1、2020 年辽宁省鞍山市中考数学试卷年辽宁省鞍山市中考数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 24 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （3 分）的绝对值是（ ） A2020 B C D2020 2（3 分） 如图， 该几何体是由 5 个相同的小正方体搭成的， 则这个几何体的主视图是 （ ） A B C D 3 （3 分）下列计算结果正确的是（ ） Aa2+a2a4 B （a3）2a5 C （a+1）2a2+1 Daaa2 4 （3 分）我市某一周内每天的
2、最高气温如下表所示： 最高气温（） 25 26 27 28 天数 1 1 2 3 则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A26.5 和 28 B27 和 28 C1.5 和 3 D2 和 3 5 （3 分）如图，直线 l1l2，点 A 在直线 l1上，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别 交直线 l1，l2于 B，C 两点，连接 AC，BC，若ABC54，则1 的度数为（ ） A36 B54 C72 D73 6 （3 分）甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工 6 个这种零件，甲加工 240 个这种零件所用的时间与乙加工 300 个这种零件所用的时间相等， 设甲每小时加工 x
3、个零件，所列方程正确的是（ ） A B C D 7（3 分） 如图， O 是ABC 的外接圆， 半径为 2cm， 若 BC2cm， 则A 的度数为 （ ） A30 B25 C15 D10 8 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A1，A2，A3，A4，在 x 轴正半轴上，点 B1， B2， B3， 在直线 yx （x0） 上， 若 A1（1， 0） ， 且A1B1A2， A2B2A3， A3B3A4， 均为等边三角形，则线段 B2019B2020的长度为（ ） A22021 B22020 C22019 D22018 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3
4、 分，共分，共 24 分）分） 9 （3 分）据光明日报报道：截至 2020 年 5 月 31 日，全国参与新冠肺炎疫情防控的志 愿者约为 8810000，将数据 8810000 科学记数法表示为 10 （3 分）分解因式：a32a2b+ab2 11 （3 分）在一个不透明的袋子中装有 6 个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同， 将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球 100 次，发 现有 20 次摸到红球，估计袋子中白球的个数约为 12 （3 分）如果关于 x 的一元二次方程 x23x+k0 有两个相等的实数根，那么实数 k 的值 是 13 （3 分）不等式组
5、的解集为 14（3 分） 如图， 在平行四边形 ABCD 中， 点 E 是 CD 的中点， AE， BC 的延长线交于点 F 若 ECF 的面积为 1，则四边形 ABCE 的面积为 15 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，已知 A（3，6） ，B（2，2） ，在 x 轴上取两点 C， D（点 C 在点 D 左侧） ，且始终保持 CD1，线段 CD 在 x 轴上平移，当 AD+BC 的值最 小时，点 C 的坐标为 16 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，ADC60，点 E，F 分别在 AD，CD 上，且 AE DF， AF 与 CE 相交于点 G， BG 与 AC 相交于点 H 下列结论：
6、 ACFCDE； CG2 GHBG；若 DF2CF，则 CE7GF；S四边形ABCGBG2其中正确的结论 有 （只填序号即可） 三、解答题（每小题三、解答题（每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 17 （8 分）先化简，再求值： （x1），其中 x2 18 （8 分）如图，在四边形 ABCD 中，BD90，点 E，F 分别在 AB，AD 上，AE AF，CECF，求证：CBCD 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 19 （10 分）为了解某校学生的睡眠情况，该校数学小组随机调查了部分学生一周的平均每 天睡眠时间设每名学生的平均每天睡眠时间为 x 时，共
7、分为四组：A6x7，B7x 8，C8x9，D9x10，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图： 注 ： 学 生 的 平 均 每 天 睡 眠 时 间 不 低 于6时 且 不 高 于10 时 请回答下列问题： （1）本次共调查了 名学生； （2）请补全频数分布直方图； （3）求扇形统计图中 C 组所对应的圆心角度数； （4）若该校有 1500 名学生，根据抽样调查结果，请估计该校有多少名学生平均每天睡 眠时间低于 7 时 20 （10 分）甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌 有两个种类的奶制品：A纯牛奶，B核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C纯 牛奶，D酸奶，E
8、核桃奶 （1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是 ； （2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的 品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶 制品的概率 五、解答题（每小题五、解答题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 21 （10 分）图 1 是某种路灯的实物图片，图 2 是该路灯的平面示意图，MN 为立柱的一部 分，灯臂 AC，支架 BC 与立柱 MN 分别交于 A，B 两点，灯臂 AC 与支架 BC 交于点 C， 已知MAC60，ACB15，AC40cm，求支架 BC 的长 （结果精确到
9、 1cm，参 考数据：1.414，1.732，2.449） 22 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yx+1 的图象与 x 轴，y 轴的交点分别 为点 A，点 B，与反比例函数 y（k0）的图象交于 C，D 两点，CEx 轴于点 E， 连接 DE，AC3 （1）求反比例函数的解析式； （2）求CDE 的面积 六、解答题（每小题六、解答题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 23 （10 分）如图，AB 是O 的直径，点 C，点 D 在O 上，AD 与 BC 相交于点 E，AF 与O 相切于点 A，与 BC 延长线相交于点 F （1）求证：AEAF （2）若 EF12，si
10、nABF，求O 的半径 24 （10 分）某工艺品厂设计了一款每件成本为 11 元的工艺品投放市场进行试销，经过市 场调查，得出每天销售量 y（件）是每件售价 x（元） （x 为正整数）的一次函数，其部分 对应数据如下表所示： 每件售价 x （元） 15 16 17 18 每天销售量 y（件） 150 140 130 120 （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2）若用 w（元）表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求 w 关于 x 的函数解 析式； （3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大 利润是多少元？ 七、解答题（满分七、解答题（满分 12
11、 分）分） 25 （12 分）在矩形 ABCD 中，点 E 是射线 BC 上一动点，连接 AE，过点 B 作 BFAE 于 点 G，交直线 CD 于点 F （1）当矩形 ABCD 是正方形时，以点 F 为直角顶点在正方形 ABCD 的外部作等腰直角 三角形 CFH，连接 EH 如图 1，若点 E 在线段 BC 上，则线段 AE 与 EH 之间的数量关系是 ，位置关 系是 ； 如图 2，若点 E 在线段 BC 的延长线上，中的结论还成立吗？如果成立，请给予证 明；如果不成立，请说明理由； （2）如图 3，若点 E 在线段 BC 上，以 BE 和 BF 为邻边作平行四边形 BEHF，M 是 BH
12、中点，连接 GM，AB3，BC2，求 GM 的最小值 八、解答题（满分八、解答题（满分 14 分）分） 26 （14 分）在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+2（a0）经过点 A（2，4）和 点 C（2，0） ，与 y 轴交于点 D，与 x 轴的另一交点为点 B （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，连接 BD，在抛物线上是否存在点 P，使得PBC2BDO？若存在，请 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，连接 AC，交 y 轴于点 E，点 M 是线段 AD 上的动点（不与点 A，点 D 重 合） ，将CME 沿 ME 所在直线翻折，得到FME，当FME 与A
13、ME 重叠部分的面积 是AME 面积的时，请直接写出线段 AM 的长 2020 年辽宁省鞍山市中考数学试卷年辽宁省鞍山市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 24 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （3 分）的绝对值是（ ） A2020 B C D2020 【分析】的绝对值等于它的相反数，据此求解即可 【解答】解：| 故选：C 2（3 分） 如图， 该几何体是由 5 个相同的小正方体搭成的， 则这个几何体的主视
14、图是 （ ） A B C D 【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的 图象是俯视图，画出从正面看所得到的图形即可 【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层左边是一个小正方形 故选：A 3 （3 分）下列计算结果正确的是（ ） Aa2+a2a4 B （a3）2a5 C （a+1）2a2+1 Daaa2 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断 【解答】解：A、原式2a2，不符合题意； B、原式a6，不符合题意； C、原式a2+2a+1，不符合题意； D、原式a2，符合题意 故选：D 4 （3 分）我市某一周内每天的最高气温如下表所示： 最高气温（） 25
15、 26 27 28 天数 1 1 2 3 则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A26.5 和 28 B27 和 28 C1.5 和 3 D2 和 3 【分析】根据众数和中位数的定义，结合表格和选项选出正确答案即可 【解答】解：共 7 天，中位数应该是排序后的第 4 天， 则中位数为：27， 28的有 3 天，最多， 所以众数为：28 故选：B 5 （3 分）如图，直线 l1l2，点 A 在直线 l1上，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别 交直线 l1，l2于 B，C 两点，连接 AC，BC，若ABC54，则1 的度数为（ ） A36 B54 C72 D73 【分析】根据平行线的性质得出
16、2 的度数，再由作图可知 ACAB，根据等边对等角得 出ACB，最后用 180减去2 与ACB 即可得到结果 【解答】解：l1l2，ABC54， 2ABC54， 以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线 l1、l2于 B、C 两点， ACAB， ACBABC54， 1+ACB+2180， 172 故选：C 6 （3 分）甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工 6 个这种零件，甲加工 240 个这种零件所用的时间与乙加工 300 个这种零件所用的时间相等， 设甲每小时加工 x 个零件，所列方程正确的是（ ） A B C D 【分析】设甲每小时加工 x 个零件，则乙每小时加工（x
17、+6）个，根据甲加工 240 个零件 所用的时间与乙加工 300 个零件所用的时间相等，列方程 【解答】解：设甲每小时加工 x 个零件，根据题意可得： 故选：B 7（3 分） 如图， O 是ABC 的外接圆， 半径为 2cm， 若 BC2cm， 则A 的度数为 （ ） A30 B25 C15 D10 【分析】连接 OB 和 OC，证明OBC 为等边三角形，得到BOC 的度数，再利用圆周 角定理得出A 【解答】解：连接 OB 和 OC， 圆 O 半径为 2，BC2， OBC 为等边三角形， BOC60， A30， 故选：A 8 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A1，A2，A3，A4，在
18、x 轴正半轴上，点 B1， B2， B3， 在直线 yx （x0） 上， 若 A1（1， 0） ， 且A1B1A2， A2B2A3， A3B3A4， 均为等边三角形，则线段 B2019B2020的长度为（ ） A22021 B22020 C22019 D22018 【分析】设BnAnAn+1的边长为 an，根据直线的解析式能的得出AnOBn30，再结 合等边三角形的性质及外角的性质即可得出OBnAn30，OBnAn+190，从而得 出 BnBn+1an， 由点 A1的坐标为 （1， 0） ， 得到 a11， a21+12， a31+a1+a24， a41+a1+a2+a38， ， an2n 1
19、 即可求得B 2019B2020 a20192201822018 【解答】解：设BnAnAn+1的边长为 an， 点 B1，B2，B3，是直线 yx 上的第一象限内的点， AnOBn30， 又BnAnAn+1为等边三角形， BnAnAn+160， OBnAn30，OBnAn+190， BnBn+1OBnan， 点 A1的坐标为（1，0） ， a11，a21+12，a31+a1+a24，a41+a1+a2+a38， an2n 1 B2019B2020a20192201822018， 故选：D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分）
20、 9 （3 分）据光明日报报道：截至 2020 年 5 月 31 日，全国参与新冠肺炎疫情防控的志 愿者约为 8810000，将数据 8810000 科学记数法表示为 8.81106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：88100008.81106， 故答案为：8.81106 10 （3 分）分解因式：a32a2b+ab2 a（ab）2 【分析】先提取公因式 a，再对余下的多项
21、式利用完全平方公式继续分解 【解答】解：a32a2b+ab2， a（a22ab+b2） ， a（ab）2 11 （3 分）在一个不透明的袋子中装有 6 个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同， 将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球 100 次，发 现有 20 次摸到红球，估计袋子中白球的个数约为 24 个 【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到白球的概率为 0.2，然后根据概率公式构建方 程求解即可 【解答】解：设白球有 x 个， 根据题意得：0.2， 解得：x24， 经检验：x24 是分式方程的解， 即白球有 24 个， 故答案为 24 个 12 （3 分）如
22、果关于 x 的一元二次方程 x23x+k0 有两个相等的实数根，那么实数 k 的值 是 【分析】利用判别式的意义得到（3）24k0，然后解关于 k 的方程即可 【解答】解：根据题意得（3）24k0， 解得 k 故答案为 13 （3 分）不等式组的解集为 1x2 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集 【解答】解：解不能等式 2x13，得：x2， 解不等式 2x1，得：x1， 则不等式组的解集为 1x2， 故答案为：1x2 14（3 分） 如图， 在平行四边形 ABCD 中， 点 E 是 CD 的中点， AE， BC 的延长线交于点 F 若 ECF 的面积为 1，
23、则四边形 ABCE 的面积为 3 【分析】根据ABCD 的对边互相平行的性质及中位线的性质知 EC 是ABF 的中位线； 然后根证明ABFCEF，再由相似三角形的面积比是相似比的平方及ECF 的面积 为 1 求得ABF 的面积；最后根据图示求得 S四边形ABCESABFSCEF3 【解答】解：在ABCD 中，ABCD，点 E 是 CD 中点， EC 是ABF 的中位线； BDCF，FF（公共角） ， ABFECF， ， SABF：SCEF1：4； 又ECF 的面积为 1， SABF4， S四边形ABCESABFSCEF3 故答案为：3 15 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，已知 A（3，6
24、） ，B（2，2） ，在 x 轴上取两点 C， D（点 C 在点 D 左侧） ，且始终保持 CD1，线段 CD 在 x 轴上平移，当 AD+BC 的值最 小时，点 C 的坐标为 （1，0） 【分析】把 A（3，6）向左平移 1 得 A（2，6） ，作点 B 关于 x 轴的对称点 B，连接 BA交 x 轴于 C， 在 x 轴上取点 D （点 C 在点 D 左侧） ， 使 CD1， 连接 AD， 则 AD+BC 的值最小，求出直线 BA的解析式为 y2x+2，解方程即可得到结论 【解答】解：把 A（3，6）向左平移 1 得 A（2，6） ， 作点 B 关于 x 轴的对称点 B，连接 BA交 x 轴
25、于 C，在 x 轴上取点 D（点 C 在点 D 左侧） ，使 CD1，连接 AD， 则 AD+BC 的值最小， B（2，2） ， B（2，2） ， 设直线 BA的解析式为 ykx+b， ， 解得：， 直线 BA的解析式为 y2x+2， 当 y0 时，x1， C（1，0） ， 故答案为： （1，0） 16 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，ADC60，点 E，F 分别在 AD，CD 上，且 AE DF， AF 与 CE 相交于点 G， BG 与 AC 相交于点 H 下列结论： ACFCDE； CG2 GHBG；若 DF2CF，则 CE7GF；S四边形ABCGBG2其中正确的结论有 （只填序号
26、即可） 【分析】根据等边三角形的性质证明ACFCDE，可判断；过点 F 作 FPAD， 交 CE 于 P 点，利用平行线分线段成比例可判断；过点 B 作 BMAG 于 M，BNGC 于 N，得到点 A、B、C、G 四点共圆，从而证明ABMCBN，得到 S四边形ABCGS四 边形BMGN，再利用 S四边形BMGN2SBMG求出结果即可判断；证明BCHBGC，得 到，推出 GHBGBG2BC2，得出若等式成立，则BCG90，根据题意此 条件未必成立可判断 【解答】解：ABCD 为菱形， ADCD， AEDF， DECF， ADC60， ACD 为等边三角形， DACD60，ACCD， ACFCDE
27、（SAS） ，故正确； 过点 F 作 FPAD，交 CE 于 P 点 DF2CF， FP：DECF：CD1：3， DECF，ADCD， AE2DE， FP：AE1：6FG：AG， AG6FG， CEAF7GF，故正确； 过点 B 作 BMAG 于 M，BNGC 于 N， AGEACG+CAFACG+GCF60ABC， 即AGC+ABC180， 点 A、B、C、G 四点共圆， AGBACB60，CGBCAB60， AGBCGB60， BMBN，又 ABBC， ABMCBN（HL） ， S四边形ABCGS四边形BMGN， BGM60， GMBG，BMBG， S四边形BMGN2SBMG2BG2，故正
28、确； CGBACB60，CBGHBC， BCHBGC， ， 则 BGBHBC2， 则 BG （BGGH）BC2， 则 BG2BGGHBC2， 则 GHBGBG2BC2， 当BCG90时，BG2BC2CG2，此时 GHBGCG2， 而题中BCG 未必等于 90，故不成立， 故正确的结论有， 故答案为： 三、解答题（每小题三、解答题（每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 17 （8 分）先化简，再求值： （x1），其中 x2 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再将 x 的值代入进行计算即可 【解答】解： （x1）， ， ， ， 当 x2 时，原式12 18 （8 分）如图，在四边
29、形 ABCD 中，BD90，点 E，F 分别在 AB，AD 上，AE AF，CECF，求证：CBCD 【分析】先证明AECAFC，根据全等三角形的性质得出CAECAF，利用角平 分线的性质解答即可 【解答】证明：连接 AC， 在AEC 与AFC 中 ， AECAFC（SSS） ， CAECAF， BD90， CBCD 四、解答题（每小题四、解答题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 19 （10 分）为了解某校学生的睡眠情况，该校数学小组随机调查了部分学生一周的平均每 天睡眠时间设每名学生的平均每天睡眠时间为 x 时，共分为四组：A6x7，B7x 8，C8x9，D9x10，将调查结果绘
30、制成如图两幅不完整的统计图： 注 ： 学 生 的 平 均 每 天 睡 眠 时 间 不 低 于6时 且 不 高 于10 时 请回答下列问题： （1）本次共调查了 50 名学生； （2）请补全频数分布直方图； （3）求扇形统计图中 C 组所对应的圆心角度数； （4）若该校有 1500 名学生，根据抽样调查结果，请估计该校有多少名学生平均每天睡 眠时间低于 7 时 【分析】 （1）根据 D 组的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数； （2）根据频数分布直方图中的数据和（1）中的结果，可以得到 C 组的人数，从而可以 将频数分布直方图补充完整； （3） 根据频数分布直方图中的数据， 可以计算出扇
31、形统计图中 C 组所对应的圆心角度数； （4）根据频数分布直方图中的数据，可以计算该校有多少名学生平均每天睡眠时间低于 7 时 【解答】解： （1）本次共调查了 1734%50 名学生， 故答案为：50； （2）C 组学生有 505181710（人） ， 补全的频数分布直方图如右图所示； （3）扇形统计图中 C 组所对应的圆心角度数是：36072， 即扇形统计图中 C 组所对应的圆心角度数是 72； （4）1500150（人） ， 答：该校有 150 名学生平均每天睡眠时间低于 7 时 20 （10 分）甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌 有两个种类的奶制品：
32、A纯牛奶，B核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C纯 牛奶，D酸奶，E核桃奶 （1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是 ； （2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的 品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶 制品的概率 【分析】 （1）用纯牛奶的个数除以总牛奶的个数即可得出答案； （2） 根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和两人选购到同一种类奶制品的情况 数，然后根据概率公式即可得出答案 【解答】解： （1）蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A纯牛奶，B核桃奶；伊利品牌 有三个种类的奶制品：C纯牛
33、奶，D酸奶，E核桃奶， 甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是：； 故答案为：； （2）根据题意画树状图如下： 共有 6 种等可能的情况数，其中两人选购到同一种类奶制品的有 2 种， 则两人选购到同一种类奶制品的概率是 五、解答题（每小题五、解答题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 21 （10 分）图 1 是某种路灯的实物图片，图 2 是该路灯的平面示意图，MN 为立柱的一部 分，灯臂 AC，支架 BC 与立柱 MN 分别交于 A，B 两点，灯臂 AC 与支架 BC 交于点 C， 已知MAC60，ACB15，AC40cm，求支架 BC 的长 （结果精确到 1cm
34、，参 考数据：1.414，1.732，2.449） 【分析】如图 2，过 C 作 CDMN 于 D，则CDB90，根据三角函数的定义即可得 到结论 【解答】解：如图 2，过 C 作 CDMN 于 D， 则CDB90， CAD60，AC40， CDACsinCAD40sin604020， ACB10， CBDCADACB45， BCCD2049（cm） ， 答：支架 BC 的长约为 49cm 22 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 yx+1 的图象与 x 轴，y 轴的交点分别 为点 A，点 B，与反比例函数 y（k0）的图象交于 C，D 两点，CEx 轴于点 E， 连接 DE，AC
35、3 （1）求反比例函数的解析式； （2）求CDE 的面积 【分析】 （1）根据一次函数表达式推出CAE 为等腰直角三角形，得到 AECE，再由 AC 的长求出 AE 和 CE，再求出点 A 坐标，得到 OE 的长，从而得到点 C 坐标，即可求 出 k 值； （2）联立一次函数和反比例函数表达式，求出交点 D 的坐标，再用乘以 CE 乘以 C、 D 两点横坐标之差求出CDE 的面积 【解答】解： （1）一次函数 yx+1 与 x 轴和 y 轴分别交于点 A 和点 B， CAE45，即CAE 为等腰直角三角形， AECE， AC，即， 解得：AECE3， 在 yx+1 中，令 y0，则 x1， A
36、（1，0） ， OE2，CE3， C（2，3） ， k236， 反比例函数表达式为：， （2）联立：， 解得：x2 或3， 当 x3 时，y2， 点 D 的坐标为（3，2） ， SCDE32（3） 六、解答题（每小题六、解答题（每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 23 （10 分）如图，AB 是O 的直径，点 C，点 D 在O 上，AD 与 BC 相交于点 E，AF 与O 相切于点 A，与 BC 延长线相交于点 F （1）求证：AEAF （2）若 EF12，sinABF，求O 的半径 【分析】 （1）由切线的性质得出FAB90，由圆周角定理得出CAED，D B，证得FCEA，则可得出结
37、论； （2）由锐角三角函数的定义得出，求出 AE10，由勾股定理求出 AC，则 可求出 AB 的长 【解答】 （1）证明：AF 与O 相切于点 A， FAAB， FAB90， F+B90， AB 是O 的直径， ACB90， CAE+CEA90， ， CAED， D+CEA90， DB， B+CEA90， FCEA， AEAF （2）解：AEAF，ACB90， CFCEEF6， ABFDCAE， sinABFsinCAE， ， AE10， AC8， sinABC， AB， OAAB 即O 的半径为 24 （10 分）某工艺品厂设计了一款每件成本为 11 元的工艺品投放市场进行试销，经过市 场调
38、查，得出每天销售量 y（件）是每件售价 x（元） （x 为正整数）的一次函数，其部分 对应数据如下表所示： 每件售价 x （元） 15 16 17 18 每天销售量 y（件） 150 140 130 120 （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2）若用 w（元）表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求 w 关于 x 的函数解 析式； （3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大 利润是多少元？ 【分析】 （1）根据表格中数据利用待定系数法求解； （2）利用利润销售量（售价成本）即可表示出 w； （3）根据（2）中解析式求出当 x 为何值，二次函数取最
39、大值即可 【解答】解： （1）设 ykx+b， 由表可知：当 x15 时，y150，当 x16 时，y140， 则，解得：， y 关于 x 的函数解析式为：y10 x+300； （2）由题意可得： w（10 x+300） （x11）10 x2+410 x3300， w 关于 x 的函数解析式为：w10 x2+410 x3300； （3）20.5， 当 x20 或 21 时，代入， 可得：w900， 该工艺品每件售价为 20 元或 21 元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大， 最大利润是 900 元 七、解答题（满分七、解答题（满分 12 分）分） 25 （12 分）在矩形 ABCD 中
40、，点 E 是射线 BC 上一动点，连接 AE，过点 B 作 BFAE 于 点 G，交直线 CD 于点 F （1）当矩形 ABCD 是正方形时，以点 F 为直角顶点在正方形 ABCD 的外部作等腰直角 三角形 CFH，连接 EH 如图 1，若点 E 在线段 BC 上，则线段 AE 与 EH 之间的数量关系是 相等 ，位置关 系是 垂直 ； 如图 2，若点 E 在线段 BC 的延长线上，中的结论还成立吗？如果成立，请给予证 明；如果不成立，请说明理由； （2）如图 3，若点 E 在线段 BC 上，以 BE 和 BF 为邻边作平行四边形 BEHF，M 是 BH 中点，连接 GM，AB3，BC2，求
41、GM 的最小值 【分析】 （1）证明ABEBCF，得到 BECF，AEBF，再证明四边形 BEHF 为 平行四边形，从而可得结果； 根据（1）中同样的证明方法求证即可； （2）说明 C、E、G、F 四点共圆，得出 GM 的最小值为圆 M 半径的最小值，设 BEx， 证明ABEBCF，得到 CF，再利用勾股定理表示出 EF，求出最值 即可得到 GM 的最小值 【解答】解： （1）四边形 ABCD 为正方形， ABBC，ABCBCD90，即BAE+AEB90， AEBF， CBF+AEB90， CBFBAE，又 ABBC，ABEBCF90， ABEBCF（AAS） ， BECF，AEBF， FCH
42、 为等腰直角三角形， FCFHBE，FHFC，而 CDBC， FHBC， 四边形 BEHF 为平行四边形， BFEH 且 BFEH， AEEH，AEEH， 故答案为：相等；垂直； 成立，理由是： 当点 E 在线段 BC 的延长线上时， 同理可得：ABEBCF（AAS） ， BECF，AEBF， FCH 为等腰直角三角形， FCFHBE，FHFC，而 CDBC， FHBC， 四边形 BEHF 为平行四边形， BFEH 且 BFEH， AEEH，AEEH； （2）EGFBCD90， C、E、G、F 四点共圆， 四边形 BCHF 是平行四边形，M 为 BH 中点， M 也是 EF 中点， M 是四边
43、形 BCHF 外接圆圆心， 则 GM 的最小值为圆 M 半径的最小值， AB3，BC2， 设 BEx，则 CE2x， 同（1）可得：CBFBAE， 又ABEBCF90， ABEBCF， ，即， CF， EF， 设 y， 当 x时，y 取最小值， EF 的最小值为， 故 GM 的最小值为 八、解答题（满分八、解答题（满分 14 分）分） 26 （14 分）在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+2（a0）经过点 A（2，4）和 点 C（2，0） ，与 y 轴交于点 D，与 x 轴的另一交点为点 B （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，连接 BD，在抛物线上是否存在点 P，使得PBC2B
44、DO？若存在，请 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，连接 AC，交 y 轴于点 E，点 M 是线段 AD 上的动点（不与点 A，点 D 重 合） ，将CME 沿 ME 所在直线翻折，得到FME，当FME 与AME 重叠部分的面积 是AME 面积的时，请直接写出线段 AM 的长 【分析】 （1）根据点 A 和点 C 的坐标，利用待定系数法求解； （2）在 x 轴正半轴上取点 E，使 OBOE，过点 E 作 EFBD，垂足为 F，构造出PBC BDE，分点 P 在第三象限时，点 P 在 x 轴上方时，点 P 在第四象限时，共三种情况 分别求解； （3）设 EF 与 AD
45、交于点 N，分点 F 在直线 AC 上方和点 F 在直线 AC 下方时两种情况， 利用题中所给面积关系和中线的性质可得 MNAN，FNNE，从而证明四边形 FMEA 为平行四边形，继而求解 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+2 经过点 A（2，4）和点 C（2，0） ， 则，解得：， 抛物线的解析式为 yx2+x+2； （2）存在，理由是： 在 x 轴正半轴上取点 E，使 OBOE，过点 E 作 EFBD，垂足为 F， 在 yx2+x+2 中， 令 y0，解得：x2 或1， 点 B 坐标为（1，0） ， 点 E 坐标为（1，0） ， 可知：点 B 和点 E 关于 y 轴对称， BDO
46、EDO，即BDE2BDO， D（0，2） ， DEBD， 在BDE 中，有BEODBDEF， 即 22EF，解得：EF， DF， tanBDE， 若PBC2BDO， 则PBCBDE， BDDE，BE2， 则 BD2+DE2BE2， BDE 为锐角， 当点 P 在第三象限时， PBC 为钝角，不符合； 当点 P 在 x 轴上方时， PBCBDE，设点 P 坐标为（c，c2+c+2） ， 过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 G， 则 BGc+1，PGc2+c+2， tanPBC， 解得：c， c2+c+2， 点 P 的坐标为（，） ； 当点 P 在第四象限时， 同理可得：PGc2c2，BGc+1，
47、 tanPBC， 解得：c， ， 点 P 的坐标为（，） ， 综上：点 P 的坐标为（，）或（，） ； （3）设 EF 与 AD 交于点 N， A（2，4） ，D（0，2） ，设直线 AD 表达式为 ymx+n， 则，解得：， 直线 AD 表达式为 y3x+2， 设点 M 的坐标为（s，3s+2） ， A（2，4） ，C（2，0） ，设直线 AC 表达式为 ym1x+n1， 则，解得：， 直线 AC 表达式为 yx2， 令 x0，则 y2， 点 E 坐标为（0，2） ， 可得：点 E 是线段 AC 中点， AME 和CME 的面积相等， 由于折叠， CMEFME，即 SCMESFME， 由题意可得： 当点 F 在直线 AC 上方时， SMNESAMCSAMESFME， 即 SMNESANESMNF， MNAN，FNNE， 四边形 FMEA 为平行四边形， CMFMAEAC， M（s，3s+2） ， ， 解得：s或 0（舍） ， M（，） ， AM， 当点 F 在直线 AC 下方时，如图， 同理可得：四边形 AFEM 为平行四边形， AMEF， 由于折叠可得：CEEF， AMEFCE， 综上：AM 的长度为或