1、 知识点知识点 09 分式方程及其应用分式方程及其应用 一、选择题一、选择题 8 8（2020哈尔滨）方程 2 1 5 2 xx 的解为（ ） A A1x B B5x C C7x D D9x 答案D解析本题考查了，解分式方程；熟练掌握分式方程的解法及验根是解题的关键，两边同时 乘以（x5）（x2），2（x2）（x5）， 9x ，将检验 9x 是方程的根，方程的解 为 9x ，因此本题选D 10（2020重庆A卷）若关于x的一元一次不等式组 31 3 2 x x xa 的解集为xa；且关于y的分式方 程 34 1 22 yay yy 有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是( ) A7 B-
2、14 C28 D-56 答案A解析 对于不等式组 31 3, 2 x x xa ，解不等式，得x7.解不等式，得xa.因为 不等式组的解集为xa，a7.对于分式方程 34 1 22 yay yy ，去分母，得y-a+3y-4=y-2,解这个 整式方程， 得y= +2 3 a .因为a7， 所以当a=1,4,7时 +2 3 a 为正整数.当a=4时， y=2是分式方程的增根， 分式方程无解.综上，可得a=1或7，它们的积为17=7. 7（2020 黑龙江龙东） 已知关于 x 的分式方程 3 4= 3的解为非正数， 则 k 的取值范围是 （ ） Ak12 Bk12 Ck12 Dk12 答案 A解析
3、本题考查了分式方程的解法， 用含字母的式子表示方程的解， 解： 方程 x x3 4= k 3x两 边同时乘以（x3）得：x4（x3）k， x4x+12k，3xk12，x= k 3 +4， 解为非正数，k 3 +40，k12故选：A 11(2020 自贡)某工程队承接了 80 万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每 天的工作效率比原计划提高了 35%，结果提前 40 天完成了这一任务设实际工作时每天绿化的 面积为 x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A80(1+35%) 80 =40 B 80 (1+35%) 80 =40 C80 80 (1+35%) =40 D80
4、 80(1+35%) =40 答案 A解析本题考查了分式方程在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大，解： 设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米，则原计划每天绿化的面积为 x 1+35%万平方米， 依题意，得： 80 % 80 x =40，即80(1+35%) x 80 x =40因此本题选 A （2020四川甘孜州）6分式方程 x 3 1 10 的解为( ) Ax1 Bx2 Cx3 Dx4 答案C 解析本题考查了分式方程的解法 先去分母， 化分式方程为整式方程 3 （x1） 0 解得 x4 经 检验 x4 是分式方程的解所以 x4 是原分式方程的解 8 （2020福建）我国古代著
5、作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几 株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 6210 文. 如果每件椽的运费是 3 文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 6210 文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ） A. 6210 3(1)x x B. 6210 3 1 x C. 6210 31 x x D. 6210 3 x 答案A 解析本题考查了列分式方程解应用题，根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价 钱列分式方程 A，因此本题选 A (2020南充）1.若 1 =-4
6、 x ，则 x 的值是 （ ） A.4 B. 4 1 C. 4 1 D.4 答案C 解析去分母得-4x1，解得x- 1 4 因为x- 1 4 0，则方程的解为x- 1 4 故选 C 7 （2020齐齐哈尔）若关于 x 的分式方程 3x x2 m 2x+5 的解为正数，则 m 的取值范围为（ ） Am10 Bm10 Cm10 且 m6 Dm10 且 m6 答案 D 解析分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出 m 的范围即 可去分母得：3xm+5（x2） ，解得：xm10 2 ，由方程的解为正数，得到 m+100，且 m+104，则 m 的范围为 m10 且 m6，故
7、选：D 11 (2020 荆门)已知关于的分式方程 23 2 x x (2)(3) k xx 2 的解满足4x1， 且 k 为整数， 则符合条件的所有 k 值的乘积为( ) A正数 B负数 C零 D无法确定 答案A 解析解原分式方程得 x 21 7 k ，且 x2，3分式方程的解满足4x1，4 21 7 k 1 且 21 7 k 3解得7k14 且 k0整数 k6，5，4，3，2，1，1， 13其中有 6 个负数，13 个正数，因此它们的积是正数故选 A 5 （2020湖北荆州）八年级学生去距学校 10 千米的荆州博物馆参观,一部分学生骑自行车先走, 过了 20 分钟后,其余学生乘汽车出发,结
8、果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍, 求骑车学生的速度.若设骑车学生的速度为/xkm h,则可列方程为( ) A. 1010 20 2xx -= B. 1010 20 2xx -= C. 10101 23xx -= D. 10101 23xx -= 答案C 解析本题考查了分式方程在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大. 解：设骑车学生速度为 x/km h，则汽车的速度是 2 x/km h，依题意，得： 10101 23xx -= 因此本题选 C 11 （2020长沙）随着 5G 网络技术的发展，市场对 5G 产品的需求越来越大，为满足市场需求， 某大型 5G 产品生
9、产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产 30 万件 产品，现在生产 500 万件产品所需的时间与更新技术前生产 400 万件产品所需时间相同，设更新技 术前每天生产 x 万件，依据题意得 （ ） A xx 500 30 400 B 30 500400 xx C 30 500400 xx D xx 500 30 400 答案B 解析本题考查了分式方程应用，根据题意可知生产时间数量效率，而且生产 500 万件产品所 需的时间与更新技术前生产 400 万件产品所需时间相同，所以 30 500400 xx ，因此本题选 B （2020本溪）8 （3 分）随着快递业务的增加，某
10、快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公 司投递快件的能力由每周 3000 件提高到 4200 件，平均每人每周比原来多投递 80 件，若快递公 司的快递员人数不变， 求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件， 根据题意可列方程为（ ） A3000 = 4200 80 B3000 +80= 4200 C4200 = 3000 80 D3000 = 4200 +80 答案 D 解析设原来平均每人每周投递快件 x 件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据“人 数投递快递总数量人均投递数量” 结合快递公司的快递员人数不变， 列出关于 x 的分式方程： 3000 =
11、4200 +80 8(2020成都)已知 x2 是分式方程 + 3 1 =1 的解，那么实数 k 的值为（ ） A3 B4 C5 D6 答案B解析把 x2 代入分式方程计算即可求出 k 的值 解：把 x2 代入分式方程得：k 2 11，解得：k4故选：B 10.（2020 牡丹江）若关于 x 的分式方程 x m x 1 2 有正整数解，则整数 m 的值是（ ） A. 3 B. 5 C. 3 或 5 D. 3 或 4 答案D解析首先化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后讨论整数解即可求解.原方程 x m x 1 2 可化为整式方程 2xm(x-1)，x 2 2 1 2 mm m ，而分式方程
12、有正整数解，m2 1，m22，m3，m4，经检验，符合题意，故选 D. 8（2020 宜宾）学校为了丰富学生知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比 文学类图书平均每本的价格多 8 元， 已知学校用 15000 元购买科普类图书的本数与用 12000 元购 买文学类图书的本数相等设文学类图书平均每本 x 元，则列方程正确的是（ ） A 15000 8x 12000 x B 15000 8x 12000 x C15000 x 12000 8x D 15000 x 12000 x +8 答案B 解析设文学类图书平均每本 x 元，则科普类图书平均每本（x+8）元，根据“用 15000
13、元购买科普 类图书的本数与用 12000 元购买文学类图书的本数相等”得： 15000 8x 12000 x 8（2020 抚顺本溪辽阳）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公 司投递快件的能力由每周 3000 件提高到 4200 件，平均每人每周比原来多投递 80 件，若快递公 司的快递人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件 x 件， 根据题意可列方程为（ ） A 3000 x 4200 80 x B 3000 x 80 4200 x C 4200 x 3000 x 80 D 3000 x 4200 80 x 答案D解析由“原来公司投递
14、快件的能力每周 3000 件，”可知快递公司人数可表示为 3000 x 人，由 “快递公司为快递员更换了快捷的交通工具后投递快件的能力由每周 3000 件提高到 4200 件”，可 知快递公司人数可表示为 4200 80 x 人，再结合快递公司人数不变可列方程： 3000 x 4200 80 x 故选项 D 正确 12 （2020昆明）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资 8000 元建设几间直播 教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了 20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总 投资追加了 4000 元.根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（ ） A.1600
15、 元 B.1800 元 C.2000 元 D.2400 元 答案C 解析本题考查了分式方程的实际应用.解答过程如下： 设原计划每间直播教室的建设费用是 x 元，则实际每间直播教室的建设费用是（1+20%）x，由题意 得 xx%)201 ( 40008000 1 8000 ， 解得 x=2000， 经检验符合题意.原计划每间直播教室的建设费用是 2000 元. 因此本题选 C 8 （2020 海南）分式方程 3 2x 1 的解是( ) Ax1 Bx1 Cx5 Dx2 答案C 解析去分母，得：x23；移项、合并同类项，得：x5.检验：当 x5 时，x25230， 故 x5 是原分式方程的解. 10
16、 （2020广西北部湾经济区）甲、乙两地相距 600km，提速前动车的速度为 vkm/h，提速后动车 的速度是提速前的 1.2 倍，提速后行车时间比提速前减少 20min，则可列方程为（ ） A600 1 3 = 600 1.2 B600 = 600 1.2 1 3 C600 20= 600 1.2 D600 = 600 1.2 20 答案 A 解析因为提速前动车的速度为 vkm/h，提速后动车的速度是提速前的 1.2 倍，所以提速后动车的速 度为 1.2vkm/h， 根据题意可得：600 1 3 = 600 1.2因此本题选 A 6 （2020遂宁）关于 x 的分式方程1 有增根，则 m 的
17、值（ ） Am2 Bm1 Cm3 Dm3 【解析】去分母得：m+3x2， 由分式方程有增根，得到 x20，即 x2， 把 x2 代入整式方程得：m+30， 解得：m3， 故选：D 二、填空题二、填空题 20(2020绥化)某工厂计划加工一批零件 240 个，实际每天加工零件的个数是原计划的 1.5 倍， 结果比原计划少用 2 天，设原计划每天加工零件x个，可列方程_ 答案 240 x 240 1.5x2 解析实际每天加工零件 1.5x 个原计划的工作时间 240 x (天)，实际的 工作时间 240 1.5x(天)，根据“结果比原计划少用 2 天”可列方程 240 x 240 1.5x2 15
18、（2020江苏徐州）方程 98 1xx 的解为 . 答案 x=9解析把分式方程转化为整式方程，求出整式方程的根再进行验根确定 . 98 1xx ， 把两边同时乘以x(x-1)，得9x-9=8x，x=9，经检验x=9是原方程的根. 12 （2020南京）方程 1 x x 1 2 x x 的解是_. 答案 x 1 4 解析去分母，得：x(x2)(x1)2，去括号，得：x22xx22x1，移项、合并同类项，得：4x 1，系数化为 1，得：x 1 4 .检验：当 x 1 4 时，(x1)(x2)0，故 x 1 4 是原分式方程的根. 12. （2020 淮安）方程 3 10 1x 的解为_. 答案 x
19、2 解析分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程 的解 方程 3 1 +10， 去分母得：3+x10， 解得：x2， 经检验 x2 是分式方程的解 故答案为：x2 12.（2020盐城） 分式方程 1 0 x x 的解为x 121，解析：本题主要考查分式的值为零，掌握分式有意义，分子为 0，分母不为 0 这两个条件， 是解决本题的关键要使 1x x 分式的值为零，必须 x10， x1因此本题答案为 1 10（2020菏泽）方程 1 11 x x x x 的解是_ 答案 x 3 1 解析解分式方程的基本思路是通过去分母化为整式方程求解，解分式方程必须验
20、根，把可能产生 的增根舍去方程两边同乘 x(x1)，得(x1)2x(x1)，化简，得 3x1x 3 1 经检验，x 3 1 是原分式方程的根 13. (2020湘潭)若 3 7 y x ，则 xy x _ 答案 4 7 解析本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键 根据比例的基本性质变形，代入求职即可； 由 3 7 y x 可设3yk，7xk，k是非零整数， 则 7344 777 xykkk xkk 故答案为： 4 7 （2020包头）14、分式方程 3 1 22 xx xx 的解是 答案 5 3 解析去分母，得 32,xxx解得 5 3 x .检验： 5 3 x 是分式方程的
21、根. 16.(2020潍坊)若关于 x 的分式方程 33 1 22 xm xx 有增根，则m_ 答案3解析本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解 决此类问题的步骤：化分式方程为整式方程；让最简公分母等于零求出增根的值；把增根代 入到整式方程中即可求得相关字母的值 332xmx ，解得 1 2 m x .又关于x的分式方程 33 1 22 xm xx 有增根，即 20 x ， 2x ， 1 2 2 m ，解得： 3m ， 23 （2020 内江）若数 a 使关于 x 的分式方程 2 3 11 xa xx 的解为非负数，且使关于 y 的不等式组 3113 431
22、2 20 yy ya 的解集为 0y ，则符合条件的所有整数 a 的积为_ 答案40解析本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不 等式组的解集为 0y ，找出 a 的取值范围是解题的关键根据分式方程的解为正数即可得出 a5 且 a3，根据不等式组的解集为 0y ，即可得出 a0，找出 0a5 且 a3 中所有的整数，将其相乘 即可得出结论 分式方程 2 3 11 xa xx 的解为 x= 5 2 a 且 x1，分式方程 2 3 11 xa xx 的解为非负数， 5 0 2 a 且 5 2 a 1.a5 且 a3. 3113 4312 20 yy ya 解不等式，
23、得 0y .解不等式，得 y0. 0a5 且 a3.又 a 为整数，则 a 的值为 1，2，4，5. 符合条件的所有整数 a 的积为1 2 4 540 因此本题答案为：40 13（2020 广州）方程 3 122 x xx = + 的解是 . 答案 3 2 x = 解析本题考查了分式方程的解法，过程如下： 解： () 3 121 x xx = + 两边同乘()21x+，得 23x= 3 2 x = 检验：当 3 2 x =时，()21x+0 原分式方程的解为 3 2 x =，因此本题答案是 3 2 x = 13 （2020呼和浩特）分式与的最简公分母是 x（x2） ，方程1 的解是 x4 【解
24、析】x22xx（x2） ， 分式与的最简公分母是 x（x2） ， 方程， 去分母得：2x28x（x2） ， 去括号得：2x28x22x， 移项合并得：x2+2x80，变形得： （x2） （x+4）0， 解得：x2 或4， 当 x2 时，x（x2）0，当 x4 时，x（x2）0， x2 是增根， 方程的解为：x4 三、解答题三、解答题 23（2020 温州）某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购 进单批相同的T恤衫,数量是3月份的2倍,但每件进价涨了10元 (1)4月份进了这批T恤衫多少件? (2)4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售,每件标价1
25、80元.甲店按标 价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出;乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按 标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出,结果利润与甲店相同. 用含a的代数式表示b. 已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值. 解析本题考查了列分式方程解应用题（1）设3月份进了x件T恤衫，则4月份进了2x件T恤衫，则 三月份的单价为 18000 x 元，四月份的单价为 39000 2x 元，根据每件进价涨了10元列出方程 3900018000 2xx 10。求得x150； （2）由题意知： 按标价出售每件利润为18013050元，按标价九折每件利润为180 0
26、.913032元， 按标价八折每件利润为180 0.813014元，按标价七折每件利润为180 0.71304元. 根据甲、乙两店获得的利润相同，得50a14（150a）50a32b4（150ab），整理得：b 150 2 a . 乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量得到： 150 2 a a，解得a50. 乙店利润为50a14 （150a）210036a.乙店利润随着a的增大而增大，故当a50时，利润最大：最大值为3900元. 答案解： （1）设3月份进了x件T恤衫，则4月份进了2x件T恤衫，根据题意， 得 3900018000 2xx 10，解得x150.经检验，x150是所列方程的根
27、，且符合题意。2x300. 答：4月份进了300件T恤衫。 （2）按标价出售每件利润为（18013050）元，按标价九折每件利润为180 0.913032元， 按标价八折每件利润为180 0.813014元，按标价七折每件利润为180 0.71304元. 由题意得50a14（150a）50a32b4（150ab）， a,b的关系式为a2b150,b 150 2 a 由题意得ba， 150 2 a a，解得a50.乙店利润与甲店相同， 乙店利润为50a14（150a）210036a.a50，且360，最大利润为2100+36 503900 （元）. 答：乙店利润的最大值为3900元. 23（20
28、20铜仁）某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进 价是每一个篮球的进价的90%，用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个 （1）问每一个篮球、排球的进价各是多少元？ （2）该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，篮球的售价定为 每一个100元， 排球的售价定为每一个90元 若该批篮球、 排球都能卖完， 问该文体商店应购进篮球、 排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？ 解析（1）设每一个篮球的进价是x元，则每一个排球的进价是90%x元，由“3600元购买排球的个 数要比用3600元购买篮球的个数多10个
29、”这个等量关系列出方程求解； （2）设文体商店计划购进篮 球m个，总利润y元，根据题意用m表示y，结合m的取值范围和m为整数，即可得出获得最大利润的 方案 答案解：（1）设每一个篮球的进价是x元，则每一个排球的进价是90%x元，依题意有 +10，解得x40，经检验，x40是原方程的解，90%x90%4036符合实际意义 故每一个篮球的进价是40元，每一个排球的进价是36元； （2） 设文体商店计划购进篮球m个， 总利润y元， 则y （10040） m+ （9036）（100m） 6m+5400， 依题意有，解得0m25且m为整数，60，y随m的增大而增大， 当m25时，y最大，这时y625+5
30、4005550，1002575（个） 答：该文体商店应购进篮球25个、排球75个才能获得最大利润，最大利润是5550元 24 （2020黔西南州）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车 出行，也给自行车商家带来商机某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为 8 万元今年该型 自行车每辆售价预计比去年降低 200 元若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将 比去年减少 10%，求: （1）A型自行车去年每辆售价多少元？ （2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共 60 辆，且B型车的进货数量不超过A型车数 量的两倍 已知，A型车和B型车的进货价格分别为
31、1500 元和 1800 元， 计划B型车销售价格为 2 400 元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？ 解析本题考查了分式方程的应用以及一次函数求实际问题的最值 （1）根据相等关系“今年该型 车的销售数量与去年相同”列分式方程求解； （2）先列出销售获利关于 A 型车（或 B 型车）的一次 函数关系式，再利用一次函数的性质求最大值 答案解:（1）设去年 A 型车每辆售价 x 元，则今年售价每辆为（x200）元，由题意得 80 000 x 80 000(1 10%) 200 x ，解得:x2 000经检验，x2 000 是原方程的根答:去年 A 型车每辆售价为 2 000 元； （2
32、）设今年新进 A 型车 a 辆，则 B 型车(60a)辆，获利 y 元.由题意得 y(18001500)a(24001800)(60a)整理，得 y300a36000B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，60a2a，a20y300a36000 中 k3000，y 随 a 的增大 而减小当 a20 时，y 有最大值，B 型车的数量为:602040 辆当新进 A 型车 20 辆，B 型车 40 辆时，这批车获利最大 17（2020遵义） (2)解方程 x 1 2 x 3 23 解析（2）本小题考查分式方程的解法，先去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程即可求得 x，切记要验根答案解: (
33、2)去分母，得 2x33x6 解得 x3;检验:把 x3 带入(x2) (2x 3) 0 所以 x3 是原分式方程的解 20 （2019 上海）解方程： 2 28 1 22 x xxx 答案 x4 解析去分母得： 2x28x22x， 即 x22x80， 分解因式得： (x2)(x4)0， 解得：x2 或 x4，经检验 x2 是增根，所以原分式方程的解为 x4 22（2020 常德）第 5代移动通信技术简称 5G，某地已开通 5G业务，经测试 5G下载速度是 4G 下载速度的 15 倍，小明和小强分别用 5G与 4G下载一部 600兆的公益片，小明比小强所用的时间 快 140 秒，求该地 4G与
34、 5G 的下载速度分别是每秒多少兆？ 解析根据等量关系“4G 下载 600 兆所用时间 下载 600 兆所用时间= 140秒”列出分式方程求 解 答案解：设该地 4G 的下载速度是每秒 x 兆，则该地 5G 的下载速度是每秒 15x 兆， 由题意得： 600600 140 15xx ，解得：4x.经检验：4x是原分式方程的解，且符合题意， 15 460 ， 答：该地 4G 的下载速度是每秒 4 兆，则该地 5G 的下载速度是每秒 60 兆 20. （2020苏州）解方程： 2 1 11 x xx . 解析本题考查了分式方程的解法，去分母转化为整式方程求解，注意最后要对结果进行检验 答案 解：方
35、程两边同乘以 1x ，得 12xx ,解这个一元一次方程，得 3 2 x . 检验，当 3 2 x 时，分母不等于0，所以 3 2 x 是原方程的解. 16 （2020 陕西）解方式方程： 23 1 2 x xx 解析本题考查了解分式方程解分式方程的步骤同解一元一次方程的步骤，解完后必须验根 答案解：去分母，得 2 232xxx x ,去括号，得 22 4432xxxxx 移项，合并同类项，得5x4, 系数化为 1，得 x 4 5, 检验：当 x 4 5时，x(x2)0，所以 x 4 5是原分式方程的解 22 （2020泰安） （11 分）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文
36、化2020 年 5 月 21 日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开某茶店 用 4 000 元购进了 A 种茶叶若干盒，用 8 400 元购进了 B 种茶叶若干盒，所购 B 种茶叶 比 A 种茶叶多 10 盒，且 B 种茶叶每盒进价是 A 种茶叶每盒进价的 1.4 倍 （1）A，B 两种茶叶每盒进价分别为多少元？ （2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进 A，B 两种茶叶共 100 盒（进价不变） ，A 种茶叶的售价是每盒 300 元，B 种茶叶的售价是每盒 400 元两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际 茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为 5 8
37、00 元（不考虑其他因 素） ，求本次购进 A，B 两种茶叶各多少盒？ 解析本题考查了分式方程的应用及一元一次方程的应用问题（1） ，根据所购 B 种茶叶比 A 种茶 叶多 10 盒隐含的相等关系式建立分式方程解决问题； 问题 （2） ， 根据第二次所购茶叶的利润为 5 800 元隐含的相等关系式建立一元一次方程解决问题. 答案（1）设 A 种茶叶每盒进价为 x 元，则 B 种茶叶每盒进价为 1.4x 元 根据题意，得： 4000 x 108400 1.4x 解得 x200 经检验：x200 是原方程的根 1.4x1.4200280（元） A，B 两种茶叶每盒进价分别为 200 元，280 元
38、 （2）设第二次 A 种茶叶购进 m 盒，则 B 种茶叶购进（100m）盒 打折前 A 种茶叶的利润为m 2 10050m B 种茶叶的利润为100m 2 1206 00060m 打折后 A 种茶叶的利润为m 2 105m B 种茶叶的利润为 0 由题意得：50m6 00060m5m5800 解方程，得：m40 100m1004060（盒） 第二次购进 A 种茶叶 40 盒，B 种茶叶 60 盒 23. (2020连云港) (本题满分 10 分)甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐 款活动，甲公司共捐款 100 000 元，乙公司共捐款 140 000 元下，面是甲、乙两公司员
39、工的一段对 话: 甲公司员工 乙公司员工 (1)甲、乙两公司各有多少人? (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买 A、B 两种防疫物资，A 种防疫物资每箱 15 000 元，B 种防疫物资每箱 12 000 元.若购买 B 种防疫物资不少于 10 箱，并恰好将捐款用完，有几种购 买方案?请设计出来(注:A、B 两种防疫物资均需购买，并按整箱配送). 解析 (1) 人均捐款数=捐款总数 总人数.由题意假设乙公司有 x 人，则甲公司有(x- 30)人，再 根据乙公司的人均捐款数是甲公司的 6 7 倍列出一元一次方程，从而求出甲、乙两公司的人数. (2) 假设购买 A 种防疫物资 m 箱，购买 B
40、 种防疫物资 n 箱，根据题意列出一个二元一次方程，用含 n 的式子表示出 m,并且根据 n 大于等于 10，从而求出 m 与 n 的正整数值. 答案(1)设乙公司有 x 人，则甲公司有(x- 30)人，由题意得 1000007140000 306xx ，解得 x=180. 经检验，x=180 是原方程的解. x- 30= 150. 答:甲公司有 150 人，乙公司有 180 人. 我们公司的人数比 你们公司少 30 人 我们公司的人均捐款 数是你们公司的倍 (2)设购买 A 种防疫物资 m 箱，购买 B 种防疫物资 n 箱，由题意得 15000m+12000n = 100000 + 1400
41、00，整理得 m=16- 4 5 n. 又因为 n10，且 m，n 为正整数， 所以 84 1015 , mm nn 。 答:有 2 种购买方案:购买 8 箱 A 种防疫物资、10 箱 B 种防疫物资，或购买 4 箱 A 种防疫物资、15 箱 B 种防疫物资. 19（2020 襄阳）（6 分）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块 绿地的灌浇方式改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的 4 5 ，这样 120 吨水可多用 3 天，求 现在每天用水量是多少吨？ 解析本题考查了列分式方程解应用， 解决的关键是找出题中的等量关系， 注意解分式方程要验根 答案设原来每天用水量为
42、x 吨，则现在每天用水量是 4 5 x 吨，根据题意，得 120120 3 4 5 x x ，即 150120 3 xx ，解得 x10 经检验，x10 是原方程的解且符合实际，则 4 5 x8 答：现在每天用水量是 8 吨 （2020德州）23.（12 分）小刚去超市买画笔，第一次花 60 元买了若干支 A 型画笔，第二次超市 推荐了 B 型画笔，但 B 型画笔比 A 型画笔的单价贵 2 元，他又花 100 元买了相同支数的 B 型画笔. （1）超市 B 型画笔单价多少元？ （2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用 B 型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出 以下优惠方案：一次性购买
43、不超过 20 支，则每支 B 型画笔打九折；若一次购买超过 20 支，则前 20 支打九折，超过的部分打八折，设小刚购买的 B 型画笔 x 支，购买费用为 y 元，请写出 y 关于 x 的 函数关系式. （3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用 270 元购买 B 型画笔，则能购买多少支 B 型画笔？ 解析（1）设超市 B 型画笔单价为未知数，根据等量关系列方程求出未知数的值. （2）分别求出 B 型画笔支数 x20 和 x20 时的函数关系. 答案解： （1）设超市 B 型画笔单价 a 元，则 A 型画笔单价为（a-2）元， 由题意列方程，得 60100 2aa ， 解得，5a. 经检验5a
44、是原分式方程的根. 答：超市 B 型画笔单价是 5 元. （2）由题意知， 当小刚购买的 B 型画笔支数 x20 时，费用为 y=0.95x=4.5x； 当小刚购买的 B 型画笔支数 x20 时，费用为 y=200.9+（x-20）0.85=4x+10. 所以 4.5 ,(20) 410,() x x y xx 20 ，其中 x 为正整数. （3）当 4.5x=270（x20）时，解得 x=60，因为 6020 不符合题意，舍去. 当 4x+10=270（x20）时，解得 x=65. 答：小刚能购买 65 支 B 型画笔. 21. （2020岳阳）为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬
45、运原料，已知A型机器人 比B型机器人每小时多搬运20kg，且A型机器人搬运1200kg所用时间与B型机器人搬运1000kg所 用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料. 解析本题考查分式方程的应用。先表示出且 A 型机器人搬运 1200kg 所用时间与 B 型机器人搬 运 1000kg 所用时间，再依题意列方程求解。 答案解： 设 B 种型号机器人每小时搬运 xkg。A 种型号机器人每小时搬运（x+20）kg. 列方程： 1 2 0 01 0 0 0 = x + 2 0 x 解得 x=10 经检验，x=10 符合题意 10+20=30（kg） 答：设 B 种型号机器人每小时搬运 10k
46、g。A 种型号机器人每小时搬运 30kg. 20 （2020泰州）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择， 路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度 提高50%，时间节省6min，求走路线 B 的平均速度 解析本题考查了分式方程的应用，可直接设速度，用时间关系来列方程，也可以设时间，用速度 关系来列方程，切记解分式方程一定要检验 答案解：设 A 路线的平均速度为 x，则 B 路线的平均速度为(150%)x 25306 (1 50%)60 xx 解得：x50 经检验，x50 是原方程的根 50 (150%)75（km/h） 答：路线 B 的平均速度为 75km/h 20 （2020 镇江） （本小题满分 10 分） （1）解方程： 2 +3 = 1 +3 + 1 ； 解： （1）2x1x3 解得：x4 经检验：x4 是原方程的根 20 （2020常州）(8 分)解方程和不等式组： （1） x x1 2 1x2; 答案