1、知识点知识点 14 一元二次方程的几何应用一元二次方程的几何应用 一、选择题一、选择题 7（2020遵义）如图，把一块长为 40 cm，宽为 30 cm 的矩形硬纸板的四角剪去四个相 同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖 纸盒若该无盖纸盒的底面积为 600 cm2，设剪去小正方形的边长为 x cm，则可 列方程为（ ） A (302x) (40 x)600 B (30 x) (40 x)600 C (30 x) (402x)600 D (302x) (402x)600 答案D 解析本题考查一元二次方程的应用，找出图形中的等量关系是解题的关键由题意得，无 盖纸盒
2、的底面长为(402x) cm，宽为(302x) cm，根据该无盖纸盒的底面积为 600cm2,列方 程为(302x) (402x)600，故选 D. 11（2020 衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米宽20米的矩形，为 便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等 宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的 宽为多少米?若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为 （ ） A.35 20 -35x -20 x +2x2= 600 B.35 20- 35x -2 20 x =600 C. (35 -2x)(20-x) =600 D. (35-x)(20 -2x) =600 (第11题
3、图) 答案C解析本题考查了列一元二次方程，利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本 题的突破点，得到种植面积的长与宽是解决本题的易错点阴影部分分别移到矩形的上边和 左边可得矩形的长为（35-2x）米，宽为（20-x）米，可列方程为（35-2x）（20-x）=600， 故选 C 7.（2020郴州）如图 1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分） ， 并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形.这两 个图能解释下列哪个等式（ ） A 22 ) 1(12xxx B ) 1)(1(1 2 xxx C 22 ) 1(12xxx D) 1( 2 xxx
4、x 图 1 图 2 答案B 解析由图可知，图 1 的面积为：x212，图 2 的面积为： （x1） （x1） ，所以 x21（x 1） （x1） 故选：B 二、填空题二、填空题 15（2020南通） 算学宝鉴中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题： “直田积 八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文： “一个矩形田地的 面积等于 864 平方步，且它的宽比长少 12 步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地 的宽为 x 步，则可列方程为 答案x(x12)864 解析设矩形田地的宽为 x 步，那么长就应该是(x12)步根据矩形面积长宽，得：x(x 12)864故答案为：x(x1
5、2)864 （2020山西）14如图是张长 12cm，宽 10cm 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方 形和两个全等的矩形， 剩余部分 （阴影部分） 可制成底面积是 24cm2的有盖的长方体铁盒 则 剪去的正方形的边长为_ 第 14 题图 答案2cm 解析本题考查一元二次方程的应用设剪去的正方形的边长为 x，根据底面积是 24cm2得 一元二次方程： 1 2 （102x）（122 x）24，解得 x12，x29（不合题意，舍去:），故 答案为 2cm. 16（2020邵阳）中国古代数学家扬辉的田亩比乘除法捷法中记载： “直田积八百六 十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问
6、题是：一块矩形田地 的面积为 864 平方步，它的宽比长少 12 步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽 为 x 步，则依题意列方程为 . 底面 12cm 10cm 答案 x(x+12)=864 解析本题考查了一元二次方程的实际应用，因为宽为 x，且宽比长少 12，所以长为 x+12， 故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864，因此本题答案为 x(x+12)=864 三、解答题三、解答题 24（2020遵义）如图，抛物线 yax2 9 4 xc 经过点 A（1，0）和点 C (0， 3)与 x 轴的另一交点为点 B，点 M 是直线 BC 上一动点，过点 M 作 MPy 轴，交抛物
7、 线于点 P (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点 Q，使得QCO 是等边三角形?若存在，求出点 Q 的坐标;若不存在请说明理由; (3)以 M 为圆心， MP 为半径作M， 当M 与坐标轴相切时， 求出M 的半径 解析本题考查二次函数与圆综合（1）将已知点 A（1，0）和点 C (0， 3)代入抛物线 yax2 9 4 xc 列出方程组，解方程组求得 a，c 即可；（2）先假设QCO 为等边三角形， 过点 Q 作 QHOC 于点 H，得 H (0， 3 2 )，进而得点 Q 的坐标，最后检验 Q 是否在抛物线 上即可， 注意分类讨论： 点 Q 在 y 轴右边，点 Q 在
8、y 轴左边； （3） M 与坐标轴相切， 需要分M 与 x 轴相切或与 y 轴相切讨论即可. 答案解: (1) 把 A (1，0)， C(0，3)代入 y ax2 9 4 xc，解得 a 3 4 ，c3 故抛物线解析式为: y 3 4 x2 9 4 x3 (2)不存在，理由如下点 Q 在 y 轴右边时，如图，假设QCO 为等边三角形，过点 Q 作 QHOC 于点 H， 因 OC3，则 OH 3 2 ，QH 3 3 2 则 Q ( 3 3 2 ， 3 2 ),当 x 3 3 2 时， y 3 4 x2 9 4 x3 27 3 8 33 16 3 2 ，故假设不成立 所以使得QCO 是等边三 角形
9、的点 Q 不存在 点 Q 在 y 轴左边时， 如图， 假设QCO 为等边三角形， 过点 Q 作 QTOC 于点 T， 因 OC3，则 OT 3 2 ，QT 3 3 2 ，则 Q ( 3 3 2 ， 3 2 ) 当 x 3 3 2 时， y 3 4 x2 9 4 x3 27 3 8 33 16 3 2 ，故假设不成立 所以使得QCO 是等边三角形的点 Q 不存在 (3) 令 y0， 则 3 4 x2 9 4 x30， 解得 x11， x24 B (4， 0) x y P C B A O M x y H C B A O Q x y T C B A O Q 令 x0，则 y3，C(0， 3) 设直线
10、 BC 的解析式为 y kxb，把 B (4， 0) ， C(0， 3)代入， 得 , . kb b 04 3 解得 , . k b 3 4 3 直线 BC 的解析式为 y 3 4 x3 设 P(x， 3 4 x2 9 4 x3)，则 M(x， 3 4 x3)如图，当M 与 x 轴相切于点 D 时，有 PM MD， 即（ 3 4 x2 9 4 x3）（ 3 4 x3） 3 4 x3,整理，得 x25x40解得 x11， x24 (舍去) 当 x1 时，y 3 4 x3 9 4 M 的半径为 9 4 当M 与 x 轴相切于点 A 时， x1， 此时 y 3 4 x3 15 4 M 的半径为 15
11、 4 如图，当M 与 y 轴相切于点 E 时，有 PMME，即（ 3 4 x2 9 4 x3）（ 3 4 x3）x 整理，得 3x28x0解得 x1 8 3 ， x20 (舍去) M 的半 径 为 8 3 如图，当M 与 y 轴相切于点 F 时，有 PMMF， 即（ 3 4 x2 9 4 x3）（ 3 4 x3）x 整理，得 3x216x0解得 x1 16 3 ， x20 (舍去) M 的半径为 16 3 综上，M 的半径为 9 4 或 15 4 或 8 3 或 16 3 xx y D P C B A O M x y C B AO M x y E P C B A O M x y P D F C BA O M