1、5.1 投影投影 第第 1 课时课时 投影的概念与中心投影投影的概念与中心投影 1.了解投影和中心投影的含义，体会灯光下物体的影子在生活中的应用； （重点） 2.通过观察、想象，能根据灯光来辨别物体的影子，初步进行中心投影条件下物体与其投影之 间的相互转化.（难点） 一、情景导入 皮影戏是用兽皮或纸板做成的人物剪影来表演故事的戏曲，表演时，用灯光把剪影照射在银幕 上，艺人在幕后一边操纵剪影，一边演唱，并配以音乐. 学生在灯光下做不同的手势，观察映射到屏幕上的表象. 二、合作探究 探究点一：中心投影的概念 下列投影中，不属于中心投影的是（ ） A.晚上路灯下小孩的影子 B.汽车灯光照射下行人的影
2、子 C.阳光下沙滩上人的影子 D.舞台上一束灯光下演员的影子 解析：A 中晚上路灯的光线是从一个点发出的，故晚上路灯下小孩的影子是中心投影；B 中汽车灯的光线也是从一点发出的，故在汽车照射下行人的影子是中心投影；C 中阳光的光线是互 相平行的，不是从一个点发出的，故不是中心投影；D 中舞台上的一束灯光也是从一个点发出的， 灯光下演员的影子是中心投影.故选 C. 方法总结：形成中心投影的光线是从一点发出的，各光线相交于一点（即光源处）. 探究点二：中心投影的性质 【类型一】 中心投影的作图 一天晚上， 小丽在路灯下玩， 如图所示.你能画出小丽在路灯下的影子吗？ （用线段表示） 解：光是沿直线传播
3、的，以光源 S 为端点过点 C 作射线，交地面于点 A，则线段 AB 即可 看作是小丽的影子.如图所示. 方法总结：作一物体在路灯下的影子时，连接点光源和物体的顶端的点并延长，与地面相 交，则与地面的交点和物体的底端之间的线段即为该物体的影子. 如图所示，由两根直立的木杆在一路灯下的影子判断路灯灯泡的位置. 解：如图所示，两条光线的交点 O 即为灯泡所在的位置. 方法总结： 相交光线的交点即为点光源所在的位置.点光源下两个物体的影子可能在同一个 方向，也可能不在同一个方向. 【类型二】 中心投影的变化规律 如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由 A 处径直走到 B 处这一过程中，他在地上的影 子
4、（ ） A.逐渐变短 B.先变短后变长 C.先变长后变短 D.逐渐变长 解析：在路灯下，路灯照人所形成的投影是中心投影.人的影子可以通过路灯和人的头顶作 直线，该直线和地面的交点到人的距离即为他的影子的长度.因此人离路灯越远，他的影子就越长. 由 A 到 B 这一过程中，人在地上的影子先逐渐变短，当他走到路灯正下方时，影子为一点，然后又 逐渐变长.故选 B. 方法总结：在灯光下，垂直于地面的物体离点光源距离近时影子短，离点光源远时影子长. 【类型三】 中心投影的有关计算 如图所示，晚上，小明由路灯 AD 走向路灯 BC，当他行至点 P 处时，发现他在路灯 BC 下的影长为 2m，且影子的顶端恰
5、好在 A 点，接着他又走了 6.5m 至点 Q 处，此时他在路灯 AD 下的 影子的顶端恰好在 B 点（已知小明的身高为 1.8m，路灯 BC 的高度为 9m）. （1）计算小明站在点 Q 处时在路灯 AD 下影子的长度； （2）计算路灯 AD 的高度. 解析：由路灯、小明都垂直于地面，知 ADPEQHBC，用相似三角形中的比例线段 可求解. 解： （1）如图所示，EPAB， CBAB，EPBC， AEPACB，APEABC， AEPACB. PE CB AP AB，即 1.8 9 2 AB， 解得 AB10（m）. QBABAPPQ1026.51.5（m） ， 即小明站在点 Q 时在路灯 A
6、D 下影子的长度为 1.5m； （2）同理可证HQBDAB， HQ DA QB AB，即 1.8 AD 1.5 10，解得 AD12（m）. 即路灯 AD 的高度为 12m. 方法总结：解决本题的关键是构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质求出对应线段 的长度. 三、板书设计 投影的概念 与中心投影 投影的概念：物体在光线的照射下，会 在地面或其他平面上留 下它的影子，这就是投影 现象 中心投影 概念：点光源的光线形成的 投影 变化规律 影子是生活中常见的现象，在探索物体与其投影关系的活动中，体会立体图形与平面图形的相互转 化关系，发展学生的空间观念.通过在灯光下摆弄小棒、纸片，体会、观察影
7、子大小和形状的变化情 况，总结规律，培养学生观察问题、分析问题的能力. 第第 2 课时课时 平行投影与正投影平行投影与正投影 1.知道平行投影和正投影的含义，能够确定物体在太阳光下的影子； （重点） 2.了解不同时刻物体在太阳光下形成的影子的大小和方向是不同的，理解在同一时刻，物体的 影子与它们的高度成比例； （重点） 3.会利用平行投影的性质进行相关计算.（难点） 一、情景导入 太阳光下的影子是我们司空见惯的，物体在太阳光下形成的影子与在灯光下形成的影子有什么 不同呢？ 二、合作探究 探究点一：平行投影 【类型一】 平行投影的认识 下列物体的影子中，不正确的是（ ） 解析：太阳光线是平行的，
8、故影长与物体高度成比例，所以 A 项正确；太阳光线画得不平 行，故 B 项错误；因为物体在光源两侧，故影子方向不同，因而 C 项正确；因灯光是发散的，故影 子与物体高度不成比例且物体在光源同侧，影子方向相同，D 项正确.故选 B. 方法总结： （1）平行投影的光源是太阳，平行投影的光线是平行的；而中心投影的光源是 点光源，中心投影的光线是相交的.（2）同一时刻，太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯 光下的影子长度与物体高度不一定成比例.（3）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向， 而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向. 【类型二】 平行投影的作图 如图，在某一时刻垂直于地面
9、的物体 AB 在阳光下的投影是 BC，请你画出此时同样垂直 于地面的物体 DE 在阳光下的投影，并指出这一时刻是在上午、中午还是下午？ 解：如图，连接 AC，过点 D 作 DFAC，过点 E 作 EFBC 交 DF 于点 F，则 EF 就是 DE 的 投影.由 BC 是北偏西方向，判断这一时刻是上午. 方法总结： （1）画物体的平行投影的方法：先根据物体的投影确定光线，然后利用两个物 体的顶端和各自影子的末端的连线是一组平行线，过物体顶端作平行线与地面相交，从而确定其影 子.（2）物体在阳光下的不同时刻，不仅影子的大小在变，而且影子的方向也在改变，就我们生活 的北半球而言， 上午的影子的方向是
10、由西向北变化， 影子越来越短， 下午的影子方向由北向东变化， 影子越来越长. 【类型三】 平行投影的有关计算 如图，小王身高 1.7m，他想测量一栋大楼的高度，他沿着阳光下的楼影 BA 由 B 向 A 走 去，当他走到点 C 时，他的影子顶端正好与大楼的影子顶端重合，测得 AC19.2m，BC0.8m， 则大楼的高度为 m. 解析：设大楼的高为 xm，楼和人均与地面垂直，由平行投影的特点可得到两三角形相似.由相 似三角形的性质，得BC BA 人高 楼高，即 0.8 19.20.8 1.7 x .解得 x42.5. 方法总结： 本题也可用同一时刻， 太阳光下不同物体的高度与影长成正比， 即 甲物
11、体的高 甲物体的影长 乙物体的高 乙物体的影长来解答. 一位同学想利用树影测树高， 已知在某一时刻直立于地面的长 1.5m 的竹竿的影长为 3m， 但当他马上测量树影时，发现树的影子有一部分落在墙上（如图）.经测量，留在墙上的影高 CD 1.2m，地面部分影长 BD5.4m，求树高 AB. 解：方法一：过点 D 作 DEAC 交 AB 于点 E，如图. 四边形 AEDC 为平行四边形， AECD1.2m. EB BD 1.5 3 ，EB2.7m， ABAEEB3.9m. 方法二：延长 AC 交 BD 的延长线于点 E，如图. CD1.2m，CD DE 1.5 3 ，DE2.4m. BEBDDE
12、7.8m. AB BE 1.5 3 ，AB3.9m. 树高 AB 为 3.9m. 方法总结：解决这类问题较为常见的方法有两种，一是画出树影在墙脚对应的树高；二是 透过墙，补全树在平地上的影长. 探究点二：正投影 观察如图所示的物体，若投影的方向如箭头所示，图中物体的正投影是下列选项中的 （ ） 解析：我们观察图中的两个立体图形，分别按照所示投影线考虑它的正投影，得到圆柱的正投 影是长 方形，其中短边等于圆柱底面的直径，长边等于圆柱的高；正方体的正投影是与它一个面全等 的正方形.因此本题画出的图形应是它们的组合，且长方形在正方形的左边.故答案为 C. 方法总结：本题是正投影性质的简单应用，通过观察和画图可以加深对正投影的理解，同 时也可以发展我们的空间想象能力.本题还可以用实物进行实验，通过实验验证结果的正确性. 三、板书设计 平行 投影 与正 投影 平行投影 概念：平行光线所形成的投影 变化规律 正投影：平行光线与投影面垂直时形成的投影 本节课研究平行投影，让学生体会影子与生活的息息相关，激发学生学习的动机与兴趣，树立正确 的数学观.本课时密切联系实际，涉及地理、物理等知识，体现了数学与各学科内容间的联系.让学 生积极参加数学活动， 认识数学与人类的密切联系及对人类历史发展的作用， 激发学生探究与创造， 加强学生的合作与交流.