1、第 1 页，共 12 页 2019-2020 学年上海市闵行区七宝中学高三（上）开学数学年上海市闵行区七宝中学高三（上）开学数 学试卷学试卷 一、填空题（本大题共 12 小题） 1. 已知全集 = *1,0， 1， 2， 3+， 集合 = *0,1， 2)， = *1,0， 1+， 则( ) =_ 2. 已知复数 = 5 1:2 (是虚数单位)，则 ; =_ 3. 关于 x，y的二元一次方程组 + = 1 3 = 2 + 3无解，则 =_ 4. 直线1 的一个方向向量 = (1,2)， 直线2的一个法向量 = (1,1)， 则直线1与直线2 的夹角是_ 5. 已知 为钝角三角形，边长 = 1，
2、 = 2，则边长 _ 6. 设常数 0，( + )9展开式中6的系数为 4， 则lim ( + 2 + + ) = _ 7. 已知() = 1 4 + 1 2 + 1( 0)，则此函数的值域是_ 8. 若函数() = sin( 6)( 0, ,0,-)的值域为, 1 2,1-，则的最小值为 _ 9. 已知 PA、PB、PC 是从 P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60，则直线 PC 与平面 PAB所成角的余弦值是_ 10. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 = 3 = sin ，(为参数)，直线 l的参 数方程为 + 4 = ( 0)，若 C上的点到 l距离的最大值为17
3、，则 =_ 11. 已知 a、b、c都是实数，若函数() = 2 1 + 0, 0)的左、右焦点分别为1，2，过1的直线 与 C 的两条渐近线分别交于 A、B 两点，若1 = ,1 2 = 0，则双曲线 C 的渐近线方程为_ 二、选择题（本大题共 4 小题） 13. 设点,不共线，则“ AB 与 AC 的夹角是锐角”是“ |AB + | | |”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 若 1，0 1，则( ) A. B. log log C. D. log 2, )有最大值，则() D. 函数() 的充要条件是()有最大
4、值和最小值 三、解答题（本大题共 5 小题） 17. 关于 x 的不等式| + 2 1 0的解集为(1,) (1)求实数 a，b的值； (2)若1= + ，2= + ，且12为纯虚数，求的值 18. 如图， 在四棱锥 中， 平面 ABCD， ， /， = = = 2， = 3， E为 PD的中点， 点 F 在 PC 上，且 = 1 3 (1)求证： 平面 PAD； (2)应是平面AEF与直线PB交于点G在平面AEF内， 求 的值 19. 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆 弧(为圆弧的中点)和线段 MN构成，已知圆 O的半 径为 40米，点 P 到 MN的距离为 50 米，
5、现规范在此农田 修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为梯形 MNBA， 其中/， 且 0, 0)的右焦点为(1,0)，短轴长为 4，设1，2的 左右有两个焦点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)若 P 是该椭圆上的一个动点，求1 2 的取值范围； (3)是否存在过点(5,0)的直线 l与椭圆交于不同的两点 C， D， 使得|2| = |2|？ 若存在，求出直线 l的方程；若不存在，请说明两点 21. 若定义在 R上的函数 = ()满足： 对于任意实数 x、 y， 总有( + ) + ( ) = 2()()恒成立，我们称()为“类余弦型”函数 (1)已知()为“类余弦型”函数，且(1) = 5 4
6、，求(0)和(2)的值； (2)在(1)的条件下，定义数列= 2( + 1) ()( = 1,2，3，).求 log2 1 3 + 2 2 3 + + 2 2017 3 + 2 2018 3 的值 (3)若()为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数 t，总有() 1，证明：函 数()为偶函数，设有理数1，2满足|1| |2|，判断(1)和(2)的大小关系， 并证明你的结论 第 4 页，共 12 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】*1+ 【解析】解：全集 = *1,0，1，2，3+，集合 = *0,1，2)， = *1,0，1+， 则 = *1,3+ () = *1+ 故答案为*1+ 根据集
7、合的基本运算即可求和结果； 本题主要考查集合的基本运算，比较基础 2.【答案】5 【解析】解： = 5 1:2， | = | 5 1:2 | = |5| |1:2| = 5 5 = 5， ; = |2= 5 故答案为：5 由商的模等于模的商求得|，再由 ; = |2求解 本题考查复数模的求法，是基础的计算题 3.【答案】0 【解析】解： = 0时，方程组化为： = 1 0 = 3 ，无解，舍去 0时，两条直线平行时，可得： 3 = 1 ; ;1 2:3，无解 综上可得： = 0 故答案为：0 对 m 分类讨论，利用两条直线平行时无解，即可得出 本题考查了两条直线平行的条件、分类讨论方法，考查了
8、推理能力与计算能力，属于基 础题 4.【答案】arccos 10 10 【解析】解：直线1的一个方向向量 = (1,2)，直线2的一个法向量 = (1,1)， 故直线2的一个方向向量 = (1,1)， 设直线1与直线2的夹角是，则 = | | | | = | 1;2 52| = 10 10 ， = arccos 10 10 ， 故答案为：arccos 10 10 先求得直线2的一个方向向量，两用两个向量的数量积的定义，求得直线1与直线2的 夹角的余弦值，可得直线1与直线2的夹角 本题主要考查两个向量的数量积的定义，直线的方向向量和法向量，属于基础题 5.【答案】(1,3) (5,3) 第 5
9、页，共 12 页 【解析】解：若 c是最大边，则 0 2:2;2 2 = 5;2 4 5， 又 + = 1 + 2 = 3， (5,3)， 若 b是最大边，必有 0， 有 2:2;2 2 = 2;3 2 0， 解可得 = 2 1 = 1， (1,3)， 综合可得 (1,3) (5,3) 故答案为：(1,3) (5,3) 根据余弦定理和钝角的余弦函数小于0可求得c的范围， 进而利用两边之差(和)小(大)于 第三边，求得 c 的另一个范围，最后取交集，即可得解 本题主要考查了余弦定理的运用余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运 用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角
10、的问题 6.【答案】1 2 【解析】解：常数 0，( + )9展开式中6的系数为 4， :1= 9 9; 2= 9 183 2， 当18;3 2 = 6时， = 2， 29 2 = 4，解得 = 1 3， + 2+ + = 1 3 + 1 32 + + 1 3 = 1 3(1; 1 3) 1;1 3 = 1 2(1 1 3)， lim ( + 2 + + ) = lim , 1 2(1 1 3)- = 1 2 故答案为：1 2 由:1= 99; 2= 9 183 2，根据6的系数为 4，求出 = 2，从而29 2 = 4， 解得 = 1 3，由此能求出 lim ( + 2 + + )的值 本题
11、考查数列的前 n 项和极限的求法， 是中档题， 解题时要认真审题， 注意二项式定理、 极限性质的合理运用 7.【答案】(1, 5 4- 【解析】解：令 = (1 2) ， 0， (0,1)， 则原函数化为() = 2+ + 1，(0 (0) = (1) = 1，()= (1 2) = 5 4 原函数的值域为(1, 5 4-. 故答案为：(1, 5 4-. 令 = (1 2) ，由 x的范围求得 t的范围，再由二次函数求值域 本题考查利用换元法求函数的值域，是基础题 8.【答案】2 3 【解析】解：函数数() = sin( 6 )， ,0,-， 0， 6 , 6 , 6 -， 根据正弦函数的性质
12、：当 = 0时可得(0) = 1 2， 1 2 6 7 6 ， 2 3 4 3 则则的最小值为2 3 故答案为：2 3 根据 x 在,0,-上，求解内层函数 6的范围，即可由三角函数的性质可得答案 本题考查三角函数的性质的应用属于基础题 9.【答案】 3 3 【解析】 解： 在 PC 上任取一点 D并作 平面 APB， 则就是直线 PC 与平面 PAB 所成的角 过点 O作 ， ，因为 平面 APB，则 ， ， = ， ， 因为 = = 60， 所以点O在的平分线上， 即 = 30 设 = 1， = 30 = 1 30 = 23 3 在直角 中， = 60， = 1，则 = 2 在直角 中，
13、= 23 3 ， = 2.则cos = = 3 3 即直线 PC与平面 PAB 所成角的余弦值是 3 3 过 PC上一点 D作 平面 APB，则就是直线 PC与平面 PAB所成的角能证明 第 7 页，共 12 页 点 O 在的平分线上，通过解直角三角形 PED、DOP，求出直线 PC与平面 PAB 所 成角的余弦值 本题考查直线与平面所成角的求法， 直线与直线的垂直的证明方法， 考查空间想象能力， 计算能力、转化能力 10.【答案】12 【解析】解：曲线 C的参数方程为 = 3 = sin ，(为参数)， 直线 l的参数方程为 + 4 = ( 0)， 设曲线 C 上的点的坐标为(3,)， 则
14、P 到直线 l的距离： = |3:4;| 17 ， 0，C 上的点到 l距离的最大值为 17， |;9:16;| 17 = 17，解得 = 12 故答案为：12 设曲线 C 上的点的坐标为(3,)，则 P到直线 l的距离 = |3:4;| 17 ，由 C 上的点到 l距离的最大值为17，能求出 a的值 本题考查实数值的求法， 考查直角坐标方程、 极坐标方程、 参数方程的互化等基础知识， 考查运算求解能力，是中档题 11.【答案】*0+ 【解析】解：函数() = 2 1 + 的反函数的定义域是(,+)， 即函数()的值域为(,+)， 若 0，显然不合题意，则 0，此时 = 2的值域为,2,+)；
15、 则需 = 1 + 的值域包含(,2)，结合函数 = 1 + 在(,)内有意义，则 = 0 的所有取值构成的集合是*0+ 故答案为：*0+ 由题意可得， 函数()的值域为(,+)， 当 0， 显然不合题意， 则 | |”，“| + | | |”“ 与 的夹角为锐角”，由此能求出结果 【解答】 解：点 A，B，C 不共线， 若“ 与 的夹角为锐角”，则 0， | + |2= | |2+ 4 = | |2+ 4 | |2， “ 与 的夹角为锐角”“| + | | |”， 若| + | | |，则| + |2 | |2， 化简得 0，即 与 的夹角为锐角， “| + | | |”“ 与 的夹角为锐角
16、”， 设点 A，B，C 不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“| + | | |”的充分 必要条件 故选 C 14.【答案】B 【解析】解： 1，0 ，log ，log log. 第 9 页，共 12 页 故选：B 利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性即可得出 本题考查了指数函数、对数函数、幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 15.【答案】C 【解析】【分析】 本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压 轴题 由新定义可得， “规范 01数列”有偶数项 2m项， 且所含 0 与 1的个数相等， 首项为 0， 末项为 1，当 = 4时，数列中
17、有四个 0和四个 1，然后一一列举得答案 【解答】 解：由题意可知，“规范 01 数列”有偶数项 2m 项，且所含 0与 1 的个数相等，首项为 0，末项为 1，若 = 4，说明数列有 8 项，满足条件的数列有： 0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0， 0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1； 0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0， 0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1； 0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，
18、0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0， 1，0，1，0，1，0，1.共 14个 故选 C 16.【答案】D 【解析】解：对于 A，“() 的充要条件是“对任意的 ，存在 ，满足 () = ”“()的值域为 R”，故 A正确； 对于 B，依题意，() ，() ，则() + () ，即() + () ，故 B 正确； 对于 C，若函数() = ( + 2) + 2:1( 2, )有最大值，则 = 0，此时 () = 2:1， (2,+)，() , 1 2, 1 2-，显然() ，即 C 成立； 对于 D，当() = ， (2,2)时，()既无最大值又无最小值，但是() ，
19、故 D 为假命题 故选：D 根据题目给出的定义，结合函数的定义域，值域情况逐个选项判断即可得到结论 本题考查新定义的理解和应用，考查了函数的值域，主要考查推理能力和计算能力，属 于中档题 17.【答案】解：(1)不等式| + 2 1 0即( + ) 2 0的解集为(1,) 1，b是方程2+ 2 = 0的两个实数根， 1 + = ， = 2， 解得 = 1， = 2 (2)12= (1 + 2)( + ) = ( 2) + (2 )为纯虚数， 2 = 0，2 0， 解得 = 1 2 【解析】(1)由题意可得：1，b 是方程2+ 2 = 0的两个实数根，利用根与系数 的关系即可得出 第 10 页，
20、共 12 页 (2)12= ( 2) + (2 )为纯虚数，利用纯虚数的定义即可得出 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二 次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18.【答案】 解： (1)证明： 平面 ABCD， ， ， = ， 平面 PAD (2)解： 平 面 ABCD， ， /， = = = 2， = 3，E为 PD 的中点，点 F在 PC上，且 = 1 3 过 A 作 ，交 BC 于 M， 以 A 为原点，AM，AD，AP 所在直线为 x，y，z轴，建立空间直角坐标系， (0,0，0)，(2,2，0)，(0,2，0)，(0,0，2
21、)， (2 3, 2 3, 4 3)，(0,1，1)，(2,0，0)，(2,1,0)， = (0,1，1)， = (2 3, 2 3, 4 3)， 设平面 AEF 的法向量 = (,y，)， 则 = + = 0 = 2 3 + 2 3 + 4 3 = 0 ，取 = 1，得 = (1,1，1)， 设(,b，)， = ，0 1， 则 = ， (,b， 2) = (2，1，2)，解得 = 2， = ， = 2 2， = (2,2 2)， 平面 AEF与直线 PB交于点 G 在平面 AEF 内， = 2 + 2 2 = 0， 解得 = 2 3，故 的值为 2 3 【解析】(1)推导出 ， ，由此能证明
22、 平面 PAD (2)以 A 为原点，AM，AD，AP 所在直线为 x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出 的值 本题考查线面垂直的证明，考查两线段的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间 的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19.【答案】解：(1)等腰梯形 MNBA的高为 + 10 = 40 + 10， 第 11 页，共 12 页 = 2 = 80， = 2402 102= 2015， 等腰梯形 MNBA的面积为1 2(80 + 2015) (40 + 10) = 1600 + 400 + 40015 + 10015， 等腰三角形 PAB 中，P 到 AB 的距
23、离为 = 40(1 )， 故等腰三角形 PAB的面积为1 2 80 40(1 ) = 1600 1600， 多边形 MAPBN的面积为= 40015 + 2000 + 10015 ， 0 80 2015，即0 15 4 ， 1 4 1 (2)令() = 40015 + 2000 + 10015 = 400(15 + 5) + 10015， = 400 210sin( + ) + 10015 其中 = 5 210， = 15 210，即 = 15 3 当 + = 2即 = 2 arctan 15 3 时，()取得最大值，此时种植蔬菜的收益最大 【解析】(1)计算 AB，梯形和三角形的高度，分别求
24、出梯形和三角形的面积即可得出答 案，根据 0，则 5 5 5 5 ； 1+ 2= 50 52:4； 设(1,1)，(2,2) 则 CD的中点为(0,0)； 0= 25 52:4，0 = (0 5) = ;20 52:4； |2| = |2|，则2 ； 2 = 1，即 0;(; 20 52+4) 1; 25 52+4 = 1；即202= 202 4，无解； 故满足条件的直线不存在； 第 12 页，共 12 页 【解析】(1)根据条件直接求出 a，b； (2)设(,)，表示出1 2 = (1 ,) (1 ,) = 2+ 2 1 = 1 5 2 + 3， 求出其范围； (3)设 CD的中点为(0,0
25、)；由|2| = |2|，则2 ；得到其斜率的积为1，再 方程联立计算； 本题考查椭圆的简单几何性质，向量的数量积，直线的垂直，设而不求的思想方法，关 键在于将几何条件进行适当的转化，属于中档题 21.【答案】解：(1)令 = 1， = 0，则(1) + (1) = 2(1)(0)，所以(0) = 1 令 = 1， = 1，则(2) + (0) = 2(1)(1)，所以(2) = 17 8 (2)令 = ， = 1， 其中n是大于1的整数， 则( + 1) + ( 1) = 2()(1) = 5 2()， 所以2( + 1) () = 2(2() ( 1)，即= 2;1 又因为1= 2(2)
26、(1) = 3，所以数列*+是首项为 3，公比为 2 的等比数列，所以 = 3 2;1，则log2 3 = 1 所以原式= 0 + 1 + + 2017 = 2035153 证明：(3)令 = 0， 0，则() + () = 2()(0)，所以(0) = 1 令 = 0，y 为任意实数，则() + () = 2(0)() = 2()，即() = ()，所 以()是偶函数 令N为|1|， |2|分母的最小公倍数， 并且|1| = ， |2| = ， a、 b都是自然数， 并且 令数列*+满足= ( )， = 0，1，.下证：数列*+单调递增 .(0) = 1 (1 )，所以0 1； .若;1 ，n 是正整数，即(;1 ) 2( )，即:1 + ;1 2 所以:1 2 ;1= + ( ;1) 综上，数列*+单调递增，所以(|1|) (|2|)，又因为()是偶函数，所以 (1) (2). 【解析】(1)是抽象函数基础题，代入特定的数值即可； (2)对于此数列，需要求其通项，而求通项又需要递推公式，所以代入合理的数值，得 到递推公式； (3)属于难题，因为(1)(2)的铺垫，证明偶函数需要代入特定的数，证明(1)与(2)的 大小关系需要定义新的数列，又因为题目中的有理数条件，要充分利用分数的特点 本题涉及抽象函数、数列求通项求和等知识，使用了赋值法、数学归纳法等方法，属于 难题