款商品将开展“每天降价 1 元”的促销活动，即从第一 天起每天的单价均比前一天降 1 元，通过市场调查发现，该商品单价每降 1 元，每天的销售量增加 2 件， 设第 x 天（1x30，且 x 为整数）的销量为 y 件 （1）直接写出 y 与 x 的函数关系式； （2）设第 x 天的利润为 w 元，试求出 w 与 x 之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是 多少元？ 25 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y1axb 的图像与反比例函数 x k y 2 的图像
10、交于点 A （1，2）和 B（2，m） （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请直接写出 21 yy时，x 的取值范围； （3）过点 B 做 BE/x 轴，BEAD 于点 D，点 C 是直线 BE 上一点，若 AC2CD，求点 C 的坐标 y2 y1 y x D O A E B 第 25 题图 7 26 （8 分）如图，在ABC 中，过点 C 作 CD/AB，E 是 AC 的中点，连接 DE 并延长，交 AB 于点 F， 交 CB 的延长线于点 G连接 AD、CF （1）求证：四边形 AFCD 是平行四边形； （2）若 GB3，BC6，BF 2 3 ，求 AB 的长 27 （9 分）如
11、图，AB 为圆 O 的直径，C 为圆 O 上的一点，D 为 BA 延长线上的一点，BACD （1）求证：DC 为圆 O 的切线； （2）线段 DF 分别交 AC，BC 于点 E，F，且CEF45 ，圆 O 的半径为 5， 5 3 sinB，求 CF 的长 A F C O B D E A D C B E F G 第 26 题图 8 28 （12 分）如图，抛物线4 2 bxaxy经过 A（3，6） ，B（5，4）两点，与 y 轴交于点 C，连接 AB，AC，BC （1）求抛物线的表达式； （2）求证：AB 平分CAO； （3）抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得ABM是以 AB 为直角边的直角三
12、角形若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由 A C B x y O 第 28 题图 9 甘肃省甘肃省兰州市兰州市 2020 年年中考数学试卷中考数学试卷(解析版解析版) 二、选择题(本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分) 1.2020 的绝对值是( C ) 2.如图是有 5 个完全相同的小正方形组成的几何体,则该几何体的主视图是( A ) A B C D 3.据中国电子商务研究中心（100ECCN）发布2020 年度中国共享经济发展报告显示，截止 2020 年 12月， 共有190家共享经济平台获得1159 56亿元投资 数据1159 56亿元用科学计数法可表示为 （ C
13、 ） A.115956 108元 B.11.5956 1010元 C.1.15956 1011元 D.1.15956 108元 4.下列二次根式中,是最简二次根式的是( B ). A.18 B.13 C.27 D.12 5 如图,AB/CD,ADCD，165 则2 的度数是（ A ） A50 B60 C65 D70 6.下列计算正确的是（ D ） A.abaa532 B. 1243 aaa C. 2422 6)3-baba（ D. 2235 2aaaa 7.如图,边长为 4 的等边 ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 ADE的面积是（ A ） A.3 B. 2 3 C. 4 3
14、3 D.32 8.如图,矩形 ABCD 中,AB3,BC4,BE/DF 且 BE 与 DF 之间的距离为 3,则 AE 的长度是（ C） (第 7 题) C A E D B 10 B. 7 B 8 3 C 8 7 D 8 5 9如图，将口ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 落在点 E 处，交 BC 于点 F若ABD48 ，CFD 40 ，则E 为（ B ） A102 B112 C122 D92 10关于 x 的分式方程1 1 2 x ax 的解为负数，则 a 的取值范围为（ D ） B. a1 Ba1 Ca1 且 a2 Da1 且 a2 D.解析：化简得 xa11 且 a2 11如图，已
15、知二次函数)0( 2 acbxaxy的图像如图所示，有下列 5 个结论： 0abc；bac； )1)(ba;a3024的实数；mbammccba其中正确的结论有（ B ） A. B. C. D. B.解析：开口向下，a0，0 21 a b xx，即 b0，故0abc；x1 时， yabcc；x2 时，y4a2bc 3， 故 3ac； 式化解得，0)( 2 babmam，0) 1() 1( 2 bmam， 无论 m 大于 1 还是1， 该式总成立，故成立，即答案为 B A B C D E F A E B D C F 第 11 题图 x O y - 1 1 11 12如图，抛物线 2 45 7 2
16、 1 2 xxy与 x 轴的交于点 A、B，把抛物线在 x 轴即其下方的部分记作 C1， 将 C1向左平移得 C2，C2与 x 轴的交于点 B、D若直线mxy 2 1 与 C1、C2共有三个不同的交点，则 m 的取值范围是（ C ） A. 2 5 -m 8 45 B. 2 1 -m 8 29 C. 2 5 -m 8 29 D. 2 1 -m 8 45 C.解析:在 y 2 45 7 2 1 2 xx中， 令 y0， 解得 x19,x25， 点 A， B 的坐标分别为 （9， 0） ，（5， 0） C2 是由 C1向左平移得到的，点 D 的坐标为（1，0） ，C2对应的函数解析式为 y23 2
17、1 2 ）（x 2 5 3 2 1 2 xx（1x5） 当直线 ymx 2 1 与 C2相切时，可知关于 x 的一元二次方程 2 5 3 2 1 2 xx mx 2 1 有两个相等的实数根，即方程 x27x52m0 有两个相等的实数根，（7）24 1 （5 2m）0，解得 m 8 29 当直线 ymx 2 1 过点 B 时，可得 0m5 2 1 ，解得 m 2 5 如图， 故当 8 29 m 2 5 ，直线 ymx 2 1 与 C1，C2共有 3 个不同的交点 四、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 24 分 13因式分解： 32 yyx y O D A B C2 C1 12 y(
18、xy)(xy) 14不等式组 xx xx 3 2 -13 3 4 75) 1(2 的解集为 1x3. 15如图， ABC 的外接圆 O 的半径为 3，C55 ，则劣弧 AB 的长是 2 11 . 13. 如图，M、N 是正方形 ABCD 的边 CD 上的两个动点，满足 AMBN，连接 AB 交 BN 于点 E，连接 DE 交 AM 于点 F，连接 CF，若正方形的边长为 6，则线段 CF 的最小值是 353 五、解答题（本大题共 11 小题，满分 102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （5 分）计算： 45tan2-13- 2 1 0 2 解:2-71) 12(14原式
19、O A C B N 第 16 题图 M F E D B A C 13 18.解方程:0223 2 xx 解:移项,得 3x22x2, 配方,得 3（x 3 1 ）2 3 7 , 解得 x1 3 71 ，x2 3 71 19先化简，再求值： 1 2 ) 1 43 ( x x x x x，其中 2 1 x 解:原式 2 1 1 44 2 x x x xx 2x ,代入 2 1 x得原式 2 5 21. （6 分）如图，在 Rt ABC 中 （1）利用尺度作图，在 BC 边上求作一点 P，使得点 P 到 AB 的距离（PD 的长）等于 PC 的长； （3）利用尺规作图，作出（1）中的线段 PD （要
20、求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） 解:A 的角平分线作法.作图略 21（7 分） 学校开展“书香校园”活动以来， 受到同学们的广泛帮助， 学校为了解全校学生课外阅读的情况， 随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计图表 学生借阅图书的次数统计表学生借阅图书的次数统计表 学生借阅图书的次数统计图学生借阅图书的次数统计图 借阅图书 的次数 0 次 1 次 2 次 3 次 4 次及 以上 人数 7 13 a 10 3 C A B 第 20 题图 2 次 0 次 1 次 26% 3 次 b% 4 次及 以上 14 请你根据统计图表中的信息，解
21、答下列问题： （5）a ，b ； （6）该调查统计数据的中位数是 ，众数是 ； （7）请计算扇形统计图中的“3 次”所对应的圆心角的度数； （8）若该校共有 2000 名学生，根据调查结果，统计该校学生在一周内借阅图书“4 次及以上”的人数 解:(1)17，20%.310137%2613a17,b%26131020%； (2)10,10.由中位数和众数的定义即可得； （3）72 .36020%72 ； （4）120 人.120 50 3 2000（人） 22 （7 分）在一个不透明的布袋里装有 4 个标有 1，2，3，4 的小球，它们的形状是、大小完全相同李 强从布袋里随机取出一个小球，记下数
22、字为 x，王芳在剩下的 3 个小球中随机取出一个小球，记下数字为 y，这样就确定了点 M 的坐标（x，y） （3）画树状图或列表，写出点 M 所有可能的坐标； （4）求点 M（x，y）在函数 yx1 的图像上的概率 解:（1） x 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 y 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 （2） 4 1 .解:一共 12 个点坐标，有三个点坐标在上面 24. （7 分）如图，斜坡 BE，坡顶 B 到水平地面的距离 AB 为 3 米，坡底 AE 为 18 米，在 B 处，E 处分别 测得 CD 顶部点 D 的仰角为 30 ，60 求 CD 的高度 （结果
23、保留根号） B A D C F E 15 解:过 B 点作 CD 的垂线，垂足为 F,设 CDx 米,则 DF（x3） （米） ，BFAC，BF)x(3 30tan 米 DE ，ACAECE xCD 3 3 1830tan18，即xx 3 3 183， 解得，39x，即 CD 长为 93米 24 （7 分）某商家销售一款商品，进价每件 80 元，售价每件 145 元，每天销售 40 件，每销售一件需支付 给商家管理费 5 元，未来一个月（按 30 天计算） ，这款商品将开展“每天降价 1 元”的促销活动，即从第一 天起每天的单价均比前一天降 1 元，通过市场调查发现，该商品单价每降 1 元，每
24、天的销售量增加 2 件， 设第 x 天（1x30，且 x 为整数）的销量为 y 件 （3）直接写出 y 与 x 的函数关系式； （4）设第 x 天的利润为 w 元，试求出 w 与 x 之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是 多少元？ 解:（1）y382x；解析：y402（x1）2x38； （2）1580145382xxw2041212 2 x 故 x21 时，w 值最大，为 2041 元，即第 21 天时，利润最大，最大利润为 2041 元 25 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y1axb 的图像与反比例函数 x k y 2 的图像交于点 A （1，2）和 B（2，
25、m） （4）求一次函数和反比例函数的表达式； （5）请直接写出 21 yy时，x 的取值范围； （6）过点 B 做 BE/x 轴，BEAD 于点 D，点 C 是直线 BE 上一点，若 AC2CD，求点 C 的坐标 y2 y1 y x D O A E B 第 25 题图 16 解:（1） x yxy 2 ; 1 21 ；解析：代入点坐标即可； （5）), 1 (0 , 2；解析：观察图像可知； （3）C 点的坐标为 1-3-11, 31，和；解析：易知 D（1，1） ，设 C 点坐标为（x，1） ，故 AC 22 3) 1(x，BC1x，由 AC2BC 可知， 22 4BCAC ，即2 2 2
26、1431xx，解得 3131 21 xx，故 C 点的坐标为 1-3-11, 31，和 26 （8 分）如图，在ABC 中，过点 C 作 CD/AB，E 是 AC 的中点，连接 DE 并延长，交 AB 于点 F， 交 CB 的延长线于点 G连接 AD、CF （3）求证：四边形 AFCD 是平行四边形； （4）若 GB3，BC6，BF 2 3 ，求 AB 的长 证明（1） . / )( / 是平行四边形四边形 又 又 的中点是 AFCD CDAF CDAF ASACEDAEF CEAE CEDAEF DCEFAE CDAF CEAE ACE （2） 6 , 2 9 , 2 9 / BFAFAB
27、CDAF CD CD BF GC GB GCDGBF CDBF 又 代入数值，可得 易得 A D C B E F G 第 26 题图 17 即 AB 的长为 6 27 （9 分）如图，AB 为圆 O 的直径，C 为圆 O 上的一点，D 为 BA 延长线上的一点，BACD （3）求证：DC 为圆 O 的切线； （4）线段 DF 分别交 AC，BC 于点 E，F，且CEF45 ，圆 O 的半径为 5， 5 3 sinB，求 CF 的长 （1）连接 OC， . 90 90 90 的切线是圆 的直径是圆 OCD CDOC OCADAC OCBOCA ACB OAB OCBOBC OCOB （2）解析：
28、由CEF45 ，ACB90 ，可知，CFECEF45 ，即 CFCE 由 5 3 sinB，可 得 AC6,由勾股定理得，BC8，设 CFCEx，由CDEBDF，ECDFBD，可知， CED 相似于 BFD， 即 x x CD FD CE BF 8 ， 由CFDAED， EDAFDC， 可知 CFD 相似于 AED， 即 x x ED FD AE CF 6 ，联立得， 7 24 x，即 CF 的长为 7 24 28 （12 分）如图，抛物线4 2 bxaxy经过 A（3，6） ，B（5，4）两点，与 y 轴交于点 C，连接 AB，AC，BC （1）求抛物线的表达式； （2）求证：AB 平分CA
29、O； A F C O B D E 18 （3）抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得ABM是以 AB 为直角边的直角三角形若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由 解:（1）将 A，B 两点的坐标分别代入， 得 ，44525 , 0439 ba ba 解得 , 6 5 , 6 1 b a 故抛物线的表达式为 y4 6 5 6 1 2 xxy （2）证明：设直线 AB 的表达式为 ykxb， 则 , 45 , 03 bk bk 解得 , 2 3 , 2 1 b k 故直线 AB 的表达式为 y 2 3 2 1 x 设直线 AB 与 y 轴的交点为点 D，则点 D 的坐标为（0， 2 3 ）
30、易得点 C 的坐标为（0，4） ， 则由勾股定理，可得 AC5)04(30 22 ）（ 设点 B 到直线 AC 的距离为 h， 则5 2 1 3 2 1 2 1 CDCDACh, 解得 h4 A C B x y O 第 28 题图 19 易得点 B 到 x 轴的距离为 4， 故 AB 平分CAO （3）存在 易得抛物线的对称轴为直线 2 5 x， 设点 M 的坐标为（m， 2 5 ） 由勾股定理，得 AB25(3)2(40)280，AM2 2 5 (3)2(m0)2 4 121 m2，BM2（ 2 5 5）2m(4)2m28m 4 89 当 AM 为该直角三角形的斜边时， 有 AM2AB2BM2，即 4 121 m280m28m 4 89 ， 解得 m9， 故此时点 M 的坐标为（ 2 5 ，9） 当 BM 为该直角三角形的斜边时， 有 BM2AB2AM2，即 m28m 4 89 80 4 121 m2， 解得 m11， 故此时点 M 的坐标为（ 2 5 ，11） 综上所述，点 M 的坐标为（ 2 5 ，9）或（ 2 5 ，11）