1、 知识点知识点 36 相似、位似及其应用相似、位似及其应用 一、选择题一、选择题 10 （2020丽水）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图” ，得到正方形 ABCD 与 正方形 EFGH连结 EG，BD 相交于点 O、BD 与 HC 相交于点 P若 GOGP，则 A B C D EFGH S S 正方形 正方形 的值是（ ） A12 B22 C52 D 15 4 答案C 解析四边形 EFGH 为正方形，EGH45，FGH90，OGGP，GOPOPG 67.5，PBG22.5，又DBC45，GBC22.5，PBGGBC， BGPBG90，BGBG，BPGBCG，PGCG设 OGPGCGx，
2、 O 为 EG，BD 的交点，EG2x，FG 2 x.四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图” ，BFCG x， BGx 2 x，BC2BG2+CG2 2222 ( 21)42 2xxx ， 2 2 42 2 22 2 ABCD EFGH x S Sx 正方形 正方形 ，因此本题选 D 5 （2020绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为 25，且三角板的一 边长为 8cm则投影三角板的对应边长为（ ） A20cm B10cm C8cm D3.2cm 答案A 解析本题考查了相似三角形的性质 相似三角形的对应边之比等于相似比， 所以 8（投影三角形的对应边长）=25，则投影
3、三角形的对应边长是 20 cm因此本题选 A 5 （2020 嘉兴） 如图，在直角坐标系中，OAB的顶点为O（0，0） ，A（4，3） ，B（3，0） 以 点O为位似中心，在第三象限内作与OAB的位似比为 1 3 的位似图形OCD，则点C坐标为 （ ） A（1，1） B（ 4 , 1 3 ） C（ 4 1, 3 ） D（2，1） 答案B 解析本题考查了在坐标系中， 位似图形点的坐标.在平面直角坐标系中， 如果以原点为位似中心， 画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的 位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（kx，ky）.由A（4,3），位似比k
4、 1 3 ，可得C（ 4 1 3 ,） 因此本题选B 5（2020铜仁）已知FHBEAD，它们的周长分别为30和15，且FH6，则EA的长为（ ） A3 B2 C4 D5 答案 A解析相似三角形的周长之比等于相似比，所以FHB和EAD的相似比为3015=21，所以 FHEA=21，即6EA=21，解得EA=3.因此本题选A 9 （2020新疆）如图，在ABC 中，A90 ，D 是 AB 的中点，过点 D 作 BC 的平行线交 AC 于点 E， 作 BC 的垂线交 BC 于点 F，若 ABCE，且DFE 的面积为 1，则 BC 的长为（ ） A2 5 B5 C4 5 D10 答案A 解析本题考查
5、了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理如答图，过点 E 作 EGBC 于 G，过 点 A 作 AHBC 于 H 又因为 DFBC， 所以 DFAHEG， 四边形 DEGF 是矩形 所以BDFBAH， DFEG， 所以 DF AH BD BA ， 因为 D 为 AB 中点， 所以 BD BA 1 2 ， 所以 DF AH 1 2 设 DFEGx，则 AH2x因为BAC90，所以BC90，因为 EG BC，所以CCEG90，所以BCEG，又因为BHACGE 90，ABCE，所以ABHCEG，所以 CGAH2x同理可证BDF ECG， 所以 BF EG BD EC ， 因为 BD 1 2 AB
6、 1 2 CE， 所以BF 1 2 EG 1 2 x 在 RtBDF 中， 由勾股定理得 BD 22 DFBF 22 1 () 2 xx 5 2 x， 所以 AD 5 2 x， 所以 CEAB2AD 5x因为 DEBC，所以 AE AC AD AB 1 2 ，所以 AE 1 2 ACCE5x 在 RtADE 中，由勾股定理得 DE 22 ADAE 22 5 ()( 5 ) 2 xx 5 2 x因DEF 的面积为 1，所以 1 2 DEDF1，即 1 2 5 2 xx1，解得 x 2 5 5 ，所以 DE 5 2 2 5 5 5，因为 ADBD，AECE，所 以 BC2DE2 5，因此本题选 D
7、 1010（2020哈尔滨）如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EFBC， 交AD于点F,过点E作EGAB，交BC于点G,则下列式子一定正确的是（ ） A A CD EF EC AE B B AB EG CD EF C C GC BG FD AF D D AD AF BC CG 答案C解析本题考查了平行线分线段成比例和由平行判定相似，EFBC， EC AE FD AF ，EFBC， EC AE GC BG ， GC BG FD AF 因此本题选 C 8 （2020重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别是A（1,2）,B（1,1），C（3,1），
8、 以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF，使DEF与ABC成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF的 长度为（ ） A5 B2 C4 D2 5 答案D解析A（1,2）,B（1,1），C（3,1），AB=1，BC=2,AC= 5.DEF与ABC成位似图形，且 相似比为2，DF=2AB=2 9（2020 河南）如图，在 ABC中，ACB=90 ，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7， 第 9 题答 C D E FGH A B 0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为( ) A. ( 3 2 ，2) B. (2，2) C. ( 11 4 ，2) D
9、. (4，2) 答案B解析点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，OC=2，AC=6，OB=7， BC=9，正方形的边长为2将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，设正 方形与x轴的两个交点分别为G、F，EFx轴，EF=GF=DG=2，EFAC，D，E两点的纵坐标均为2， EFBF ACBC =， 即 2 69 BF =， 解得BF=3.OG=OB-BF-GF=7-3-2=2， D点的横坐标为2， 点D的坐标为 (2， 2) 8 （2020 陕西）如图，在ABCD 中，AB5，BC8，E 是边 BC 的中点，F 是ABCD 内一点，且BFC 90 ，连接 AF 并延长，交
10、CD 于点 G，若 EFAB，则 DG 的长为（ ） A 5 2 B 3 2 C3 D2 第 8 题图 答案D解析由 EFAB、ABCD、E 是 BC 的中点可推出 F 是 AG 的中点，如答图所示：延长 BF、CD 交于点 H，由“AAS”或“ASA”易证 ABFGHF，所以有 ABGH5，又因为BFC90 ，即 CF 垂直 且平分 BH，所以有 BCHC8，所以 CGCHGH853，所以 DGCDCG532 第 8 题答图 6 （2020重庆 B 卷）如图，ABC 与DEF 位似，点 O 为位似中心已知 OA:OD=1:2， 则ABC 与DEF 的面积比为（ ）A1:2 B1:3 C1:4
11、 D1:5 答案C G F E D A CB H G F E D A CB 解析本题考查了相似三角形的性质， ABC 与DEF 位似，且 1 = 2 OA OD ， 2 11 = 24 ABC DEF S S ，因此 本题选 C 3 （2020福建）如图，面积为 1 的等边三角形ABC中，,D E F分别是AB，BC，CA的中点，则DEF 的面积是（ ） A.1 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 4 答案D 解析本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，,D E F分别是AB，BC，CA的中 点，DFBC,DEAC,EFAB,则四边形 ADEF,BEFD,CFDE 都是平行四边
12、形，DEF的面积是ABC 面积的 1 4 ，因此本题选 D 8（2020 河北） 在图5所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是 A.四边形NPMQ B.四边形NPMR C.四边形NHMQ D.四边形NHMR 答案A解析解析： 连接AO并延长AO至点N， 连接BO并延长PO至点P, 连接CO并延长CO至点M, 连接DO 并延长DO至Q，可知 1 2 AOBOCODO NOPOMOQO ，所以以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四 边形NPMQ，故答案为A. 6（2020 营口）如图，在 ABC 中，DEAB，且 CD BD = 3 2 ，则 CE CA 的值为（ ）
13、A E CD B A 3 5 B 2 3 C 4 5 D 3 2 答案A解析利用平行截割定理求 CE CA 的值DEAB， CE AE = CD BD = 3 2 ，CE+AE=AC， CE CA = 3 5 7 （2020 内江）如图，在ABC中，D、E 分别是 AB 和 AC 的中点， 15 BCED S 四边形 ，则 ABC S（ ） A. 30 B. 25 C. 225 D. 20 答案 D解析本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出 DE 是中位线，从而判断 ADEABC，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题首先判断出 ADEABC，然后根据相似三角形
14、的面积比等于相似比的平方即可求出 ABC 的面积 根据题意， 点 D 和点 E 分别是 AB 和 AC 的中点， 则 DEBC 且 DE= 1 2 BC， 故可以判断出 ADEABC, 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知 ADE S： ABC S=1：4，则 BCED S四边形 ： ABC S=3：4，题中 已知 15 BCED S 四边形 ，故可得 ADE S=5， ABC S=20，因此本题选 D 14 （2020昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角 形.如图， ABC 是格点三角形， 在图中的 66 正方形网格中作出格点三角形ADE
15、(不含ABC)， 使得ADE ABC(同一位置的格点三角形ADE 只算一个)，这样的格点三角形一共有（ ） A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个 答案A 解析本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示： A B C 因此本题选 A 5（2020 毕节）己知 a b 2 5 ， 则 ab b 的值为（ ） A 2 5 B 3 5 C 7 5 D 2 3 答案C， 解析本题考查比例的性质 a b 2 5 ， ab b 25 5 7 5 故选 C 12 （2020威海）如图，矩形 ABCD 的四个顶点分别在直线 l3，l4，l2，l1上若直线 l1l2l3l4且间 距相等
16、，AB4，BC3，则 tan 的值为（ ） A3 8 B3 4 C 5 2 D15 15 【分析】根据题意，可以得到 BG 的长，再根据ABG90，AB4，可以得到BAG 的正切值，再 根据平行线的性质，可以得到BAG，从而可以得到 tan 的值 【解析】 ：作 CFl4于点 F，交 l3于点 E，设 CB 交 l3于点 G，由已知可得，GEBF，CEEF， CEGCFB， = ， = 1 2， = 1 2， BC3，GB= 3 2， l3l4，GAB， 四边形 ABCD 是矩形，AB4，ABG90，tanBAG= = 3 2 4 = 3 8，tan 的值为 3 8， 故选：A A B C 8
17、.（2020永州）如图，在ABC中， 2 /, 3 AE EF BC EB ，四边形BCFE的面积为 21，则ABC的面积是 （ ） A. 91 3 B. 25 C. 35 D. 63 【答案】B 【详解】解：/EF BC AEFBAFEC， AEFABC 2 3 AE EB 2 5 AE AB 2 55 24 2 AEB ABC S S 4 21 AEB BCFE S S 四边形 21 BCFE S 四边形 AEB S=4 =25 ABC S 故选：B 9 （2020广西北部湾经济区）如图，在ABC 中，BC120，高 AD60，正方形 EFGH 一边在 BC 上，点 E，F 分别在 AB，
18、AC 上，AD 交 EF 于点 N，则 AN 的长为（ ） A15 B20 C25 D30 答案 B 解析设正方形 EFGH 的边长 EFEHx， 四边 EFGH 是正方形， HEFEHG90，EFBC， AEFABC， AD 是ABC 的高， HDN90， 四边形 EHDN 是矩形， DNEHx， AEFABC， = （相似三角形对应边上的高的比等于相似比） ， BC120，AD60， AN60 x， 60 60 = 120， 解得：x40， AN60 x604020因此本题选 B 11 （2020云南）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 CD 的中点则D
19、EO 与 BCD 的面积的比等于（ ） A B C D 答案 B 解析利用平行四边形的性质可得出点O为线段BD的中点， 结合点E是CD的中点可得出线段OE为DBC 的中位线，利用三角形中位线定理可得出 OEBC，OEBC，进而可得出DOEDBC，再利用相似 三角形的面积比等于相似比的平分，即可求出DEO 与BCD 的面积的比为 1：4 6 （2020武威）生活中到处可见黄金分割的美如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下 a 与全身 b 的高度比值接近 0.618，可以增加视觉美感若图中 b 为 2 米，则 a 约为（ ） A1.24 米 B1.38 米 C1.42 米 D1.62 米 【解析
20、】雕像的腰部以下 a 与全身 b 的高度比值接近 0.618，0.618， b 为 2 米，a 约为 1.24 米故选：A 二、填空题二、填空题 16（2020 杭州）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把BCE沿直线CE对折，使点B落在对角 线AC上的点F处， 连接DF 若点E，F，D在同一条直线上，2AE ， 则DF _， BE _ 答案2 5 1 解析设BEx，则ABAEBE2x四边形ABCD是矩形，CDAB2 x，ABCD，DCEBEC由折叠得BECDEC，EFBEx，DCE DECDECD2x点D，F，E在同一条直线上，DFDEEF2 xx2 ABCD， DCFEAF， DC EA
21、DF EF 2 2 x 2 x ， 解得x1 5 1， x2 5 1 经 检验，x1 5 1，x2 5 1都是分式方程的根x0，x 5 1，即BE 5 1 15（2020 湖州） 在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中， 每个小正方形的顶点称为格点， 顶点都是格点的三角形称为格点三角形 如图， 已知 RtABC 是 66 网格图形中的格点 三角形，则该图中所有与 RtABC 相似的格点三角形中面积最大的三角形的斜边长是 52 【分析】根据 RtABC 的各边长得出与其相似的三角形的两直角边之比为 1：2，在 66 的网格图形中可得出与 RtABC 相似的三角形的短直角边长应小于 4，在图中尝
22、试可画出符合题意的最大 三角形，从而其斜边长可得 【解答】解：在 RtABC 中，AC1，BC2，AB= 5，AC：BC1：2， 与 RtABC 相似的格点三角形的两直角边的比值为 1：2， 若该三角形最短边长为 4， 则另一直角边长为 8， 但在 66 网格图形中， 最长线段为 62， 但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为 8 的线段， 故最短直角边长应小于 4， 在图中尝试， 可画出 DE= 10， EF210， DF52的三角形， 10 1 = 210 2 = 52 5 = 10，ABCDEF，DEFC90， 此时DEF 的面积为： 10 210 210，
23、 DEF 为面积最大的三角形， 其斜边长为： 52 故答案为： F D BEA C 52 17(2020绥化)在平面直角坐标系中，ABC和A1B1C1的相似比等于 1 2 ，并且是关于原点O的位似图形， 若点A的坐标为(2，4)，则其对应点A1的坐标是_ 答案(4，8)或(4，8)解析ABC 和A1B1C1 的相似比等于 1 2，A1B1C1 和ABC 的相似比等 于 2因此将点 A(2，4)的横、纵坐标乘以2 即得点 A1 的坐标，点 A1 的坐标是(4，8)或(4，8) 17. （2020苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为4,0、0,4，点3,Cn在第 一象限内，连接AC
24、、BC.已知2BCACAO ，则n_. 答案 14 5 或2.8 解析本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点C 作CDy轴于点D，设AC交y轴于点E，CDx轴，CAO=ACD, DECOEA， 2BCACAO ， BCD=ACD, BD=DE,设BD=DE=x， 则OE=4-2x, DC AO= DE EO ,即 3 4 = x 4-2x ,解得x=1.2 OE=4-2x=1.6， n=OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8. 15.（2020盐城） 如图，/ /,BCDE且,4,10BCDE ADBCABDE，则 AE AC 的值为 152，
25、解析：BCDE，ADEABC， AEADDE ACABBC ，设 DEx,则 AB10 xAD BC4， 4 104 AEx ACx ，x18 ,x22(舍去)， 8 2 4 AE AC ，此本题答案为 2 14（2020南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，ABC 和DEF 的顶点都在网 格线的交点上，设ABC 的周长为 C1， DEF 的周长为 C2，则 1 2 C C 的值等于 答案 2 2 解析由图形易证ABC 与DEF 相似，且相似比为1:2，所以周长比为1:2故答案为： 2 2 （2020山西）15 如图，在 RtABC 中，ACB90 ，AC3， BC4， CD
26、AB，垂足为 D， E 为 BC 的中点，AE 与 CD 交于点 F，则 DF 的长为_ 第 15 题图 答案 54 85 解析本题考查平行线分线段成比例定理， 相似三角形的判定与性质 已知ACB90 ， AC3， BC4， 由勾股定理，得 AB5 CDAB，由三角形的面积，得 CD AC BC AB 12 5 易得 ABCACDCBD， 由相似三角形对应边成比例， 得 AD AC AC AB 9 5 ， BD BC BC AB 16 5 过点 E 作 EGAB 交 CD 于点 G， 由平行线分线段成比例，得 DG 1 2 CD 6 5 ，EG 8 5 ，所以 DFAD GFEG ，即 9 5
27、 68 55 DF DF ，所以 DF，故答 案为 54 85 A BC DE F F E D B CA G F E D B CA 16（2020深圳）如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，ABCDAC90 ，tanACB 1 2， BO OD 4 3，则 SABD SCBD_ 答案 3 32 解析法 1：过 B 点作 BE/AD 交 AC 于点 E，则ADOEBO，由DAC90 ，得到 BEAD， AO OE OD OB 3 4，由 tanACB 1 2，可得 CE2BE4AE， S ABD SCBD AO OC 3 4(34)4 3 32 法 2：如图，过点 D 作
28、DMBC，交 CA 的延长线于点 M，延长 BA 交 DM 于点 N，得到ABCANM， OBCODM，进而得出对应边成比例，AB BC AN NMtanACB 1 2， BC DM OB OD 4 3；又ABCDAC 90 ，BACNAD90 ，BACBCA90 ，NADBCA，ABCDAN，得出对 应边之间关系，AB BC DN NA 1 2，设 ABa，DNb，则 BC2a，NA2b，MN4b，得 DM 3 2a，4bb 3 2a，即 b 3 10a，进而表示三角形的面积，得到 SABD SCBD 1 2ABDN 1 2BCNB ab 2a(a2b) 3 10a 2 2a16 10a 3
29、 32 16 （2020长沙）如图，点 P 在以 MN 为直径的半圆上运动， （点 P 与 M,N 不重合）PQMN，NE 平分 O D C B A O D C B A E MNP，交 PM 于点 E，交 PQ 于点 F. (1) PM PE PQ PF _ (2)若MNPMPN 2 ,则 NQ MQ _ 答案1； 2 15 解析本题考查了圆的基本性质，角平分线性质，平行相似，相似判定与性质， （1）作 EHMN，又MN 是直径，NE 平分MNP，PQMN，易证出 PEEHHFPF，EHPQ， EMHPMQ， PQ PF PQ EH PM ME ，1 PM PE PM ME PM PE PQ
30、PF ； （2）由相似基本图射影型得：解得MNQNPN 2 又MNPMPN 2 ，QNPM，设 QNPMa， MQb，由相似基本图射影型得：解得MNMQPM 2 ，baba 2 解得 2 51a b 或 2 51a b （舍去） 2 15 a b NQ MQ ； 因此本题答案为 1； 2 15 18（2020临沂）如图，在ABC中，D，E为边AB的三等分点，/EF DG AC，H为AF与DG的 交点.若6AC ，则DH _. 答案1解析 D、E 为边 AB 的三等分点， BE=ED=AD= 1 3 AB. /EF DG AC， 1 2 3 EFAC 1 1 2 DHEF. F E Q N O
31、M P F E Q N O M P H 15（2020娄底）若 1 () 2 bd ac ac ，则 bd ac 答案 1 2 解析本题考查了比例的基本性质，由 1 () 2 bd ac ac 可得2ab，2cd， 代入 1 = 2222 bdbdbd acbdbd ，因此本题填 1 2 16 （2020东营）如图，P 为平行四边形 ABCD 边 BC 边上一点，E、F 分别为 PA、PD 上的点，且 PA=3PE， PD=3PF，PEF、PDC、PAB 的面积分别记为S、 1 S、 2 S，若S=2，则 1 S+ 2 S= 答案18 解析本题考查了相似三角形的判定、 性质， 三角形的面积，
32、解题的关键是根据已知条件推出相似三角形， 并由相似比得到面积比 PA=3PE，PD=3PF，APD =EPF，PEFPAD，相似比为 13， PEF 的面积为S=2， PAD S=9S=92=18， 1 S+ 2 S= PAD S=18 14. （2020 郴州 郴州） 在平面直角坐标系中， 将AOB以点O为位似中心， 3 2 为位似比作位似变换， 得到 11OB A. 已知)3 , 2(A，则点 1 A的坐标是 答案（，2） 解析将AOB 以点 O 为位似中心，为位似比作位似变换，得到A1OB1，A（2，3） ，点 A1的坐标 是： （2，3） ，即 A1（，2） 故答案为： （，2） 17
33、 （2020威海）如图，点 C 在AOB 的内部，OCAOCB，OCA 与AOB 互补若 AC1.5， BC2，则 OC 3 【分析】通过证明ACOOCB，可得 = ，可求 OC= 3 【解析】 ：OCAOCB，OCA 与AOB 互补， OCA+AOB180，OCB+AOB180， OCA+COA+OAC180，OCB+OBC+COB180， AOBCOA+OAC，AOBOBC+COB， AOCOBC，COBOAC， ACOOCB， = ， OC22 3 2 =3， OC= 3， 故答案为3 12.（2020吉林）如图，/ABCDEF若 1 2 AC CE ，5BD，则DF _ 【答案】10
34、【解析】/ABCDEF， ACBD CEDF ， 又 1 2 AC CE ，5BD， 51 2DF ，10DF ，故答案为：10 13.（2020吉林）如图，在ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点若ADE的面积为 1 2 则四 边形DBCE的面积为_ 【答案】 3 2 【解析】点D，E分别是边AB，AC的中点， 1 /, 2 DE BC DEBC ADEABC 2 1 () 4 ADE ABC SDE SBC ，即4 ABCADE SS 又 1 2 ADE S， 1 42 2 ABC S 则四边形DBCE的面积为 13 2 22 ABCADE SS . 故答案为： 3 2 三、解答题三、解
35、答题 22 （2020丽水）如图，在 ABC 中，AB42，B45 ，C60 （1）求 BC 边上的高线长 （2）点 E 为线段 AB 的中点，点 F 在边 AC 上，连结 EF，沿 EF 将 AEF 折叠得到 PEF 如图 2，当点 P 落在 BC 上时，求AEP 的度数 如图 3，连结 AP，当 PFAC 时，求 AP 的长. 【解答】解： （1）如图 1 中，过点 A 作 ADBC 于 D 在 Rt ABD 中，ADABsin4542 2 2 =4 （2）如图 2 中， AEFPEF， AEEP， AEEB， BEEP， EPBB45 ， PEB 90 ，AEP180 90 90 如图
36、3 中，由（1）可知：AC= AD sin60 = 83 3 ， PFAC，PFA90 ，AEFPEF，AFEPFE45 ， AFEB，EAFCAB，AEFACB， AF AB = AE AC，即 AF 42 = 22 83 3 ，AF23，在 Rt AFP，AFFP， AP= 2AF26 19（2020 杭州）如图，在ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DEAC，EFAB （1）求证：EBDEFC （2）设 1 2 AF FC ， 若BC12，求线段BE的长； 若EFC的面积是20，求ABC的面积 解析（1）由平行线的性质得到等角，进而根据相似三角形的判定得到BDEEFC；（2
37、） 根据平行线分线段成比例定理得到比例式求解； 根据 “平行于三角形一边的直线和其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似”得到EFCBAC，然后根据相似三角形的性质求解 答案解： （1）DEAC，BEDCEFAB，BFEC，BDEEFC （2）EFAB， BE EC AF FC 1 2BC12，12 BE BE 1 2，BE4 EFAB，EFCBAC， EFC BAC S S 2 () EC BC BE EC 1 2， EC BC 2 3又EFC的面积是 20， 20 BAC S 2 2 ( ) 3 ，SABC45，即ABC的面积是45 21（2020 杭州）如图，在正方形ABCD中，点E
38、在BC边上，连接AE，DAE的平分线AG与CD边 交于点G，与BC的延长线交于点F设0 CE EB （1）若2AB ，1，求线段CF的长 （2）连接EG，若EGAF， 求证：点G为CD边的中点 求的值 解析本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质 （1） 先由ADBC及AG平分DAE证明AEEF，再由勾股定理求得AE 5，于是EF5，再由 1求得EC1，于是得到CF 51（2）证明DAGCFG；不妨设CD2，证明 EGCGFC，计算出EC 1 2，BE 3 2，进而得到 1 3 答案解：（1）四边形ABCD是正方形，ADBC，ABBC2，DAFFAG平 分DA
39、E，DAFEAF，EAFF，EAEF1，BEEC1在RtABE 中，由勾股定理得EA 5，CFEFEC51 F E D CB A FC G EB DA （2）EAEF，EGAF，AGGF又AGDFGC，DAGF，所以DAG CFG，DGCG，点G为CD边的中点 不妨设CD2，则CG1由知CFAD2EGAF，EGF90四边形ABCD 是正方形， BCD90， BCDFCG， EGCCGF90， EGCGEC90， CGFGEC，EGCGFC， EC CG CG CF 1 2，EC 1 2，BE 3 2， 1 3 25 （2019 上海）如图 1，AD、BD 分别是ABC 的内角BAC、ABC 的
40、平分线，过点 A 作 AEAD，交 BD 的延长线于点 E （1）求证：E1 2 C； （2）如图 2，如果 AEAB，且 BDDE23，求 cosABC 的值； （3）如果ABC 是锐角，且ABC 与ADE 相似，求ABC 的度数，并直接写出 ADE ABC S S 的值 解析（1）E90 ADE，由三角形外角的性质可得ADEBADDBA，再根据角平分线的定 义得BAD 1 2 BAC，ABD 1 2 ABC，进而通过等量代换即可解决问题 （2）由 AEAB 得到等角，再由角平分线得到等角，通过角的等量代换，可证明 AEBC，可得AFB EAD90 ， 因此考虑延长AD交BC于点F， 构造求
41、cosABC的直角三角形 由AEBC得到 BFBD AEDE ， 结合 BD：DE2：3，AEAB 得到相关线段间的关系，从而 cosABC （3）因为ABC 与ADE 相似，DAE90 ，所以ABC 中必有一个内角为 90 因为ABC 是锐角，推 出ABC90接下来分两种情形分别求解即可 答案解： （1）证明：如图 1 中， AEAD，DAE90 ，E90 ADE， AD 平分BAC，BAD 1 2 BAC，同理ABD 1 2 ABC，ADEBADDBA，BACABC180 C，ADE 1 2 (ABCBAC)90 1 2 C，E90 (90 1 2 C) 1 2 C （2）解：延长 AD
42、交 BC 于点 F ABAE，ABEE，BE 平分ABC，ABEEBC， ECBE，AEBC，AFBEAD90 ， BD：DE2：3，cosABC （3）ABC 与ADE 相似，DAE90 ，ABC 中必有一个内角为 90 ABC 是锐角，ABC90当BACDAE90 时， E 1 2 C，ABCE 1 2 C，ABCC90 ，ABC30 ，此时2 当CDAE90 时，E= 1 2 C45 ，EDA45 ， ABC 与ADE 相似，ABC45 ，此时2 综上所述，ABC30 或 45 ，23或 2 2 27（2020江苏徐州）我们知道：如图，点B把线段AC分成两部分，如果 BCAB ABAC
43、，那么称点B为线段AC 的黄金分割点.它们的比值为 51 2 . （1）在图中，若AC=20cm，则AB的长为 cm； （2）如图，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到 CE上，点B的对应点H，得折痕CG.试说明：G是AB的黄金分割点； （3）如图，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AEDE），连接BE，作CFBE， 交AB于点F，延长EF、CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点. 请猜想小明的发现，并说明理由. 图 图 图 （ 第27题） 解析 （1）直接利用
44、黄金分割的性质进行计算；（2）有角平分线和平行线，所以设法构造等腰三角形来 解决问题，于是延长CG交DA的延长线于点J，然后通过相似三角形的性质来进行证明；（3）先证明BEA CFB，得到AE=BF，然后再通过相似三角形来进行证明. 答案解： （1）10 5 10 .解： 51 2 AB AC ，AC=20，AB=10 5 10 . （2）延长CG交DA的延长线于点J，由折叠可知：BCG=ECG， ADBC，J=BCG=ECG，JE=CE.由折叠可知：E、F为AD、BC的中点，DE=AE=10， 由勾股定理可得：CE= 2222 102010 5DECD ,EJ=10 5，AJ=JE-AE=1
45、0 5-10， AJBC，AGJBGC， 10 51051 202 AGAJ BGBC ,G是AB的黄金分割点. ACB H G F E BC AD P E F BC DA （3）PB=BC，理由如下：E为AD的黄金分割点，且AEDE，AE= 51 2 a. CFBE，ABE+CBE=CBE+BCF=90,ABE=FCB, 在BEA和CFB中， 90 ABEFCB ABBC AFBC ，BEACFB，BF=AE= 51 2 a. 51 2 AFBF BFAB ,AEBP，AEFBPF, AEAFBF PBBFAB , AE=BF,PB=AB，PB=BC. 24.（2020苏州）如图，在矩形AB
46、CD中，E是BC的中点，DFAE，垂足为F. （1）求证：ABEDFA； （2）若6AB，4BC ，求DF的长. 解析（1）由两角相等证明 ABEDFA ；（2）根据相似三角形的性质及勾股定理求解. 答案解： 证明：（1）四边形ABCD是矩形， 90B ，AD BC . AEBDAF ， DF AE ， 90DFA.BDFA ， ABEDFA . 解：（2） ABEDFA ， ABAE DFAD . 4BC ，E是BC的中点， 11 42 22 BEBC .在Rt ABE 中， 2222 622 10AEABBE . 又 4ADBC ， 62 10 4DF ， 6 10 5 DF . 26 （2020南京）如图，在ABC 和ABC中，D、D分别是 AB、AB上一点， AD AB A D A B . J H G F E BC AD (1)当 CD C D AC A C AB A B 时，求证：ABCABC. 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格. (2)当 CD C D AC A C BC B C 时，判断ABC 与ABC是否相似，并说明理由. 解析(1)利用三边对应成比例证明ADCADC，推理出AA；再利用两边对应成比例及其夹角 相等判