1、4.3 相似多边形相似多边形 1.了解相似多边形和相似比的概念； 2.会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形； （重点） 3.掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算.（难点） 一、情景导入 观察以下三组图形，每一组图形的对应边、对应角有什么关系呢？ 二、合作探究 探究点一：相似多边形的判定 下列图形都相似吗？为什么？ （1）所有正方形； （2）所有矩形； （3）所有菱形； （4）所有等边三角形； （5）所有等腰三角 形； （6）所有等腰梯形； （7）所有等腰直角三角形； （8）所有正五边形. 解析： 利用定义判断边数相同的多边形是否相似， 要从两方面进行判断： （1） 对应角相等；
2、 （2） 对应边成比例，两者缺一不可. 解： （1）相似，因为正方形每个角都等于 90 ，所以对应角相等，而每个正方形的边长都相等， 所以对应边成比例； （2） 不一定， 虽然矩形的每个角都等于 90 ， 对应角相等， 但是对应边不一定成比例， 如图； （3）不一定，每个菱形的四条边长都相等，所以两菱形的对应边一定成比例，但是它们的对 应角不一定相等，如图，显然两个菱形的对应角是不相等的； （4）相似，因为每个等边三角形的三条边都相等，所以两个等边三角形的对应边一定成比例， 并且对应角都等于 60 ； （5）不一定，如图，对应边不成比例，对应角不相等； （6）不一定，如图，对应边不成比例，对应
3、角不相等； （7）相似，因为等腰直角三角形的三个角分别是 45 ，45 ，90 ，所以对应角相等，而且每一 个三角形的三边的比都是 1：1： 2，所以对应边成比例； （8）相似，因为正五边形的各角都等于 108 ，所以对应角相等，而且正五边形的各边都相等， 所以对应边成比例. 方法总结：（1） 相似多边形的定义也是相似多边形的判定方法， 在判定两个多边形相似时， 必须同时具备两点：对应角相等，对应边成比例.（2）在说明图形不相似时只需画图举出反例即可. （3）所有边数相等的正多边形都相似. 探究点二：相似多边形的性质 已知四边形 ABCD 与四边形 EFGH 相似，试根据图中所给出的数据求出四
4、边形 EFGH 和 四边形 ABCD 的相似比. 解：四边形 ABCD 与四边形 EFGH 相似，且AE80 ，BF75 ， AB 与 EF 是对应边.EF AB 6 8 3 4， 四边形 EFGH 与四边形 ABCD 的相似比为3 4. 方法总结：找准相似多边形的对应边是解决此类问题的关键，方法类似于找全等三角形对 应边和对应角的方法. 探究点三：相似多边形的应用 如图所示，在四边形 ABCD 中，ADBC，EFBC，EF 将四边形 ABCD 分成两个相似四 边形 AEFD 和 EBCF.若 AD3，BC4，求 AE：EB 的值. 解析：根据相似多边形的对应边成比例，可得到AD EF EF
5、BC，可以求出 EF 的长，从而可求 AE： EB 的值. 解：因为四边形 AEFD四边形 EBCF， 所以AD EF EF BC， 所以 EF2AD BC3412， 所以 EF 122 3. 因为四边形 AEFD四边形 EBCF， 所以 AE：EBAD：EF3：2 3 3：2. 方法总结：若两个多边形相似，则它们对应的边成比例，根据此特性，可列等式或比例式 求解. 在 AB20m，AD30m 的矩形花坛 ABCD 的四周建筑小路. （1）如果四周的小路的宽均相等，如图，那么小路四周所围成的矩形 ABCD和矩形 ABCD 相似吗？请说明理由； （2）如果对应着的两条小路的宽均相等，如图，试问小
6、路的宽 x 与 y 的比值是多少时，能使 小路四周所围成的矩形 ABCD和矩形 ABCD 相似？ 解析： （1）根据两矩形的对应边是否成比例来判断两矩形是否相似； （2）根据矩形相似的条件列出等量关系式，从而求出 x 与 y 的比值. 解： （1）矩形 ABCD和矩形 ABCD 不相似.理由如下： 假设两个矩形相似，不妨设小路宽为 xm， 则302x 30 202x 20 ，解得 x0. 由题意可知，小路宽不可能为 0， 矩形 ABCD和矩形 ABCD 不相似； （2） 当 x 与 y 的比值为 3： 2 时， 小路四周所围成的矩形 ABCD和矩形 ABCD 相似.理由如下： 若矩形 ABCD
7、和矩形 ABCD 相似， 则302x 30 202y 20 ，所以x y 3 2. 当 x 与 y 的比值为 3：2 时，小路四周所围成的矩形 ABCD和矩形 ABCD 相似. 方法总结：因为矩形的四个角均是直角，所以在有关矩形相似的问题中，只需看对应边是 否成比例，若成比例，则相似，否则不相似. 三、板书设计 相似多边形 相似多边形：各角分别相等、各边 成比例的两个多边形 相似比：相似多边形对应边的比 性质：相似多边形的对应角相等，对 应边成比例 判定：各角分别相等，各边成比例， 二者缺一不可 在探索相似多边形本质特征的过程中，让学生运用“观察比较猜想”分析问题，进一步发展学 生观察、分析、判断、归纳、类比、反思、交流等方面的能力，提高数学思维水平，体会反例的作 用，培养与他人交流、合作的意识和品质.