1、第四章第四章 图形的相似图形的相似 测试卷测试卷 一选择题一选择题 1若 a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ） A2a=3b B3a=2b C D 2若 x：y=1：3，2y=3z，则的值是（ ） A5 B C D5 3如图，在ABC 中，DEBC，若=，则=（ ） A B C D 4 如图，直线 l1l2l3，一等腰直角三角形 ABC 的三个顶点 A， B，C 分别在 l1， l2，l3上，ACB=90，AC 交 l2于点 D，已知 l1与 l2的距离为 1，l2与 l3的距离为 3，则的值为（ ） A B C D 5若两个相似多边形的面积之比为 1：4，则它们的周长之比为（ ）
2、A1：4 B1：2 C2：1 D4：1 6 ）已知矩形 ABCD 中，AB=1，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点，若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD=（ ） A B C D2 7如图，点 F 在平行四边形 ABCD 的边 AB 上，射线 CF 交 DA 的延长线于点 E， 在不添加辅助线的情况下，与AEF 相似的三角形有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 8如图，点 P 在ABC 的边 AC 上，要判断ABPACB，添加一个条件，不 正确的是（ ） AABP=C BAPB=ABC C= D= 9如图，在ABC
3、 中，BF 平分ABC，AFBF 于点 F，D 为 AB 的中点，连接 DF 延长交 AC 于点 E若 AB=10，BC=16，则线段 EF 的长为（ ） A2 B3 C4 D5 10ABC 与DEF 的相似比为 1：4，则ABC 与DEF 的周长比为（ ） A1：2 B1：3 C1：4 D1：16 11如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q 四点均在正方形网 格的格点上，线段 AB，PQ 相交于点 M，则图中QMB 的正切值是（ ） A B1 C D2 12如图，在直角坐标系中，有两点 A（6，3） ，B（6，0） ，以原点 O 位似中心， 相似比为， 在第一象限内把线段AB缩
4、小后得到线段CD， 则点C的坐标为 （ ） A （2，1） B （2，0） C （3，3） D （3，1） 二填空题二填空题 13如果=k（b+d+f0） ，且 a+c+e=3（b+d+f） ，那么 k= 14如图，ABCDEF，AF 与 BE 相交于点 G，且 AG=2，GD=1，DF=5，那么 的值等于 15如图，在ABC 中，D 是 AB 边上的一点，连接 CD，请添加一个适当的条 件 ，使ABCACD （只填一个即可） 16已知矩形 ABCD 中，AB=1，在 BC 上取一点 E，将ABE 沿 AE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似
5、，则 AD= 三解答题三解答题 17如图，在ABC 中，AB=AC=1，BC=，在 AC 边上截取 AD=BC，连接 BD （1）通过计算，判断 AD2与 ACCD 的大小关系； （2）求ABD 的度数 18如图，在ABC 中，AB=AC，A=36，BD 为角平分线，DEAB，垂足为 E （1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为 1 的相似三角形； （2）选择（1）中一对加以证明 19如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x+3 与 x 轴交于点 C，与直线 AD 交于点 A（，） ，点 D 的坐标为（0，1） （1）求直线 AD 的解析式； （2）直线 AD 与 x 轴交于点 B
6、，若点 E 是直线 AD 上一动点（不与点 B 重合） ， 当BOD 与BCE 相似时，求点 E 的坐标 20如图，在ABC 中，AD 平分BAC 交 BC 于点 D点 E、F 分别在边 AB、AC 上，且 BE=AF，FGAB 交线段 AD 于点 G，连接 BG、EF （1）求证：四边形 BGFE 是平行四边形； （2）若ABGAGF，AB=10，AG=6，求线段 BE 的长 21 如图， 某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与 旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE=0.5 米，
7、EF=0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG=1.5 米，到旗杆的水平距离 DC=20 米，求旗杆的高度 22如图，是一个照相机成像的示意图 （1）如果像高 MN 是 35mm，焦距是 50mm，拍摄的景物高度 AB 是 4.9m，拍 摄点离景物有多远？ （2）如果要完整的拍摄高度是 2m 的景物，拍摄点离景物有 4m，像高不变，则 相机的焦距应调整为多少？ 答案解析答案解析 一选择题一选择题 1若 a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ） A2a=3b B3a=2b C D 【考点】比例的性质 【分析】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案 【解答】解：A、2a=3ba：b
8、=3：2，故选项错误； B、3a=2ba：b=2：3，故选项正确； C、=b：a=2：3，故选项错误； D、=a：b=4：3，故选项错误 故选 B 【点评】考查了比例的性质在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积 2若 x：y=1：3，2y=3z，则的值是（ ） A5 B C D5 【考点】比例的性质 【专题】计算题 【分析】根据比例设 x=k，y=3k，再用 k 表示出 z，然后代入比例式进行计算即 可得解 【解答】解：x：y=1：3， 设 x=k，y=3k， 2y=3z， z=2k， =5 故选：A 【点评】本题考查了比例的性质，利用“设 k 法”分别表示出 x、y、z 可以使计算 更加
9、简便 3如图，在ABC 中，DEBC，若=，则=（ ） A B C D 【考点】平行线分线段成比例 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可 【解答】解：DEBC， =， 故选 C 【点评】 本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关 键，属于基础定义或定理，难度不大 4 （2016淄博） 如图， 直线 l1l2l3， 一等腰直角三角形 ABC 的三个顶点 A， B， C 分别在 l1，l2，l3上，ACB=90，AC 交 l2于点 D，已知 l1与 l2的距离为 1，l2 与 l3的距离为 3，则的值为（ ） A B C D 【考点】平行线分线段成比例 【专题】
10、线段、角、相交线与平行线 【分析】 先作出作 BFl3， AEl3， 再判断ACECBF， 求出 CE=BF=3， CF=AE=4， 然后由 l2l3，求出 DG，即可 【解答】解：如图，作 BFl3，AEl3， ACB=90， BCF+ACE=90， BCF+CFB=90， ACE=CBF， 在ACE 和CBF 中， ， ACECBF， CE=BF=3，CF=AE=4， l1与 l2的距离为 1，l2与 l3的距离为 3， AG=1，BG=EF=CF+CE=7 AB=5， l2l3， = DG=CE=， BD=BGDG=7=， = 故选 A 【点评】 此题是平行线分线段成比例试题， 主要考查
11、了全等三角形的性质和判定， 平行线分线段成比例定理，勾股定理，解本题的关键是构造全等三角形 5若两个相似多边形的面积之比为 1：4，则它们的周长之比为（ ） A1：4 B1：2 C2：1 D4：1 【考点】相似多边形的性质 【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比， 就可求解 【解答】解：两个相似多边形面积比为 1：4， 周长之比为=1：2 故选：B 【点评】本题考查相似多边形的性质相似多边形对应边之比、周长之比等于相 似比，而面积之比等于相似比的平方 6已知矩形 ABCD 中，AB=1，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上
12、的 F 点，若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD=（ ） A B C D2 【考点】相似多边形的性质 【分析】可设 AD=x，根据四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，可得比例式，求解即 可 【解答】解：沿 AE 将ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点， 四边形 ABEF 是正方形， AB=1， 设 AD=x，则 FD=x1，FE=1， 四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似， =， =， 解得 x1=，x2=（负值舍去） ， 经检验 x1=是原方程的解 故选 B 【点评】考查了翻折变换（折叠问题） ，相似多边形的性质，本题的关键是根据 四边形 EFDC
13、与矩形 ABCD 相似得到比例式 7如图，点 F 在平行四边形 ABCD 的边 AB 上，射线 CF 交 DA 的延长线于点 E， 在不添加辅助线的情况下，与AEF 相似的三角形有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【考点】相似三角形的判定 【分析】直接利用平行四边形的性质得出 ADBC，ABDC，再结合相似三角形 的判定方法得出答案 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ABDC， AEFCBF，AEFDEC， 与AEF 相似的三角形有 2 个 故选：C 【点评】 此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，正确掌握相 似三角形的判定方法是解题关键 8如
14、图，点 P 在ABC 的边 AC 上，要判断ABPACB，添加一个条件，不 正确的是（ ） AABP=C BAPB=ABC C= D= 【考点】相似三角形的判定 【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可 【解答】解：A、当ABP=C 时，又A=A，ABPACB，故此选项 错误； B、当APB=ABC 时，又A=A，ABPACB，故此选项错误； C、当=时，又A=A，ABPACB，故此选项错误； D、无法得到ABPACB，故此选项正确 故选：D 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键 9如图，在ABC 中，BF 平分ABC，AFBF 于点 F，D 为 AB 的
15、中点，连接 DF 延长交 AC 于点 E若 AB=10，BC=16，则线段 EF 的长为（ ） A2 B3 C4 D5 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得 DF=AB=AD=BD=5 且 ABF=BFD，结合角平分线可得CBF=DFB，即 DEBC，进而可得 DE=8，由 EF=DEDF 可得答案 【解答】解：AFBF， AFB=90， AB=10，D 为 AB 中点， DF=AB=AD=BD=5， ABF=BFD， 又BF 平分ABC， ABF=CBF， CBF=DFB， DEBC， ADEABC， =，即， 解得：DE=8， EF=DEDF=3
16、， 故选：B 【点评】 本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用 其判定与性质是解题的关键 10ABC 与DEF 的相似比为 1：4，则ABC 与DEF 的周长比为（ ） A1：2 B1：3 C1：4 D1：16 【考点】相似三角形的性质 【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果 【解答】解：ABC 与DEF 的相似比为 1：4， ABC 与DEF 的周长比为 1：4； 故选：C 【点评】 本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是 解决问题的关键 11如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q 四点均在正方形网 格的格点上，线段
17、AB，PQ 相交于点 M，则图中QMB 的正切值是（ ） A B1 C D2 【考点】相似三角形的性质 【专题】网格型 【分析】 根据题意平移 AB 使 A 点与 P 点重合， 进而得出， QPB是直角三角形， 再利用 tanQMB=tanP=，进而求出答案 【解答】解：如图所示：平移 AB 使 A 点与 P 点重合，连接 BQ， 可得QMB=P， PB=2，PQ=2，BQ=4， PB2+PB2=BQ2， QPB是直角三角形， tanQMB=tanP=2 故选：D 【点评】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系，正确得出QPB是直 角三角形是解题关键 12如图，在直角坐标系中，有两点 A（
18、6，3） ，B（6，0） ，以原点 O 位似中心， 相似比为， 在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD， 则点C的坐标为 （ ） A （2，1） B （2，0） C （3，3） D （3，1） 【考点】平面直角坐标系中的位似变换 【分析】根据位似变换的性质可知，ODCOBA，相似比是，根据已知数 据可以求出点 C 的坐标 【解答】解：由题意得，ODCOBA，相似比是， =，又 OB=6，AB=3， OD=2，CD=1， 点 C 的坐标为： （2，1） ， 故选：A 【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注 意位似比与相似比的关系的应用 二填空题二填空题 13如果
19、=k（b+d+f0） ，且 a+c+e=3（b+d+f） ，那么 k= 3 【考点】比例的性质 【分析】根据等比性质，可得答案 【解答】解：由等比性质，得 k=3， 故答案为：3 【点评】本题考查了比例的性质，利用了等比性质：=kk= 14 （2016济宁）如图，ABCDEF，AF 与 BE 相交于点 G，且 AG=2，GD=1， DF=5，那么的值等于 【考点】平行线分线段成比例 【分析】首先求出 AD 的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式 即可得到结论 【解答】解：AG=2，GD=1， AD=3， ABCDEF， =， 故答案为： 【点评】 该题主要考查了平行线分线段成比例定
20、理及其应用问题；解题的关键是 准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式求解、计算 15如图，在ABC 中，D 是 AB 边上的一点，连接 CD，请添加一个适当的条件 ACD=ABC（答案不唯一） ，使ABCACD （只填一个即可） 【考点】相似三角形的判定 【专题】开放型 【分析】相似三角形的判定有三种方法： 三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； 两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； 两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似 由此可得出可添加的条件 【解答】解：由题意得，A=A（公共角） ， 则可添加：ACD=ABC，利用两角法可判定ABCACD 故答案可
21、为：ACD=ABC 【点评】 本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似 的三种判定方法，本题答案不唯一 16已知矩形 ABCD 中，AB=1，在 BC 上取一点 E，将ABE 沿 AE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD= 【考点】相似多边形的性质 【专题】压轴题 【分析】可设 AD=x，由四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，根据相似多边形对应边 的比相等列出比例式，求解即可 【解答】解：AB=1， 设 AD=x，则 FD=x1，FE=1， 四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似， =，=， 解得 x1
22、=，x2=（不合题意舍去） ， 经检验 x1=是原方程的解 故答案为 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题） ，相似多边形的性质，本题的关键是 根据四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似得到比例式 三解答题（共三解答题（共 52 分）分） 17 （2016福州）如图，在ABC 中，AB=AC=1，BC=，在 AC 边上截取 AD=BC，连接 BD （1）通过计算，判断 AD2与 ACCD 的大小关系； （2）求ABD 的度数 【考点】相似三角形的判定 【分析】 （1）先求得 AD、CD 的长，然后再计算出 AD2与 ACCD 的值，从而可得 到 AD2与 ACCD 的关系； （2）由（1）可
23、得到 BD2=ACCD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形 相似证明BCDABC，依据相似三角形的性质可知DBC=A，DB=CB，然后 结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得ABD 的度数 【解答】解： （1）AD=BC，BC=， AD=，DC=1= AD2=，ACCD=1= AD2=ACCD （2）AD=BC，AD2=ACCD， BC2=ACCD，即 又C=C， BCDACB ，DBC=A DB=CB=AD A=ABD，C=BDC 设A=x，则ABD=x，DBC=x，C=2x A+ABC+C=180， x+2x+2x=180 解得：x=36 ABD=36 【点评】本题主要考查的
24、是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角 形内角和定理的应用，证得BCDABC 是解题的关键 18如图，在ABC 中，AB=AC，A=36，BD 为角平分线，DEAB，垂足为 E （1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为 1 的相似三角形； （2）选择（1）中一对加以证明 【考点】相似三角形的判定 【分析】 （1）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法得出符合题意的 答案； （2）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分别得出即可 【解答】解： （1）ADEBDE，ABCBCD； （2）证明：AB=AC，A=36， ABC=C=72， BD 为角平分线， ABD=ABC
25、=36=A， 在ADE 和BDE 中 ， ADEBDE（AAS） ； 证明：AB=AC，A=36， ABC=C=72， BD 为角平分线， DBC=ABC=36=A， C=C， ABCBCD 【点评】 此题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定，正确把握判定方法 是解题关键 19 （2016广州）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x+3 与 x 轴交于点 C，与直线 AD 交于点 A（，） ，点 D 的坐标为（0，1） （1）求直线 AD 的解析式； （2）直线 AD 与 x 轴交于点 B，若点 E 是直线 AD 上一动点（不与点 B 重合） ， 当BOD 与BCE 相似时，求点
26、 E 的坐标 【考点】相似三角形的性质 【分析】 （1）设直线 AD 的解析式为 y=kx+b，用待定系数法将 A（， ） ，D（0， 1）的坐标代入即可； （2）由直线 AD 与 x 轴的交点为（2，0） ，得到 OB=2，由点 D 的坐标为（0， 1） ， 得到 OD=1， 求得 BC=5， 根据相似三角形的性质得到或， 代入数据即可得到结论 【解答】解： （1）设直线 AD 的解析式为 y=kx+b， 将 A（，） ，D（0，1）代入得：， 解得： 故直线 AD 的解析式为：y=x+1； （2）直线 AD 与 x 轴的交点为（2，0） ， OB=2， 点 D 的坐标为（0，1） ， OD
27、=1， y=x+3 与 x 轴交于点 C（3，0） ， OC=3， BC=5 BOD 与BEC 相似， 或， =或， BE=2，CE=，或 CE=， BCEF=BECE， EF=2，CF=1， E（2，2） ，或（3，） 【点评】本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作 出图形是解题的关键 20如图，在ABC 中，AD 平分BAC 交 BC 于点 D点 E、F 分别在边 AB、AC 上，且 BE=AF，FGAB 交线段 AD 于点 G，连接 BG、EF （1）求证：四边形 BGFE 是平行四边形； （2）若ABGAGF，AB=10，AG=6，求线段 BE 的长 【考点】相
28、似三角形的性质 【专题】综合题 【分析】 （1）根据 FGAB，又 AD 平分BAC，可证得，AGF=GAF，从而得： AF=FG=BE，又因为 FGAB，所以可知四边形 BGFE 是平行四边形； （2） 根据ABGAGF， 可得， 求出 AF 的长， 再由 （1） 的结论： AF=FG=BE， 即可得 BE 的长 【解答】 （1）证明：FGAB， BAD=AGF BAD=GAF， AGF=GAF，AF=GF BE=AF，FG=BE， 又FGBE， 四边形 BGFE 为平行四边形 （4 分） （2）解：ABGAGF， ， 即， AF=3.6， BE=AF， BE=3.6 【点评】解决此类题目，
29、要掌握平行四边形的判定及相似三角形的性质 21 如图， 某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与 旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE=0.5 米，EF=0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG=1.5 米，到旗杆的水平距离 DC=20 米，求旗杆的高度 【考点】利用标杆测量物体的高度 【分析】根据题意可得：DEFDCA，进而利用相似三角形的性质得出 AC 的 长，即可得出答案 【解答】解：由题意可得：DEFDCA， 则=， DE=0.5 米，EF=0.25 米，DG=1.5m，
30、DC=20m， =， 解得：AC=10， 故 AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m） ， 答：旗杆的高度为 11.5m 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出DEFDCA 是解题关键 22如图，是一个照相机成像的示意图 （1）如果像高 MN 是 35mm，焦距是 50mm，拍摄的景物高度 AB 是 4.9m，拍 摄点离景物有多远？ （2）如果要完整的拍摄高度是 2m 的景物，拍摄点离景物有 4m，像高不变，则 相机的焦距应调整为多少？ 【考点】利用镜子测量物体的高度 【分析】 （1）利用相似三角形对应边上的高等于相似比即可列出比例式求解； （2）和上题一样，利用物体的高和拍摄点距离物体的距离及像高表示求相机的 焦距即可 【解答】解：根据物体成像原理知：LMNLBA， （1）像高 MN 是 35mm，焦距是 50mm，拍摄的景物高度 AB 是 4.9m， ， 解得：LD=7， 拍摄点距离景物 7 米； （2）拍摄高度是 2m 的景物，拍摄点离景物有 4m，像高不变， ， 解得：LC=70， 相机的焦距应调整为 70mm 【点评】 本题考查了相似三角形的应用， 解题的关键是根据题意得到相似三角形， 并熟知相似三角形对应边上的高的比等于相似比