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2020年全国各地中考数学真题分类汇编知识点50:方案设计题

1、知识点知识点 50 方案设计题方案设计题 一、选择题一、选择题 8 (2020齐齐哈尔)母亲节来临,小明去花店为妈妈准备节日礼物已知康乃馨每支 2 元,百合每 支 3 元小明将 30 元钱全部用于购买这两种花(两种花都买) ,小明的购买方案共有( ) A3 种 B4 种 C5 种 D6 种 答案 B 解析 设可以购买 x 支康乃馨,y 支百合,根据总价单价数量,即可得出关于 x,y 的二元一次 方程,结合 x,y 均为正整数即可得出小明有 4 种购买方案 设可以购买 x 支康乃馨,y 支百合,依题意,得:2x+3y30,y102 3x x,y 均为正整数, x3 y8, x6 y6, x9 y

2、4, x12 y2 ,小明有 4 种购买方案 故选:B 三、解答题三、解答题 22(2020 嘉兴)为了测量一条两岸平行的河流宽度,三个数学研究小组设计了不同的方案,他们 在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向测量方案与数据如下表: 课题 测量河流宽度 测量 工具 测量角度的仪器,皮尺等 测量 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量 方案 示意 图 说明 点B,C在点A的正东方向 点B,D在点A的正东方向 点B在点A的正东方向,点C 在点A的正西方向 测量 数据 BC60m, ABH70, ACH35 BD20m, ABH70, BCD35 BC101m, ABH70, ACH3

3、5 (1)哪个小组的数据无法计算出河宽? (2)请选择其中一个方案及其数据求出河宽(精确到0.1m)(参考数据:sin700.94,sin35 0.57,tan702.75,tan350.70) 解析本题考查了解直角三角形的应用, (1) 第二小组无法计算出河宽, ABH 和 BDC建立不起联系 (2)由ACH35 ,ABH70 ,可知BHC35 ,从而HBBC60,在Rt ABH中,sinABH 0.94 AH BH ,所以AH BH 0.94=56.4 答案解: (1)第二个小组的数据无法计算河宽 (2)第一个小组的解法:ABHACH+BHC,ABH70,ACH35, BHCBCH35,B

4、CBH60m,AHBHsin70600.9456.4(m) 第二个小组的解法:设AHxm,则CA tan35 AH ,AB tan70 AH ,CA+ABCB, 0.702.75 xx 101,解得x56.4答:河宽为56.4m 22 (2020 湖州) 某企业承接了 27000 件产品的生产任务, 计划安排甲、 乙两个车间的共 50 名工人, 合作生产 20 天完成已知甲、乙两个车间利用现有设备,工人的工作效率为:甲车间每人每天 生产 25 件,乙车间每人每天生产 30 件 (1)求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产? (2)为了提前完成生产任务,该企业设计了两种方案: 方案一 甲车间租用

5、先进生产设备,工人的工作效率可提高 20%,乙车间维持不变 方案二 乙车间再临时招聘若干名工人(工作效率与原工人相同) ,甲车间维持不变 设计的这两种方案,企业完成生产任务的时间相同 求乙车间需临时招聘的工人数; 若甲车间租用设备的租金每天 900 元,租用期间另需一次性支付运输等费用 1500 元;乙车间 需支付临时招聘的工人每人每天 200 元问:从新增加的费用考虑,应选择哪种方案能更节省开 支?请说明理由 【分析】 (1)设甲车间有 x 名工人参与生产,乙车间各有 y 名工人参与生产,由题意得关于 x 和 y 的方程组,求解即可 (2)设方案二中乙车间需临时招聘 m 名工人,由题意,以企

6、业完成生产任务的时间为等量关系, 列出关于 m 的分式方程,求解并检验即可;用生产任务数量 27000 除以方案一中甲和乙完成的生 产任务之和可得企业完成生产任务的时间,然后分别按方案一和方案二计算费用并比较大小即可 【解答】解: (1)设甲车间有 x 名工人参与生产,乙车间各有 y 名工人参与生产,由题意得: x + y = 50 20(25x + 30y) = 27000,解得 x = 30 y = 20甲车间有 30 名工人参与生产,乙车间各有 20 名工人参 与生产 (2) 设方案二中乙车间需临时招聘 m 名工人, 由题意得: 27000 3025(1+20%)+2030 = 2700

7、0 3025+(20+m)30, 解得 m5经检验,m5 是原方程的解,且符合题意乙车间需临时招聘 5 名工人 企业完成生产任务所需的时间为: 27000 3025(1+20%)+2030 =18(天) 选择方案一需增加的费用为 90018+150017700(元) 选择方案二需增加的费用为 518200 18000(元) 1770018000,选择方案一能更节省开支 23(2020 自贡)甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品新冠疫情期间,为了减少库存, 甲、乙两家商场打折促销甲商场所有商品按 9 折出售,乙商场对一次购物中超过 100 元后的价 格部分打 8 折 (1)以 x(单位:元

8、)表示商品原价,y(单位:元)表示实际购物金额,分别就两家商场的让 利方式写出 y 关于 x 的函数解析式; (2)新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱? 解析解: (1)由题意可得,y 甲0.9x,当 0 x100 时,y 乙x, 当 x100 时,y 乙100+(x100) 0.80.8x+20, 由上可得,y 乙= x (0 x 100) 0.8x + 20(x100) ; (2)当 0.9x0.8x+20 时,得 x200,即此时选择甲商场购物更省钱; 当 0.9x0.8x+20 时,得 x200,即此时两家商场购物一样; 当 0.9x0.8x+200 时,得 x200,即此时选

9、择乙商场购物更省钱 (2020济宁)20.(8 分)为加快复工复产,某企业需运输批物资据调查得知,2 辆大货车与 3 辆 小货车一次可以运输 600 箱;5 辆大货车与 6 辆小货车一次可以运输 1350 箱 (1)求 1 辆大货车和 1 辆小货车一次可以分别运输多少箱物资; (2)计划用两种货车共 12 辆运输这批物资,每辆大货车一次需费用 5000 元,每辆小货车一次需费 用 3000 元若运输物资不少于 1500 箱,且总费用小于 54000 元请你列出所有运输方案,并指出 哪种方案所需费用最少最少费用是多少? 解析(1)设 1 辆大货车一次运输 x 箱物资,1 辆小货车一次运输 y 箱

10、物资,由“2 辆大货车与 3 辆小货车一次可以运输 600 箱;5 辆大货车与 6 辆小货车一次可以运输 1350 箱” ,可列方程组,即可 求解; (2)设有 a 辆大货车, (12a)辆小货车,由“运输物资不少于 1500 箱,且总费用小于 54000 元” 可列不等式组,可求整数 a 的值,即可求解 答案解:解:(1)设 1 辆大货车一次运输 x 箱物资,1 辆小货车一次运输 y 箱物资, 由题意可得:, 解得:, 答:1 辆大货车一次运输 150 箱物资,1 辆小货车一次运输 100 箱物资, (2)设有 a 辆大货车, (12a)辆小货车, 由题意可得:, 6a9, 整数 a6,7,

11、8; 当有 6 辆大货车,6 辆小货车时,费用50006+3000648000 元, 当有 7 辆大货车,5 辆小货车时,费用50007+3000550000 元, 当有 8 辆大货车,4 辆小货车时,费用50008+3000452000 元, 480005000052000, 当有 6 辆大货车,6 辆小货车时,费用最小,最小费用为 48000 元 23 (2020青岛)实际问题:某商场为鼓励消费,设计了抽奖活动,方案如下:根据不同的消费金 额,每次抽奖时可以从 100 张面值分别为 1 元、2 元、3 元、100 元的奖券中(面值为整数)一次任 意抽取 2 张、3 张、4 张、等若干张奖券

12、,奖券的面值金额之和即为优惠金额.某顾客获得了次抽取 5 张奖券的机会,小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额? 问题建模:从 1,2,3,n(n 为整数,且 n3)这 n 个整数中任取 a(1an)个整数,这 a 个整数 之和共有多少种不同的结果? 横型探究:我们采取一般问题特殊化的策略,先从最简单的情形入手,再逐次递进,从中找出解决 问题的方法. 探究一:(1)从 1,2,3 这 3 个整数中任取 2 个整数,这 2 个整数之和共有多少种不同的结果? 如表,所取的 2 个整数之和可以为 3,4,5,也就是从 3 到 5 的连续整数,其中最小是 3,最 大是 5,所以共有 3 种不同的结果

13、. (2)从 1,2,3,4 这 4 个整数中任取 2 个整数,这 2 个整数之和共有多少种不同的结果? 如表,所取的 2 个整数之和可以为 3,4,5,6,7,也就是从 3 到 7 的连续整数,其中最小 是 3,最大是 7,所以共有 5 种不同的结果. (3)从 1,2,3,4,5 这 5 个整数中任取 2 个整数,这 2 个整数之和共有 种不同的结果. (4)从 1,2,3,n(n 为整数,且 n=3)这 n 个整数中任取 2 个整数,这 2 个整数之和共有 种 不同的结果. 探究二:(1)从 1,2,3,4 这 4 个整数中任取 3 个整数,这 3 个整数之和共有 种不同的结果. (2)

14、从 1,2,3,n(n 为整数,且 n4)这 n 个整数中任取 3 个整数,这 3 个整数之和共有 种 不同的结果. 探究三: 从 1, 2, 3, , n(n 为整数, 且 n5)这 n 个整数中任取 4 个整数, 这 4 个整数之和共有 种 不同的结果. 归纳结论:从 1,2,3,n(n 为整数,且 n3)这 n 个整数中任取 a(1an)个整数,这 a 个整数 之和共有 种不同的结果. 问题解决:从 100 张面值分别为 1 元、2 元、3 元、100 元的奖券中(面值为整数),一次任意抽 取 5 张奖券,共有 种不同的优惠金额. 拓展延伸:(1)从 1,2,3,36 这 36 个整数中

15、任取多少个整数,使得取出的这些整数之和共有 204 种不同的结果?(写出解答过程) (2)从 3,4,5,n+3(n 为整数,且 n2)这(n+1)个整数中任取 a(1an+1)个整数,这 a 个整数 之和共有 种不同的结果. 答案解:探究一: (3)从 1,2,3,4,5 这 5 个整数中任取 2 个整数,所取的 2 个整数之和可以 为 3,4,5,6,7,8,9,也就是从 3 到 9 的连续整数,其中最小是 3,最大是 9,所以共有 7 种不 同的结果. 答案:7 (4)从 1,2,3,n(n 为整数,且 n=3)这 n 个整数中任取 2 个整数,所取的 2 个整数之和可以 为 3,4,5

16、,6,7,8,n+n-1=2n-1,也就是从 3 到 2n-1 的连续整数,其中最小是 3,最大是 2n-1, 所以共有 2n-1-2=2n-3(种)不同的结果. 答案:2n-3 探究二:(1)从 1,2,3,4 这 4 个整数中任取 3 个整数,所取的 3 个整数之和可以为 6,7,8,9, 也就是从 6 到 9 的连续整数,其中最小是 6,最大是 9,所以共有 4 种不同的结果. 答案:4 (2)从 1,2,3,n(n 为整数,且 n=3)这 n 个整数中任取 3 个整数,所取的 3 个整数之和可以为 6, 7,8,n+n-1+n-2=3n-3,也就是从 6 到 3n-3 的连续整数,其中

17、最小是 6,最大是 3n-3,所以 共有 3n-3-8=3n-8(种)不同的结果. 答案:3n-8 探究三: 从 1, 2, 3, , n(n 为整数, 且 n5)这 n 个整数中任取 4 个整数, 这 4 个整数之和共有 种 不同的结果. 从 1,2,3,n(n 为整数,且 n=3)这 n 个整数中任取 4 个整数,所取的 4 个整数之和可以为 10, 11, 12, , n+n-1+n-2+n-3=4n-6, 也就是从 10 到 4n-6 的连续整数, 其中最小是 10, 最大是 4n-6, 所以共有 4n-6-9=4n-15(种)不同的结果. 答案:4n-15 归纳结论:从 1,2,3,

18、n(n 为整数,且 n3)这 n 个整数中任取 a(1an)个整数,所取的 a 个 整数之和最小是 1+2+3+a= 2 ) 1( aa ,最大是 n+n-1+n-2+n-(a-1)= 2 ) 1( aa an,所以共有 不同的结果数为: 2 ) 1( aa an 1 2 ) 1( aa = 2 2 aa an 1 2 2 aa =1 2 22 aaaa an= 1 2 aan. 答案:1 2 aan 问题解决:从 100 张面值分别为 1 元、2 元、3 元、100 元的奖券中(面值为整数),一次任意抽 取 5 张奖券,共有不同优惠金额的种类为:151005 2 =476(种). 答案:47

19、6 拓展延伸:(1)设从 1,2,3,36 这 36 个整数中任取 a 个整数,使得取出的这些整数之和共有 204 种不同的结果,则204136 2 aa,即020336 2 aa,a=7 或 29. 答:从 1,2,3,36 这 36 个整数中任取 7 个或 29 个整数,可以使得取出的这些整数之和共有 204 种不同的结果. (2)从 3,4,5,n+3(n 为整数,且 n2)这(n+1)个整数中任取 a(1an+1)个整数,所取的 a 个 整数之和最小是 3+4+5+(3+a-1)= 2 )5( aa , 最大是 n+3+n+2+n+1+n+3-(a-1)= 2 )3)(4( 6 aa

20、an ,所以共有不同的结果数为: 2 )3)(4( 6 aa an 1 2 )5( aa =1 2 5 2 712 6 22 aaaa an = 2 5712 7 22 aaaa an = 2 1222 7 2 aa an=)6(7 2 aaan =67 2 aaan=1 2 aaan. 答案:1 2 aaan 24. (2020湘潭)习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然 之气”某校为提高学生的阅读品味,现决定购买获得第十届矛盾文学奖的北上 (徐则臣著)和 牵风记 (徐怀中著)两种书共 50本已知购买 2本北上和 1本牵风记需 100元;购买 6 本北上与

21、购买 7本牵风记的价格相同 (1)求这两种书的单价; (2)若购买北上的数量不少于所购买牵风记数量的一半,且购买两种书的总价不超过 1600 元请问有哪几种购买方案?哪种购买方案的费用最低?最低费用为多少元? 解析(1)设购买北上和牵风记的单价分别为 x、y,根据“购买 2 本北上和 1 本牵 风记需 100元”和“ 购买 2本北上和 1本牵风记需 100元”建立方程组求解即可; (2)设购买北上的数量 n本,则购买牵风记的数量为 50-n,根据“购买北上的数量不 少于所购买牵风记数量的一半”和“购买两种书的总价不超过 1600元”两个不等关系列不等式 组解答并确定整数解即可 答案解: (1)

22、设购买北上和牵风记的单价分别为 x、y 由题意得: 2100 67 xy xy 解得 35 30 x y 答:两种书的单价分别为 35元和 30元; (2)设购买北上的数量 n本,则购买牵风记的数量为 50-n 根据题意得 1 50 2 3530 501600 nn nn 解得: 2 1620 3 n 则 n可以取 17、18、19、20, 当 n=17时,50n=33,共花费 1735+3330=1585元; 当 n=18时,50n=32,共花费 1735+3330=1590元; 当 n=19时,50n=31,共花费 1735+3330=1595元; 当 n=20时,50n=30,共花费 1735+3330=1600元; 所以,共有 4种购买方案分别为:购买北上和牵风记的数量分别为 17本和 33本,购买北 上和牵风记的数量分别为 18本和 32本,购买北上和牵风记的数量分别为 19本和 31 本,购买北上和牵风记的数量分别为 20本和 30本;其中购买北上和牵风记的数 量分别为 17本和 33本费用最低,最低费用为 1585元