2020年湖南省岳阳市城区二十六校联考中考数学一模试卷（含答案解析）

1、2020 年湖南省岳阳市城区二十六校联考中考数学一模试卷年湖南省岳阳市城区二十六校联考中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分，满分分，满分 24 分分.在每道小题给出的四个选项中，在每道小题给出的四个选项中， 选出符合要求的一项）选出符合要求的一项） 1 （3 分）2020 的相反数是（ ） A2020 B2020 C D 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+aa3 Ba2a3a6 Ca+2a3a D （a2）3a5 3 （3 分）下列几何体的俯视图是三角形的是（ ） A B C D 4 （3 分）泰达洁净是我国北方最大的

2、口罩滤材生产企业，该公司每天可以生产滤材 7 吨到 10 吨，大约可供生产 7000000 只口罩，全部提供给一线抗疫人员，数据 7000000 用科学 记数法表示为（ ） A7106 B7107 C70105 D0.7108 5 （3 分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 6 （3 分）小明为了在体育中考中取得好成绩，进行了多次练习，下面是他近期六次跳绳的 成绩（单位：个） ：180，179，180，182，178，181这六次成绩的中位数和众数分别是 （ ） A179、180 B180、180 C181、180 D182、180 7 （3 分）下列命题是假命题的是（ ）

3、A矩形的对角线相等且互相平分 B两点之间，线段最短 C垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 D角平分线上的点到角两边的距离相等 8 （3 分）如右图是二次函数 yax2+bx+c（a0）图象的一部分，函数图象经过点（2，0） ， x1 是对称轴，有下列结论：2ab0；9a3b+c0；若（2，y1） ， （， ）是抛物线上两点，则 y1y2，ab+c9a；其中正确结论的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 道小题，每小题道小题，每小题 4 分，满分分，满分 32 分）分） 9 （4 分）函数 y的自变量 x 的取值范围是 10 （4 分

4、）分解因式：a24a+4 11（4 分） 已知关于 x 的一元二次方程 x22x+k0有两个相等的实数根， 则 k值为 12 （4 分）有四张不透明的卡片为 2，除正面的数不同外，其余都相同将 它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为 13 （4 分）如图，直线 l1l2，等腰直角ABC 的两个顶点 AB 分别落在直线 l1、l2上， ACB90，若115，则2 的度数是 14 （4 分）计算： 15 （4 分）我国古代有这样一道数学问题： “枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤 自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一 个圆

5、柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处缠 绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处，则问题中葛藤的最短长度是 尺 16 （4 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上一点，AD 与过点 C 的切线垂直，垂足 为点 D，直线 DC 与 AB 的延长线相交于点 P，弦 CE 平分ACB，交 AB 于点 F，连接 BE， 下列四个结论中： AC 平分DAB； PCPF； PF2PBPA； 若 tanABC ，BE7，则 PC 的长为 12其中正确的结论有： （写出所有正确结论 的序号） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 道小题，满分道小

6、题，满分 64 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （6 分） 18 （6 分）如图，在菱形 ABCD 中，CECF，求证：AEAF 19（8 分） 如图， 一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数的图象相交于点 A （1， m） 、 B（n，1）两点 （1）求一次函数表达式； （2）求AOB 的面积 20 （8 分）某市为治理污水，需要铺设一段全长为 3000m 的污水排放管道，为了尽量减少 施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加 25%，结果提前 30 天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？ 21 （8 分）受

7、新冠疫情的影响，我市中学生全部推迟开学，所有学生改为线上网络学习， 为了指导学生有效利用网络进行学习，某学校对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表 如图所示） ，并用调查结果绘制了图 1、图 2 两幅统计图（均不完整） ，请根据统计图解答 以下问题： 防疫期间网络学习时间问卷调查表 您好!这是一份关于您平均每天利用网络学习时间的问卷调查表，请在表格中选择一项符 合您学习时间的选项，在其后空格内打“” ，非常感谢您的合作 选项 学习时间 t（小时） A 0t2 B 2t4 C 4t6 D t6 （1）本次接受问卷调查的学生共有 人；并请补全条形统计图； （2）扇形统计图中， “B”选项所对应扇形圆

8、心角为 度； （3）若该校共有 2400 名学生，请你估计该校学生假期利用网络学习的时间在“A”选项 的有多少人？ 22 （8 分）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图 MN 是装订机的底座，AB 是装订 机的托板，始终与底座平行，连接杆 DE 的 D 点固定，点 E 从 A 向 B 处滑动，压柄 BC 可绕着转轴 B 旋转已知压柄 BC 的长度为 15cm，BD5cm，压柄与托板的长度相等 （1）当托板与压柄夹角ABC37时，如图点 E 从 A 点滑动了 2cm，求连接杆 DE 的长度； （2）当压柄 BC 从（1）中的位置旋转到与底座 AB 的夹角ABC127，如图求 这个过程中点 E

9、 滑动的距离 （答案保留根号） （参考数据：sin370.6，cos37 0.8tan370.75） 23 （10 分）在ABC 中，CACB，ACB点 P 是平面内不与点 A，C 重合的任意一 点连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 得到线段 DP，连接 AD，BD，CP （1）观察猜想 如图 1，当 60时，的值是 ，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度 数是 （2）类比探究 如图 2，当 90时，请写出的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数， 并就图 2 的情形说明理由 （3）解决问题 当 90时， 若点 E， F 分别是 CA， CB 的中点， 点

10、P 在直线 EF 上， 请直接写出点 C， P，D 在同一直线上时的值 24 （10 分）如图，抛物线 yax2+bx与 x 轴相交于 B（1，0） ，C（3，0）两点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）点 D 在抛物线的对称轴上，且位于 x 轴的上方，将BCD 沿直线 BD 翻折得到 BCD，若点 C恰好落在抛物线的对称轴上，求点 C和点 D 的坐标； （3）在（2）的条件下，设抛物线与 y 轴交于点 Q，连接 BQ、DQ，点 P 为抛物线上的 一个动点（点 P 与点 Q 不重合） ，且 SPBDSBDQ，请求出所有满足条件的点 P 的横坐 标 2020 年湖南省岳阳市城区年湖南省岳阳市城

11、区二十六校联考中考数学一模试卷二十六校联考中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 道小题，每小题道小题，每小题 3 分，满分分，满分 24 分分.在每道小题给出的四个选项中，在每道小题给出的四个选项中， 选出符合要求的一项）选出符合要求的一项） 1 （3 分）2020 的相反数是（ ） A2020 B2020 C D 【分析】直接利用相反数的定义得出答案 【解答】解：2020 的相反数是：2020 故选：B 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+aa3 Ba2a3a6 Ca+2a3a D （a2）3a5 【分析】分别根据合并

12、同类项法则，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则逐一化 简即可得出正确选项 【解答】解：Aa2与 a 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； Ba2a3a5，故本选项不合题意； Ca+2a3a，故本选项符合题意； D （a2）3a6，故本选项不合题意 故选：C 3 （3 分）下列几何体的俯视图是三角形的是（ ） A B C D 【分析】俯视图是从物体上面看，所得到的图形 【解答】解：A、球体的俯视图是圆，故此选项错误； B、圆锥的俯视图是有圆心的圆，故此选项错误； C、圆柱的俯视图是圆，故此选项错误； D、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确； 故选：D 4 （3 分）泰达洁净是我国北

13、方最大的口罩滤材生产企业，该公司每天可以生产滤材 7 吨到 10 吨，大约可供生产 7000000 只口罩，全部提供给一线抗疫人员，数据 7000000 用科学 记数法表示为（ ） A7106 B7107 C70105 D0.7108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：7000000 用科学记数法表示为 7106 故选：A 5 （3 分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A

14、 B C D 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小小无解了确定不等式组的解集 【解答】解： 解不等式得：x1， 解不等式得：x1， 不等式组的解集为1x1， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： ， 故选：B 6 （3 分）小明为了在体育中考中取得好成绩，进行了多次练习，下面是他近期六次跳绳的 成绩（单位：个） ：180，179，180，182，178，181这六次成绩的中位数和众数分别是 （ ） A179、180 B180、180 C181、180 D182、180 【分析】先将数据从小到大排列，再根据众数和中位数的概念求解可得 【解答】解

15、：将这组数据重新排列为 178，179，180，180，181，182， 所以这组数据的中位数为180， 众数为 180， 故选：B 7 （3 分）下列命题是假命题的是（ ） A矩形的对角线相等且互相平分 B两点之间，线段最短 C垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 D角平分线上的点到角两边的距离相等 【分析】根据矩形的性质、角平分线的性质、线段和平行的判定判断即可 【解答】解：A、矩形的对角线相等且互相平分，是真命题； B、两点之间，线段最短，是真命题； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原命题是假命题； D、角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题； 故选：C 8 （3

16、 分）如右图是二次函数 yax2+bx+c（a0）图象的一部分，函数图象经过点（2，0） ， x1 是对称轴，有下列结论：2ab0；9a3b+c0；若（2，y1） ， （， ）是抛物线上两点，则 y1y2，ab+c9a；其中正确结论的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】利用对称轴方程得到 b2a，则可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛 物线与 x 轴的另一个交点坐标为（4，0） ，则当 x3 时，y0，则可对进行判断； 根据二次函数的性质，通过比较点（2，y1）和点（，）到直线 x1 的距离的 大小对进行判断；利用 x2，y0 得到 c8a，则可对进行判断 【解答】

17、解：抛物线的对称轴为直线 x1， 1， b2a，即 2ab0，所以正确； 抛物线的对称轴为直线 x1，抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（2，0） ， 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（4，0） ， 当 x3 时，y0， 即 9a3b+c0，所以错误； 抛物线开口向下，点（2，y1）到直线 x1 的距离比点（，）到直线 x1 的距离小， y1y2，所以错误； x2，y0， 4a+2b+c0， 把 b2a 代入得 4a+4a+c0，解得 c8a， ab+ca2a8a9a，所以正确 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 道小题，每小题道小题，每小题 4 分，满分分，满分 32 分

18、）分） 9 （4 分）函数 y的自变量 x 的取值范围是 x1 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：根据题意得，x10， 解得 x1 故答案为 x1 10 （4 分）分解因式：a24a+4 （a2）2 【分析】 根据完全平方公式的特点： 两项平方项的符号相同， 另一项是两底数积的 2 倍， 本题可用完全平方公式分解因式 【解答】解：a24a+4（a2）2 11 （4 分） 已知关于 x 的一元二次方程 x22x+k0 有两个相等的实数根， 则 k 值为 1 【分析】根据判别式的意义得到（2）24k0，然后解一次方程即可 【解答】解：根据题意得（2）24k0， 解得

19、k1 故答案为 1 12 （4 分）有四张不透明的卡片为 2，除正面的数不同外，其余都相同将 它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为 【分析】根据题意分析可得，共 4 张卡片，写有无理数的有两张，进而由概率的计算公 式计算可得答案 【解答】解：根据题意，共 4 张卡片，写有无理数的为 ， 故从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为 故答案为 13 （4 分）如图，直线 l1l2，等腰直角ABC 的两个顶点 AB 分别落在直线 l1、l2上， ACB90，若115，则2 的度数是 30 【分析】根据平行线的性质可得出23，根据等腰直角三角形的性质可得出1+3

20、 45，即1+245，再代入115即可求出2 的度数 【解答】解：l1l2， 23 ABC 为等腰直角三角形， 1+345， 1+245 又115， 2451530 故答案为：30 14 （4 分）计算： 1 【分析】先通分，再加减，然后约分 【解答】解：原式1 15 （4 分）我国古代有这样一道数学问题： “枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤 自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一 个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处缠 绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处，则问题中葛藤的最短长度是 25 尺

21、 【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转 化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出 【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长 20 尺， 另一条直角边长 5315（尺） ， 因此葛藤长为25（尺） 故答案为：25 16 （4 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上一点，AD 与过点 C 的切线垂直，垂足 为点 D，直线 DC 与 AB 的延长线相交于点 P，弦 CE 平分ACB，交 AB 于点 F，连接 BE， 下列四个结论中： AC 平分DAB； PCPF； PF2PBPA； 若 tanABC ，BE7，则 PC 的长为 1

22、2其中正确的结论有： （写出所有正确 结论的序号） 【分析】由 PD 切O 于点 C，AD 与过点 C 的切线垂直，易证得 OCAD，继而证得 AC 平分DAB； 由条件可得BCPCAB， BCFACF， 结合外角性质可得PCF PFC，即可证得 PCPF；证明CPBAPC，得出，则 PF2PBPA； 易证PACPCB，由相似三角形的性质可得到，又因为 tanABC，所以 可得，进而可得到，设 PC4k，PB3k，则在 RtPOC 中，利用勾股定 理可得PC2+OC2OP2， 进而可建立关于k的方程， 解方程求出k的值即可求出PC的长 【解答】解：如图， PD 切O 于点 C， OCPD， 又

23、ADPD， OCAD， ACODAC OCOA， ACOCAO， DACCAO， 即 AC 平分DAB， 故正确； ADPD， DAC+ACD90 又AB 为O 的直径， ACB90 PCB+ACD90， DACPCB 又DACCAO， CAOPCB CE 平分ACB， ACFBCF， CAO+ACFPCB+BCF， PFCPCF， PCPF， 故正确， PCBPAC，CPBAPC， CPBAPC， ， PC2PBPA， PF2PBPA， 故正确； 连接 AE， CE 平分ACB， ， AEBE， AB 是O 的直径， AEB90， AEB 为等腰直角三角形， 又BE7， AB14， PACP

24、CB，PP， PACPCB， 又tanABC， ， ， 设 PC4k，PB3k，则在 RtPOC 中，PO3k+7，OC7， PC2+OC2OP2， （4k）2+72（3k+7）2， k6 （k0 不合题意，舍去） PC4k4624 故错误 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 道小题，满分道小题，满分 64 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （6 分） 【分析】先计算零指数幂、负整数指数幂、代入三角函数值、去绝对值符号，再计算加 减即可得 【解答】解：原式 2 18 （6 分）如图，在菱形 ABCD 中，CECF

25、，求证：AEAF 【分析】 由四边形 ABCD 为菱形， 可得 ADABCDCB， BD 又因为 CECF， 所以 CDCECBCF，即 DEBF可证ADEABF，所以 AEAF 【解答】证明：四边形 ABCD 为菱形， ADABCDCB，BD 又CECF， CDCECBCF， 即 DEBF 在ADE 和ABF 中 ADEABF（SAS） AEAF 19（8 分） 如图， 一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数的图象相交于点 A （1， m） 、 B（n，1）两点 （1）求一次函数表达式； （2）求AOB 的面积 【分析】 （1）先利用反比例函数解析式确定 m、n 的值，从而得到 A、B 点

26、的坐标，然后 利用待定系数法求一次函数解析式； （2）一次函数图象交 y 轴于 D 点，如图，则 D（0，3） ，然后根据三角形面积公式，利 用 SAOBSAOD+SBOD进行计算 【解答】解： （1）把 A（1m） ，B（n，1）代入 y得m4，n4， 解得 m4，n4， A（1，4） ，B（4，1） ， 把 A（1，4） ，B（4，1）代入 ykx+b 得，解得， 一次函数解析式为 yx+3； （2）一次函数图象交 y 轴于 D 点，如图， 当 x0 时，yx+33， D（0，3） ， SAOBSAOD+SBOD31+34 20 （8 分）某市为治理污水，需要铺设一段全长为 3000m 的

27、污水排放管道，为了尽量减少 施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加 25%，结果提前 30 天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？ 【分析】首先设原计划每天铺设 x 米，则实际每天铺设（1+25%）x 米，由题意找出等量 关系：原计划的工作时间实际的工作时间30，然后列出方程可求出结果，最后检验 并作答 【解答】解：设原计划每天铺设 x 米，依题意得： +30， 解得：x20 米， 经检验 x20 是原方程式的根， 实际每天铺设 1.25x1.252025（米） 答：实际每天铺设 25 米长管道 21 （8 分）受新冠疫情的影响，我市中学生全部推迟开学，所有学生改为线上网

28、络学习， 为了指导学生有效利用网络进行学习，某学校对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表 如图所示） ，并用调查结果绘制了图 1、图 2 两幅统计图（均不完整） ，请根据统计图解答 以下问题： 防疫期间网络学习时间问卷调查表 您好!这是一份关于您平均每天利用网络学习时间的问卷调查表，请在表格中选择一项符 合您学习时间的选项，在其后空格内打“” ，非常感谢您的合作 选项 学习时间 t（小时） A 0t2 B 2t4 C 4t6 D t6 （1）本次接受问卷调查的学生共有 100 人；并请补全条形统计图； （2）扇形统计图中， “B”选项所对应扇形圆心角为 72 度； （3）若该校共有 2400 名

29、学生，请你估计该校学生假期利用网络学习的时间在“A”选项 的有多少人？ 【分析】 （1）根据 C 的人数和所占的百分比求出调查的总人数，再用总人数减去其它选 项的人数求出 A 的人数，从而补全统计图； （2）用 360乘以“B”选项所占的百分比即可； （3）用该校的总人数乘以学习的时间在“A”选项的人数所占的百分比即可得出答案 【解答】解： （1）本次接受问卷调查的学生共有：5050%100（人） ， 学习时间在 0t2 的人数有 10020501020（人） ， 补全条形统计图如下： 故答案为：100； （2） “B”选项所对应扇形圆心角为：36020%72（度） ； 故答案为：72； （3

30、）根据题意得： 240020%480（人） ， 答：该校学生假期利用网络学习的时间在“A”选项的有 480 人 22 （8 分）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图 MN 是装订机的底座，AB 是装订 机的托板，始终与底座平行，连接杆 DE 的 D 点固定，点 E 从 A 向 B 处滑动，压柄 BC 可绕着转轴 B 旋转已知压柄 BC 的长度为 15cm，BD5cm，压柄与托板的长度相等 （1）当托板与压柄夹角ABC37时，如图点 E 从 A 点滑动了 2cm，求连接杆 DE 的长度； （2）当压柄 BC 从（1）中的位置旋转到与底座 AB 的夹角ABC127，如图求 这个过程中点 E 滑

31、动的距离 （答案保留根号） （参考数据：sin370.6，cos37 0.8tan370.75） 【分析】 （1）作 DHBE 于 H，在 RtBDH 中用三角函数算出 DH 和 BH，再求出 EH， 在三角形 DEH 中用勾股定理即可求得 DE； （2）作 DHAB 的延长线于点 H，在 RtDBH 和 RtDEH 中，用三角函数分别求出 BH，DH，EB 的长，从而可求得 点 E 滑动的距离 【解答】解： （1）如图，作 DHBE 于 H， 在 RtBDH 中，DHB90，BD5，ABC37， ，cos37， DH5sin3750.63（cm） ，BH5cos3750.84（cm） ABB

32、C15cm，AE2cm， EHABAEBH15249（cm） ， DE3（cm） 答：连接杆 DE 的长度为cm （2）如图，作 DHAB 的延长线于点 H， ABC127， DBH53，BDH37， 在 RtDBH 中，sin370.6， BH3cm， DH4cm， 在 RtDEH 中，EH2+DH2DE2， （EB+3）2+1690， EB（） （cm） ， 点 E 滑动的距离为：15（3）2（16） （cm） 答：这个过程中点 E 滑动的距离为（16）cm 23 （10 分）在ABC 中，CACB，ACB点 P 是平面内不与点 A，C 重合的任意一 点连接 AP，将线段 AP 绕点 P

33、逆时针旋转 得到线段 DP，连接 AD，BD，CP （1）观察猜想 如图 1，当 60时，的值是 1 ，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数 是 60 （2）类比探究 如图 2，当 90时，请写出的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数， 并就图 2 的情形说明理由 （3）解决问题 当 90时， 若点 E， F 分别是 CA， CB 的中点， 点 P 在直线 EF 上， 请直接写出点 C， P，D 在同一直线上时的值 【分析】 （1）如图 1 中，延长 CP 交 BD 的延长线于 E，设 AB 交 EC 于点 O证明CAP BAD（SAS） ，即可解决问题 （2）如图

34、 2 中，设 BD 交 AC 于点 O，BD 交 PC 于点 E证明DABPAC，即可解 决问题 （3）分两种情形：如图 31 中，当点 D 在线段 PC 上时，延长 AD 交 BC 的延长线 于 H证明 ADDC 即可解决问题 如图 32 中，当点 P 在线段 CD 上时，同法可证：DADC 解决问题 【解答】解： （1）如图 1 中，延长 CP 交 BD 的延长线于 E，设 AB 交 EC 于点 O PADCAB60， CAPBAD， CABA，PADA， CAPBAD（SAS） ， PCBD，ACPABD， AOCBOE， BEOCAO60， 1，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小

35、角的度数是 60， 故答案为 1，60 （2）如图 2 中，设 BD 交 AC 于点 O，BD 交 PC 于点 E PADCAB45， PACDAB， ， DABPAC， PCADBA， EOCAOB， CEOOAB45， 直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数为 45 （3）如图 31 中，当点 D 在线段 PC 上时，延长 AD 交 BC 的延长线于 H CEEA，CFFB， EFAB， EFCABC45， PAO45， PAOOFH， POAFOH， HAPO， APC90，EAEC， PEEAEC， EPAEAPBAH， HBAH， BHBA， ADPBDC45， ADB90

36、， BDAH， DBADBC22.5， ADBACB90， A，D，C，B 四点共圆， DACDBC22.5，DCAABD22.5， DACDCA22.5， DADC，设 ADa，则 DCADa，PDa， 2 如图 32 中，当点 P 在线段 CD 上时，同法可证：DADC，设 ADa，则 CDAD a，PDa， PCaa， 2+ 24 （10 分）如图，抛物线 yax2+bx与 x 轴相交于 B（1，0） ，C（3，0）两点 （1）求抛物线的函数表达式； （2）点 D 在抛物线的对称轴上，且位于 x 轴的上方，将BCD 沿直线 BD 翻折得到 BCD，若点 C恰好落在抛物线的对称轴上，求点

37、C和点 D 的坐标； （3）在（2）的条件下，设抛物线与 y 轴交于点 Q，连接 BQ、DQ，点 P 为抛物线上的 一个动点（点 P 与点 Q 不重合） ，且 SPBDSBDQ，请求出所有满足条件的点 P 的横坐 标 【分析】 （1）根据待定系数法，把点 B（1，0） ，C（3，0）分别代 3）得到方程组求 解即可； （2） 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E， 则 E 点的坐标为 （1， 0） ， BE2， 由翻折得 C BCB4，求出 CE 的长，可得CBE60，求出 DE 的长，则 D 坐标可求； （3）用待定系数法求出直线 BD 的解析式，并求得 Q 点坐标，分两种情况：当点 P、

38、Q 在直线 BD 的同侧时； 当点 P 与点 Q 在 BD 的两侧时分别根据 SPBDSBDQ，得出 QPBD，HPBQ，求 得平行线与抛物线相交点的横坐标便可 【解答】解： （1）把点 B（1，0） ，C（3，0）分别代入，得 ， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； （2）抛物线与 x 轴相交于点 B（1，0） ，点 C（3，0） ， BC4，对称轴为直线 x1， E（1，0） ，BE2， CE， ， ， CBE60， 由翻折得，DBE30， DEBEtan30， D（1，） ； （3）设 BD 交 y 轴于点 F， 设直线 BD 的解析式为 ykx+b（k0） ，则 ， 解得， BD 的解析式为：y， F（0，） ， 抛物线的解析式为， Q（0，） ， 分两种情况： 当点 P、Q 在直线 BD 的同侧时， SPBDSBDQ， PQBD， 直线 PQ 的解析式为：y， 联立方程组， 解得，（舍） ， P（3，0） ； 当点 P 与点 Q 在 BD 的两侧时， SPBDSBDQ， 点 P、点 Q 到直线 BD 的距离相等， F（0，） ，Q（0，） ， ， 在 y 轴上截取 HFFQ，过点 H 作 BD 的平行线，交抛物线于点 P和 P， HFFQ， H（0，） ， 直线 HP的解析式为 y， 联立方程组， 解得， 综上，当点 P 的横坐标为 3 或或时，SPBDSBDQ