1、知识点知识点 50 方案设计题方案设计题 一、选择题一、选择题 8 （2020齐齐哈尔）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物已知康乃馨每支 2 元，百合每 支 3 元小明将 30 元钱全部用于购买这两种花（两种花都买） ，小明的购买方案共有（ ） A3 种 B4 种 C5 种 D6 种 答案 B 解析 设可以购买 x 支康乃馨，y 支百合，根据总价单价数量，即可得出关于 x，y 的二元一次 方程，结合 x，y 均为正整数即可得出小明有 4 种购买方案 设可以购买 x 支康乃馨，y 支百合，依题意，得：2x+3y30，y102 3x x，y 均为正整数， x3 y8， x6 y6， x9 y
2、4， x12 y2 ，小明有 4 种购买方案 故选：B 三、解答题三、解答题 22（2020 嘉兴）为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们 在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向测量方案与数据如下表： 课题 测量河流宽度 测量 工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量 方案 示意 图 说明 点B，C在点A的正东方向 点B，D在点A的正东方向 点B在点A的正东方向，点C 在点A的正西方向 测量 数据 BC60m， ABH70， ACH35 BD20m， ABH70， BCD35 BC101m， ABH70， ACH3
3、5 （1）哪个小组的数据无法计算出河宽？ （2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1m）（参考数据：sin700.94，sin35 0.57，tan702.75，tan350.70） 解析本题考查了解直角三角形的应用， （1） 第二小组无法计算出河宽， ABH 和 BDC建立不起联系 （2）由ACH35 ，ABH70 ，可知BHC35 ，从而HBBC60，在Rt ABH中，sinABH 0.94 AH BH ,所以AH BH 0.94=56.4 答案解： （1）第二个小组的数据无法计算河宽 （2）第一个小组的解法：ABHACH+BHC，ABH70，ACH35， BHCBCH35，B
4、CBH60m，AHBHsin70600.9456.4（m） 第二个小组的解法：设AHxm，则CA tan35 AH ，AB tan70 AH ，CA+ABCB， 0.702.75 xx 101，解得x56.4答：河宽为56.4m 22 （2020 湖州） 某企业承接了 27000 件产品的生产任务， 计划安排甲、 乙两个车间的共 50 名工人， 合作生产 20 天完成已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天 生产 25 件，乙车间每人每天生产 30 件 （1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？ （2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案： 方案一 甲车间租用
5、先进生产设备，工人的工作效率可提高 20%，乙车间维持不变 方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同） ，甲车间维持不变 设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同 求乙车间需临时招聘的工人数； 若甲车间租用设备的租金每天 900 元，租用期间另需一次性支付运输等费用 1500 元；乙车间 需支付临时招聘的工人每人每天 200 元问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开 支？请说明理由 【分析】 （1）设甲车间有 x 名工人参与生产，乙车间各有 y 名工人参与生产，由题意得关于 x 和 y 的方程组，求解即可 （2）设方案二中乙车间需临时招聘 m 名工人，由题意，以企
6、业完成生产任务的时间为等量关系， 列出关于 m 的分式方程，求解并检验即可；用生产任务数量 27000 除以方案一中甲和乙完成的生 产任务之和可得企业完成生产任务的时间，然后分别按方案一和方案二计算费用并比较大小即可 【解答】解： （1）设甲车间有 x 名工人参与生产，乙车间各有 y 名工人参与生产，由题意得： x + y = 50 20(25x + 30y) = 27000，解得 x = 30 y = 20甲车间有 30 名工人参与生产，乙车间各有 20 名工人参 与生产 （2） 设方案二中乙车间需临时招聘 m 名工人， 由题意得： 27000 3025(1+20%)+2030 = 2700
7、0 3025+(20+m)30， 解得 m5经检验，m5 是原方程的解，且符合题意乙车间需临时招聘 5 名工人 企业完成生产任务所需的时间为： 27000 3025(1+20%)+2030 =18（天） 选择方案一需增加的费用为 90018+150017700（元） 选择方案二需增加的费用为 518200 18000（元） 1770018000，选择方案一能更节省开支 23(2020 自贡)甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品新冠疫情期间，为了减少库存， 甲、乙两家商场打折促销甲商场所有商品按 9 折出售，乙商场对一次购物中超过 100 元后的价 格部分打 8 折 （1）以 x（单位：元
8、）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让 利方式写出 y 关于 x 的函数解析式； （2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？ 解析解： （1）由题意可得，y 甲0.9x，当 0 x100 时，y 乙x， 当 x100 时，y 乙100+（x100） 0.80.8x+20， 由上可得，y 乙= x (0 x 100) 0.8x + 20(x100) ； （2）当 0.9x0.8x+20 时，得 x200，即此时选择甲商场购物更省钱； 当 0.9x0.8x+20 时，得 x200，即此时两家商场购物一样； 当 0.9x0.8x+200 时，得 x200，即此时选
9、择乙商场购物更省钱 （2020济宁）20.(8 分)为加快复工复产，某企业需运输批物资据调查得知，2 辆大货车与 3 辆 小货车一次可以运输 600 箱；5 辆大货车与 6 辆小货车一次可以运输 1350 箱 （1）求 1 辆大货车和 1 辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； （2）计划用两种货车共 12 辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用 5000 元，每辆小货车一次需费 用 3000 元若运输物资不少于 1500 箱，且总费用小于 54000 元请你列出所有运输方案，并指出 哪种方案所需费用最少最少费用是多少？ 解析（1）设 1 辆大货车一次运输 x 箱物资，1 辆小货车一次运输 y 箱
10、物资，由“2 辆大货车与 3 辆小货车一次可以运输 600 箱；5 辆大货车与 6 辆小货车一次可以运输 1350 箱” ，可列方程组，即可 求解； （2）设有 a 辆大货车， （12a）辆小货车，由“运输物资不少于 1500 箱，且总费用小于 54000 元” 可列不等式组，可求整数 a 的值，即可求解 答案解：解：（1）设 1 辆大货车一次运输 x 箱物资，1 辆小货车一次运输 y 箱物资， 由题意可得：， 解得：， 答：1 辆大货车一次运输 150 箱物资，1 辆小货车一次运输 100 箱物资， （2）设有 a 辆大货车， （12a）辆小货车， 由题意可得：， 6a9， 整数 a6，7，
11、8； 当有 6 辆大货车，6 辆小货车时，费用50006+3000648000 元， 当有 7 辆大货车，5 辆小货车时，费用50007+3000550000 元， 当有 8 辆大货车，4 辆小货车时，费用50008+3000452000 元， 480005000052000， 当有 6 辆大货车，6 辆小货车时，费用最小，最小费用为 48000 元 23 （2020青岛）实际问题：某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金 额，每次抽奖时可以从 100 张面值分别为 1 元、2 元、3 元、100 元的奖券中(面值为整数)一次任 意抽取 2 张、3 张、4 张、等若干张奖券
12、，奖券的面值金额之和即为优惠金额.某顾客获得了次抽取 5 张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？ 问题建模：从 1，2，3，n(n 为整数，且 n3)这 n 个整数中任取 a(1an)个整数，这 a 个整数 之和共有多少种不同的结果？ 横型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决 问题的方法. 探究一：(1)从 1，2，3 这 3 个整数中任取 2 个整数，这 2 个整数之和共有多少种不同的结果？ 如表，所取的 2 个整数之和可以为 3，4，5，也就是从 3 到 5 的连续整数，其中最小是 3，最 大是 5，所以共有 3 种不同的结果
13、. (2)从 1，2，3，4 这 4 个整数中任取 2 个整数，这 2 个整数之和共有多少种不同的结果？ 如表，所取的 2 个整数之和可以为 3，4，5，6，7，也就是从 3 到 7 的连续整数，其中最小 是 3，最大是 7，所以共有 5 种不同的结果. (3)从 1，2，3，4，5 这 5 个整数中任取 2 个整数，这 2 个整数之和共有 种不同的结果. (4)从 1，2，3，n(n 为整数，且 n=3)这 n 个整数中任取 2 个整数，这 2 个整数之和共有 种 不同的结果. 探究二：(1)从 1，2，3，4 这 4 个整数中任取 3 个整数，这 3 个整数之和共有 种不同的结果. (2)
14、从 1，2，3，n(n 为整数，且 n4)这 n 个整数中任取 3 个整数，这 3 个整数之和共有 种 不同的结果. 探究三： 从 1， 2， 3， ， n(n 为整数， 且 n5)这 n 个整数中任取 4 个整数， 这 4 个整数之和共有 种 不同的结果. 归纳结论：从 1，2，3，n(n 为整数，且 n3)这 n 个整数中任取 a(1an)个整数，这 a 个整数 之和共有 种不同的结果. 问题解决：从 100 张面值分别为 1 元、2 元、3 元、100 元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽 取 5 张奖券，共有 种不同的优惠金额. 拓展延伸：(1)从 1，2，3，36 这 36 个整数中
15、任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有 204 种不同的结果？(写出解答过程) (2)从 3，4，5，n+3(n 为整数，且 n2)这(n+1)个整数中任取 a(1an+1)个整数，这 a 个整数 之和共有 种不同的结果. 答案解：探究一： （3）从 1，2，3，4，5 这 5 个整数中任取 2 个整数，所取的 2 个整数之和可以 为 3，4，5，6，7，8，9，也就是从 3 到 9 的连续整数，其中最小是 3，最大是 9，所以共有 7 种不 同的结果. 答案：7 （4）从 1，2，3，n(n 为整数，且 n=3)这 n 个整数中任取 2 个整数，所取的 2 个整数之和可以 为 3，4，5
16、，6，7，8，n+n-1=2n-1，也就是从 3 到 2n-1 的连续整数，其中最小是 3，最大是 2n-1， 所以共有 2n-1-2=2n-3（种）不同的结果. 答案：2n-3 探究二：(1)从 1，2，3，4 这 4 个整数中任取 3 个整数，所取的 3 个整数之和可以为 6，7，8，9， 也就是从 6 到 9 的连续整数，其中最小是 6，最大是 9，所以共有 4 种不同的结果. 答案：4 (2)从 1，2，3，n(n 为整数，且 n=3)这 n 个整数中任取 3 个整数，所取的 3 个整数之和可以为 6， 7，8，n+n-1+n-2=3n-3，也就是从 6 到 3n-3 的连续整数，其中
17、最小是 6，最大是 3n-3，所以 共有 3n-3-8=3n-8（种）不同的结果. 答案：3n-8 探究三： 从 1， 2， 3， ， n(n 为整数， 且 n5)这 n 个整数中任取 4 个整数， 这 4 个整数之和共有 种 不同的结果. 从 1，2，3，n(n 为整数，且 n=3)这 n 个整数中任取 4 个整数，所取的 4 个整数之和可以为 10， 11， 12， ， n+n-1+n-2+n-3=4n-6， 也就是从 10 到 4n-6 的连续整数， 其中最小是 10， 最大是 4n-6， 所以共有 4n-6-9=4n-15（种）不同的结果. 答案：4n-15 归纳结论：从 1，2，3，
18、n(n 为整数，且 n3)这 n 个整数中任取 a(1an)个整数，所取的 a 个 整数之和最小是 1+2+3+a= 2 ) 1( aa ，最大是 n+n-1+n-2+n-（a-1)= 2 ) 1( aa an，所以共有 不同的结果数为： 2 ) 1( aa an 1 2 ) 1( aa = 2 2 aa an 1 2 2 aa =1 2 22 aaaa an= 1 2 aan. 答案：1 2 aan 问题解决：从 100 张面值分别为 1 元、2 元、3 元、100 元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽 取 5 张奖券，共有不同优惠金额的种类为：151005 2 =476（种）. 答案：47
19、6 拓展延伸：(1)设从 1，2，3，36 这 36 个整数中任取 a 个整数，使得取出的这些整数之和共有 204 种不同的结果，则204136 2 aa，即020336 2 aa，a=7 或 29. 答：从 1，2，3，36 这 36 个整数中任取 7 个或 29 个整数，可以使得取出的这些整数之和共有 204 种不同的结果. (2)从 3，4，5，n+3(n 为整数，且 n2)这(n+1)个整数中任取 a(1an+1)个整数，所取的 a 个 整数之和最小是 3+4+5+（3+a-1）= 2 )5( aa ， 最大是 n+3+n+2+n+1+n+3-（a-1)= 2 )3)(4( 6 aa
20、an ，所以共有不同的结果数为： 2 )3)(4( 6 aa an 1 2 )5( aa =1 2 5 2 712 6 22 aaaa an = 2 5712 7 22 aaaa an = 2 1222 7 2 aa an=)6(7 2 aaan =67 2 aaan=1 2 aaan. 答案：1 2 aaan 24. (2020湘潭)习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然 之气”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届矛盾文学奖的北上 （徐则臣著）和 牵风记 （徐怀中著）两种书共 50本已知购买 2本北上和 1本牵风记需 100元；购买 6 本北上与
21、购买 7本牵风记的价格相同 （1）求这两种书的单价； （2）若购买北上的数量不少于所购买牵风记数量的一半，且购买两种书的总价不超过 1600 元请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？ 解析（1）设购买北上和牵风记的单价分别为 x、y，根据“购买 2 本北上和 1 本牵 风记需 100元”和“ 购买 2本北上和 1本牵风记需 100元”建立方程组求解即可； （2）设购买北上的数量 n本，则购买牵风记的数量为 50-n，根据“购买北上的数量不 少于所购买牵风记数量的一半”和“购买两种书的总价不超过 1600元”两个不等关系列不等式 组解答并确定整数解即可 答案解： （1）
22、设购买北上和牵风记的单价分别为 x、y 由题意得： 2100 67 xy xy 解得 35 30 x y 答：两种书的单价分别为 35元和 30元； （2）设购买北上的数量 n本，则购买牵风记的数量为 50-n 根据题意得 1 50 2 3530 501600 nn nn 解得： 2 1620 3 n 则 n可以取 17、18、19、20， 当 n=17时，50n=33，共花费 1735+3330=1585元； 当 n=18时，50n=32，共花费 1735+3330=1590元； 当 n=19时，50n=31，共花费 1735+3330=1595元； 当 n=20时，50n=30，共花费 1735+3330=1600元； 所以，共有 4种购买方案分别为：购买北上和牵风记的数量分别为 17本和 33本，购买北 上和牵风记的数量分别为 18本和 32本，购买北上和牵风记的数量分别为 19本和 31 本，购买北上和牵风记的数量分别为 20本和 30本；其中购买北上和牵风记的数 量分别为 17本和 33本费用最低，最低费用为 1585元