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4.1成比例线段 教案

1、4.1 成比例线段成比例线段 第第 1 课时课时 线段的比和成比例线段线段的比和成比例线段 1.知道线段的比的概念,会计算两条线段的比; (重点) 2.理解成比例线段的概念; (重点) 3.掌握成比例线段的判定方法.(难点) 一、情景导入 请观察下列几幅图片,你能发现些什么?你能对观察到的图片特点进行归纳吗? 这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同,是因为它们图上对应的线段的 长度不同. 二、合作探究 探究点一:线段的比 【类型一】 求线段的比 已知线段 AB2.5m,线段 CD400cm,求线段 AB 与 CD 的比. 解析:要求 AB 和 CD 的比,只需要根据线段的比的

2、定义计算即可,但注意要将 AB 和 CD 的单 位统一. 解:AB2.5m250cm, AB CD 250 400 5 8. 方法总结:求线段的比时,首先要检查单位是否一致,不一致的应先统一单位,再求比. 【类型二】 比例尺 在比例尺为 1:50 000 的地图上,量得甲、乙两地的距离是 3cm,则甲、乙两地的实际距 离是 m. 解析:根据“比例尺图上距离 实际距离”可求解. 设甲、乙两地的实际距离为 xcm,则有 1:50 0003:x,解得 x150 000. 150 000cm1500m. 故答案为 1500. 方法总结:理解比例尺的意义,注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化. 探究点二:

3、成比例线段 【类型一】 判断线段成比例 下列四组线段中,是成比例线段的是( ) A.3cm,4cm,5cm,6cm B.4cm,8cm,3cm,5cm C.5cm,15cm,2cm,6cm D.8cm,4cm,1cm,3cm 解析:将每组数据按从小到大的顺序排列,前两条线段的比和后两条线段的比相等的四条 线段成比例.四个选项中,只有 C 项排列后有2 5 6 15.故选 C. 方法总结:判断四条线段是否成比例的方法: (1)把四条线段按从小到大顺序排好,计算前两条线段的比和后两条线段的比,看是否相等 做出判断; (2)把四条线段按从小到大顺序排好,计算前后两个数的积与中间两个数的积,看是否相等

4、 作出判断. 【类型二】 由线段成比例求线段的长 已知:四条线段 a、b、c、d,其中 a3cm,b8cm,c6cm. (1)若 a、b、c、d 是成比例线段,求线段 d 的长度; (2)若 b、a、c、d 是成比例线段,求线段 d 的长度. 解析:紧扣成比例线段的概念,利用比例式构造方程并求解. 解: (1)由 a、b、c、d 是成比例线段,得 a b c d,即 3 8 6 d,解得 d16. 故线段 d 的长度为 16cm; (2)由 b、a、c、d 是成比例线段,得 b a c d,即 8 3 6 d,解得 d 9 4. 故线段 d 的长度为9 4cm. 方法总结:利用比例线段关系求线

5、段长度的方法:根据线段的关系写出比例式,并把它作 为相等关系构造关于要求线段的方程,解方程即可求出线段的长. 已知三条线段长分别为 1cm, 2cm,2cm,请你再给出一条线段,使得它的长与前面三 条线段的长能够组成一个比例式. 解析:因为本题中没有明确告知是求 1, 2,2 的第四比例项,因此所添加的线段长可能是前 三个数的第四比例项,也可能不是前三个数的第四比例项,因此应进行分类讨论. 解:若 x:1 2:2,则 x 2 2 ;若 1:x 2:2,则 x 2;若 1: 2x:2,则 x 2; 若 1: 22:x,则 x2 2. 所以所添加的线段的长有三种可能,可以是 2 2 cm, 2cm

6、,或 2 2cm. 方法总结:若使四个数成比例,则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比,也可转化 为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积. 三、板书设计 成 比 例 线 段 线段的比:如果选用同一长度单位量得两条线 段AB,CD的长度分别是m,n,那么 这两条线段的比就是它们长度的比, 即AB:CDm:n,或写成AB CD m n 成比例线段:四条线段a,b,c,d,如果a与b的比 等于c与d的比,即a b c d,那么这 四条线段a,b,c,d叫做成比例线段, 简称比例线段 从丰富的实例入手,引导学生进行观察、发现和概括.在自主探究和合作交流过程中,适时引入新知 识,并通过引导学生建立

7、新的数学模型,开拓思维,提升学生认知能力. 第第 2 课时课时 比例的性质比例的性质 1.理解并掌握比例的基本性质和等比性质; (重点) 2.能运用比例的性质进行相关计算,能通过比例变形解决一些实际问题.(难点) 一、情景导入 配制糖水时,通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度. 若有含糖 a 千克的糖水 b 千克,含糖 c 千克的糖水 d 千克,含糖 e 千克的糖水 f 千克它们 的浓度相等,把这些糖水混合到一起后,浓度不变.可表示为acm bdn a b. 这样表示的数学根据是什么? 二、合作探究 探究点一:比例的基本性质 已知a3b 2b 7 2,求 a b的值. 解:解法 1:由比例

8、的基本性质, 得 2(a3b)72b. a4b,a b4. 解法 2:由a3b 2b 7 2,得 a3b b 7, a b 3b b a b37, a b4. 方法总结:利用比例的基本性质,把比例式转化成等积式,再用含有其中一个字母的代数 式表示另一个字母,然后利用代入法或化成方程求解,这是解决比例问题常见的方法. 探究点二:等比性质 (1)已知 a:b:c3:4:5,求2a3bc ab 的值; (2)已知a b c d e f2,且 bdf0,求 a2c3e b2d3f的值. 解析: (1)利用“引入参数法”,把 a,b,c 用含同一个字母的代数式表示出来,再代入分式 求值; (2)应用比例

9、的等比性质,表示出 a 与 b、c 与 d、e 与 f 三组量之间的倍数关系,再代入原 代数式求值. 解: (1)设 a:b:c3:4:5k,则 a3k,b4k,c5k,2a3bc ab 6k12k5k 3k4k k 7k 1 7; (2)a b c d e f2, a b 2c 2d 3e 3f2, a2c3e b2d3f2. 方法总结:解多个比例式连在一起求值型试题的方法:方法一是引入参数,使其他的量都 统一用含有一个字母的式子表示,再求分式的值;方法二是运用等比性质,即如果a b c d m n(b dn0) ,则acm bdm a b,转化后求分式的值. 若 a,b,c 都是不等于零的

10、数,且ab c bc a ca b k,求 k 的值. 解:当 abc0 时,由ab c bc a ca b k, 得abbcca abc k, 则 k2(abc) abc 2; 当 abc0 时,则有 abc. 此时 kab c c c 1. 综上所述,k 的值是 2 或1. 易错提醒:运用等比性质的条件是分母之和不等于 0,往往忽视这一隐含条件而出错.本题 题目中并没有交代 abc0,所以应分两种情况讨论,容易出现的错误是忽略讨论 abc0 这种情况. 三、板书设计 比 例 的 性 质 基本性质: 如果 a b c d,那么adbc 如果adbc(a,b,c,d都不等于0), 那么a b c d 等比性质:如果a b c d m n(bdn0), 那么acm bdn a b 经历比例的性质的探索过程,体会类比的思想,提高学生探究、归纳的能力.通过问题情境的创设和 解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系,体会数学的思维方式,增强学习数学的兴趣.