1、知识点知识点 32 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系 一、选择题一、选择题 7（2020 温州）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在O上，过点B作O的 切线交OA的延长线于点D若O的半径为1，则BD的长为 A1 B2 C2 D3 答案D 解析本题考查了菱形的性质、切线的性质以及直角三角形30度角所对的直角边是 斜边的一半、勾股定理等知识，连接OB，OAOBOCODABBC，得到AOB 60 ，由BD是切线，得到OBBD，所以D30 ，因为OB1，所以OD2，所以 BD 3，因此本题选D 9 （2020 湖州） 如图， 已知 OT 是 RtABO 斜边 AB 上的高线， AOBO 以 O 为
2、圆心， OT 为半径的圆交 OA 于点 C，过点 C 作O 的切线 CD，交 AB 于点 D则下列结论中错误的是 （ ） ADCDT BAD= 2DT CBDBO D2OC5AC 【分析】如图，连接 OD想办法证明选项 A，B，C 正确即可解决问题 【解答】解：如图，连接 OD OT 是半径，OTAB，DT 是O 的切线，DC 是O 的切线，DCDT，故选项 A 正确，OAOB，AOB90，AB45，DC 是切线，CDOC， ACD90，AADC45，ACCDDT，AC= 2CD= 2DT，故选 项 B 正确， ODOD， OCOT， DCDT， DOCDOT （SSS） ， DOCDOT，
3、OAOB，OTAB，AOB90，AOTBOT45，DOTDOC22.5， BODODB67.5，BOBD，故选项 C 正确，故选：D 6 （2019 上海）已知A 与B 外切，C 与A、B 都内切，且 AB5，AC6，BC7，那么 C 的半径长是( ) A11 B10 C9 D8 答案C 解析如图，设A，B，C 的半径为 x，y，z 由题意： 5 6 7 xy zx zy ，解得 3 2 9 x y z ，故选 C 5 5（2020哈尔滨）如图，AB为O的切线，点A为切点，OB交O于点C，点D在O上，连接 AD、CD、OA，若ADC35，则ABO的度数为（ ） A A25 B B20 C C3
4、0 D D35 答案B解析本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了圆周角定理， AB与O相切于点A，OABA，OAB90，AOC2CDA，ADC35，AOC70， ABO907020，因此本题选B 5（2020重庆A卷）如图，AB是O的切线，A为切点，连接 OA,OB，若B=20，则AOB的度数 为（ ） A40 B50 C60 D70 A B C D O A B C D O 答案D解析AB是O的切线，ABOA，即OAB90，又B=20，AOB=180-90 -20=70 7（2020江苏徐州）AB是O的弦，点C在过点B的切线上，OCOA，OC交AB于点P.若BPC=70，
5、则ABC的度数等于（ ） A.75 B.70 C.65 D.60 （ 第7题） 答案 B解析利用切线的性质和等腰三角形的性质来进行计算，OPA=BPC=70，OAOC， A=90-70=20， OA=OB， ABO=A=20， CB切O于点B， OBC=90， ABC=90-20=70 .故选B. 6 （2020泰安）如图，PA 是O 的切线，点 A 为切点，OP 交O 于点 B，P10，点 C 在 O 上，OCAB则BAC 等于（ ） A20 B25 C30 D50 答案 B 解析本题考查了切线的性质和圆周角定理，连接 OA，因为 PA 是O 的切线，所以PAO=90， 因为P10，所以PO
6、A=80，因为 OA=OB，所以ABO=BAO=50.因为 OCAB，所以 BOC=ABO=50，所以BAC= 1 2 BOC=25因此本题选 B 4 （2020重庆 B 卷）如图，AB 是O 的切线， A 为切点，连接 OA,OB若B=35，则AOB 的 度数为（ ） A65 B 55 C45 D35 P A O BC O P C B A P O C B A （第 6 题） 答案B 解析本题考查了切线的性质和三角形内角和定理， AB是O的切线， ABOA， 即OAB90， 又B=35，AOB=180-90-35=55，因此本题选 B 8 （2020湘西州）如图，PA、PB 为圆 O 的切线，
7、切点分别为 A、B，PO 交 AB 于点 C，PO 的延长 线交圆 O 于点 D下列结论不一定成立的是（ ） （第 8 题图） ABPA 为等腰三角形 BAB 与 PD 相互垂直平分 C点 A、B 都在以 PO 为直径的圆上 DPC 为BPA 的边 AB 上的中线 答案 解析本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形性质、垂直平分线性质等知识.PA、PB 为圆 O 的切 线，PAPB，BPA 是等腰三角形，故 A 选项正确 由圆的对称性可知：ABPD，但不一定 平分，故 B 选项不一定正确连接 OB、OA，PA、PB 为圆 O 的切线，OBPOAP90， 点 A、B、P 在以 OP 为直径的圆上，故
8、 C 选项正确BPA 是等腰三角形，PDAB，PC 为 BPA 的边 AB 上的中线，故 D 选项正确因此本题选 B 7 （2020广州）如图 3，RtABC 中，C=90，AB=5，cosA= 4 5 ，以点 B 为圆心，r 为半径作B， 当 r=3 时，B 与 AC 的位置关系是（ ） A相离 B相切 C相交 D无法确定 C B A 图图3 答案B 解析本题考查了直线与圆的位置关系，当圆心到直线的距离 rd 时，直线与圆相交；当 r=d 时，直 线与圆相切；当 rd 时，直线与圆相离根据题目条件 cosA= AC AB = 4 5 ，可得 AC=4，再根据勾股定理 可得 BC=3，即圆心
9、B 到直线 AC 的距离 BC=3=r，所以B 与 AC 相切. 因此本题选 B 7（2020通辽）如图，PA，PB 分别与O 相切于 A，B 两点，P72 ，则C（ ） A108 B72 C54 D36 答案C 解析如图，连结 OA，OB，因为 PA，PB 分别与O 相切于 A，B，所以OAP=OBP=90，因 为P+OAP+OBP+AOB=360，P72 ，所以AOB=108，由同弧所对的圆周角的度数 是圆心角度数的一半，则C 1 2 AOB=54 7.（2020永州）如图，已知 ,PA PB是O的两条切线，A，B为切点，线段OP交O于点 M给 出下列四种说法：PAPB；OPAB；四边形O
10、APB有外接圆；M 是AOP外接圆的 圆心，其中正确说法的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【详解】如图， ,PA PB是O的两条切线， ,PAPBAPOBPO 故正确， B O C A P B O C A P ,PAPBAPOBPO ,POAB 故正确， ,PA PB是O的两条切线， 90 ,OAPOBP 取OP的中点Q，连接 ,AQ BQ， 则 1 , 2 AQOPBQ 所以：以Q为圆心，QA为半径作圆，则, ,B O P A共圆，故正确， M是AOP外接圆的圆心， ,MOMAMPAO 60 ,AOM 与题干提供的条件不符，故错误， 综上：正确的说法是3个，
11、 故选 C 10.（2020永州）已知点 00 ,P x y和直线ykxb，求点 P到直线ykxb的距离 d可用公式 00 2 1 kxyb d k 计算 根据以上材料解决下面问题： 如图，C的圆心 C的坐标为1,1， 半径为 1， 直线 l 的表达式为 26yx ，P是直线 l 上的动点，Q是C上的动点，则PQ的最小值是（ ） A. 3 5 5 B. 3 5 1 5 C. 6 5 1 5 D. 2 【答案】B 【详解】过点 C作直线 l的垂线，交C于点 Q，交直线 l 于点 P，此时 PQ的值最小，如图， 点 C到直线 l的距离 00 22 2 1 1 63 5 5 1 12 kxyb d
12、k ，C半径为 1， PQ的最小值是 3 5 1 5 ，故选：B. 二、填空题二、填空题 15 （2020 台州）如图，在ABC 中，D 是边 BC 上的一点，以 AD 为直径的O 交 AC 于点 E，连 接 DE若O 与 BC 相切，ADE55，则C 的度数为 55 【分析】由直径所对的圆周角为直角得AED90，由切线的性质可得ADC90，然后由同 角的余角相等可得CADE55 【解答】解：AD 为O 的直径，AED90，ADE+DAE90；O 与 BC 相切， ADC90，C+DAE90，CADE， ADE55，C55故答案为：55 14.（2020苏州）如图，已知AB是O的直径，AC是O
13、的切线，连接OC交O于点D，连 接BD.若40C，则B的度数是_. 答案25解析本题考查了切线的性质， 互为余角的性质， 圆周角与圆心角的关系，AC切O于A， A=90，40C，AOC=50，B= 1 2 AOC= 1 2 50=25 15（2020 枣庄）如图，AB 是O 的直径，PA 切O 于点 A，线段 PO 交O 于点 C连接 BC， 若P36 ，则B_ 答案27 解析利用圆的性质与三角形的内角和求解PA 切O 于点 A，BAP90 ， AOC90 P90 36 54 B2 1 AOC2 1 54 27 16. (2020连云港)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 2 的O 与
14、 x 轴的正半轴交于点 A，点 B 是O 上一动点，点 C 为弦 AB 的中点，直线 y= 4 3 x-3 与 x 轴、y 轴分别交于点 D、E，则CDE 面 积的最小值为 . 答案2 解析本题考查了垂径定理， 三角形等积问题， 相切等知识， 由题意可得 OE3， OD4， 连接 OC， 根据垂径定理可得 OCAB，由OCA90，可知点 C 的运动轨迹为以 F(0，1)为圆心，1 为半径 的圆，若作一条直线，与F 相切于圆的下方于点 G，则点 G 距离线段 DE 最近，当点 C 位于点 G 处时，CDE 面积最小，又根据同底等高可知 DEN 与 DEG 面积相等，又由于FGN 与 EOD 相似
15、，可求得 FN 5 3 ，所以 DN 4 3 ，所以 EDN 的面积为 14 3 23 2 14 （2020泰州）如图，直线ab，垂足为H，点P在直线b上，4PHcm，O为直线b上一 动点，若以1cm为半径的O与直线a相切，则OP的长为_ 答案3cm 或 5cm 解析本题需要分两种情况讨论，点 O 在直线 a 的左侧和点 O 在直线 a 的右侧 16 （2020 鄂州） 如图， 已知直线34yx 与 x、 y轴交于 A、 B两点，O的半径为 1， P为AB 上一动点，PQ切O于 Q点当线段PQ长取最小值时，直线PQ交 y轴于 M 点，a为过点 M的 一条直线，则点 P到直线 a的距离的最大值为
16、_ 答案2 3 解析本题考查了圆和函数的综合问题， 题解题中含义找到点的位置是解题的关键 先找到PQ长 取最小值时 P 的位置即为 OPAB 时，然后画出图形，由于 PM 即为 P 到直线 a 的距离的最大值， 求出 PM长即可 解：如图， G F M N 在直线34yx 上，x0时，y4，y0时，x 4 3 3 ， OB4，OA 4 3 3 ， 3 tan 3 OA OBA OB ， OBA30 ， 由PQ切O于 Q点，可知 OQPQ， 22 =PQOPOQ， 由于 OQ1，因此当 OP最小时PQ长取最小值，此时 OPAB， 1 2 2 OPOB，此时 22 = 21 = 3PQ ， 22
17、= 42 =2 3BP ， 1 2 OQOP，即OPQ30 ， 若使 P到直线 a的距离最大，则最大值为 PM，且 M位于 x轴下方， 过 P作 PEy轴于 E， 1 3 2 EPBP， 22 2 333BE ， 4 3 1OE ， 1 2 OEOP，OPE30 ， EPM30 30 60 ，即EMP30 ， 22 3PMEP， 故答案为：2 3 17 （2020东营）如图，在 RtAOB 中，OB=2 3，A=30，O 的半径为 1，点 P 是 AB 边上的 动点，过点 P 作O 的一条切线 PQ（其中点 Q 为切点） ，则线段 PQ 长度的最小值为 答案2 2 解析本题考查了切线的性质、
18、直角三角形的性质及勾股定理 难度适中， 注意掌握辅助线的作法， 注意得到当 OPAB 时，线段 PQ 最短是关键 连接 OP、OQ， PQ 是O 的切线，OQPQ，根据勾股定理知 222 PQOPOQ=-,当 OPAB 时，线段 PQ 最短. 在 RtAOB 中，OB=2 3，A=30，4 3AB =，6AO =， 2 1 OAOB= 2 1 OPAB，即 6 2 3 3 4 3 OP =， 22 312 2PQ =-= 16 （2020呼和浩特）已知 AB 为O 的直径且长为 2r，C 为O 上异于 A，B 的点，若 AD 与过 点 C 的O 的切线互相垂直，垂足为 D若等腰三角形 AOC
19、的顶角为 120 度，则 CDr， 若AOC 为正三角形，则 CDr，若等腰三角形 AOC 的对称轴经过点 D，则 CDr， 无论点 C 在何处，将ADC 沿 AC 折叠，点 D 一定落在直径 AB 上，其中正确结论的序号为 【解析】AOC120， CAOACO30， CD 和圆 O 相切，ADCD， OCD90，ADCO， ACD60，CAD30， CDAC，过点 O 作 OEAC，垂足为 E， 则 CEAEACCD， 而 OEOCr，OCACOE，CEOE， A B O P Q CDr，故错误； 若AOC 为正三角形， AOCOAC60，ACOCOAr， OAE30， OEAO，AEAOr
20、， 过点 A 作 AEOC，垂足为 E， 四边形 AECD 为矩形， CDAEr，故正确； 若等腰三角形 AOC 的对称轴经过点 D，如图， ADCD，而ADC90， DACDCA45，又OCD90， ACOCAO45 DAO90， 四边形 AOCD 为矩形， CDAOr，故正确； 过点 C 作 CEAO，垂足为 E， OCCD，ADCD， OCAD， CADACO， OCOA， AOCCAO， CADCAO， CDCE， 在ADC 和AEC 中， DAEC，CDCE，ACAC， ADCAEC（HL） ， ADAE， AC 垂直平分 DE，则点 D 和点 E 关于 AC 对称， 即点 D 一定
21、落在直径 上，故正确 故正确的序号为：， 故答案为： 三、解答题三、解答题 19（2020 嘉兴）已知：如图，在OAB中，OAOB，O与AB相切于点C求证：AC BC小明同学的证明过程如下框： 证明：连结OC， OAOB， AB， 又OCOC， OACOBC， ACBC 小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“”；若错误，请写出你的证明过程 解析本题考查了全等三角形的判定，切线的性质，等腰三角形的三线合一等知识由AB 是O的切线，得到OCAB，又因为OAOB，所以ACBC。 答案解： 解：证法错误. 证明：连结OC，O与AB相切于点C，OCAB，又OAOB，ACBC 24（2020铜仁）如图，
22、AB是O的直径，C为O上一点，连接AC，CEAB于点E，D是直径AB 延长线上一点，且BCEBCD （1）求证：CD是O的切线； （2）若AD8，求CD的长 解析（1）连接OC，根据圆周角定理得到ACB90，根据余角的性质得 到AECB， 求得ABCD， 根据等腰三角形的性质得到AACO， 等量代换得到ACO BCD，求得DCO90，于是得到结论；（2）设BCk，AC2k，根据相似三角形的性质 列比例求解 答案（1）证明：如图，连接OC.AB是O的直径，ACB90，CEAB，CEB 90， ECB+ABCABC+CAB90，AECB， BCEBCD，ABCD，OCOA，AACO，ACOBCD，
23、 ACO+BCOBCO+BCD90，DCO90，CD是O的切线. （2）解：ABCE，tanAtanBCE， 设BCk，AC2k，DD，ABCD，ACDCBD， ，AD8，CD4 25 （2020黔西南州）古希腊数学家毕达哥拉斯认为:“一切平面图形中最美的是圆” 请研究如 下美丽的圆如图，线段AB是O的直径，延长AB至点C，使BCOB，点E是线段OB的中点，DE AB交O于点D， 点P是O上一动点 （不与点A，B重合） ， 连接CD，PE，PC （1）求证:CD是O的切线； （2） 小明在研究的过程中发现 PE PC 是一个确定的值 回答这个确定的值是多少？ 并对小明发现的结论加以证明 解析本
24、题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质 （1）连接 OD，DB，由已知可得 DE 垂直平分 OB，于是 DBDO，而 OBOD，所以 DBDOOB，即ODB 是等边三角形，于 是BDO60，再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得CDB30，从而可得ODC 90， 所以 ODCD， 所以 CD 是O 的切线； （2） 连接 OP， 由已知条件得 OPOBBC2OE， 再利用“两组边成比例，夹角相等”证明OEPOPC，最后由相似三角形的对 应边成比例得到结论 答案解:（1）如答图，连接 OD，DB，点 E 是线段 OB 的中点，DEAB 交 O 于点 D，DE 垂直平分 OB，DBD
25、ODOOB，DBDOOB， ODB 是等边三角形，BDODBO60BCOBBD，且DBE 为 BDC 的外角，BCDBDC 1 2 DBODBO60，CDB30ODC BDOBDC603090，ODCD，CD 是O 的切线； （2）这个确定的值是 1 2 证明:如答图，连接 OP，OPOBBC2OE， OE OP OP OC 1 2 ，又COPPOE，OEPOPC， PE PC OP OC 1 2 22 （2020新疆）如图，在O 中，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，P 是BC的中点，过点 P 作 AC 的垂线，交 AC 的延长线于点 D （1）求证：DP 是O 的切线； （2）若 AC
26、5， 5 sinAPC 13 ，求 AP 的长 解析本题考查了切线的判定，锐角三角函数，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定 理等知识 （1）连接 OP，转化为证明 OPPD，这可通过证明 OPAD 并结合 PDAD 得到； （2） 作 CEPA 于点 E，连接 PB，PC，BC，BC 交 OP 于点 F，由 sinAPC 5 13进行巧设，即 CE5x， PC13x， 进而得到 PB13x 证ACEABP 得到 AC AB CE PB， 从而求得 AB13， 于是 BC12， OP 13 2 ，证 OF 为ABC 的中位线得 OF 5 2 ，于是得到 PF4，由垂径定理得 CF6，证
27、四边形 CDPF 为矩形，得到 PDCF6，CDPF4，所以 AD9，在 RtAPD 中利用勾股定理求得 BD 长为3 13 答案解： （1）证明：如答图，连接 OPP 是是BC的中点，PBPC，PACPAO OAOP，PABAPO，PACAPO，OPAC，PDAC，PD OP，PD 是O 的切线 （2）如答图，过点 E 作 CEAP 于点 E连接 PB，PC，BC，BC 交 OP 于点 F在 Rt PCE 中，sinAPC 5 13， CE PC 5 13设 CE5x，则 PC13xPBPC， PBPC13x AB 是O 的直径， APB90 CEAP， AEC90 C D EF AB O
28、P APBAEC，又EACPAB，ACEABP AC AB CE PB， 5 AB 5 13 x x，AB 13OP 13 2 AB 是O 的直径，ACB90，BC 22 ABAC 22 135 12 PDAD，D90，DACB，PDBC，OPPD，OPBC，CFBF 1 2 BC 1 2126 DDCFDPF90， 四边形 CDPF 是矩形， PDCF6， PFCD AB 为O 的直径，OAOB，又CFBF，OF 1 2 AC 5 2 ，PFOPOF 13 2 5 2 4， CD4，ADACCD549，在 RtAPD 中，由勾股定理得 PA 22 ADPD 22 96 3 13 20（202
29、0遵义）如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上一点，CAB 的平分线 AD 交BC于点 D，过点 D 作 DEBC 交 AC 的延长线于点 E (1)求证:DE 是O 的切线; (2)过点 D 作 DFAB 于点 F，连接 BD若 OF1， BF2，求 BD 的长度 解析本题考查切线的判定， 勾股定理的综合运用 （1） 连接 OD， 证 ODDE 即可； (2) 因为 DFAB 于点 F，所以由勾股定理可得 OD2OF2BD2BF2，BD 的长度 可求 答案解: (1)连接 OD，则23AD 平分CAB，1213 AB 为直径，ACB90DE/ BC，E90，1490 3490DE 是O
30、的切线 (2) 连接 OD则 OD3DFAB， OD2OF2BD2BF2 即 3212BD2 22解得 BD2 3 24（2020 常德） 如图， 已知 AB是 的直径， C是 上的一点， D是 AB上的一点， 于 D， DE交 BC于 F，且 = (1)求证：EC是 的切线； (2)若 = 4， = 8，圆的半径 = 5，求切线 EC的长 解析 ( )连接 OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得 = 9 ，即可证 EC 是 的切线； (2)由勾股定理可求 = ， 由锐角三角函数可求 = ， 可求 = ， 通过证明 ，可得 ECCF OAAC ，可求解 答案解： ( )连接 OC， =
31、 ， = ， ， = 9 ， = ， = = ， = 9 ， ， 是 的 切线； (2) 是 的直径， = 9 ， = ， = ， = = = ， = = ， = ， = ， = = ， = 9 ， = 9 ， = ， = = = ， F E D O A B C 4 2 3 1 F E D O A B C = ， = = = = ， ， = ， = = = 23 （2020黔东南州）如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上一点（与点 A，B 不重合） ，过点 C 作直线 PQ，使得ACQABC （1）求证：直线 PQ 是O 的切线 （2）过点 A 作 ADPQ 于点 D，交O 于点 E，若O
32、 的半径为 2，sinDAC= ， 求图中阴影部分的面积 解析（1）连接 OC，由直径所对的圆周角为直角，可得ACB90；利用等腰三角 形的性质及已知条件ACQABC，可求得OCQ90，进而根据切线的判定定理 可得结论 （2）由 sinDAC= ，可得DAC30，从而可得ACD 的 度数，进而判定AEO 为等边三角形，则AOE 的度数可得，然后利用 S 阴影S 扇形SAEO 获解 答案解： （1）证明：如图，连接 OC， AB 是O 的直径，ACB90，OAOC，CABACO ACQABC，CAB+ABCACO+ACQOCQ90，即 OCPQ， 直线 PQ 是O 的切线 （2）连接 OE，si
33、nDAC= ，ADPQ，DAC30，ACD60 又OAOE，AEO 为等边三角形，AOE60S 阴影S 扇形SAEO S 扇形 OAOEsin60= 22 22 = 图中阴影部分的面积为 26(2020绥化)如图 11，ABC内接于O，CD是直径，CBGBAC，CD与AB相交于点E，过 点E作EFBC，垂足为F过点O作OHAC，垂足为H连接BD、OA (1)求证：直线BG与O相切： (2)若 BE OD 5 4 ，求 EF AC 的值 解析(1)连结 OB，证 BGOB 即可；(2)由圆周角定理以及“等腰三角形的三线合一”推出EBF AOH，从而利用BEFOAH 求解 G H F D O E
34、C A B 图 11 答案证明：(1)连接 OBCD 是O 的直径，DBC90DBOOBC90 ODOB，DDBO又DBAC，BACCBG，CBGDBO CBGOBC90，OBG90，即 OBBGOB 是O 半径，直线 BG 与O 相切 解：(2)OHAC，OAOC，AOH 1 2AOC，AC2AH ACAC，ABC 1 2AOCAOHABCEFBC，OHAC，EFBOHA90 BEFOAH BE OA EF AH BE OD 5 4，ODOA， BE OA EF AH 5 4 AC2AH， EF AC2 EF AH 5 8 EF AC的值是 5 8 24（2020聊城）如图，在ABC中，AB
35、BC，以ABC的边AB为直径作O，交AC于点D，过点 D作DEBC，垂足为点E （1）试证明DE是O的切线； （2）若O的半径为 5，AC610，求此时DE的长 解析（1）本题属于“见切点，连半径，证垂直”类型，根据已知条件“DEBC”只需证明 ODBC 即可，由此发现点 D 应为 AC 的中点，利用圆周角定理的推论与等腰三角形三线合一的性质可获得， 从而思路得以沟通； （2）本题实质上是解等腰三角形，除了利用 RtCDERtABD求解外，在 RtBCD中利用面积法 求高DE的长更显简捷 答案解：（1）证明：连接 OD，BD，AB 为O 的直径，BDAD， 又ABBC，ABC 是等腰三角形，B
36、D 又是 AC 边上的中线，OD 是ABC 的中位线， ODBC，又 DEBC，DEOD，DE 是O 的切线 （2）由（1）知，BD 是 AC 边上的中线，AC610，得 ADCD310 O 的半径为 5，AB10在 RtABD 中，BD 22 ADAB 22 )103(10 10 ABBC，AC在 RtCDE 和 RtABD 中，DECADB90，CA， RtCDERtABD， BD DE AB CD ，即 1010 103DE ，解得 DE3 O D A B C E O D A B C E 25（2020 宿迁）如图，在 ABC 中，D 是边 BC 上一点，以 BD 为直径的O 经过点 A
37、，且CAD ABC （1）请判断直线 AC 是否是O 的切线，并说明理由； （2）若 CD2，CA4，求弦 AB 的长 解析（1）连接 OA，利用切线的判定定理，根据条件证明 ACOA 即可证明直线 AC 是O 的切 线；（2）过点 A 作 AEBC 于点 E，设O 的半径为 r，在 Rt OAC 中，由勾股定理，即可求 出 r 的值，然后由面积桥法可求得 AE12 5 ，从而 CE 22 CDAE 16 5 ，于是 BE816 5 24 5 ，最后由勾股定理锁定 AB 的长 答案解：（1）直线 AC 是O 的切线，理由如下：如答图，连接 OA BD 为O 的直径，BAD90 OABOADOA
38、OB，OABABC 又CADABC，OADCAD90 ACOA又点 A 在O 上， 直线 AC 是O 的切线 （2）如答图，过点 A 作 AEBC 于点 E，设O 的半径为 r，则 OAr，OCr2 在 Rt OAC 中，由勾股定理，得 r242(r2)2，解得 r3，从而 OC5，BC8由面积法可求 得 AE 12 5 ，从而 CE 22 CDAE 16 5 ，于是 BE816 5 24 5 在 Rt ABE 中，由勾股 定理，得 AB 22 AEBE 12 5 5 20（2020 河南）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而利用尺规作图三等分一个任意角 曾是数学史上一大难题，之后被数学家
39、证明是不可能完成的.人们根据实际需要，发现了一种简易操 作工具三分角器.图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半 圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长. 使用方法如图2所示，若要把MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过MEN的顶点E， 点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把MEN三等分了. 为了说明这一方法的正确性， 需要对其进行证明.如下给出了不完整的已知和求证， 请补充完整， 并写出证明过程. 已知:如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EBAC，垂足为为B， . 求证: . 第25 OD C B A E
40、OD C B A 第 25 题答 解析先写出已知条件，然后根据切线的性质、垂线的定义找出三角形全等的条件，进而确定相等 的角.答案已知:如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EBAC，垂足为为B， AB=OB，EN切半 圆O于点F.求证: 1=2=3 . 证明：连接OF.EBAC， ABE=OBE=90 ，又AB=OB，EB=EB，ABEOBE， 1=2.EN切半圆O于点F，OFEF， 又OBEB且OF=OB， EO平分BEF， 3=2， 1=2=3. 24（2020 衡阳）如图，在 ABC中，C=90 ，AD平分BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆 心O在线段AB上，O交AB于点E，交A
41、C于点F. (1)判断BC与O的位置关系，并说明理由； (2)若AD =8 ，AE= 10，求BD的长. (第24题图) 解析本题考查了圆周角定理、切线的判定于性质、角平分线定义，勾股定理，平行线性质和判定， 相似三角形的性质和判定的应用，主要考查综合运用性质进行推理和计算的能力解题的关键是学 会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题（1）连接OD，推出ODAC，推出ODBC，根 据切线的判定推出即可；（2）连接DE，过D作DMAB于M，先求ED、DM、EM，再通过相似三 角形判定与性质、勾股定理推出关系式BD2=BM2+DM2=BE BA，求BE，从而求得BD的长 答案解： （1）BC与O
42、相切，证明：连接ODOA=OD，OAD=ODA，AD平分BAC， OAD=DAC，ODA=DAC，ODAC，ODB=C=90 ，ODBC，OD是半 径，直线BC与O相切； (第24题答图1) (第24题答图2) (2)解：连接DE，过D作DMAB于M，AE为直径，EDA90 ，在Rt EDA中，AE10，AD 8，由勾股定理得ED6，S EDA 1 2 DE AD 1 2 AE DM， DM 24 5 ，在Rt EDM中，由勾股定理得：ME 2222 2418 6() 55 DEDM ， BC切O于D，EDBBAD，BB，BDEBAD， BDAB BEBD ， BD2BEBA，在Rt BDM中
43、，BD2BM2+DM2，BM2+DM2BE BA， COAB D 图1 D BAOC N M E F 12 3 图2 （BE 18 5 ）2+（ 24 5 ）2BE （BE+10）BE 80 7 ，BD2 80 7 （ 80 7 10），BD 20 30 7 23（2020 枣庄）如图，在 ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 分别交 AC、BC 于点 D、E， 点 F 在 AC 的延长线上，且BAC2CBF （1）求证：BF 是O 的切线； （2）若O 的直径为 4，CF6，求 tanCBF 解析 （1） 欲证 BF 是O 的切线， 可证ABCCBF90 这里与直角相关的条件是 AB
44、为O 的直径， 于是连接AE， 则利用等腰三角形三线合一的性质及条件BAC2CBF， 易于得到BAE CBF，由此思路得以沟通； （2）根据所给条件可知线段 AB，AC，CF，AF 的长，于是利用勾股定理可再求 BF 的长，这样欲 求 tanCBF，可直接作 CHBF 于点 H，在 Rt BCH 中求解，也同时构造了相似三角形，易求 CH 与 FH 的值，进而得 BH 的值，于是可求CBF 的正弦值 答案解： （1）证明：如图，连接 AE AB 是O 的直径，AEB90 ，1290 ABAC， 21BAC BAC2CBF， 1CBF CBF290 ， 即ABF 90 AB 是O 的直径，直线
45、BF 是O 的切线 （2）过点 C 作 CHBF 于点 HABAC，O 的直径为 4，AC4 CF6，ABF90 ，BF 22 ABAF 22 410 212 CHFABF，FF，CHFABF AB CH AF CF ，即 4 CH 64 6 ， CH 5 12 ，HF 22 CHCF 22 ) 5 12 (6 5 216 BHBFHF2 21 5 216 5 214 tanCBF BH CH 5 214 5 12 7 21 O E A C B D F 1 2 O E A C B D F 23 （2020 陕西）如图， ABC 是O 的内接三角形，BAC75 ，ABC45 连接 AO 并延长，
46、 交O 于点 D，连接 BD过点 C 作O 的切线，与 BA 的延长线相较于点 E （1）求证：ADEC； （2）若 AB12，求线段 EC 的长 第 23 题图 解析（1）CE 是O 切线，连接 OC，则有 OCCE，要证 ADEC，只需证明 OAOC，由ABC 45 以及同弧所对的圆心角是圆周角的 2 倍，可证得AOC90 ，即 OAOC； （2）求直角梯形 AOCE 的下底 CE 的长度，过 A 作 AFCE，将直角梯形分割成一个正方形和一个直角三角形，根据 ADCE 得E30 ，运用含 30 直角三角形的三边关系求解关键是要求出O 的半径 答案解:（1）证明：如答图，连接 OCCE 与
47、O 相切于点 C，OCE90 又ABC45 ，AOC90 ADEC （2）解：如答图，过点 A 作 AFEC，垂足为 F OAOC，四边形 AOCF 为正方形ABC45 ，BAC75 ， ACB60 ，D60 AD 是直径，ABD90 ，BAD30 在 Rt ABD 中，ADcos30 AB 83AFCFOA43 ADEC，EBAD30 在 Rt AEF 中，EFtan30 AF 12 ECEF+FC12+4 3 第 23 题答图 25 (2020 自贡)如图， O 是 ABC 的外接圆， AB 为直径， 点 P 为O 外一点， 且 PAPC= 2AB， 连接 PO 交 AC 于点 D，延长 PO 交O 于点 F E C D O