1、知识点知识点 27 等腰三角形与等边三角形等腰三角形与等边三角形 一、选择题一、选择题 9 （2020绍兴）如图，等腰直角三角形 ABC 中，ABC90 ，BABC，将 BC 绕点 B 顺时针旋转 （0 90 ） ，得到 BP，连结 CP，过点 A 作 AHCP 交 CP 的延长线于点 H，连结 AP，则PAH 的度数（ ） A随着 的增大而增大 B随着 的增大而减小 C不变 D随着 的增大， 先增大后减小 答案C 解析本题考查了等腰三角形的性质， 三角形的内角和， 旋转的性质 由旋转得 BC=BP=BA， BCP 和ABP 均是等腰三角形.在BCP 中，CBP=，BC=BP，BPC=90-
2、1 2. 在ABP 中， ABP=90-， 同理得APB=45+ 1 2， APC=BPC +APB =135， 又AHC=90，PAH=45，即其度数是个定值，不变因此本题选 C 7（2020铜仁）已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为（ ） A2 B3 C4 D4 答案C 解析设等边三角形的边长为2x，过等边三角形的一个顶点作对边的高，由等边 三角形 “三线合一” 的性质得直角三角形的一条直角边为x， 由勾股定理得x2 （2） 2= （2x） 2，解得x=4，因此本题选C 3（2020聊城）如图，在ABC中，ABAC，C65，点D是BC边上任意一点，过点 D作DFAB交AC于点E，则F
3、EC的度数是（ ） A120 B130 C145 D150 答案B解析可利用三角形的外角性质求 FEC的度数， 结合等腰三角形与平行线的性质， 可得 EDC、B 均与C 相等即：ABAC，BC65DFAB， EDC B65FECEDCC6565130 10（2020 河南）如图，在 ABC中，AB=BC=3，BAC=30 ，分别以点A，C为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为( ) A.6 3 B.9 C.6 D. 3 3 答案D解析分别以点A、C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D， A B C D E F AD=AC=CD，ACD是等边三角
4、形，DAC=60 . AB=BC，AD=CD，连接BD交AC于点E，BD垂直平分AC，AEB=90 . BAC=30 ， AB= 3，BE= 3 2 ，AE= 3 2，AC=3 在Rt ADE中， DAC=60 ，AED=90 ，AE= 3 2，DE= 3 3 2 ，BD= 33 32 3 22 += ， 四边形ABCD的面积为： 33332 2 1 9(2020 自贡)如图，在 Rt ABC 中，ACB90 ，A50 ，以点 B 为圆心，BC 长为半 径画弧，交 AB 于点 D，连接 CD，则ACD 的度数是（ ） A50 B40 C30 D20 答案 D 解析本题考查了直角三角形， 圆，
5、等腰三角形等知识， 在 Rt ABC 中， ACB 90 ，A50 ，B40 ，BCBD，BCDBDC （180 40 ）70 ， ACD90 70 20 ，因此本题选 D 5 （2020福建）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，5BD，则CD等于（ ） A.10 B.5 C.4 D.3 答案B 解析本题考查了等腰三角形三线合一的性质，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线， 5BD，CD=BD=5，因此本题选 B (2020南充） 6.如图，在等腰三角形 ABC 中，BD 为ABC 的平分线，A=36，AB=AC=a， BC=b，则 CD=（ ） （第 6 题） A. 2 ba B. 2
6、ba C.a-b D.b-a 答案C 解析AB=AC，A=36，ABC=ACB=72，BD 平分ABC，ABD= 1 2 ABC= 1 2 72=36，BDC=A+ABD=36+36=72，C=BDC=36，BD=BC=b，同理： AD=BD=b，CD=AC-AD=a-b，故选 C （2020济宁）5.一条船从海岛 A 出发，以 15 海里/时的速度向正北航行，2 小时后到达海 岛 B 处.灯塔 C 在海岛在海岛 A 的北偏西 42方向上， 在海岛 B 的北偏西 84方向上.则海岛 B 到灯塔 C 的距离是（ ） A.15 海里 B.20 海里 C. 30 海里 D.60 海里 答案C 解析根
7、据题意画图，如图，A=42，DBC=84，AB=152=30(海里), C=DBC-A=42,BC=BA=30(海里). 10 （2020无锡）如图，等边ABC 的边长为 3，点 D 在边 AC 上，AD1 2，线段 PQ 在边 BA 上运动，PQ1 2，有下列结论： CP 与 QD 可能相等； AQD 与BCP 可能相似； 四边形 PCDQ 面积的最大值为31 3 16 ； 四边形 PCDQ 周长的最小值为 3 37 2 . 其中，正确结论的序号为（ ） A B C D N M H G A BC D E FF E D Q P CB A F E A BC P Q DD Q CB(P) A E
8、答案 D 解析设 AQx，则 BP5 2x 如图 1，当点 P 与 B 重合时，此时 QD 为最大，过点 Q 作 QEAC，AQ5 2，AE 5 4， QE5 3 4 ，DE3 4，此时 QD 21 2 ，即 0QD 21 2 ；而3 3 2 CP3，两个范围没有 交集，即不可能相等；错误 若AQDBCP，则AD BP AQ BC，代入得 2x 25x+30，解得 x11，x23 2，都存在， 正确； 如图 2，过点 D 作 DEAB，过点 P 作 PFBC，S四边形PCDQ=SABCSAQDSBPC 3 4 32 1 2x 3 4 1 23 3 4（ 5 2x） 3 4 x 21 3 16
9、， 5 2x0， 即x 5 2， 当x= 5 2时面积最大为 31 3 16 ； 正确； 如图，将 D 沿 AB 方向平移1 2个单位得到 E，连接 PE，即四边形 PQDE 为平行四边形， QD=PE，四边形周长为 PQ+QD+CD+CP=3+PE+PC，即求 PE+PC 的最小值，作点 E 关于 AB 的对称点 F，连接 CF，线段 CF 的长即为 PE+PC 的最小值；过点 D 作 DGAB，AG1 4， EN=FN=HM= 3 4 ，CH3 3 2 3 4 7 3 4 ，FHMN3 2 1 4 1 2 3 4，FC 39 2 ，四边形 PCDQ 周长的最小值为 3 39 2 ，错误.
10、D Q P CB A 13. （2020湖北孝感） 某型号飞机的机翼形状如图所示， 根据图中数据计算 AB 的长为_ 米 （结果保留根号） （第 13 题） 答案（ 5 3 3 -1.6） 解析如图， 过点 A 作 AMCM 于 M， 则 CM=5m， 在 RtBCM 中， BCM30,所以 BM=CMtan30 = 5 3 3 .由题意可知DCN 是等腰直角三角形，所以 CN=CD=3.4m,所以 MN=5-3.4=1.6(m),因为 AMN 是等腰直角三角形，所以 MN=AM=1.6m，所以 AB=BM-AM=（ 5 3 3 -1.6）m.故答案为（ 5 3 3 -1.6） 第 13 题答
11、图 6(2020荆门)如图 3，ABC 中，ABAC，BAC120 ，BC23，D 为 BC 的中点， AE 1 4 AB，则EBD 的面积为( ) A 3 3 4 B 3 3 8 C 3 4 D 3 8 答案B 解析连结 ADBC 1 2 (180 A)30 由等腰三角形的“三线合一”可知 AD D E C A B 图 3 BCADBDtanB3 3 3 1SABC 1 2 BCAD 1 2 2313AE 1 4 AB，SEBD 3 4 SABD 3 8 SABC 3 3 8 故选 B 7. （2020张家界）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程 2 680 xx的两根， 则该等腰三角形
12、的底边长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或 4 答案A 解析本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的 解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键 解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即 可得出答案 解：x26x+8=0 （x4） （x2）=0 解得：x=4 或 x=2， 当等腰三角形的三边为 2，2，4 时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边为 2，4，4 时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形， 所以三角形的底边长为 2， 故选：A 14(2020青海)等腰三
13、角形的一个内角为 70 ，则另外两个内角的度数分别是( ) A55 ，55 B70 ，40 或 70 ，55 C70 ，40 D55 ，55 或 70 ，40 答案D 解析(1)当 70 是顶角时， 另两个角相等， 都等于 1 2 (180 70 )55 ； (2)当 70 是底角时， 另一个底角也是 70 ，顶角180 70 240 因此另外两个内角的底数分别是 55 ，55 或 70 ，40 故选 D 5（2020临沂）如图，在ABC中，ABAC，40A ，/CD AB，则BCD（ ） A.40 B.50 C.60. D.70 答案D解析 根据三角形内角和定理和等腰三角形的等边对等角且AB
14、AC，40A， 可得：70ABCACB ；然后根据两直线平行内错角相等且/CD AB可得： 70BCDABC ，所以选 D 11（2020 宜宾）如图， ABC 和 ECD 都是等边三角形，且点 B、C、D 在一条直线上， 连结 BE、 AD， 点 M、 N 分别是线段 BE、 AD 上的两点， 且 BM 1 3 BE， AN 1 3 AD， 则 CMN 的形状是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D不等边三角形 答案 C 解析 由 ABC 和 ECD 都是等边三角形， 可得 BCEACD （SAS） ， MBCNAC， BEAD，BM 1 3 BE，AN 1 3 AD，BMAN
15、，MBCNAC（SAS），MC NC，BCMACN，BCM+MCA60 ，NCA+MCA60 ，MCN 60 ，MCN 是等边三角形 9（2020 玉林）如图，A，B，C 三岛的平面图，C 岛在 A 岛的北偏东 35 方向，B 岛在 A 岛的北偏东 80 方向，C 岛在 B 岛的北偏西 55 方向，则 A，B，C 三岛组成一个（ ） A等腰直角三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等边三角形 答案A 解析如图所示： C 岛在 A 岛的北偏东 35 方向，CAD35 ， B 岛在 A 岛的北偏东 80 方向，BAD80 ，CABBADCAD45 ， C 岛在 B 岛北偏西 55 方向，CBE55
16、 ， 又DAEB， ABEBAD180 ，ABE100 ， CBE55 ，CBA100 55 45 ，CBACAB，CACB， 在ABC 中，C180 ABCCAB180 45 45 90 ，ABC 为等腰直角三 角形，故选：C 9 （2020 毕节） 已知等腰三角形两边的长分别为 3 和 7， 则此等腰三角形的周长为 （ ） A13 B17 C13 或 17 D13 或 10 答案B， 解析本题考查等腰三角形的三边关系 解：分两种情况讨论：若 3 为底边，腰长为 7，则此等腰三角形的周长为 377=17； 若 7 为底边，腰长为 3，则此等腰三角形不存在，因为 337，不符合三角形的三边关系
17、， 故选 B. 9 （2020 烟台） 七巧板是我们祖先的一项创造， 被誉为 “东方魔板” 在一次数学活动课上， 小明用边长为 4cm 的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品 “奔跑者” ，其中阴影部分的面积为 5cm2的是（ ） AB C D 【解析】最小的等腰直角三角形的面积 1 8 1 2 421（cm2） ，平行四边形面积为 2cm2， 中等的等腰直角三角形的面积为 2cm2，最大的等腰直角三角形的面积为 4cm2，则 A、阴影部分的面积为 2+24（cm2） ，不符合题意； B、阴影部分的面积为 1+23（cm2） ，不符合题意； C、阴影部分的面积为 4+26（c
18、m2） ，不符合题意； D、阴影部分的面积为 4+15（cm2） ，符合题意 故选：D 10 （2020天门仙桃潜江）如图，已知 ABC 和 ADE 都是等腰三角形，BACDAE 90 ，BD，CE 交于点 F，连接 AF下列结论：BDCE；BFCF；AF 平分 CAD；AFE45 其中正确结论的个数有 A1 B2 个 C3 个 D4 个 答案C 解析ABC 和ADE 都是等腰直角三角形， AB=AC，AD=AE， BAD=90 +CAD， CAE=90 +CAD， BAD=CAE， 在AEC 与ADB 中， ABAC BADCAE ADAE ， AECADB(SAS)， BD=CE，故正确；
19、 ADB=AEC， DEF+AEC+EDA=90 ， DEF+ADB+EDA=90 DEF+EDF=90 ， BDCE，故正确； 作 ANCE，AMBD AECADB(SAS)， AM=AN， AF 是BFE 的角平分线， BFE=90 ， AFE=45 ，故正确 ，故正确； 因为 QFPF，故错误。 正确的有 3 个， 故选：C. 二、填空题二、填空题 15（2020 宿迁）如图，在 ABC 中，ABAC，BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，E 为 A B C D E F （第 10 题图） P Q M N F E C A B D AB 的中点若 BC12，AD8，则 DE 的长为
20、答案5解析ABAC，BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，ADBC，BDCD 1 2 BC6 在 Rt ABD 中，由勾股定理，得 AB 22 68 10又E 为 AB 的中点，DE 1 2 AB5故答案为 5 15 （2020 贵阳） （4 分）如图， ABC 中，点 E 在边 AC 上，EBEA，A2CBE，CD 垂直于 BE 的延长线于点 D，BD8，AC11，则边 BC 的长为 答案45 解析解：延长 BD 到 F，使得 DFBD，CDBF，BCF 是等腰三角形，BCCF， 过点 C 点作 CHAB，交 BF 于点 HABDCHD2CBD2F，HFHC， BD8，AC11，DHB
21、HBDACBD3，HFHC835， 在 Rt CDH，由勾股定理可知：CD4，在 Rt BCD 中，BC 8 + 4 45， 故答案为：45 12 （2020 襄阳） 如图， 在 ABC 中， ABADDC， BAD20 ， 则C_ 答案40 第 15 题 E D C B A 第 12 题图 D C B A 解析ABADDC，ABDADB，DACCBAD20 ，ADB 18020 2 80 又ADBDACC，C 1 2 ADB40 故答案为 40 17（2020 绵阳）如图，四边形 ABCD 中，ABCD，ABC60 ，ADBCCD4，点 M 是四边形 ABCD 内的一个动点，满足AMD90
22、，则点 M 到直线 BC 的距离的最小值 为 答案332 解析延长 AD、BC 交于点 P， 作 MHPB 于 H. ABCD， PD AD PC BC ，ABCDCP60 .ADBCCD4，PDPC，PDC 为等边三角形，PDPCCD4，P60 . 由AMD90 ，可知点 M 在以 AD 为直 径的E 上，且在四边形 ABCD 内的一个动点，根据垂线段最短可知 E、M、H 三点共线 时 MH 最小.在 RtPEH 中，EP6，P60 ，EHEPsin60 33， MH 的最小值EHEM332. 15 （2020齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为 3 和 4，则这个等腰三角形的周长 是 答案
23、10 或 11 解析分 3 是腰长与底边长两种情况讨论求解即可3 是腰长时，三角形的三边分别为 3、 3、4， 此时能组成三角形，周长3+3+410； 3 是底边长时，三角形的三边分别为 3、4、4，此时能组成三角形，所以周长3+4+4 11 综上所述，这个等腰三角形的周长是 10 或 11 故答案为：10 或 11 M D C BA H P M DC BA E 15 （2020 常州） 如图， 在ABC 中， BC 的垂直平分线分别交 BC、 AB 于点 E、 F 若AFC 是等边三角形，则B_ (第 15 题) 答案30 解析本题考查了等边三角形和等腰三角形以及垂直平分线的性质因为 FE
24、垂直平分 BC， FCFB BBCF ACF 是等边三角形，AFC60 ， B30 15（2020 宜昌）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C 为小路端点）和一棵小树 （A 为小树位置） .测得的相关数据为： ABC= 60 ， ACB= 60 ， BC= 48 米， 则 AC= 米 答案48 解析 ABC=60 ，ACB=60 ，A=180 60 60 =60 ，ABC 是等边三角形， AB=BC=AC，BC=48，AC=48 17（2020 营口）如图， ABC 为等边三角形，边长为 6，ADBC，垂足为点 D，点 E 和 点 F 分别是线段 AD 和 AB 上的两个动点，连接 CE
25、，EF，则 CE+EF 的最小值为 答案3 3解析如图 1， 根据两点之间线段最短， 可得 CE+EFCF， 又根据垂线段最短可得， 当 CFAB 时， CF 有最小值， 此时 CF 与 AD 的交点即为点 E （如图 2） ， 在 Rt AFC 中， AC=6，AFC=90 ，FAC=60 ，FC=AC sin60 =6 3 2 =3 3 D E F CB A （第 15 题） D E F CB AA BC F E D 14 （2020 滨州）在等腰 ABC 中，ABAC，B50 ，则A 的大小为_ 答案80 解析本题考查了等腰三角形的性质，AB=AC，B=50 ，C=B=50 ， A=18
26、0 -2 50 =80 ，因此本题填80 三、解答题三、解答题 22（2020 绍兴） 问题： 如图， 在 ABD 中， BA=BD 在 BD 的延长线上取点 E， C， 作 AEC， 使 EA=EC，若BAE=90 ，B=45 ，求DAC 的度数 答案：DAC=45 思考： （1）如果把以上“问题”中的条件“B=45 ”去掉，其余条件 不变，那么DAC 的度数会改变吗？说明理由； （2） 如果把以上“问题”中的条件“B=45 ”去掉， 再将“BAE=90 ” 改为“BAE=n ”，其余条件不变，求DAC 的度数 解析本题考查了三角形的内角和，等腰三角形的等边对等角，参数思想等在第（1）小题
27、中，根据等腰三角形的性质得到AED2C ，同时求得DAE90BAD90 （45+C）45C ，由，即可得到结论；在第（2）小题中，设ABC m，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论 答案解： （1）DAC 的度数不会改变，理由如下：EA=EC，CAE=C，AED=2 C， BAE=90，BAD= 1 2 180（902C）=45+C， DAE=90BAD=90（45+C）=45C，, 由，得，DAC= DAE+CAE=45. （2） 设ABC=m， 则BAD= 1 2 （180m） =90 1 2 m， AEB=180nm， DAE=nBAD=n90+ 1 2 m，EA=EC，
28、CAE= 1 2 AEB=90 1 2 n 1 2 m， DAC=DAE+CAE=n90+ 1 2 m+90 1 2 n 1 2 m= 1 2 n 17（2020聊城）如图，在直角坐标系中，点A(1，1)，B(3，3)是第一象限角平分线上的 两点，点C的纵坐标为 1，且CACB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边 形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为 答案425解析先求点 C 的坐标，再利用最短路径知识确定 D 点位置，最后求四边形 ACBD 的最小周长即可由点 A 与点 C 的纵坐标均为 1，可知 ACx 轴，又点 A，B 是第一 象限角平分线上的两点， BAC45，
29、 又CACB， CBA45， ACBC， C(3， 1)，则 ACBC2 如图，作点 A 关于 y 轴的对称点 E，连接 BE 交 y 轴于点 D，此时 ADBD 的值最小，为线段 BE 的长由轴对称性可知 AE=2，则 EC=4在 RtBCE 中，根据勾股定理，得 BE 22 ECBC 22 42 25四边形 ACBD 的最小周长为 2225425 23（2020 河南）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB，记旋转角为a.连接BB， 过点D作DE垂直于直线BB，垂足为点E，连接DB，CE. (1)如图1， 当a=60 时， DEB的形状为 ， 连接BD， 可求出 BB CE 的值为
30、 ； (2)当0 a360 且a90时， (1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立， 请仅就图2的情形 进行证明；如果不成立，请说明理由； 当以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出 BE B E 的值. 解析（1） ABB是等边三角形， ABD是等腰三角形，且ABD=75， DBE=45，结合DEBE，可得 DEB是等腰直角三角形.连接BD，BDC=45 ，易得 O D A B C x y O D A B C x y E BDB=CDE,结合 2 DE BD DC BD ,BDBEDC， 2 CE BB BC BD . （2） 结论成立， 证明方法与（1）一样；（3）分两种
31、情况：当点B在BE上时和当点B在BE延长线上时. 答案解： (1)等腰直角三角形， 2. (2)两个结论仍成立. 证明:连接BD.AB=AB，BAB=a，ABB=90-2 a ， BAD=a-90 ，AD=AB，ABD=135-2 a ，EBD=ABD-ABB=45. DEBB，EDB=EBD=45，DEB是等腰直角三角形， DB DE = 2. 四边形ABCD为正方形， BD CD=2，BDC=45 . DB DE = BD CD， EDB=BDC，EDB+EDB=BDC+EDB，即 BDB=CDE.BDBEDC， 2 BBBD CECD = ； 3或1.思路提示：分两种情况. 情形一，如图
32、，当点B在BE上时，由 BB CE = 2，设BB=2m，CE=2m. CEBD，CE=BD，BD= 2m，在等腰直角三角形DEB中，斜边BD=2m， BE=DE=m，于是得到 BE B E 2 =3 mm m + = . 情形二，如图，当点B在BE延长线上时，由 BB CE = 2，设BB=2m，CE=2m. CEBD， CE=BD， BD= 2m， 在等腰直角三角形DEB中， 斜边BD=2m， BE=DE= m。于是得到 BE B E =1 m m = . 综上所述， BE B E 的值是3或1. 19(2020荆门)如图 10，ABC 中，ABAC，B 的平分线交 AC 于 D，AEBC
33、 交 BD 的延长线于点 E，AFAB 交 BE 于点 F (1)若BAC40 ，求AFE 的度数； (2)若 ADDC2，求 AF 的长 解析(1)由“等边对等角”求出ABC，由角平分线的定义求出ABD，AFE 是ABF 的 外角，因此AFEBAFABD； (2)由 BD 既是ABC 的角平分线又是中线可知 ABBC，从而推出ABC 是边长为 2 的等边 三角形在 RtABF 中可解出 AF 答案解：(1)ABAC，BAC40 ， ABC 1 2 (180 40 )70 BD 平分ABC，ABDDBC 1 2 70 35 AFAB，BAF90 AFEBAFABD90 35 125 (2)BD
34、 平分ABC，BDBD，ADCD， BDABDCABBC 又 ABAC，ABBCAC ABC 为等边三角形ABC60 ，ABD30 ADDC2，AB4 在 RtABF 中，AFABtan30 4 3 3 4 3 3 说明：此题中的条件 AEBC 是多余的 24（2020天水）性质探究性质探究 如图 （1） ， 在等腰三角形 ABC 中， ACB120 ， 则底边 AB 与腰 AC 的长度之比为_ 理解运用理解运用 （1）若顶角为 120 的等腰三角形的周长为 42 3，则它的面积为_； （2）如图（2） ，在四边形 EFGH 中，EFEGEH在边 FG，GH 上分别取中点 M，N，连 接 MN
35、若FGH120 ，EF20，求线段 MN 的长 类比拓展类比拓展 F D E C A B 图 10 顶角为 2 的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为_ （用含 的式子表示） 解析性质探究性质探究 作 CDAB 于 D，则ADCBDC90 ，由等腰三角形的性质得出 ADBD，AB 30 ，由直角三角形的性质得出 AC2CD，AD 3CD，得出 AB2AD2 3CD，即可得 出结果； 理解运用理解运用 （1） 同上得出则 AC2CD， AD 3CD， 由等腰三角形的周长得出 4CD2 3CD42 3， 解得：CD1，得出 AB2 3，由三角形面积公式即可得出结果； （2）由等腰三角形的性质得出EF
36、GEGF，EGHEHG，得出EFGEHG EGFEGHFGH； 则EFGEHGFGH120 ， 由四边形内角和定理求出FEH 120 ，连接 FH，由类比探究得出 FH 3EF20 3，根据 MN 是FGH 的中位线，由三 角形中位线定理即可得出结果； 类比拓展类比拓展 作 ADBC 于 D，由等腰三角形的性质得出 BDCD，BAD1 2BAC，由三角函数得 出 BDABsin，得出 BC2BD2ABsin，即可得出结果 答案解：解：性质探究性质探究 3:1（或 3） 解法提示：过点 C 作 CDAB 于点 D， ABC 是等腰三角形，ACB120 ， CAB30 ，ADDB，AB2AD2AC
37、cos30 3AC， AB:AC 3:1 理解运用理解运用 （1） 3； 解法提示：如图所示，同上得：AC2CD，AD 3CD， ACBCAB42 3， 4CD2 3CD42 3， D 解得：CD1， AB2 3， ABC 的面积1 2AB CD 1 22 31 3； （2）解：FGH120 ，EFEGEH， EFGEHGFGEHEFGH120 又FEHEFGEHGFGH360 ， FEH360 120 120 120 连接 FH，EFEH，EFH 为顶角为 120 的等腰三角形， FH 3EF203 M、N 分别为 FG、GH 的中点， MN 为FGH 的中位线， MN1 2FH 1 220
38、 310 3 类比拓展类比拓展 2sin:1（或 2sin） 解法提示：如图所示：作 ADBC 于 D， ABAC，BDCD，BAD1 2BAC， sinBD AB，BDABsin， BC2BD2ABsin， BC AB 2ABsin AB 2sin 20（2020 广东）如题20图，在 ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，BD=CE， ABE=ACD，BE与CD相交于点F求证： ABC是等腰三角形 题20图 F E C A B D D 解析先利用三角形边边角的判定方法证明DBF=ECF，再根据等式的性质，加上相等角 得到ABC=ACB，等角对等边，得到 AB=AC.根据等腰三角形定义
39、得到 ABC 是等腰三 角形. 答案证明：在 BFD 和 CFE 中，ABE=ACD，DFB=CFE，BD=CE， BFDCFE （AAS）.DBF=ECF.ABE=ACDDBF+ABE=ECF+ACD. ABC=ACB. AB=AC. ABC 是等腰三角形. 24 （12 分）如图，在等边三角形 ABC 中，点 E 是边 AC 上一定点，点 D 是直线 BC 上一动 点，以 DE 为一边作等边三角形 DEF，连接 CF 【问题解决】 如图 1，若点 D 在边 BC 上，求证：CE+CFCD； 【类比探究】 如图 2，若点 D 在边 BC 的延长线上，请探究线段 CE，CF 与 CD 之间存在
40、怎样的数量关 系？并说明理由 【分析】 【问题解决】在 CD 上截取 CHCE，易证CEH 是等边三角形，得出 EHEC CH，证明DEHFEC（SAS） ，得出 DHCF，即可得出结论； 【类比探究】过 D 作 DGAB，交 AC 的延长线于点 G，由平行线的性质易证GDC DGC60， 得出GCD 为等边三角形， 则 DGCDCG， 证明EGDFCD （SAS） ， 得出 EGFC，即可得出 FCCD+CE 【问题解决】证明：在 CD 上截取 CHCE，如图 1 所示： ABC 是等边三角形， ECH60， CEH 是等边三角形， EHECCH，CEH60， DEF 是等边三角形， DEF
41、E，DEF60， DEH+HEFFEC+HEF60， DEHFEC， 在DEH 和FEC 中， ， DEHFEC（SAS） ， DHCF， CDCH+DHCE+CF， CE+CFCD； 【类比探究】解：线段 CE，CF 与 CD 之间的等量关系是 FCCD+CE；理由如下： ABC 是等边三角形， AB60， 过 D 作 DGAB，交 AC 的延长线于点 G，如图 2 所示： GDAB， GDCB60，DGCA60， GDCDGC60， GCD 为等边三角形， DGCDCG，GDC60， EDF 为等边三角形， EDDF，EDFGDC60， EDGFDC， 在EGD 和FCD 中， ， EGDFCD（SAS） ， EGFC， FCEGCG+CECD+CE