1、知识点知识点 12 一元二次方程一元二次方程 一、选择题一、选择题 6 （2020 湖州）已知关于 x 的一元二次方程 x2+bx10，则下列关于该方程根的判断，正 确的是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D实数根的个数与实数 b 的取值有关 【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断0，然后利用判别式的意义对 各选项进行判断 【解答】解：b24（1）b2+40，方程有两个不相等的实数根故选：A 9（2020铜仁）已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是 关于x的一元二次方程x26x+k+20的两个根，则k的值等于（ ） A7
2、 B7或6 C6或7 D6 答案B 解析有两种情况：m、n中有一个的值为4，即4是方程的一个解，所以1624 k2=0，解得k=6；m=n4，即方程有两个相等的实数根，所以364（k+2）=0，解得 k=7。因此本题选B 8 （2020黔西南州）已知关于 x 的一元二次方程(m1)x22x10 有实数根，则 m 的取 值范围是（ ） Am2 Bm2 Cm2 且 m1 Dm2 且 m1 答案D 解析本题考查了根的判别式的性质:当 b24ac0 时，方程有实数根因为关于 x 的一元 二次方程 x22xm0 有实数根，所以 b24ac224(m1)10，解得 m2又因 为(m1)x22x10 是一元
3、二次方程，所以 m10综上所述，m 的取值范围是 m2 且 m1，因此本题选 D 5 （2020新疆）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A 2 1 0 4 xx B 2 240 xx C 2 20 xx D 2 20 xx 答案D解析本题考查了一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项中方程的根的判别 式 b24ac 的值，若 b24ac0，则一元二次方程有两个不相等的实数根在方程 x22x 0 中，因为 a1，b2，c0，所以 b24ac(2)241040，所以有两个不 相等的实数根，因此本题选 D 6（2020遵义）已知 x1，x2是方程 x23x20 的两根，则x2 1x
4、 2 2的值为（ ） A5 B10 C11 D13 答案D解析本题考查一元二次方程根与系数的关系x1，x2 是方程 x23x20 的 两根，由一元二次方程根与系数的关系，得 x1x23，x1x22， x2 1x 2 2（x1 x2）22 x1x29413 故选 D. 4 （2020黔东南州）已知关于 x 的一元二次方程 x2+5xm0 的一个根是 2，则另一个根 是（ ） A7 B7 C3 D3 答案A解析根据一元二次方程根与系数的关系“ 12 b xx a ”求解 设 x12，另一个根为 x2，则 2+ x25，解得 X27 5（2020安徽）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） Ax 2
5、+12x Bx 2+10 Cx 22x 3 Dx 22x 0 答案A 解析逐项分析如下： 选项 逐项分析 方程实数根数 A 方程可转化为(x1)20，故x1x21. 两个相等的实数根， 符合题意 B 方程可转化为x210. 无实数解 C 方程可转化为x22x30，(2)24 1(3)160. 两个不相等的实数根 D 方程可转化为x(x2)0，故x10，x22. 两个不相等的实数根 8（2020聊城）用配方法解一元二次方程 2x 23x10，配方正确的是（ ） A(x 4 3 ) 2 16 17 B(x 4 3 ) 2 2 1 C(x 2 3 ) 2 4 13 D(x 2 3 ) 2 4 11
6、答案A解析由 2x23x10，得 2x23x1，x2 2 3 x 2 1 ，x2 2 3 x( 4 3 )2 2 1 ( 4 3 )2，(x 4 3 )2 16 17 本题中“ 2 3 x”即完全平方式“a22abb2”中的“2ab”， 确定 b 值是完成配方的关键 8（2020 河南）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2017年至2019年我国 快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增 长率为x，则可列方程为( ) A. 5000(1 2 )7500 x+= B. 5 000 2(1+x)=7 500 C. 2 5000(1
7、)7500 x+= D. 2 5000 5000(1) 5000(1)7500 xx+= 答案C解析2017年的快递业务收入为5000亿元，设我国2017年至2019年快递业务收入的 年平均增长率为x，则2018年的快递业务收入为5000（1+x）亿元， 2019年的快递业务收入 是在2018年的基础上增加的，2019年的快递业务收入为5000(1+x)5000(1+x) (1+x)，即用 5000(1+x)2表示，可列方程是 2 5000(1)7500 x+= 5 （2020 黑龙江龙东）已知 2+3是关于 x 的一元二次方程 x24x+m0 的一个实数根，则 实数 m 的值是（ ） A0
8、B1 C3 D1 答案 B解析本题考查了一元二次方程解的概念，将实数根代入原方程，解：根据题意， 得（2+3）24 （2+3）+m0，解得 m1；故选：B 4 (2020 自贡)关于 x 的一元二次方程 ax22x+20 有两个相等实数根， 则 a 的值为 （ ） A1 2 B 1 2 C1 D1 答案 A 解析本题考查了一元二次方程根与系数的关系，同时要考虑二次项系数不为零，解：关 于x的一元二次方程ax22x+20有两个相等实数根， 2 ， a 1 2 因此本题选 A 5（2020南京） 关于x的方程(x1)(x2)p2(p为常数)的根的情况， 下列结论正确的是( ) A两个正根 B两个负
9、根 C一个正根，一个负根 D无实数根 答案C 解析【解析】化简方程，得：x2x2p20，根据的判别式1241(2p2)1 84p294p20，故该方程有两个不相等实数根. 7（2020菏泽）等腰三角形的一边长是 3，另两边的长是关于 x 的方程 x24xk0 的 两个根，则 k 的值为（ ） A3 B4 C3 或 4 D7 答案C 解析结合一元二次方程的解及判别式，根据边长 3 是底边长还是腰长分类讨论求解，注意 所得解需符合三角形的三边关系当 3为等腰三角形的底边长时，两腰长为一元二次方程 的两相等实根，则(4)24k0，解得 k4，此时，两腰的和=x1+x2=43，满足三角 形三边的关系，
10、k4；当 3为等腰三角形的腰长时，则 x3为一元二次方程的一个解， 把 x3代入方程，得 912k0，解得 k3，方程为 x24x30，解得 x1=1，x2=3，因 为 1+33，符合三角形的三边关系，所以 k3综上可知，k的值为 3或 4 9（2020湖北荆州） 定义新运算 “a b*” ： 对于任意实数a，b， 都有 ()() 1a ba ba b* =+-， 其中等式右边是通常的加法、 减法、 乘法运算， 例 ()() 4 34 34 317 16* =+-= -=.若x kx* = （k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ） A. 有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C. 有
11、两个不相等的实数根 D.没有实数根 答案C 解析本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的情况的判别方 法由定义新运算可得 () 22 10 xxk-+=， ()() 2 22 14 115 40kkD= -创-= +，所以方 程有两个不相等的实数根，因此本题选 C 8（2020 怀化） 已知一元二次方程 x2kx+40 有两个相等的实数根， 则 k 的值为 （ ） Ak4 Bk4 Ck4 Dk2 答案C 解析根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于 k 的方程，解之即可得出 k 值 解：一元二次方程 x2kx+40 有两个相等的实数根， （k）24140， 解得：k4 故
12、选：C 8.(2020潍坊)关于 x 的一元二次方程 2 (3)10 xkxk 根的情况，下列说法正确的是 （ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 答案A解析本题考查了一元二次方程的根的判别式.一元二次方程 2 0(0)axbxcabca、 、 是常数，中， 若 2 40bac， 则方程有两个不相等的实数根； 若 2 40bac，则方程有两个相等的实数根； 2 40bac，则方程没有实数根.显然 = 2 (3)4(1)kk= 22 25(1)40kkk.故选 A. 6.(2020潍坊)若 2 21mm，则 2 483mm的值是（ ） A.
13、4 B. 3 C. 2 D. 1 答案D解析本题考查了整体数学思想. 2 483mm= 2 4(2 )34 1 31mm .故选 D. 8（2020 营口）一元二次方程 x25x+60 的解为（ ） Ax1=2，x2=3 Bx1=2，x2=3 Cx1=2，x2=3 Dx1=2，x2=3 答案D解析对于 x25x+60， =（5）24 1 6=1，由求根公式可得 x= ( 5) 2 1 - -? V = 51 2 ，x1=2，x2=3 是原方程的解 10 （2020 滨州）对于任意实数 k，关于 x 的方程 22 1 (5)2250 2 xkxkk的根的情况 为（ ） A有两个相等的实数根 B没
14、有实数根 C有两个不相等的实数根 D无 法判定 答案B 解析本题考查了根的判别式， 22 1 (5)2250 2 xkxkk ， =-（k+5）2 -4 1 2 （k2+2k+25）=-k2+6k-25=-（k-3）2-16，不论k为何值，-（k-3）20，即 =-（k-3）2-16 0，所以方程没有实数根，因此本题选B 8（2020临沂）一元二次方程 2 480 xx的解是（ ） A. 1 22 3x ， 2 22 3x B. 1 22 3x ， 2 22 3x C. 1 22 2x ， 2 22 2x D. 1 2 3x ， 2 2 3x 答案B解析考虑到此一元二次方程是一般形式，直接套用
15、公式比较简洁： 22 ( 4)( 4)4 1 ( 8)4 22 3 22 1 bbac x a ，所以 1 22 3x ， 2 22 3x ， 选项 B 正确 9 （2020 广州）直线yxa不经过第二象限，则关于x的方程 2 210axx 实数解的个 数是（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D1 个或 2 个 答案D 解析本题考查了一次函数的性质、一元二次方程的根的判别式，由“yxa不经过第二象 限”可得0a .当0a 时，原方程即为210 x ，此时实数解只有 1 个；当0a 时，此一元 二次方程的根的判别式 2 4440baca ，此时方程有 2 个不相等的实数根因此关于x 的方程 2
16、 210axx 实数解的个数为 1 个或 2 个 因此本题选 D 本题容易漏掉0a 的情况 5（2020通辽）关于 x 的方程 kx26x+90 有实数根，k 的取值范围是（ ） Ak1 且 k0 Bk1 Ck1 且 k0 Dk1 答案D 解析若 k=0，则方程为6x+90，得 x= 3 2 ，有解；若 k0，则 kx26x+90 是一元二次 方程，令=（6）249k0，则方程有解，此时可得 k1；综上可得 k1 4 （2020邵阳）设方程 x24x50 的两根分别是 x1，x2，则 x1+x2的值为（ ） A .3 B.- C. D.-2 答案A 解析本题考查了一元二次方程根与系数的关系，
17、由 2 320 xx可知， 其二次项系数 1a ， 一次项系数3b，由韦达定理： 12 xx ( 3) 3 1 b a ，因此本题选 A 5. （2020攀枝花） 若关于x的方程 2 0 xxm没有实数根，则m的值可以为（ ） A. 1 B. 1 4 C. 0 D. 1 答案A 解析由方程无实数根可知1 40m，得 1 4 m ，则 A 符合题意. 6 （2020广西北部湾经济区）一元二次方程 x22x+10 的根的情况是（ ） A有两个不等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D无法确定 答案 B 2 3 2 3 解析a1，b2，c1， （2）2411440， 有两个相等的实数根，因此
18、本题选 B 9 （2020天门仙桃潜江）关于 x 的方程0) 1(2 22 mmxmx有两个实数根 ， 且 2 212，那么 m 的值为 A1 B4 C4 或 1 D1 或 4 答 案 A ， 解 析 ： 本 题 考 查 了 根 与 系 数 的 关 系 , 根 的 判 别 式 ,x的 方 程 0) 1(2 22 mmxmx有两个实数根， ， +=2(m1),= 2 mm， 2 212， ()2 2 +=12，4(m1)22( 2 mm)=12，解得：m=4 或 m=1，=4(m1)2 4( 2 mm)0，解得：m1.故 m=4 舍去，m=1. 7 （2020武威）已知 x1 是一元二次方程（m
19、2）x2+4xm20 的一个根，则 m 的值为 （ ） A1 或 2 B1 C2 D0 【解析】把 x1 代入（m2）x2+4xm20 得： m2+4m20， m2+m+20， 解得：m12，m21， （m2）x2+4xm20 是一元二次方程， m20， m2， m1， 故选：B 二、填空题二、填空题 18 （2020黔西南州）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 121 人患了流感，每轮传 染中平均每人传染了_个人 答案10 解析本题考查了一元二次方程的实际应用设每轮传染中平均每人传染了 x 人，根据题意 得 1xx(1x)121，即(1x)2121，解得 x110，x212（舍去） ，因此
20、本题答案 为 10 10（2019 上海） 如果关于 x 的方程 x2xm0 没有实数根， 那么实数 m 的取值范围是 答案D解析方程 x2xm0 没有实数根，14m0，m 1 4 14（2020 枣庄）已知关于 x 的一元二次方程(a1)x22xa210 有一个根为 x0，则 a_ 答案1解析利用方程根的定义与一元二次方程的定义解题把 x0 代入方程，得 a2 10， 解得 a 1 因为(a1)x22xa210 是关于 x 的一元二次方程， 故有 a10， 即 a1，a1 14（2020乐山）已知 y0，且 x23xy4y20，则x y的值是_ 答案4 或1 解析将已知等式两边同除以 y 2
21、 进行变形，再利用因式分解法解关于x y的一元二次方程即 可y0，两边同除以 y 2得：(x y) 23(x y)40，因式分解得：( x y4)( x y1)0，解得 x y 4 或x y1 10（2020 北京）已知关于 x 的方程 2 20 xxk有两个相等的实数根，则 k 的值 是 答案1 解析本题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程有相等实数根的条件是 0， 即 44k0，解得 k1 （2020江西）8.若关于x的一元二次方程 2 20 xkx的一个根为1x ，则这个一元二次 方程的另一个根为 【解析】设一元二次方程的两根为 21,x x，并设1 1 x，根据 a c xx
22、21 ，可得21 2 x，另 外一根为-2，故答案为-2 11（2020扬州）方程（x+1）2=9 的根是 . 答案 x1=2，x2=-4 解析本题考查了直接开平方法解一元二次方程，本题直接开方求解即可 （x+1） 2=9，x+1=3，x 1=2，x2=-4故答案为 x1=2，x2=-4 14(2020荆门)已知关于 x 的一元二次方程 x24mx3m20(m0)的一个根比另一个根 大 2，则 m 的值为_ 答案1 解析设原方程的两根为 x1，x2，则 x1x24m，x1x23m2依题意，得x1x22 (x1x2)2(x1x2)24x1x2，16m212m24解得 m11(不合题意，舍去)，m
23、21 17 （2020南通）x1，x2为方程 x24x20200 的两根，则 x122x12x2的值为 答案2028 解析根据方程根的定义和根与系数的关系求解 x1为方程 x24x20200 的根， 2 11 420200 xx， 2 11 42020 xx， x1，x2为方程 x24x20200 的两根， x1x24， x122x12x2 x124x12（x1x2）20202 42028 10 （2020泰州）方程 2 230 xx的两根为 1 x、 2 x则 12 x x的值为_ 答案3 解析本题考查了根与系数关系，根据公式 12 x x c a ，可得本题结果为3 5 （2020 镇江）
24、一元二次方程 2 的两根分别为 答案x12，x20 解析本题考查了一元二次方程的解法，本题用因式分解法比较简便，方程可化为 x(x2) 0，x0 或 x20 14 （2020常州）若关于 x 的方程 x2ax20 有一个根是 1，则 a_ 答案a2 解析本题考查了一元二次方程的根的意义，把 x1 代入方程得：1a21，a2 （2020本溪）13 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 x2+2xk0 无实数根，则 k 的取值范 围是 答案 k1 解析由“关于 x 的一元二次方程 x2+2xk0 无实数根”可知：4+4k0，k 1 8(2020青海)在解一元二次方程 x2bxc0 时，小明看错了一
25、次项系数 b，得到的解为 x12，x23；小刚看错了常数项 c，得到的解为 x11，x24请你写出正确的一元二次方 程_ 答案x25x60 解析由小明的结果可知 c236，由小刚的结果可知 b(14)5所以原一元二 次方程是 x25x60 22(2020成都)关于 x 的一元二次方程 2x24x+m 3 2 0 有实数根，则实数 m 的取值范围 是 答案m 7 2解析根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可 解：关于 x 的一元二次方程 2x24x+m 3 2 0 有实数根， （4）24 2 （m 3 2）168m+120，解得：m 7 2，故答案为：m 7 2 10 （2020 黄冈）
26、已知是 x1，x2一元二次方程 x22x1=0 的两根，则 12 1 x x = 答案1解析本题考查了一元二次方程根与系数的关系由题意得 12 1x x ，所以 12 1 1 x x ，因此本题答案为1 13（2020 抚顺本溪辽阳）若关于 x 的一元二次方程 x22xk0 无实根则 k 的取值范 围是 答案 k1解析根据一元二次方程根的判别式可知， 当 b24ac0时方程无实根， 即可列式求值关于 x 的一元二次方程 x22xk0 无实根，224 1 (k) 44k0，解得 k1故答案为 k1 15 （2020 内江）已知关于 x 的一元二次方程 2 2 1330mxmx有一实数根为1，则该
27、 方程的另一个实数根为_ 答案 1 3 解析本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数 的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以 一元二次方程的解也称为一元二次方程的根也考查了一元二次方程的定义根据一元二次 方程的解的定义把 x=-1 代入原方程得到关于 m 的一元二次方程，解得 m 的值，然后根据一 元二次方程的定义确定 m 的值 把 x=-1 代入 2 2 1330mxmx得 m2-5m+4=0，解得 m1=1,m2=4， (m-1)20，m1m=4.方程为 9x2+12x+3=0.设另一个根为 a,则-a= 3 9 . a=-
28、1 3 .因此本题答案为 1 3 15（2020 宜宾） 已知一元二次方程 x2+2x80 的两根为 x1、 x2， 则 2 1 x x +2x1x2+ 1 2 x x 答案 37 2 解析根据一元二次方程根与系数的关系得出两根之和与两根之积，再将 2 1 x x +2x1x2+ 1 2 x x 用 两根之和与两根之积表示，从而得到式子的值 一元二次方程 x2+2x80 的两根为 x1、x2，x1+x22，x1x28， 2 1 x x +2x1x2+ 1 2 x x 2x1x2+ 22 12 12 xx x x 2 （8）+ 2 1212 12 ()2xxx x x x 16+ 2 ( 2)2
29、 ( 8) 8 37 2 12（2020 咸宁） 若关于x的一元二次方程 2 (2)xn有实数根， 则n的取值范围是_ 答案 n0 解析本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，关于x的一元二次方程 2 (2)xn有 实数根，而 2 (2)0 x ，n0，因此本题填n0 13.（2020娄底）一元二次方程 2 20 xxc有两个相等的实数根，则c 答案1 解析本题考查了一元二次方程根的判别式， 方程 2 20 xxc有两个相等的实数根， 2 40,bac 2 24 10,c 44,c 1c ，因此本题填 1 15 （2020东营）如果关于x的一元二次方程 2 60 xxm-+=有实数根，那么m的
30、取值范围 是 答案m9 解析本题考查了根的判别式的性质:当 b24ac0 时，方程有实数根因为关于 x 的一元 二次方程 x22xm0 有实数根，所以 b24ac624m10，解得 m9 18（2020 毕节）关于 x 的一元二次方程（k2）x 26 xk 2k20 有一个根是 0， 则 k 的值是_ 答案1， 解析本题考查一元二次方程的根 解： x0，关于 x 的一元二次方程为 k2k20（k2）（k1）0 k12，k21k20，k12（舍去） 故答案为 1 10.（2020郴州）已知关于x的一元二次方程052 2 cxx有两个相等的实数根，则 c 答案 解析根据题意得（5）242c0，解得
31、 c故答案为： 14 （2020威海）一元二次方程 4x（x2）x2 的解为 x12，x2 1 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可 【解析】 ：4x（x2）x2 4x（x2）（x2）0 （x2） （4x1）0 x20 或 4x10 解得 x12，x2 1 故答案为：x12，x2 1 15 （2020烟台）关于 x 的一元二次方程（m1）x2+2x10 有两个不相等的实数根， 则 m 的取值范围是 m0 且 m1 【解析】 根据题意得 m10 且224 （m1） （1） 0， 解得 m0 且 m1 故 答案为：m0 且 m1时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等 的实数根；
32、当0 时，方程无实数根 15 （2020淄博）已知关于 x 的一元二次方程 x2x+2m0 有两个不相等的实数根，则实 数 m 的取值范围是 m 1 8 【解析】方程有两个不相等的实数根，a1，b1，c2m b24ac（1）2412m0，解得 m 1 8，故答案为 m 1 8 9.（2020吉林）一元二次方程 2 310 xx 根的判别式的值为_ 【答案】13 【解析】a=1，b=3，c=-1，=b2-4ac=9+4=13一元二次方程 x2+3x-1=0 根的判别式 的值为 13 故答案为：13 13.（2020永州）若关于 x 的一元二次方程 x24xm=0 有两个不相等的实数根，则实数 m
33、 的取值范围是 【答案】m4 【解析】由已知得： =b24ac=（4）24 1 （m）=16+4m0，解得：m4 5 （2020云南）若关于 x 的一元二次方程 x2+2x+c0 有两个相等的实数根，则实数 c 的值 为 答案1 解析若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式b24ac0，建立关于 c 的 等式，求出 c 的值即可 三、解答题三、解答题 24 （2020 贵阳） （12 分） 2020 年体育中考， 增设了考生进入考点需进行体温检测的要求 防 疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进 入考点的累计人数 y（人）与时间 x（分钟）的变化情况
34、，数据如下表： （表中 915 表 示 9x15） 时间 x（分钟） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 915 人数 y（人） 0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810 （1） 根据这 15 分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律， 利用初中所学函数知 识求出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有 2 个，每个检测点每分钟检测 20 人， 考生排队测量体温， 求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少 时间？ （3）在（2）的条件下，如果要在 12 分钟内让全部考生完成体温检测，从
35、一开始就应该 至少增加几个检测点？ 答案解： （1）由表格中数据的变化趋势可知， 当 0 x9 时，y 是 x 的二次函数，当 x0 时，y0，二次函数的关系式可设为：y ax2+bx，由题意可得：,17 + b 5 9 + 3b，解得：, 1 b 18 ， 二次函数关系式为：y10 x2+180 x， 当 9x15 时，y180， y 与 x 之间的函数关系式为：y 1 x 2 + 18 x x 9 18 9x 15 ； （2）设第 x 分钟时的排队人数为 w 人， 由题意可得：wy40 x 1 x 2 + 1 x x 9 81 x 9x 15 ， 当 0 x9 时，w10 x2+140 x
36、10（x7）2+490，当 x7 时，w 的最大值490， 当 9x15 时，w81040 x，w 随 x 的增大而减小，210w450，排队人数最多时 是 490 人，要全部考生都完成体温检测，根据题意得：81040 x0，解得：x20.25， 答：排队人数最多时有 490 人，全部考生都完成体温检测需要 20.25 分钟； （3）设从一开始就应该增加 m 个检测点，由题意得：12 20（m+2）810， 解得 m 11 8 ， m 是整数，m 11 8 的最小整数是 2，一开始就应该至少增加 2 个检测点 20（2020江苏徐州）（1）解方程：2x 2-5x+3=0； 解析 （1）利用因式
37、分解法来解这个方程； 答案解：（1）2x2-5x+3=0，（2x-3）（x-1）=0，x1= 3 2，x2=1. 18 （2020南京）解方程：x22x30. 解析观察方程的系数特征，适合运用配方法解方程. 答案解：移项，得：x22x3， 配方，得：x22x131，即(x1)24. 两边同时开方，得：x12， x13，x21. 20 （2020无锡）解方程： （1）x2x10 解： （1）x2x10，5，x1 5 2 (2020南充）20.已知 1 x， 2 x是一元二次方程022 2 kxx的两个实数根. （1）求 k 的取值范围； （2）是否存在实数 k，使得等式 2 11 21 k xx
38、 成立？如果存在，请求出 k 的值，如果不存 在，请说明理由. 解析（1）根据一元二次方程022 2 kxx的两个实数根得到=（2） 24（k+2） 0，解关于 k 的不等式即可； （2） 根据根与系数的关系得出含有 k 的式子， 将等式变形后代入， 解答关于 k 的方程， 注意舍去不符合题意的值 答案解： （1）一元二次方程x 22x+k+20 有两个实数根， （2） 241（k+2）0， 解得：k1 （2）x1，x2是一元二次方程x 22x+k+20 的两个实数根， x1+x22，x1x2k+2 1 1 x + 2 1 x k2， 12 12 xx x x 2 2k k2， k 260，
39、解得：k1 6，k26 又k1， k 6 存在这样的k值，使得等式 1 1 x + 2 1 x k2，成立，k值为 6 19 （2020齐齐哈尔）解方程：x25x+60 解：x25x+60， （x2） （x3）0， 则 x20 或 x30， 解得 x12，x23 21.（2020湖北孝感）已知关于 x 的一元二次方程 2 x -(2k+1)x 2 1 + 2 k-2=0. (1)求证:无论 k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根 1 x， 2 x满足 1 x- 2 x=3，求 k 的值. 解析考查根的判别式和根与系数的关系式定理. （1）直接将方程中的各项系数代入
40、根的判别式 2 =4bac得到一个大于 0 的式子即可证明. （2）利用根与系数的关式得到： 12 21xxk， 2 12 1 2 2 x xk，然后再代入到由已知转化 得来的式子 2 1212 )49xxx x（，代入可求k的值. 答案解： （1）= 22 1 (21)4(2) 2 kk 22 441 28kkk 2 249kk 2 21)7k （ 无论k取任何实数， 2 21)0k （， 2 21)7k （0. 无论k取任何实数,方程总有两个不相等的实数根. （2）由一元二次方程的根与系数的关系定理，得： 12 21xxk， 2 12 1 2 2 x xk. 12 3xx， 2 12) 9
41、xx（，即 2 1212 )49xxx x（ 22 1 21)4 (2)9 2 kk （，化简得： 2 20kk. 解得k的值是 0，2. 18 （2020随州）已知关于 x 的一元二次方程 2 x+(2m+1)x+m-2-0. (1)求证：无论 m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根 1 x， 2 x，且 1 x+ 2 x+3 1 x 2 x=1，求 m 的值. (1)证明：依题意可得=2)-4(m-1)+(2m 2 1 分 =9+4m20， 故无论 m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根.3 分 (2)解：由根与系数的关系可得： 2 ) 12( 21 21
42、mxx mxx ，5 分 由 1 x+ 2 x+3 1 x 2 x=1，得-(2m+1)+3(m-2)=1，解得 m=8.7 分 20 （2020 鄂州）已知关于 x的方程 2 410 xxk 有两实数根 （1）求 k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为 1 x、 2 x，且 12 12 33 4x x xx ，求实数 k的值 解析本题考查了一元二次方程 ax2bxc0（a0，a，b，c 为常数）根的判别式当 0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没 有实数根以及根与系数的关系， 也考查了解一元二次方程和分式方程， 注意分式方程要验根 （1）根据方程有两个实
43、数根得出 2 44 11k 0，解之可得 （2）利用根与系数的关系可用 k表示出 x1x2和 x1x2的值，根据条件可得到关于 k的方程， 可求得 k的值，注意利用根的判别式进行取舍 答案解： （1）关于 x的一元二次方程 2 410 xxk 有两个实数根， 0，即 2 44 11k 0， 解得：k3， 故 k的取值范围为：k3 （2）由根与系数的关系可得 12 4xx ， 12 1x xk 由12 12 33 4x x xx 可得 12 12 12 3 4 xx x x x x ， 代入 x1x2和 x1x2的值，可得： 12 1 4 1 k k 解得： 1 3k ， 2 5k （舍去） ，
44、 经检验，3k 是原方程的根， 故 3k 18 （2020湖北荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值. 【问题】解方程： 22 24250 xxxx+-= 【提示】可以用“换元法”解方程. 解：设 2 2xxt+=（t0） ，则有 22 2xxt+=， 原方程可化为： 2 450tt+-= 【续解】( ) 2 29t += 解析在解无理方程时最常用的方法是换元法，一般方法是通过观察确定用来换元的式 子本题用来换元的式子为 2 2xx+，可设 2 2xxt+=，其两边分别平方后有 22 2xxt+=， 这样原方程可变形为关于t的一元二次方程，即可求得t的值，再根
45、据所设条件对t的值进行 讨论后作出取舍，即可求出x的值 答案解： 【续解】( ) 2 29t += 23t+ =?，即 1 1t =， 2 5t =- 2 20txx=+?， 2 21txx=+=， 则有 2 21xx+=，配方，得：( ) 2 12x+= 解得： 1 12x =- +， 2 12x =- - 经检验： 1 12x =- +， 2 12x =- -是原方程的根. 22（2020 宜昌）资料资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营 销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内地方面积. 材料材料：某地有 A，B 两家商贸公司（以下简称 A，B 公司）.去年
46、下半年 A，B 公司营销区域 面积分别为 m 平方千米，n 平方千米，其中 m=3n，公共营销区域面积与 A 公司营销 区域面积的比为 2 9 ；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，A 公司营销区域面 积比去年下半年增长了 x%，B 公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是 A 公 司的 4 倍， 公共营销区域面积与 A 公司营销区域面积的比为 3 7 ， 同时公共营销区域面 积与 A，B 两公司总营销区域面积 的比比去年下半年增加了 x 个百分点. 问题问题： （1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年 公共营销区域面积与 B 公司营销区域面积的比） ，并解答； （2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且 A 公司每 半年每平方千米产生的经济收益均为 B 公司的 1.5 倍，求去年下半年与今年上半年两 公司总经济收益之比. 解析 （1） 通过设未知数找等量关系： 公共营销区域面积与 A 公司营销区域面积的比为 2 9 等 列出方程，最后求解即可 （答案不唯一） （2）设 B 公司每半年每平方千来产生的经济收益为 .则 A 公司为 1.5 去年下半年 A，B 公司产生的总经济收益为1.5 3n + n 5.5n 今年上半年 A， B 公司产生的总经济收益比去年下半年增加了 x 个百分点为1.5 3