1、知识点知识点 13 一元二次方程的代数应用一元二次方程的代数应用 一、选择题一、选择题 7 （2020 鄂州）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展某市 2019 年底有5G用 户 2 万户，计划到 2021年底全市5G用户数累计达到 8.72万户设全市5G用户数年平均增 长率为x，则x值为（ ） A20% B30% C40% D50% 答案C 解析本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准 相等关系是解题的关键先用含 x的代数式表示出 2020年底、2021年底5G用户的数量，然 后根据 2019 年底到 2021 年底这三年的5G用户数量之和8.72 万
2、户即得关于 x 的方程，解 方程即得答案 解：设全市5G用户数年平均增长率为x，根据题意，得： 2 22 12 18.72xx， 解这个方程，得： 1 0.440%x ， 2 3.4x （不合题意，舍去） x的值为 40% 故选：C 二、填空题二、填空题 三、解答题三、解答题 24（2020重庆A卷）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中” 为优选品种，提 高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究去年A，B两个品 种各种植了10亩收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B的平均亩产量比A的 平均亩产量高100kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元 （
3、1）请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？ （2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预 计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2 a%，由于B品种深受 市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上涨a%，而A品种的售价不变A，B 两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加 20 % 9 a求a的值 解析（1）设A品种去年平均亩产量为xkg，则B品种去年平均亩产量为（x+100）kg，根据 “A品种总收入+B品种总收入=21600元”列方程求解；（2）根据“A品种总收入+B品种总收 入=去年总收入（1+ 20 % 9 a ）”列方程求
4、解. 答案解： （1）设A品种去年平均亩产量为xkg，则B品种去年平均亩产量为（x+100）kg， 根据题意，得2.410 x2.410（x+100）=21600，解得x=400. 答：A品种去年平均亩产量为400kg，B品种去年平均亩产量为500kg. （2）根据题意，得10400（1+a%）2.4+10500（1+2a%）2.4（1+a%）=21600（1+ 20 9 a%）. 设a%=m，化简方程，得10m2-m=0，解得m1= 1 10，m2=0（舍）.a=10.答：a的值为10. 28（2020 宿迁）二次函数 yax2bx3 的图像与 x 轴交于 A(2，0)，B(6，0)两点，与
5、 y 轴交于点 C，顶点为 E （1）求这个二次函数表达式，并写出点 E 的坐标； （2）如图，D 是该二次函数图像的对称轴上一个动点，当 BD 的垂直平分线经过点 C 时，求点 D 的坐标； （3） 如图， P 是该二次函数图像上的一个动点， 连接 OP， 取 OP 的中点 Q， 连接 QC， QE，CE当 CEQ 的面积为 12 时，求点 P 的坐标 解析（1）利用两根式或一般式用待定系数法列方程（组）求二次函数表达式，再利用配 方法将一般式化为顶点式来求 E 点坐标； （2）利用线段垂直平分线的性质列关于点 D 的 纵坐标的一元二次方程求解即可；（3）先设 P 点坐标，再利用两点间线段的
6、中点公式得 到 Q 点的坐标，然后求出 CQ 的解析式（用点 P 的坐标表示），就得到 CQ 与抛物线的 对称轴的交点 M 的坐标， 从而将 CEQ 的面积转化为 EM 与 Q 点到 y 轴的距离的乘积的 一半，列关于点 P 横坐标的一元二次方程，解之即可锁定点 P 的坐标 答案解：（1）由题意得 4230 36630 ab ab ，解得 1 4 2 a b ， 第28题图 第28题图 Q P x y O AB C E E D C BA O y x 故所求这个二次函数表达式为 y 1 4 x22x3y 1 4 x22x3 1 4 (x4)21， E(4，1) （2）如答图 1、答图 2，连接
7、CB、CD，由点 C 在线段 BD 的垂直平分线上，得 CBCD设 D(4，m)，易知 C（0，3），则 42(m3)26232，解得 m329，从而满足条件的 点 D 坐标为(4，329)或(4，329) （3）如答图 3，设 CQ 交抛物线的对称轴于点 M，设 P(n， 1 4 n22n3)，则 Q( 1 2 n， 1 8 n2 n 3 2 )设直线 CQ 的解析式为 ykx3，则 1 8 n2n 3 2 1 2 nk3，解得 k 1 4 n2 3 n ，于是 CQ：y( 1 4 n2 3 n )x3，当 x4 时，y4( 1 4 n2 3 n )3n5 12 n ， 从而 M(4，n5
8、12 n )，MEn4 12 n S CQES CEMS QEM 1 2 1 2 nME 1 2 1 2 n(n4 12 n )12， n24n600，解得 n10 或6当 n10 时，P(10，8)；当 n6 时，P(6，24) 综上，满足条件的点 P 坐标为(10，8)或(6，24) 23 （2020湘西州）某口罩生产厂生产的口罩 1 月份平均日产量为 20000 个，1 月底因突 然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求工厂决定从 2 月份起 E D C BAO y x 第 28 题答图 x y O A B C D E 第 28 题答图 第 28 题答图 M E C BA
9、 O y x P Q 扩大产能，3 月份平均日产量达到 24200 个 （1）求口罩日产量的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计 4 月份平均日产量为多少？ 解析本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等量关 系 （1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为 x，根据题意列出方程即可求解； （2）结合（1）按照这个增长率，根据 3 月份平均日产量为 24200 个，即可预计 4 月份平 均日产量 答案解： （1）设口罩日产量的月平均增长率为 x，根据题意，得 20000（1+x） 224200， 解得 x12（舍去） ，x20.110%，答：口罩日产量的月平均增长率为 10% （2）24200（1+0.1）26620（个） 答：预计 4 月份平均日产量为 26620 个