1、知识点知识点 46 几何最值几何最值 一、选择题一、选择题 12 （2020泰安）如图，点 A，B 的坐标分别为 A（2，0） ，B（0，2） ，点 C 为坐标平面内一点， BC1，点 M 为线段 AC 的中点，连接 OM，则 OM 的最大值为（ ） A 2 1 B 2 1 2 C2 2 1 D2 2 1 2 答案 B 解析本题考查了圆的概念、勾股定理、三角形中位线的性质以及动点运动最值问题，因为点 C 为坐标平面内一点， BC1， 所以点 C 在以点 B 为圆心、 1 长为半径的圆上， 在 x 轴上取 OA=OA=2， 当 A、B、C 三点共线时，AC 最大，则 AC=2 2 1，所以 OM
2、 的最大值为 2 1 2 ，因此本 题选 B 10 （2020无锡）如图，等边ABC 的边长为 3，点 D 在边 AC 上，AD1 2，线段 PQ 在边 BA 上运 动，PQ1 2，有下列结论： CP 与 QD 可能相等； AQD 与BCP 可能相似； 四边形 PCDQ 面积的最大值为31 3 16 ； 四边形 PCDQ 周长的最小值为 3 37 2 . 其中，正确结论的序号为（ ） A B C D 答案 D 解析设 AQx，则 BP5 2x A B C O M x y M C B A/AOx y D Q P CB A （第 12 题） N M H G A BC D E FF E D Q P
3、CB A F E A BC P Q DD Q CB(P) A E 如图 1，当点 P 与 B 重合时，此时 QD 为最大，过点 Q 作 QEAC，AQ5 2，AE 5 4，QE 5 3 4 ，DE3 4，此时 QD 21 2 ，即 0QD 21 2 ；而3 3 2 CP3，两个范围没有交集，即 不可能相等；错误 若AQDBCP，则AD BP AQ BC，代入得 2x 25x+30，解得 x11，x23 2，都存在，正 确； 如图 2， 过点 D 作 DEAB， 过点 P 作 PFBC， S四边形PCDQ=SABCSAQDSBPC 3 4 321 2x 3 4 1 23 3 4 （5 2x） 3
4、 4 x 21 3 16 ，5 2x0，即 x 5 2，当 x= 5 2时面积最大为 31 3 16 ；正确； 如图， 将 D 沿 AB 方向平移1 2个单位得到 E， 连接 PE， 即四边形 PQDE 为平行四边形， QD=PE， 四边形周长为 PQ+QD+CD+CP=3+PE+PC，即求 PE+PC 的最小值，作点 E 关于 AB 的对称点 F， 连接 CF，线段 CF 的长即为 PE+PC 的最小值；过点 D 作 DGAB，AG1 4，EN=FN=HM= 3 4 ， CH3 3 2 3 4 7 3 4 ，FHMN3 2 1 4 1 2 3 4，FC 39 2 ，四边形 PCDQ 周长的最
5、小值为 3 39 2 ，错误. 12(2020荆门)如图 6，在平面直角坐标系中，长为 2 的线段 CD(点 D 在点 C 右侧)在 x 轴上移 动，A(0，2)，B(0，4)，连接 AC、BD，则 ACBD 的最小值为( ) A25 B210 C62 D35 答案B 解析如图#，过点 B 作 BBx 轴(点 B在点 B 的左侧)，且使 BB2，则 B(2，4)；作 A 关于 x 轴的对称点 A，则 A(0，2)；连结 AB交 x 轴于点 C；在 x 轴上向右截取 CD2，则此时 AC BD 的值最小，且最小值AB 22 26210故选 B x O y 图 6 D C B A x O y 图#
6、 D C B A B A 10 （2020南通）ABC 中，AB2，ABC60 ，ACB45 ，D 为 BC 的中点，直线 l 经过 点 D，过 B 作 BFl 于 F，过 A 作 AEl 于 E求 AEBF 的最大值为 A6 B22 C23 D32 答案A 解析过点 A 作 AHBC 于点 H，在 RtAHB 中，ABC60 ，得 BH1，AH3，在 RtAHC 中，ACB45 ，得 AC6 当直线 l 与 AB 相交时，延长 BF，过点 A 作 AMBF 于点 M，可得 AEBFAEFMBM，在 RtAMB 中，BMAB，当直线 lAB 时，最大值为 2； 当直线 l 与 AC 相交时，过
7、点 C 作 CHl 于点 H，由点 D 为 BC 中点可证明BFDCHD，BF CH， 延长 AE，过点 C 作 CNAE 于点 N， 可得 AEBFAECK AEENAN，在 RtACN 中，ANAC, 当直线 lAC 时最大值为6；所以 AEBF 的最大值为6 11（2020 恩施）如图，正方形ABCD的边长为 4，点E在AB上且1BE ，F为对角线AC上一 动点，则BFE周长的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 答案B 解析连接 ED 交 AC 于一点 F，连接 BF， 四边形 ABCD 是正方形， 点 B 与点 D 关于 AC 对称， BF=DF， BFE的周长=B
8、F+EF+BE=DE+BE，此时周长最小， 正方形ABCD的边长为 4， AD=AB=4，DAB=90 ， 点E在AB上且 1BE ， M F E DBC A H l K N E F D A CBH AE=3， DE= 22 5ADAE ， BFE的周长=5+1=6， 故选：B. 10.（2020永州）已知点 00 ,P x y和直线ykxb，求点 P到直线ykxb的距离 d可用公式 00 2 1 kxyb d k 计算 根据以上材料解决下面问题： 如图，C的圆心 C 的坐标为1,1， 半径为 1， 直线 l 的表达式为 26yx ，P是直线 l 上的动点，Q是C上的动点，则PQ的最小值是（
9、） A. 3 5 5 B. 3 5 1 5 C. 6 5 1 5 D. 2 【答案】B 【详解】过点 C 作直线 l 的垂线，交C于点 Q，交直线 l 于点 P，此时 PQ的值最小，如图， 点 C 到直线 l 的距离 00 22 2 1 1 63 5 5 1 12 kxyb d k ，C半径为 1， PQ的最小值是 3 5 1 5 ，故选：B. 二、填空题二、填空题 17（2020 绵阳）如图，四边形 ABCD 中，ABCD，ABC60 ，ADBCCD4，点 M 是 四边形ABCD内的一个动点， 满足AMD90 ， 则点M到直线BC的距离的最小值为 答案332 解析延长 AD、BC 交于点 P
10、， 作 MHPB 于 H. ABCD， PD AD PC BC ，ABCDCP60 .ADBCCD4，PDPC，PDC 为等 边三角形，PDPCCD4，P60 . 由AMD90 ，可知点 M 在以 AD 为直径的E 上，且在四边形 ABCD 内的一个动点，根据垂线段最短可知 E、M、H 三点共线时 MH 最小.在 RtPEH 中，EP6，P60 ，EHEPsin60 33， MH 的最小值EHEM332. 18 （2020扬州）如图，在 ABCD 中，B=60 ，AB=10，BC=8，点 E 为边 AB 上的一个动点， 连接 ED 并延长至点 F ，使得 DF= 1 4 DE，以 EC、EF
11、为邻边构造 EFGC，连接 EG，则 EG 的最 小值为 . M D C BA H P M DC BA E （第 18 题图） 答案9 3 解析本题考查了解直角三角形、三角形相似的判定与性质三角形、平行四边形面积公 式、垂线段最短等知识，解题的关键是将问题转化为垂线段最短来解决过 A 作 AM BC 于 M， 设 EG、DC 交于 H 在 RtAMB 中， B=60 ， AB=10， sinB= 3 2 AM AB ， AM=5 3， EFGC 中，DF= 1 4 DE，ED= 4 5 DF，又 EF=GC， 4 5 ED GC ，EFCG，EHDGHC， 4 5 DHEDEH HCCGHG
12、，CD=AB=10 是定长，故不管动点 E 在 AB 上如何运动，H 始终是定点， H又 在EG上 ， 它 到AB的 最 短 距 离 就 是HN ， S ABCD=AMBCHNAB， 538 4 3 10 AMBC NH AB ， 当动点 E 运动到与 N 重合 （见答图 2） ， EG 最短， 此时， HG= 5 4 NH =5 3，EG 的最小值= HG+NH=9 3因此本题答案为9 3 （第 18 题答图 1） （第 18 题答图 2） 16 （2020 鄂州）如图，已知直线34yx 与 x、y轴交于 A、B两点， O的半径为 1，P为AB 上一动点，PQ切O于 Q点当线段PQ长取最小值
13、时，直线PQ交 y轴于 M点，a 为过点 M的 一条直线，则点 P到直线 a 的距离的最大值为_ 答案2 3 解析本题考查了圆和函数的综合问题，题解题中含义找到点的位置是解题的关键先找到PQ 长取最小值时P的位置即为OPAB时， 然后画出图形， 由于PM即为P到直线a的距离的最大值， 求出 PM长即可 解：如图， 在直线34yx 上，x0 时，y4，y0时，x 4 3 3 ， OB4，OA 4 3 3 ， 3 tan 3 OA OBA OB ， OBA30 ， 由PQ切O于 Q点，可知 OQPQ， 22 =PQOPOQ， 由于 OQ1，因此当 OP最小时PQ长取最小值，此时 OPAB， 1 2
14、 2 OPOB，此时 22 = 21 = 3PQ， 22 = 42 =2 3BP ， 1 2 OQOP，即OPQ30 ， 若使 P到直线 a 的距离最大，则最大值为 PM，且 M位于 x轴下方， 过 P 作 PEy轴于 E， 1 3 2 EPBP， 22 2 333BE ， 4 3 1OE ， 1 2 OEOP，OPE30 ， EPM30 30 60 ，即EMP30 ， 22 3PMEP， 故答案为：2 3 16（2020 宜宾）如图，四边形 ABCD 中，DAAB，CBAB，AD3，AB5，BC2，P 是边 AB 上的动点，则 PC+PD 的最小值是 答案5 2 解析要求 PC+PD 的最小
15、值，PC， PD 不能直接求，通过找点 C 对称点，根据“两点之间线段最短” 确定 P 点的位置，转化 PC，从而找出其最小值求解作点 C 关于 AB 的对称点 C，连接 DC 交 AB 于 P则 DC就是 PC+PD 的和的最小值由 DAAB，CBAB，得出 ADBC，进而 ADPBCP，AP：BPAD：BC3：2，AP+BPAB5，AP3，BP2，PD 22 ADAP 3 2，PC 22 BPBC 2 2，DCPD+PC32+2252， PC+PD 的最小值是 5 2 17 （2020东营）如图，在 RtAOB 中，OB=2 3，A=30，O 的半径为 1，点 P 是 AB 边上 的动点，
16、 过点 P 作O 的一条切线 PQ （其中点 Q 为切点） ， 则线段 PQ 长度的最小值为 答案2 2 解析本题考查了切线的性质、 直角三角形的性质及勾股定理 难度适中， 注意掌握辅助线的作法， 注意得到当 OPAB 时，线段 PQ 最短是关键 连接 OP、OQ， PQ 是O 的切线，OQPQ，根据勾股定理知 222 PQOPOQ=-,当 OPAB 时，线段 PQ 最短. 在 RtAOB 中，OB=2 3，A=30，4 3AB =，6AO =， 2 1 OAOB= 2 1 OPAB，即 6 2 3 3 4 3 OP =， 22 312 2PQ =-= 17 （2020 毕节）如图，已知正方形
17、 ABCD 的边长为 4，点 E 是边 AB 的中点，点 P 是对角线 BD 上的动点，则 APPE 的最小值是_ 答案25， 解析本题考查正方形的性质，线段最短问题 解：正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是边 AB 的中点， BE2 点 P 是对角线 BD 上的动点，连接 PC，则 PCPA 连接 EC 交 BD 于点 P， 此时 APPEACPEEC 有最小值， 最小值 EC 22 EBBC 22 42 25 故答案为 25 A B O P Q E D A B C P E D A B C P 【解题过程有超纲内容】【解题过程有超纲内容】18.（2020永州）AOB在平面直角坐标系中的
18、位置如图所示，且 60AOB，在AOB内有一点4,3P，M，N 分别是 ,OA OB边上的动点，连接,PM PN MN， 则PMN周长的最小值是_ 【答案】4 5 【详解】分别作出点 P 关于 OA 和 OB 的对称点 1 P和 2 P，则 2 P（4，-3） ，连接 1 P 2 P，分别与 OA 和 OB交于点 M 和 N，此时， 1 P 2 P的长即为PMN周长的最小值 由60AOB可得直线 OA 的表达式为 y=2x，设 1 P(x,y)，由 1 P 2 P与直线 OA 垂直及 1 P 2 P中点坐 标在直线 OA上可得方程组： 3 2 1 4 34 2? 22 y x yx 解得： 0
19、 5 x y 则 1 P(0，5)， 由两点距离公式可得： 22 12 (04)(53)4 5PP 即PMN周长的最小值4 5故答案为4 5 三、解答题三、解答题 27 （2020扬州）如图 1.已知点 O 在四边形 ABCD 的边 AB 上，且 OA=OB=OC=OD=2，OC 平 分BOD，与 BD 交于点 G，AC 分别与 BD、OD 交于点 E、F. （1）求证：OCAD； （2）如图 2，若 DE=DF，求 AE AF 的值； （3）当四边形 ABCD 的周长取最大值时，求 DE 的值. （第 27 题图 1） （第 27 题图 2） 解析本题考查了平行线的判定与性质、圆周角定理、三
20、角形相似的判定与性质、三角形全等的判 定与性质、二次函数最值、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识的综合运用，解题的关键是 作出适当的辅助线，找到解题的思路与途径. （1） 利用角平分线性质与外角知识证明BOC =OAD= 1 2 BOD 即可； （2）以 O 为圆心，OA 为半径作辅助圆，先利用直径所对圆周角是直角证ADB90，再利用 互余关系得出AOF90，从而求得 AD 的长，最后由ADEAOF 求得 AE AF 的值； （3） 如答图 2， 以 O 为圆心， OA 为半径作圆， 延长 BC 与 AD 交于点 H. 过 E 作 EQCD 于 Q. 先 证ACBACH 得 AB=AH=4
21、，BC=HC，于是 DC =CB=CH，再由HCDHAB 得到 HD 与 BC 的关系式，最后，设 BC=x，四边形 ABCD 的周长为 y，通过二次函数的最值求得 BC 的 长，从而可借助余弦函数求得 DE 的长. 答案解： （1）证明：OA=OB，OAD=ODA，BOD 是AOD 的外角，BOD= OAD+ODA=2OAD，OAD= 1 2 ODA，OC 平分BOD，BOC = 1 2 BOD， BOC =OAD，OCAD； （2） 如答图1， 以O为圆心， OA为半径作圆， DE=DF， DFE=DEF， OA=OB=OC=OD=2， 点 A、 D、 C、 B 共圆， AB 是O 的直径
22、， ADB90， DEF+DAE=90， OA=OC， OAC=OCA，OCAD， DAC=OCA，DAC=OAC，又DFE=AFO， OAC+AFO=90，AOF90，AD= 22 2 2AODO，AOFADB90， DAC=OAC，ADEAOF， 2 2 2 2 AEAD AFAO ； （第 27 题答图 1） （第 27 题答图 2） （第 27 题答图 3） （3） 如答图 2，以 O 为圆心，OA 为半径作圆，延长 BC 与 AD 交于点 H. 过 E 作 EQCD 于 Q.OA=OB=OC=OD=2， 点 A、 D、 C、 B 共圆， AB 是O 的直径， ACBADB90， AC
23、H90=ACB，OA=OC，OAC=OCA，OCAD，DAC=OCA， DAC=OAC，在ACB 和ACH 中，ACBACH，ACAC，BAC=HAC， ACBACH，AB= AH=4，BC=HC， 又BDH=180-ADB90，DC= 1 2 HB=CB=CH，点 A、D、C、B 共圆，HCD HAB，又HH，HCDHAB， HCHD HAHB ，即 42 BCHD BC ，HD= 1 2 BC2，设 BC=x， 四边形 ABCD 的周长为 y，则 y=AB+AD+CD+BC=4+4- 1 2 BC2+BC+BC=- 1 2 x2+2x+8= 21 26 2 x， 当 x=2 时，y 有最大值，当 BC=x=2 时（答图 3） ，AD=CD=BC，ADCDBC，且它们所对 圆心角都为 60，DCA=CDB=30，ED=EC，DQ= 1 2 CD=1，在 RtDQE 中， DQ DE =COSCDE， 1 DE = 3 2 ，DE= 2 3 3 .