1、2.5 角平分线的性质,学习目标,1.经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理及其逆定理 2.通过测量操作，发现角的平分线的性质定理. 3.能用文字语言、符号语言阐述角的平分线的性质定理及其逆定理，提高不同数学语言间的转化能力. 4.能运用角的平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题. 5.通过合作交流、自主评价，促进良好的学习态度的形成，养成永无止境的科学探索精神.,学习重点、难点：,学习重点：掌握角的平分线的性质定理及其逆定理. 学习难点：角平分线定理和逆定理的应用.,探索1,如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=CD .将点A放在角的顶点,AB,CD沿着角的两
2、边放下,沿AC画一条放射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?,经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的方法吗？,在ADC和ABC 中， AB=AD， AC=AC，DC=BC， ADCABC (SSS)， DAC=BAC，AE平分BAD.,证明 ：,尺规作角的平分线,观察领悟作法，探索思考证明方法：,A,B,画法：,1.以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N,2.分别以M，N为圆心大于 MN的长为半径作弧两弧在AOB的内部交于C,3.作射线OC,射线OC即为所求,O,A,B,为什么OC是角平分线呢？,O,想一想：,已知：OM=ON，MC=NC.求证：OC平分AOB.,证
3、明：在OMC和ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， OMC ONC（SSS）, MOC=NOC, 即：OC平分AOB.,探索2,将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论?,O,A,B,操作测量题: OC是AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，,1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PDOA，PE OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：,2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系， 写出结论：_,C,O,B,A,PD=PE,结论：在角平分线上的点到角的两边的
4、距离相等.,例1.已知：OC平分AOB，点P在OC上，PDOA于D， PEOB于E.,求证: PD=PE.,P,C, PDOA ，PEOB,证明：, PDO= PEO= 90,在POD和RtPEO中, PDOPEO（AAS）, PDPE., PDOPEO, AOCBOC, OP=OP,角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等,到角的两边的距离相等的点在角平分线上.,结论：,到角的两边的距离相等的点在角的平分线上., QDOA，QEOB，QDQE 点Q在AOB的平分线上,角的平分线上的点到角的两边的距离相等., QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上, QDQE.,用数学语言表
5、示为：,例2.已知：如图，ABC中，B的平分线BE与C的平分线CF相交于点P. 求证：AP平分BAC.,证明：过点P分别作PMBC,PNAC, PQAB,垂足分别为点M,N,Q. BE是B的平分线，点P在BE上，（已知） PQ=PM.（角平分线上的点到角两边的距离相等） 同理，PN=PM. PN=PQ.(等量代换) AP平分BAC.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）,练习已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.,证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F, BM是ABC的角平分线，点P在BM上PD=PE （在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、 CA的距离相等.,D,E,F,小结 1.画一个已知角的角平分线及画一条已知直线的垂线.,2.角平分线的性质：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,3.角平分线的判定结论：,到角的两边的距离相等的点在角平分线上.,