1、4.1 成比例线段成比例线段 第第 1 课时课时 线段的比和成比例线段线段的比和成比例线段 1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比； （重点） 2.理解成比例线段的概念； （重点） 3.掌握成比例线段的判定方法.（难点） 一、情景导入 请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？ 这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的 长度不同. 二、合作探究 探究点一：线段的比 【类型一】 求线段的比 已知线段 AB2.5m，线段 CD400cm，求线段 AB 与 CD 的比. 解析：要求 AB 和 CD 的比，只需要根据线段的比的
2、定义计算即可，但注意要将 AB 和 CD 的单 位统一. 解：AB2.5m250cm， AB CD 250 400 5 8. 方法总结：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比. 【类型二】 比例尺 在比例尺为 1：50 000 的地图上，量得甲、乙两地的距离是 3cm，则甲、乙两地的实际距 离是 m. 解析：根据“比例尺图上距离 实际距离”可求解. 设甲、乙两地的实际距离为 xcm，则有 1：50 0003：x，解得 x150 000. 150 000cm1500m. 故答案为 1500. 方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化. 探究点二：
3、成比例线段 【类型一】 判断线段成比例 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A.3cm，4cm，5cm，6cm B.4cm，8cm，3cm，5cm C.5cm，15cm，2cm，6cm D.8cm，4cm，1cm，3cm 解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四条 线段成比例.四个选项中，只有 C 项排列后有2 5 6 15.故选 C. 方法总结：判断四条线段是否成比例的方法： （1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等 做出判断； （2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等
4、 作出判断. 【类型二】 由线段成比例求线段的长 已知：四条线段 a、b、c、d，其中 a3cm，b8cm，c6cm. （1）若 a、b、c、d 是成比例线段，求线段 d 的长度； （2）若 b、a、c、d 是成比例线段，求线段 d 的长度. 解析：紧扣成比例线段的概念，利用比例式构造方程并求解. 解： （1）由 a、b、c、d 是成比例线段，得 a b c d，即 3 8 6 d，解得 d16. 故线段 d 的长度为 16cm； （2）由 b、a、c、d 是成比例线段，得 b a c d，即 8 3 6 d，解得 d 9 4. 故线段 d 的长度为9 4cm. 方法总结：利用比例线段关系求线
5、段长度的方法：根据线段的关系写出比例式，并把它作 为相等关系构造关于要求线段的方程，解方程即可求出线段的长. 已知三条线段长分别为 1cm， 2cm，2cm，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三 条线段的长能够组成一个比例式. 解析：因为本题中没有明确告知是求 1， 2，2 的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前 三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论. 解：若 x：1 2：2，则 x 2 2 ；若 1：x 2：2，则 x 2；若 1： 2x：2，则 x 2； 若 1： 22：x，则 x2 2. 所以所添加的线段的长有三种可能，可以是 2 2 cm， 2cm
6、，或 2 2cm. 方法总结：若使四个数成比例，则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转化 为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积. 三、板书设计 成 比 例 线 段 线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线 段AB，CD的长度分别是m，n，那么 这两条线段的比就是它们长度的比， 即AB：CDm：n，或写成AB CD m n 成比例线段：四条线段a，b，c，d，如果a与b的比 等于c与d的比，即a b c d，那么这 四条线段a，b，c，d叫做成比例线段， 简称比例线段 从丰富的实例入手，引导学生进行观察、发现和概括.在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知 识，并通过引导学生建立
7、新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力. 第第 2 课时课时 比例的性质比例的性质 1.理解并掌握比例的基本性质和等比性质； （重点） 2.能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些实际问题.（难点） 一、情景导入 配制糖水时，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度. 若有含糖 a 千克的糖水 b 千克，含糖 c 千克的糖水 d 千克，含糖 e 千克的糖水 f 千克它们 的浓度相等，把这些糖水混合到一起后，浓度不变.可表示为acm bdn a b. 这样表示的数学根据是什么？ 二、合作探究 探究点一：比例的基本性质 已知a3b 2b 7 2，求 a b的值. 解：解法 1：由比例
8、的基本性质， 得 2（a3b）72b. a4b，a b4. 解法 2：由a3b 2b 7 2，得 a3b b 7， a b 3b b a b37， a b4. 方法总结：利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数 式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法. 探究点二：等比性质 （1）已知 a：b：c3：4：5，求2a3bc ab 的值； （2）已知a b c d e f2，且 bdf0，求 a2c3e b2d3f的值. 解析： （1）利用“引入参数法”，把 a，b，c 用含同一个字母的代数式表示出来，再代入分式 求值； （2）应用比例
9、的等比性质，表示出 a 与 b、c 与 d、e 与 f 三组量之间的倍数关系，再代入原 代数式求值. 解： （1）设 a：b：c3：4：5k，则 a3k，b4k，c5k，2a3bc ab 6k12k5k 3k4k k 7k 1 7； （2）a b c d e f2， a b 2c 2d 3e 3f2， a2c3e b2d3f2. 方法总结：解多个比例式连在一起求值型试题的方法：方法一是引入参数，使其他的量都 统一用含有一个字母的式子表示，再求分式的值；方法二是运用等比性质，即如果a b c d m n（b dn0） ，则acm bdm a b，转化后求分式的值. 若 a，b，c 都是不等于零的
10、数，且ab c bc a ca b k，求 k 的值. 解：当 abc0 时，由ab c bc a ca b k， 得abbcca abc k， 则 k2（abc） abc 2； 当 abc0 时，则有 abc. 此时 kab c c c 1. 综上所述，k 的值是 2 或1. 易错提醒：运用等比性质的条件是分母之和不等于 0，往往忽视这一隐含条件而出错.本题 题目中并没有交代 abc0，所以应分两种情况讨论，容易出现的错误是忽略讨论 abc0 这种情况. 三、板书设计 比 例 的 性 质 基本性质： 如果 a b c d，那么adbc 如果adbc（a，b，c，d都不等于0）， 那么a b c d 等比性质：如果a b c d m n（bdn0）， 那么acm bdn a b 经历比例的性质的探索过程，体会类比的思想，提高学生探究、归纳的能力.通过问题情境的创设和 解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系，体会数学的思维方式，增强学习数学的兴趣.