1、第第二二章章 一元二次方程测试卷（一元二次方程测试卷（3） 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A Bax2+bx+c=0 C （x1） （x+2）=1 D3x22xy5y2=0 2 （3 分）关于 x 的一元二次方程 kx26x+9=0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk0 Ck1 且 k0 Dk1 3 （3 分）方程 x2kx1=0 根的情况是（ ） A方程有两个不相等的实数根 B方程有两个相等的实数根 C方程没有实数根 D方程的根的情况与 k 的取值有关 4 （3
2、分）等腰三角形的底和腰是方程 x27x+12=0 的两个根，则这个三角形的 周长是（ ） A11 B10 C11 或 10 D不能确定 5 （3 分）某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件 150 元降至 96 元，平 均每次降价的百分率是（ ） A20% B27% C28% D32% 6 （3 分）餐桌桌面是长为 160cm，宽为 100cm 的长方形，妈妈准备设计一块桌 布，面积是桌面的 2 倍，且使四周垂下的边等宽若设垂下的桌布宽为 xcm，则 所列方程为（ ） A （160+x） （100+x）=1601002 B （160+2x） （100+2x）=1601002 C （160+x
3、） （100+x）=160100 D2（160 x+100 x）=160100 7 （3 分） 某超市 1 月份的营业额是 200 万元， 第一季度的营业额共 1000 万元， 如果每月的增长率都是 x，根据题意列出的方程应该是（ ） A200（1+x）2=1000 B200（1+2x）=1000 C200+200（1+x）+200（1+x）2=1000 D200（1+3x）=1000 8 （3 分）如图所示，某幼儿园有一道长为 16 米的墙，计划用 32 米长的围栏靠 墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD 则该矩形草坪BC边的长是 （ ） A12 B18 C20 D12 或 20
4、9 （3 分） 若 n （n0） 是关于 x 的方程 x2+mx+2n=0 的根， 则 m+n 的值为 （ ） A1 B2 C1 D2 10 （3 分）已知（m2+n2）22（m2+n2）3=0，则 m2+n2=（ ） A1 或 3 B3 C1 D无法确定 11 （3 分）已知关于 x 的方程（m+3）x2+5x+m29=0 有一个解是 0，则 m 的值 为（ ） A3 B3 C3 D不确定 12 （3 分）若 x1，x2（x1x2）是方程（xa） （xb）=1（ab）的两个根，则 实数 x1，x2，a，b 的大小关系为（ ） Ax1x2ab Bx1ax2b Cx1abx2 Dax1bx2 二
5、、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 12 分）分） 13 （3 分）关于 x 的方程（m1）x2+（m+1）x+3m+2=0，当 m 时为一元二 次方程 14 （3 分）一元二次方程 x2=2x 的根是 15（3分） 若x1， x2是一元二次方程x23x+1=0的两个根， 则x1+x2= ， x1x2= ， x12+x22= 16 （3 分）如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路， 使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示求小路的宽是多少？设小 路的宽是 xm，根据题意可列方程为 三、解答题三、解答题 17 （18 分）解方程： （1）2x26x+3=0
6、（2） （x+3） （x1）=5 （3）4（2x+1）2=9（2x1）2 18 （10 分）某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出 20 件，每件获利 40 元为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当 的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价 1 元，则平均每天可多售 出 2 件，要想平均每天在销售这种童装上获利 1200 元，那么每件童装应降价多 少元？ 19 （12 分）某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价 不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 y（件）与销售单 价 x（元）符合一次函数 y=kx+b，且
7、x=65 时，y=55；x=75 时，y=45 （1）求一次函数 y=kx+b 的表达式； （2）若该商场获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式； 销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商场获得利润不低于 500 元，试确定销售单价 x 的范围 20 （12 分）如图，在ABC 中，B=90，AB=6 厘米，BC=8 厘米点 P 从 A 点 开始沿 AB 边向点 B 以 1 厘米/秒的速度移动（到达点 B 即停止运动） ，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2 厘米/秒的速度移动（到达点 C 即停止运动） （1）如果 P、
8、Q 分别从 A、B 两点同时出发，经过几秒钟，PBQ 的面积等于是 ABC 的三分之一？ （2）如果 P、Q 两点分别从 A、B 两点同时出发，而且动点 P 从 A 点出发，沿 AB 移动（到达点 B 即停止运动） ，动点 Q 从 B 出发，沿 BC 移动（到达点 C 即停 止运动） ，几秒钟后，P、Q 相距 6 厘米？ 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A Bax2+bx+c=0 C （x1） （x+2）=1 D3x22xy5y2=0 【考点】一元二次方程的定
9、义 【专题】方程思想 【分析】一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是 2； （2）二次项系数不为 0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者 为正确答案 【解答】解：A、原方程为分式方程；故 A 选项错误； B、 当 a=0 时， 即 ax2+bx+c=0 的二次项系数是 0 时， 该方程就不是一元二次方程； 故 B 选项错误； C、由原方程，得 x2+x3=0，符合一元二次方程的要求；故 C 选项正确； D、方程 3x22xy5y2=0 中含有两个未知数；故 D 选项错误 故选：C 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判
10、断一个方程是否是一元二次方程， 首先要看是否是整式方程， 然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最 高次数是 2 2 （3 分）关于 x 的一元二次方程 kx26x+9=0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk0 Ck1 且 k0 Dk1 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义 【分析】因为关于 x 的一元二次方程 kx26x+9=0 有两个不相等的实数根，所以 k0 且=b24ac0，建立关于 k 的不等式组，解得 k 的取值范围即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 kx26x+9=0 有两个不相等的实数根， k0，且=b24ac=3636k0， 解得
11、 k1 且 k0 故答案为 k1 且 k0 故选：C 【点评】 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用切记不要忽略一元二次方 程二次项系数不为零这一隐含条件一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0 方程有两个不相等的实数根； （2）=0 方程有两个相等的实数根； （3）0 方程没有实数根 3 （3 分）方程 x2kx1=0 根的情况是（ ） A方程有两个不相等的实数根 B方程有两个相等的实数根 C方程没有实数根 D方程的根的情况与 k 的取值有关 【考点】根的判别式 【分析】求出方程的判别式后，根据判别式与 0 的大小关系来判断根的情况 【解答】解：方程的=k2+40， 故方程有两个不相
12、等的实数根 故选 A 【点评】总结一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0 方程有两个不相等的实数根； （2）=0 方程有两个相等的实数根； （3）0 方程没有实数根 4 （3 分）等腰三角形的底和腰是方程 x27x+12=0 的两个根，则这个三角形的 周长是（ ） A11 B10 C11 或 10 D不能确定 【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质 【专题】计算题；一次方程（组）及应用 【分析】利用因式分解法求出方程的解得到 x 的值，确定出底与腰，即可求出周 长 【解答】解：方程分解得： （x3） （x4）=0， 解得：x1=3，x2=4， 若 3 为底
13、，4 为腰，三角形三边为 3，4，4，周长为 3+4+4=11； 若 3 为腰，4 为底，三角形三边为 3，3，4，周长为 3+3+4=10 故选 C 【点评】 此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本 题的关键 5 （3 分）某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件 150 元降至 96 元，平 均每次降价的百分率是（ ） A20% B27% C28% D32% 【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题 【分析】 如果价格每次降价的百分率为 x， 降一次后就是降到价格的 （1x） 倍， 连降两次就是降到原来的（1x） 2 倍则两次降价后的价格是 150（1x） 2，
14、 即可列方程求解 【解答】解：设平均每次降价的百分率为 x， 则可以得到关系式：150（1x）2=96 x=0.2 或 1.8 x=1.8 不符合题意，舍去， 故 x=0.2 答：平均每次降价的百分率是 20% 故选 A 【点评】本题考查数量平均变化率问题原来的数量（价格）为 a，平均每次增 长或降低的百分率为 x 的话，经过第一次调整，就调整到 a（1x） ，再经过第二 次调整就是 a（1x） （1x）=a（1x）2增长用“+”，下降用“” 6 （3 分）餐桌桌面是长为 160cm，宽为 100cm 的长方形，妈妈准备设计一块桌 布，面积是桌面的 2 倍，且使四周垂下的边等宽若设垂下的桌布宽
15、为 xcm，则 所列方程为（ ） A （160+x） （100+x）=1601002 B （160+2x） （100+2x）=1601002 C （160+x） （100+x）=160100 D2（160 x+100 x）=160100 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】本题可先求出桌布的面积，再根据题意用 x 表示桌面的长与宽，令两者 的积为桌布的面积即可 【解答】解：依题意得：桌布面积为：1601002， 桌面的长为：160+2x，宽为：100+2x， 则面积为=（160+2x） （100+2x）=2160100 故选 B 【点评】本题考查的是一元二次方程的运用，要灵活地运用面
16、积公式来求解 7 （3 分） 某超市 1 月份的营业额是 200 万元， 第一季度的营业额共 1000 万元， 如果每月的增长率都是 x，根据题意列出的方程应该是（ ） A200（1+x）2=1000 B200（1+2x）=1000 C200+200（1+x）+200（1+x）2=1000 D200（1+3x）=1000 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】增长率问题 【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量（1+增长率） ，关 系式为：一月份月营业额+二月份月营业额+三月份月营业额=1000，把相关数值 代入即可求解 【解答】解：二月份的月营业额为 200（1+x）
17、，三月份的月销售额在二月份月 销售额的基础上增加 x， 为 200（1+x）（1+x） ，则列出的方程是 200+200（1+x）+200（1+x） 2=1000， 故选 C 【点评】考查求平均变化率的方法若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平 均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x）2=b 8 （3 分）如图所示，某幼儿园有一道长为 16 米的墙，计划用 32 米长的围栏靠 墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD 则该矩形草坪BC边的长是 （ ） A12 B18 C20 D12 或 20 【考点】一元二次方程的应用 【专题】几何图形问题 【分析】设草坪 BC 的长
18、为 x 米，则宽为，根据面积为 120 平方米，列方 程求解 【解答】解：设草坪 BC 的长为 x 米，则宽为， 由题意得，x=120， 解得：x1=12，x2=20， 墙为 16 米， x=20 不合题意 故 x=12 故选 A 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未 知数，找出合适的等量关系，列方程求解 9 （3 分） 若 n （n0） 是关于 x 的方程 x2+mx+2n=0 的根， 则 m+n 的值为 （ ） A1 B2 C1 D2 【考点】一元二次方程的解 【专题】计算题 【分析】把 x=n 代入方程得出 n2+mn+2n=0，方程两边都除以 n 得出
19、 m+n+2=0， 求出即可 【解答】解：n（n0）是关于 x 的方程 x2+mx+2n=0 的根， 代入得：n2+mn+2n=0， n0， 方程两边都除以 n 得：n+m+2=0， m+n=2 故选 D 【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，能运用巧妙的方法求出 m+n 的 值是解此题的关键，题型较好，难度适中 10 （3 分）已知（m2+n2）22（m2+n2）3=0，则 m2+n2=（ ） A1 或 3 B3 C1 D无法确定 【考点】换元法解一元二次方程 【分析】设 y=m2+n2，原式化成关于 y 的一元二次方程，解方程即可求得 【解答】解：设 y=m2+n2， 则原式化为：y2
20、2y3=0， （y3） （y+1）=0， y=3 或 y=1， m2+n20， m2+n2=3 故选 B 【点评】 本题考查了换元法解一元二次方程，解题关键是能准确的找出可用替换 的代数式 m2+n2，再用字母 y 代替解方程 11 （3 分）已知关于 x 的方程（m+3）x2+5x+m29=0 有一个解是 0，则 m 的值 为（ ） A3 B3 C3 D不确定 【考点】一元二次方程的解 【专题】计算题 【分析】方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代 替未知数所得式子仍然成立；将 x=0 代入原方程即可求得 m 的值 【解答】解：把 x=0 代入原方程得 m29=0；
21、解得：m=3； 故选 C 【点评】 本题考查的是方程的根即方程的解的定义；注意该题没有说明该方程是 一元二次方程，所以也能是一元一次方程，所以 m 的值是3 12 （3 分）若 x1，x2（x1x2）是方程（xa） （xb）=1（ab）的两个根，则 实数 x1，x2，a，b 的大小关系为（ ） Ax1x2ab Bx1ax2b Cx1abx2 Dax1bx2 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【专题】压轴题 【分析】因为 x1和 x2为方程的两根，所以满足方程（xa） （xb）=1，再由已 知条件 x1x2、ab 结合图象，可得到 x1，x2，a，b 的大小关系 【解答】解：用作图法比较简单，首先
22、作出（xa） （xb）=0 图象，任意画一 个（开口向上的，与 x 轴有两个交点） ，再向下平移一个单位，就是（xa） （x b）=1，这时与 x 轴的交点就是 x1，x2，画在同一坐标系下，很容易发现： 答案是：x1abx2 故选：C 【点评】 本题考查了一元二次方程根的情况，结合图象得出答案是解决问题的关 键 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 12 分）分） 13 （3 分）关于 x 的方程（m1）x2+（m+1）x+3m+2=0，当 m 1 时为一 元二次方程 【考点】一元二次方程的定义 【分析】 根据一元二次方程的定义： 未知数的最高次数是 2； 二次项系数不为 0；
23、 是整式方程；含有一个未知数 【解答】解：由关于 x 的方程（m1）x2+（m+1）x+3m+2=0，得 m10， 解得 m1 故答案为：m1 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程， 首先要看是否是整式方程， 然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最 高次数是 2 14 （3 分）一元二次方程 x2=2x 的根是 x1=0，x2=2 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】计算题 【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为 0，从而得出答案 【解答】解：移项，得 x22x=0， 提公因式得，x（x2）=0， x=0 或 x2=0， x1=0，x2=2
24、故答案为：x1=0，x2=2 【点评】 本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开 平方法， 配方法， 公式法， 因式分解法， 要根据方程的特点灵活选用合适的方法 15 （3 分） 若 x1， x2是一元二次方程 x23x+1=0 的两个根， 则 x1+x2= 3 ， x1x2= 1 ，x12+x22= 7 【考点】根与系数的关系 【专题】计算题 【分析】根据根与系数的关系得到 x1+x2=3，x1x2=1，再利用完全平方公式变形得 到 x12+x22=（x1+x2）22x1x2，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：根据题意得 x1+x2=3，x1x2=1， x12+x
25、22=（x1+x2）22x1x2=3221=7 故答案为 3，1，7 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的两根时，x1+x2=，x1x2= 16 （3 分）如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路， 使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示求小路的宽是多少？设小 路的宽是 xm，根据题意可列方程为 （30 x） （20 x）=3020 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】几何图形问题 【分析】 把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植花 草部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程
26、求解即可 【解答】解：设道路的宽应为 x 米，由题意有 （30 x） （20 x）=3020 故答案为： （30 x） （20 x）=3020 【点评】 此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移 到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键 三、解答题三、解答题 17 （18 分）解方程： （1）2x26x+3=0 （2） （x+3） （x1）=5 （3）4（2x+1）2=9（2x1）2 【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法 【专题】计算题；一次方程（组）及应用 【分析】 （1）方程利用公式法求出解即可； （2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可； （
27、3）方程利用平方根定义开方即可求出解 【解答】解： （1）这里 a=2，b=6，c=3， =3624=12， x=， 解得：x1=，x2=； （2）方程整理得：x2+2x8=0，即（x2） （x+4）=0， 解得：x1=2，x2=4； （3）开方得：2（2x+1）=3（2x1）或 2（2x+1）=3（2x1） ， 解得：x1=2.5，x2=0.1 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法与直接开平方法，熟 练掌握各种解法是解本题的关键 18 （10 分）某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出 20 件，每件获利 40 元为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取
28、适当 的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价 1 元，则平均每天可多售 出 2 件，要想平均每天在销售这种童装上获利 1200 元，那么每件童装应降价多 少元？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】压轴题 【分析】设每件童装应降价 x 元，那么就多卖出 2x 件，根据每天可售出 20 件， 每件获利 40 元为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降 价措施，要想平均每天在销售这种童装上获利 1200 元，可列方程求解 【解答】解：设每件童装应降价 x 元， 由题意得： （40 x） （20+2x）=1200， 解得：x=10 或 x=20 因为减少库存，所以应该降价 2
29、0 元 【点评】本题考查一元二次方程的应用，关键找到降价和卖的件数的关系，根据 利润列方程求解 19 （12 分）某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价 不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 y（件）与销售单 价 x（元）符合一次函数 y=kx+b，且 x=65 时，y=55；x=75 时，y=45 （1）求一次函数 y=kx+b 的表达式； （2）若该商场获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式； 销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商场获得利润不低于 500 元，试确定销售单价 x 的
30、范围 【考点】二次函数的应用 【专题】应用题 【分析】 （1）列出二元一次方程组解出 k 与 b 的值可求出一次函数的表达式 （2）依题意求出 W 与 x 的函数表达式可推出当 x=87 时商场可获得最大利润 （3）由 w=500 推出 x2180 x+7700=0 解出 x 的值即可 【解答】解： （1）根据题意得 解得 k=1，b=120 所求一次函数的表达式为 y=x+120 （2）W=（x60）（x+120） =x2+180 x7200 =（x90）2+900， 抛物线的开口向下， 当 x90 时，W 随 x 的增大而增大， 而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%， 即 60
31、 x60（1+45%） ， 60 x87， 当 x=87 时，W=（8790）2+900=891 当销售单价定为 87 元时，商场可获得最大利润，最大利润是 891 元 （3）由 W500，得 500 x2+180 x7200， 整理得，x2180 x+77000， 而方程 x2180 x+7700=0 的解为 x1=70，x2=110 即 x1=70，x2=110 时利润为 500 元，而函数 y=x2+180 x7200 的开口向下，所 以要使该商场获得利润不低于 500 元，销售单价应在 70 元到 110 元之间， 而 60 元/件x87 元/件，所以，销售单价 x 的范围是 70 元
32、/件x87 元/件 【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第 二种是配方法，第三种是公式法利用二次函数解决实际问题 20 （12 分）如图，在ABC 中，B=90，AB=6 厘米，BC=8 厘米点 P 从 A 点 开始沿 AB 边向点 B 以 1 厘米/秒的速度移动（到达点 B 即停止运动） ，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2 厘米/秒的速度移动（到达点 C 即停止运动） （1）如果 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，经过几秒钟，PBQ 的面积等于是 ABC 的三分之一？ （2）如果 P、Q 两点分别从 A、B 两点同时出发，而且动点 P 从
33、 A 点出发，沿 AB 移动（到达点 B 即停止运动） ，动点 Q 从 B 出发，沿 BC 移动（到达点 C 即停 止运动） ，几秒钟后，P、Q 相距 6 厘米？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】几何动点问题 【分析】 （1）设经过 x 秒钟，PBQ 的面积等于是ABC 的三分之一，分别表示 出线段 PB 和线段 BQ 的长，然后根据面积之间的关系列出方程求得时间即可； （2）根据勾股定理列出方程求解即可； 【解答】解： （1）设 t 秒后，PBQ 的面积等于是ABC 的三分之一，根据题意 得： 2t（6t）=68， 解得：t=2 或 4 答：2 秒或 4 秒后，PBQ 的面积等于是ABC 的三分之一 （2）设 x 秒时，P、Q 相距 6 厘米，根据题意得： （6x）2+（2x）2=36， 解得：x=0（舍去）或 x= 答：秒时，P、Q 相距 6 厘米 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，掌握三角形的面积计算方法，勾股定 理，能够表示出线段 PB 和 QB 的长是解答本题的关键