1、 知识点知识点 22 线段垂直平分线、角平分线、中位线线段垂直平分线、角平分线、中位线 一、选择题一、选择题 6（2020 枣庄）如图，在 ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AE若 BC=6，AC=5，则 ACE 的周长为（ ） A8 B11 C16 D17 答案B解析利用线段垂直平分线的性质进行等线段间的转换， 然后整体求值 DE 垂直 平分 AB，AE=BE，ACE 的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11 7 （2020怀化）在 RtABC 中，B90，AD 平分BAC，交 BC 于点 D，DEAC， 垂足为点 E，若
2、 BD3，则 DE 的长为（ ） A3 B3 2 C2 D6 答案A 解析根据角平分线的性质即可求得 解：B90， DBAB， 又AD 平分BAC，DEAC， 由角平分线的性质得 DEBE3， 故选：A 1（2020 河北）如图1，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有 A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 答案D 解析在平面内，过任意一点都能作出直线m的一条垂线，故这样的垂线有无数条，选项D 正确. 7 (2020 成都)如图， 在 ABC 中， 按以下步骤作图： 分别以点 B 和 C 为圆心， 以大于1 2BC 的 A B C D E 长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N；作直
3、线 MN 交 AC 于点 D，连接 BD若 AC6， AD2，则 BD 的长为（ ） A2 B3 C4 D6 答案C解析根据线段垂直平分线的性质即可得到结论 解：由作图知，MN 是线段 BC 的垂直平分线， BDCD，AC6，AD2，BDCD4，故选：C 9(2020成都)如图，直线 l1l2l3，直线 AC 和 DF 被 l1，l2，l3所截，AB5，BC6， EF4，则 DE 的长为（ ） A2 B3 C4 D10 3 答案D解析根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可 解：直线 l1l2l3，AB BC = DE EF，AB5，BC6，EF4， 5 6 = DE 4 ，DE=
4、10 3 ，故选： D 4（2020 宜昌）如图，点 E,F,G,Q,H 在一条直线上，且 EF=GH,我们知道按如图所作的直 线 l 为线段 FG 的垂直平分线，下列说法正确的是（ ）. Al 是线段 EH 的垂直平分线 Bl 是线段 EQ 的垂直平分线 Cl 是线段 FH 的垂直平分线 DEH 是线段 l 的垂直平分线 答案A解析根据垂直平分线的定义，可得 l 经过 FG 的中点 O，EF=GH，EO=HO,l 是线段 EH 的垂直平分线. 8 （2020 凉山州） 点 C 是线段 AB 的中点， 点 D 是线段 AC 的三等分点 若线段 AB12cm， 则线段 BD 的长为（ ） A10
5、 cm B8 cm C10 cm 或 8 cm D2 cm 或 4 cm 答案C解析如答图，由中点及三点分点可知，BD628 或 BD6410，从而线 段 BD 的长为 10 cm 或 8 cm，故选 C （ 第 4 （2020广州）ABC 中，点 D，E 分别是ABC 的边 AB，AC 的中点，连接 DE，若C=68 ，则AED=（ ）A22 B68 C96 D112 答案B 解析本题考查了三角形中位线定理，由题目条件可知，DE 是ABC 的中位线，三角形的中 位线平行于第三边，所以 DE/BC，所以AED=C=68，因此本题选 B 10 （2020烟台）如图，点 G 为ABC 的重心，连接
6、 CG，AG 并延长分别交 AB，BC 于点 E，F，连接 EF，若 AB4.4，AC3.4，BC3.6，则 EF 的长度为（ ） A1.7 B1.8 C2.2 D2.4 【解析】点 G 为ABC 的重心，AEBE，BFCF，EF= 1 2 =1.7，故选：A 12 （2020淄博）如图，在ABC 中，AD，BE 分别是 BC，AC 边上的中线，且 ADBE， 垂足为点 F，设 BCa，ACb，ABc，则下列关系式中成立的是（ ） Aa2+b25c2 Ba2+b24c2 Ca2+b23c2 Da2+b22c2 【解析】设 EFx，DFy， AD，BE 分别是 BC，AC 边上的中线， 点 F
7、为ABC 的重心，AF= 1 2AC= 1 2b，BD= 1 2a， AF2DF2y，BF2EF2x， ADBE， 第 8 题答图 222 6 D2D1CBA AFBAFEBFD90， 在 RtAFB 中，4x2+4y2c2， 在 RtAEF 中，4x2+y2= 1 4b 2， 在 RtBFD 中，x2+4y2= 1 4a 2， +得 5x2+5y2= 1 4（a 2+b2） ， 4x2+4y2= 1 5（a 2+b2） ， 得 c2 1 5（a 2+b2）0， 即 a2+b25c2 故选：A 二、填空题二、填空题 16.（2020苏州）如图，在ABC中，已知2AB ，ADBC，垂足为D，2B
8、DCD.若 E是AD的中点，则EC _. 答案1 解析本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，定理，取BD中点F，连接 EF，因为BD=2CD，所以FD=CD,因为AD BC ，所以EF=CE,因为E是AD的中点，所以EF为 ABD的中位线，所以EF=EC= 1 2AB=1. 12 （2020 镇江）如图，在 中， = 3 ，将 平移 5 个单位得到 111 ， 点、 分别是、11 的中点， 的最小值等于 F 答案35 解析本题考查了中位线和平移的知识，取 AC 的中点 D，连接 PD，则 PD 1 2 BC15， DQ5，PQ 的最小值为 51535 18 （2020常州）如图，
9、在ABC 中，B45 ，AB6 2，D、E 分别是 AB、AC 的中点， 连接 DE，在直线 DE 和直线 BC 上分别取点 F、G，连接 BF、DG若 BF3DG，且直 线 BF 与直线 DG 互相垂直，则 BG 的长为_ 答案2 或 4 解析本题考查了三角形中位线定理，相似三角形，等腰直角三角形三边关系等知识点，考 查了分类讨论思想如图，F 在射线 ED 上，过点 B 作 BMDF，过点 D 作 DNBC D 为中点，BD32，B45 ，BNDN3，BMDN3 BFDG， FFDH90 又FFDH90 FMBDNG，3 BFBM GDGN ， 3 3 GN GN1，BG312 过点 D 作
10、 DMBC，过 F 作 FNBC.DMBM3，1290 ，2390 13，又DMGBNF90 DMGBNF DGBF MGNF BF3DG NF3MGDM3 MG1 BGBMMG314 综上所述：BG2 或 4 A BC P Q A1 B1C1 图 1 图 2 15. (2020湘潭)如图， 点P是AOC的角平分线上一点，PDOA， 垂足为点D， 且3PD， 点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为_ 答案3 解析本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，根据垂线段最短可知当 PMOC 时，PM 最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案 根据垂线段最短可知：当 PMOC 时，PM最小， 当 PM
11、OC 时， 又OP平分AOC，PDOA，3PD， PM=PD=3 故答案为：3 （2020本溪）15 （3 分）如图，在ABC 中，M，N 分别是 AB 和 AC 的中点，连接 MN， 点 E 是 CN 的中点，连接 ME 并延长，交 BC 的延长线于点 D若 BC4，则 CD 的长为 2 答案2 解析M，N 分别是 AB 和 AC 的中点， MN 是ABC 的中位线， MN= 1 2BC2，MNBC， NMED，MNEDCE， 点 E 是 CN 的中点， NECE， MNEDCE（AAS） ， CDMN2 5(2020青海)如图 2，ABC 中，ABAC14cm，AB 的垂直平分线 MN 交
12、 AC 于点 D， 且DBC 的周长是 24cm，则 BC_cm 答案10 解析MN 垂直平分 AB，ADBDDBC 的周长为 24，BDDCBC24，即 ACBC24BC24AC241410 三、解答题三、解答题 M N D C A B 图 2 25. (2020湘潭)阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心 （1）特例感知：如图（一） ，已知边长为 2的等边ABC的重心为点O，求OBC与ABC 的面积 （2）性质探究：如图（二） ，已知ABC的重心为点O，请判断 OD OA 、 OBC ABC S S V V 是否都为定值？ 如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说
13、明理由 （3）性质应用：如图（三） ，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC 于点M 若正方形ABCD的边长为 4，求EM的长度； 若 1 CME S，求正方形ABCD的面积 解析（1）连接 DE，利用相似三角形证明 1 2 OD AO ，运用勾股定理求出 AD 的长，运用三 角形面积公式求解即可； （2）根据（1）的证明可求解； （3）证明CMEABM得 1 2 EM BM ，再运用勾股定理求出 BE的长即可解决问题； 分别求出 SBMC 和 SABM 即可. 答案（1）连接 DE，如图， 点 O是ABC的重心， AD，BE是BC，AC 边上的中线， DE ，为BC，AC
14、边上的中点， DE为ABC的中位线， /DEAB， 1 2 DEAB， ODEOABVV， 1 2 ODDE OAAB ， 2AB，1BD 3AD， 3 3 OD ， 1133 2 2233 OBC SBCOD V 11 233 22 ABC SBC AD V ； （2）由（1）可知， 1 2 OD OA 是定值； 1 1 2 1 3 2 OBC ABC BC OD SOD SAD BC AD V V 是定值； （3）四边形 ABCD是正方形， / /CDAB ，4ABBCCD， CMEAMBV: V EMCE BMAB E 为 CD的中点， 1 2 2 CECD 22 2 5BEBCCE 1 2 EM BM 1 3 EM BE ，即 2 5 3 EM ； 1 CME S V ，且 1 2 ME BM 2 BMC S V ， 1 2 ME BM ， 2 1 4 CME AMB SME SBM V V ， 4S4 AMBCME S VV ， 246 ABCBMCABM SSS VVV ， 又 ADCABC SS 6 ADC S V 正方形 ABCD的面积为：6+6=12