1、江苏省南通市江苏省南通市 2020 届高三开学模拟考试届高三开学模拟考试 数数 学学 2019.9 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分请把答案填写在分请把答案填写在答题卡相应位答题卡相应位 置上置上 1设集合1 ,3Ax xBx x ,则AB 2已知命题，则为 3设i是虚数单位，若ai i z 1 1 是实数，则实数a 4函数 2 2 1 1 x y x 的值域为 5 ABC中， 角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c， 0 5,7,60abB， 则c 6 设变量 , x y满足约束条件 10 10 30 x xy
2、 xy ， 则目标函数 2zxy 的最小值为 7若关于x的方程01 2 axx在 1,1上有解，则实数a的取值范围是 8已知函数是奇函数，当时，且，则 = 9将函数 ysin(x 6)的图象上所有的点向左平移 4个单位，再将图象上的所有点的横坐标 变为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，则所得图象的函数解析式为 y 10已知函数( )()sincos 2 f xfxx ，则() 4 f = 11正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为，则四面体的外接球的体积为 2 :(1,),log0pxx p )(xfy 0 x)()( 2 Raaxxxf6)2(fa 2 3 11 ABCD 注注 意意 事事
3、项项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题第 20 题，共 20 题） 。本卷满分为 160 分， 考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷 及答题卡的规定位置。 3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相 符。 4作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位 置作答一律无效。 5如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等
4、须加黑、加粗。 12已知点,P x y在由不等式组 30 10 10 xy xy x 确定的平面区域内，O为坐标原点，点 1,2A ，则cosOPAOP的最大值是 13设椭圆恒过定点,则椭圆的中心到准线的距离的最小 值 . 14设是从这三个整数中取值的数列，若，且 ，则中数字 0 的个为 . 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在分请在答题卡指定区域内作答答题卡指定区域内作答 ，解答时应写出文，解答时应写出文 字说明、证明过程或计算步骤字说明、证明过程或计算步骤 15. （本小题满分 14 分） 设ABC的内角CBA,所对的边分别为cba,，已知 4
5、1 cos, 2, 1Cba （1）求ABC的周长； （2）求)cos(CA的值 16 （本小题满分 14 分） 如图,在四棱锥中,四边形是菱形,为的中点. (1)求证:面； (2)求证:平面平面. 22 22 :1(0) xy Cab ab (1,2)A 5021 ,aaa1 , 0 , 19 5021 aaa 107) 1() 1() 1( 2 50 2 2 2 1 aaa 5021 ,aaa PABCDABCDPAPCEPB PDAEC AEC PDB C A B D P E 第 16 题 17 （本小题满分 14 分） 已知圆C在x轴上的截距为1和3，在y轴上的一个截距为1 （1）求圆
6、C的标准方程； （2）若过点(231),的直线l被圆C截得的弦AB的长为4，求直线l的倾斜角； （3）求过原点且被圆C截得的弦长最短时的直线 l 的方程 18 （本小题满分 16 分） 如图所示,在矩形 ABCD 中,已知 AB=a,BC=b(ba),AB,AD,CD,CB 上分别截取 AE,AH,CG,CF 都等于 x,记四边形 EFGH 的面积为 f（x）. （1）求 f（x）的解析式和定义域 ； （2）当 x 为何值时,四边形 EFGH 的面积最大？ 并求出最大面积. 19 （本小题满分 16 分） 已知数列的首项， （1）求证：数列为等比数列；(2) 记，若，求最大正 整数 （3）是否
7、存在互不相等的正整数，使成等差数列且成等 比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由 已知数列的首项， （1）求证：数列为等比数列；(2) 记，若，求最大正 整数 n a 1 3 5 a 1 3 ,1,2, 21 n n n a an a 1 1 n a 12 111 n n S aaa 100 n S n , ,m s n, ,m s n1,1,1 msn aaa n a 1 3 5 a 1 3 ,1,2, 21 n n n a an a 1 1 n a 12 111 n n S aaa 100 n S n （3）是否存在互不相等的正整数，使成等差数列且成等 比数列，如果存在，请给
8、出证明；如果不存在，请说明理由 （3）假设存在，则， 10 分 ， 12 分 化简得：， 13 分 ，当且仅当时等号成立 15 分 又互不相等，不存在 16 分 20 （本小题满分 16 分） 已知函数（是自然对数的底数）. （1）若曲线在处的切线也是抛物线的切线，求的值； （2）若对于任意恒成立，试确定实数的取值范围； （3）当时，是否存在，使曲线在点处的切 线斜率与 在上的最小值相等？若存在， 求符合条件的的个数； 若不存在， 请说明理由. , ,m s n, ,m s n1,1,1 msn aaa 2 2 ,(1) (1)(1) mns mns aaa 3 32 n n n a 2 33
9、3 (1) (1)(1) 323232 nms nms 332 3 mns 33232 3 mnm ns mn , ,m n s ( ), ( )ln xx f xeax g xexe ( )yf x1x 2 4(1)yxa ,( )0 xf xRa 1a 0 (0,)x :( )( )Cyg xf x 0 xx ( )f xR 0 x 江苏省南通市江苏省南通市 2020 届高三开学模拟考试届高三开学模拟考试 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分请把答案填写在分请把答案填写在答题卡
10、相应位答题卡相应位 置上置上 1 0,1,2,3 2 3 2 1 4( 1,1 58 6. 3 7. 1 , 4 5 8. 5 9sin( 1 2x 5 12) 10. 0 11. 12. 3 5 5 13. 14. 11 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在分请在答题卡指定区域内作答答题卡指定区域内作答 ，解答时应写出文，解答时应写出文 字说明、证明过程或计算步骤字说明、证明过程或计算步骤 15. 解： （1）4 4 1 441cos2 222 Cabbac ABC的周长为 （2） 4 1 cosC 4 15 4 1 1cos1sin 2 2 CC
11、 ，故 A 为锐角， 16 （1）证明:设,连接 EO,因为 O,E 分别是 BD,PB 的中点,所以 4 分 而,所以面 7 分 (2)连接 PO,因为,所以,又四边形是菱形,所以 10 分 而面,面,所以面 13 分 又面,所以面面 14 分 17.解： （1）设( 1 0)(3 0)(0 1)ABD ,， 则 AB 中垂线为1x ，AD 中垂线为yx， 36 2.c 1 225.abc 15 sin15 4 sin 28 aC A c ,acAC 22 157 cos1sin1(). 88 AA 71151511 cos()coscossinsin. 848816 ACACAC ACBD
12、O PD EO ,PDAEC EOAEC面面PD AEC PAPCACPOABCD ACBD POPBDBD PBDPOBDOAC PBD AC AECAEC PBD 圆心( , )C x y满足 1x yx , , (11)C,，半径1 45rCD， 圆C的标准方程为 22 (1)(1)5xy 5 分 （2）当斜率不存在时， 2l x :到圆心的距离为 1，亦满足题意，直线l的倾斜角为 90； 当斜率存在时，设直线l的方程为(2)31yk x，由弦长为 4， 可得圆心(1 1), 到直线l的距离为541， 2 | (12)131| 1 1 k k ， 3 3 k ，此时直线l的倾斜角为 30
13、， 综上所述，直线l 的倾斜角为 30或 90 11 分 （3）1 OC k 直线 l ：yx 15 分 20. 解 ：（ 1 ）， 所 以 在处 的 切 线 为 即： 2 分 与联立，消去得， 由知，或. 4 分 ( ) (1) x fxea fea ，1x ()()(1)yeaea x ()yea x 2 4(1)yxy 22 ()440eaxx 0 1ae 1ae （2） 当时，在上单调递增， 且当时， ，故不恒成立，所以不合题意 ；6 分 当时，对恒成立，所以符合题意； 当时令， 得， 当时， 当时， 故在上是单调递减， 在 上 是 单调 递 增, 所以又， ， 综上：. 10 分 (
14、3)当时，由（2）知， 设，则， 假设存在实数，使曲线在点处的切线斜率与 在上的最小值相等，即为方程的解，13 分 令得：，因为， 所以. 令，则 ， 当是，当时，所以在上单调递 减，在上单调递增，,故方程 有唯一解为 1， 所以存在符合条件的，且仅有一个. 16 分 ( ) x fxea 0a ( )0, ( )fxf xRx0, x eax ( )f x ( )0f x 0a 0a ( )0 x f xexR0a 0a ( )0 x fxealn()xa( ,ln()xa ( )0fx (ln(),)xa( )0fx ( )f x(,ln()a(ln(),)a min ( )(ln()ln
15、()0,f xfaaaaae 0a (,0)ae (,0ae 1a min ( )(ln()ln()1f xfaaaa ( )( )( )ln xx h xg xf xexex / 11 ( )ln1(ln1)1 xxxx h xexeeex xx 0 (0,)x :( )( )Cyg xf x 0 xx( )f x R 0 x ( )1h x 1 (ln1)0 x ex x 0 x e 1 ln10 x x 1 ( )ln1xx x 22 111 ( ) x x xxx 01x( )0 x1x ( )0 x 1 ( )ln1xx x (0,1) (1,)( )(1)0 x 1 (ln1)0 x ex x 0 x 0 1x