1、2.4 线段的垂直平分线第1课时,课前复习 1、什么叫轴对称图形?什么叫对称轴?,如果一个图形沿着一条线折叠，两侧的图形能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形.,折痕所在的直线就是轴对称图形的对称轴.,2、什么叫两个图形成轴对称?,如果把一个图形沿着某一直线折叠,能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,也称为这两个图形成轴对称,这条直线也叫作对称轴,互相重合的两个点,其中一点叫作另一个点关于这条直线的对称点.,知识探究 如图，ABC和 A B C 关于直线MN对称, 点A 、 B 、 C 分别是 A、B、C的对称点，线段 AA 、BB 、CC 与直线MN有何关系?,P,Q,S
2、,对于其他的对应点也有类似情况. 因此，对称轴所在的直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.也就是MN垂直平分AA.,A与A重合, AP=AP，APM=APM=90 对称轴是过对称点所连线段的中点的垂线.,经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也称中垂线）.,如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.,线段的垂直平分线的定义,图形轴对称的性质,AA,BB,CC,轴对称图形的性质,PA=PB,P1A=P1B,由此你能得到什么规律？,命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.,B,A,C,P,证一证:命题：线段
3、垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.,已知：如图， 直线MNAB,垂足为C, 且AC=CB.点P在MN上.求证： PA=PB,定理应用格式： AC=BC,MNAB,P是MN上任意一点(已知), PA=PB(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距离相等).,线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.,C,PA=PB,点P在线段AB的垂直平分线上,（利用全等,仿照性质定理自己证明）,判定定理有何作用？,用途：判定一条直线是线段的中垂线,反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上?,判定定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平
4、分线上.,题设和结论正好相反，是互逆关系.,线段垂直平分线性质,用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一 个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出去的方向与木棒垂直呢？,只要AC=BC就可以了,为什么？,结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.,想一想 （1）线段AB的垂直平分线上的所有点都满足“和点A、B的距离相等”这一条件吗？,线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有的点的集合,（2）满足“和A、B的距离相等”的所有点都在线段AB的垂直平分线上吗？,例1.已知：如图16-2-3，点A，B是直线l外的任意两点.在直线l上，试确定一点P
5、，使AP+BP最短.,解：如图16-2-4，作点A关于直线l的对称点A，连接AB，交直线l于点P，则AP+BP最短.,理由如下： 点A，A关于直线l对称（作法） AP=AP（线段垂直平方线的性质定理） AP+BP=AP+BP=AB(等量代换),如图16-2-5，在直线l上任取一点P，连接AP，BP，AP，,则AP+BPAB（两点之间线段最短） 即AP+BP=AP+BPAB=AP+BP AP+BP最短.,例2.已知：如图16-2-9，在ABC中，AB ,AC 的垂直平分线DP与EP相交于点P. 求证：点P在BC的垂直平分线上.,证明：如图16-2-10，连接PA，PB，PC.,DP，EP分别是AB，AC的垂直平分线（已知） PB=PA=PC（线段垂直平方线的性质定理） 点P在BC的垂直平分线上(线段垂直平方线性质定理的逆定理),2.逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.,小结 线段的垂直平分线,1.性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.,3.线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合.,