1、知识点知识点 05 因式分解因式分解 一、选择题一、选择题 13 （2020丽水）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ） Aa2+b2 B2ab2 Ca2b2 Da2b2 答案C 解析能运用平方差公式因式分解的两项都是平方的形式或能化成平方的形式且两项 必须是符号相反，只有 a2b2 同时满足这两个条件，所以本题选 C 3（2020 河北）对于x-3xy=x（1-3y）， （x+3）(x-1)=x2+2x-3，从左到右的变形，表述正 确的是 A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.是因式分解，是乘法运算 D.是乘法运算，是因式分解 答案C解析对于x-3xy=x（1-3y）,左边是一个
2、多项式，右边是两个整式的乘积，故是因式 分解；对于（x+3）(x-1)=x2+2x-3，左边是两个整式的乘积，右边是一个多项式，故是整式乘 法. 9 （2020 河北）若 22 (91)(111) k =8 10 12，则 k= A.12 B.10 C.8 D.6 答案B 解析解析：k= 22 91 111 8 10 12 = 9 19 111 111 1 8 10 12 （）（）（）（） = 10 8 12 1 112 0 80 =10， 故答 案为B. 5（2020 凉山州）一元二次方程 x22x 的根为（ ） Ax0 Bx2 Cx0 或 x2 Dx0 或 x2 答案C解析原方程可化为 x
3、(x2)0，解得 x0 或 x2，故选 C 二、填空题二、填空题 9（2020 宿迁）因式分解：a2a 答案a(a1)解析因为a2aa aa 1a(a1)，所以a2aa(a1)故答案为a(a1) 12.(2020 宁波)分解因式：2a218. 答案2(a3)(a3) 解析本题考查了因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式公式包括平方差公 式与完全平方公式，若能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解， 如果是平方和需要看还有没有两数乘积的 2 倍，如果没有两数乘积的 2 倍就不能分解，因式分 解必须进行到不能再分解为止2a2182(a29)2(a3)(a3) 11 （
4、2020绍兴）分解因式：1x2=_ 答案（1-x） （1+x） 解析本题考查了利用平方差公式进行因式分解原式=（1-x） （1+x） 因此本题答案为（1-x） （1+x） 11（2020 嘉兴）分解因式：x2-9 答案(x3)(x3) 解析本题考查了因式分解.利用平方差公式 22 ()()abab ab 因式分解，因此本题答案为(x 3)(x3) 18（2020 嘉兴）比较 2 1x 与2x的大小 （1）尝试（用“”，“”或“”填空）： 当x1时， 2 1x 2x；当x0时， 2 1x 2x； 当x2时， 2 1x 2x； （2）归纳：若x任意实数， 2 1x 与2x有怎样的大小关系？试说明理
5、由。 解析本题考查了代数式求值以及用完全平方比较代数式大小作差法 （1）代入求得代数式的值，然后比较大小；（2）运用完全平方公式的非负性比较大小 答案解： 解：（1）当x1时，x2+12x；当x0时，x2+12x；当x2时，x2+1 2x （2）x2+12x 证明：x2+12x（x1）20，x2+12x故答案为：； 12 （2020 湖州）化简： +1 2+2+1 = 1 +1 【分析】直接将分母分解因式，进而化简得出答案 【解答】解： x+1 x2+2x+1 = x+1 (x+1)2 = 1 x+1故答 案为： 1 x+1 11 （2020 台州）因式分解：x29 （x+3） （x3） 【分
6、析】原式利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式（x+3） （x3） ，故答案为： （x+3） （x3） 11（2020铜仁）因式分解：a2+aba 答案a（a+b1）解析通过观察，发现多项式的每一项都有相同的字母a，所以通过提取公 因式a，使原多项式变形为两个整式乘积的形式，因此本题答案为：a（a+b1） 11（2020 温州）分解因式：m225 答案( 5)(5)mm 解析本题考查了利用平方差公式因式分解， 22 ()()abab ab， 所以m225(5)(5)mm， 因此本题答案( 5)(5)mm 11 （2020黔西南州）把多项式 a34a 分解因式，结果是_ 答案 a(a2)(a2
7、) 解析本题考查了因式分解把一个多项式分解因式，一般先提公因式，然后再考虑运用公式 法，要注意分解因式一定要彻底a34aa(a24)a(a2)(a2)，因此本题答案为 a(a2)(a 2) 11 （2020新疆）分解因式： 22 _aman 答案a(mn)(mn) 解析本题考查了提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式， 因为 am2an2a(m2n2) a(mn)(mn)，所以本题答案为 a(mn)(mn) 9（2020 常德）分解因式：2 4 =_ 答案 ( )( )解析本题考查了提公因式法与公式法的综合运用：原式= ( 2 ) = ( )( ) 16（2020 常德）阅读理解：对于 3
8、2 1xnxn这类特殊的代数式可以按下面的方法分解 因式： 3232222 11xnxnxn xxnx xnxnx xnxnxnxnxnx 理解运用：如果 32 10 xnxn，那么 2 10 xnxnx，即有 0 xn 或 2 10 xnx ， 因此， 方程 0 xn 和 2 10 xnx 的所有解就是方程 32 10 xnxn的 解 解决问题：求方程 3 520 xx 的解为_ 答案 = 或 = 或 = 解析本题考查了因式分解的应用，因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合 理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式 子变形， 然后再进行整
9、体代入.解： 3 = ， 3 = ， ( 2 ) ( ) = ， ( )( ) ( ) = ，则( ) ( ) = ，即( )( 2 ) = ， = 或 2 = ， 解得 = 或 = .因此本题答案为： = 或 = 或 = 13 （2020黔东南州）在实数范围内分解因式：xy24x 答案 x（y+2） （y2）解析 先提公因式 x，再运用平方差公式分解因式：xy24xx（y2 4)x（y+2） （y2） 12（2020安徽）分解因式：ab 2-a 答案 a(b1)(b1) 解析原式a(b21)a(b1)(b1). 1515（2020哈尔滨）把多项式nmnnm96 2 分解因式的结果是 . 答案
10、 n(m3)2 解析本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方 法是解本题的关键， nmnnm96 2 nmm96 2 23mn ，因此本题答案为 23mn 14(2020绥化)因式分解：m 3n2m_ 答案m(mn1)(mn1)解析先提公因式 m，再用平方差公式分解原式m(m2n21)m(mn 1)(mn1) 10（2020江苏徐州）分解因式：m 2-4= . 答案 (m+2)(m-2)解析利用平方差公式进行分解因式，m2-4=(m+2)(m-2). 13（2020聊城）因式分解：x(x2)x2 答案(x2)(x1)解析先添加括号，构造并提取公因式(x2)进行分解，x(x2
11、)x2 x(x2)(x2)(x2)(x1) 13（2020 衡阳）因式分解：a2+a= . 答案 a(a+1)解析本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关 键原式=a(a+1)，因此本题答案为a(a+1) 13(2020 自贡)分解因式：3a26ab+3b2 答案故答案为：3（ab）2 解析本题考查了提公因式法与公式法的综合运用， 熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键， 解：3a26ab+3b23（a22ab+b2）3（ab）2因此本题答案为：3（ab）2 13（2020 绵阳）因式分解：x3y4xy3 答案xy(x+2y)(x2y) 解析通过观察，多项式的每一项都有相
12、同的字母 xy，所以先提取公因式 xy，提公因式后剩下 的两项符合平方差公式因此本题答案为：原式xy(x24y2)xy(x+2y)(x2y) 11 （2020无锡）因式分解：ab22ab+a= 答案 a（b1）2 解析 ab22ab+a 先提取公因式 a， 再利用完全平方公式， 可以得出 ab22ab+a=a （b22b+1） a（b1）2 9.（2020 淮安）分解因式m -4=_. 答案（m+2） （m-2） 解析本题考查了公式法因式分解，根据平方差公式因式分解即可m -4=（m+2） （m-2） 11.（2020盐城） 因式分解: 22 xy 11 （x+y）(x-y)，解析：本题考查了
13、因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式的结构特点 是解题的关键原式x2y2（x+y）(x-y)，因此本题答案为（x+y）(x-y) 10 （2020扬州）分解因式：a3-2a2 +a= . 答案 a(a-1)2 解析本题考查了因式分解法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法. a3-2a2+a=a （a2-2a+1）=a(a-1)2因此本题答案为 a(a-1)2 （2020济宁）11.分解因式 a 3-4a 的结果是 _. 答案a（a2） （a2） 解析a 3-4a=a（a4）a（a2） （a2） 9 （2020 岳阳）因式分解：9 2 a 答案（x+3） （x3） 解析利用平方差公式分解：原式
14、（x+3） （x3） 11（2020南通）因式分解：xy2y2 答案(2 )y xy 解析提取公因式 y 即可 2 2(2 )xyyy xy 8 （2020泰州）因式分解： 2 4x _ 答案(x2)(x2) 解析应用平方差公式因式分解即可 3 （2020 镇江）分解因式： 92 = 答案(3x1)(3x1) 解析本题考查了因式分解，应用平方差公式即可 12 （2020常州）分解因式：x3x_ 答案x（x1） （x1） 解析本题考查了运用提公因式法和平方差公式法分解因式原式x（x1） （x1） 11（2020天水）分解因式：m 3nmn_ 答案mn(m1)(m1) 解析先提公因式， 再利用平方
15、差公式继续分解因式， m 3nmnmn(m21)mn(m1)(m1) 13 （2020深圳）分解因式：m 3m_ 答案m(m1)(m1) 解析先提公因式 m，再利用平方差公式继续分解因式；m 3mm(m21)m(m1)(m1) 11 （2020 鄂州）因式分解： 2 21218xx_ 答案 2 2(3)x 解析解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式： 222 )2(aabbab 先提取公因式 2，再根据完全平方公式分解因式即可得到结果. 原式 2 2(69)xx 2 2(3)x 12（2020湘西州）分解因式：2x22 答案2（x+1） （x1） 解析本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公
16、因式后利用平方差公式进行 二次分解，注意分解要彻底2x222（x21）2（x+1） （x1） 因此本题答案是 2 （x+1） （x1） 12 （2020怀化）因式分解：x3x 答案x（x+1） （x1） 解析原式提取 x，再利用平方差公式分解即可 解：原式x（x21）x（x+1） （x1） ， 故答案为：x（x1） （x1） 9. （2020张家界）因式分解： 2 9x _ 答案33xx 解析本题考查用公式法因式分解，熟练掌握公式法并灵活应用是解题的关键 根据公式法进行因式分解即可 解： 222 9333xxxx ， 故答案为：33xx 12.（2020株洲）因式分解： 2 212aa_ 答案
17、2 (6)a a 解析运用提公因式法分解因式即可 2 21226aaa a 故答案为：2 ( 6)a a 2(2020青海)分解因式：2ax22ay2_；不等式组 240, 30 x x 的整数解为_ 答案2a(xy)(xy)；2 解析2ax22ay22a(x2y2)2a(xy)(xy)；原不等式的解集是 2x3其整数解为 x2 11(2020成都)分解因式：x2+3x 答案x （x+3） 解析观察原式， 发现公因式为 x； 提出后， 即可得出答案 解： x2+3xx （x+3） 11 （2020 广东）分解因式：xyx-= . 答案()1x y- 解析本题考查了因式分解提公因式法，如果多项式
18、的各项有公因式，可以把这个公因式提 取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，由于多项式 xyx- 的公因式是单项 式x，所以提取后得到 ()1x y- ，因此本题答案是 ()1x y- 10（2020 咸宁）因式分解： 2 2mxmxm_ 答案 m（x-1）2 解析本题考查了因式分解，先提取公因式m，再利用完全平方公式进行因式分解， 2 2mxmxm 2 21m xx 2 1m x，因此本题填m（x-1）2 13.(2020潍坊)因式分解：x2y9y_ 答案y(x-3)(x+3)解析先提取公因式 y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 14（2020 凉山州）因式分解：a3ab
19、2 答案a(ab)(ab) 解析 a3ab2aa2ab2a(a2b2)a(ab)(ab)故答案为 a(ab)(ab) 11（2020 营口）ax22axy+ay2 答案a(xy)2解析先提取公因式 a，再利用完全平方公式进行因式分解，做到分解彻底，即 ax22axy+ay2a(x22xy+y2) a(xy)2 16（2020临沂）若1ab，则 22 22abb_. 答案-1解析可以通过因式分解使原式出现ab，然后代入求值： 22 22()()222221 21abbab abbabbab ； 13（2020 宜宾）分解因式：a3a 答案 a（a+1）（a1） 解析先提取公因式 a ，再运用平方
20、差公式进行分解，a3aa（a21）a（a+1） （a1） 22 （2020 内江）分解因式： 42 12bb_ 答案 2 322bbb解析本题考查了因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方 法先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解 42 12bb 222 34322bbbbb ， 因此本题答案为： 2 322bbb 12 （2020东营）因式分解: 22 123ab-= 答案 ()() 3 22a ba b+- 解析本题考查了公式法因式分解，根据平方差公式因式分解即可 22 123ab- =()() 3 22a ba b+- 2（2020昆明）分解因式：nnm4 2 = . 答案n(m+
21、2)(m-2) 解析本题考查了因式分解.解答过程如下：nnm4 2 )4( 2 mn，=n(m+2)(m-2) 14（2020 玉林）分解因式：a3a 答案a（a1）(a1) 解析先提取公因式 a，然后再套平方差公式分解因式.原式a(a21)a（a1）(a1). 13 （2020 海南）因式分解：x22x_. 答案x(x2) 解析多项式中含有公因式 x，故先提公因式 x. 7.（2020吉林）分解因式： 2 aab=_ 【答案】a（ab） 【详解】 2 aab=a（ab） 故答案为 a（ab） 11（2020邵阳）因式分解：2x2-8= 答案2（x+3） （x3） 解析 2 218x =2（x
22、2-9）=2（x+3） （x-3） 12. （2020攀枝花）因式分解： 2 aab . 答案(1)(1)abb 12 （2020黄石）因式分解：m3nmn3 答案 mn（m+n） （mn） 解析原式提取公因式，再利用平方差公式分解，即原式mn（m2n2）mn（m+n） （mn） 12 （2020武威）分解因式：a2+a a（a+1） 【解析】a2+aa（a+1） 故答案为：a（a+1） 9 （2020宁夏）分解因式：3a26a+3 3（a1）2 【解析】原式3（a22a+1）3（a1）2 故答案为：3（a1）2 三、解答题三、解答题 18.（2020齐齐哈尔） （2）因式分解：3a248 解
23、： （2）3a2483（a216）3（a+4） （a4） 25（2020 毕节）如图（1） ， 大正方形的面积可以表示为（ab）2，同时大正方形的面积也 可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和， 即 a22abb2 同一图形 （大正方形） 的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式: （ab）2a22abb2 把这种同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相 关问题的方法称为面积法 （1）用上述面积法，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解 的等式: （2） 如图（3） ，RtABC 中，C90 ，CA
24、3，CB4，CH 是斜边 AB 边上的高用上述面 积法求 CH 的长: （3） 如图 （4） ， 等腰ABC 中， ABAC， 点 O 为底边 BC 上任意点， OMAB， ONAC， CH AB，垂足分别为点 M，N，H，连接 AO，用上述面积法 求证: OMONCH 解析本题考查阅读理解，面积法（1）图（2）中的面积可表示为 x22x3x6x25x 图（1） a b ba x3 2 x 图（2）图（3） H A C B 图（4） M N H BC A O 6，也可表示为(x2)( x3)，所以满足条件的等式为：x25x6(x2)( x3) （2）图（3）中 RtABC 的面积可表示为 1
25、2 AC BC，也可表示为 1 2 AB CH，所以 1 2 AC BC， 1 2 AB CH，所以 CH AC BC AB 将数据代入计算可得 CH 的长 （3） 图 （4） 中， ABC 面积可表示为 1 2 AB HC， 也可表示为 1 2 AB OM 1 2 AC ON， 所以 1 2 AB HC 1 2 AB OM 1 2 AC ON，因为 AB AC，所以 OMONHC 答案解：（1）x25x6(x2)( x3) （2）RtABC 中，C90 ，CA3，CB4，AB 22 ACBC 22 345由三角形的 面积法得 CH AC BC AB 34 5 12 5 （3）等腰ABC 中， OMAB，ONAC，CHAB，ABC 面积可表示为 1 2 AB CH，也可表 示为 1 2 AB OM 1 2 AC ON， 所以 1 2 AB CH 1 2 AB OM 1 2 AC ON， 因为 ABAC， 所以 OMON CH