1、4.4 探索三角形相似的条件探索三角形相似的条件 第第 1 课时课时 利用两角判定三角形相似利用两角判定三角形相似 1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；2.掌握相似三角形的判定定理 1； （重点） 3.能熟练运用相似三角形的判定定理 1.（难点） 一、情景导入 如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？ 二、合作探究 探究点一：两角分别相等的两个三角形相似 在ABC 和ABC中，AA80 ，B70 ，C30 ，这两个三角形相似吗？ 请说明理由. 解：ABCABC. 理由：由三角形的内角和是 180 ， 得C180 AB180 8070 30 ， 所以AA，CC. 故ABCA
2、BC（两角分别相等的两个三角形相似）. 方法总结：两个三角形已有一对角相等，故只要看是否还有一对角相等即可.一般地，在解 题过程中要特别注意“公共角” “对顶角” “同角（或等角）的余角”等隐含条件. 探究点二：相似三角形的判定定理 1 的应用 已知：如图，ABC 的高 AD、BE 相交于点 F，求证：AF BF EF DF. 解析：要证明AF BF EF FD，可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑AFE 与 BFD 是否相似，利用两个角对应相等的三角形相似可以证明这个结论. 证明：BEAC，ADBC， AEFBDF90 . 又AFEBFD， AFEBFD，AF BF EF D
3、F. 方法总结：证明比例式，可构造相似三角形，只要证明这两个三角形相似，就可根据相似 三角形的对应边成比例得到相关比例式. 如图所示，已知 DEBC，DFAC，AD4cm，BD8cm，DE5cm，求线段 BF 的长. 解：方法一：因为 DEBC，所以ADEB，AEDC，所以ADEABC， 所以AD AB DE BC，即 4 48 5 BC， 所以 BC15cm.又因为 DFAC， 所以四边形 DFCE 是平行四边形， 所以 FCDE5cm， 所以 BFBCFC15510（cm）. 方法二：因为 DEBC，所以ADEB. 又因为 DFAC，所以ABDF， 所以ADEDBF， 所以AD DB DE
4、 BF，即 4 8 5 BF， 所以 BF10cm. 方法总结：求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三 角形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到. 三、板书设计 （1）相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形； （2）相似三角形的判定定理 1：两角分别相等的两个三角形相似. 感受相似三角形与相似多边形、相似三角形与全等三角形的区别与联系，体验事物间特殊与一 般的关 系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生的观察、动手探 究、归纳总结的能力. 第第 2 课时课时 利用两边及夹角判定
5、三角形相似利用两边及夹角判定三角形相似 1.掌握相似三角形的判定定理 2； （重点） 2.能熟练运用相似三角形的判定定理 2.（难点） 一、情景导入 画ABC 与ABC， 使AA， AB AB和 AC AC都等于给定的值 k.设法比较B 与B的大小 （或 C 与C的大小） ，ABC 与ABC相似吗？ 二、合作探究 探究点一：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 如图，已知点 D 是ABC 的边 AC 上的一点，根据下列条件，可以得到ABCBDC 的是（ ） A.AB CDBD BC B.AC CBCA CD C.BC2AC DC D.BD2CD DA 解析：有两边对应成比例，并不能说明两个三角
6、形相似，若再知道成比例的两边的夹角相 等，则这两个三角形才相似.本题中，C 是ABC 和BDC 的公共角，关键是找出C 的两边对应 成比例，即CD CB CB AC或 BC 2AC DC.故选 C. 方法总结： 判定两个三角形相似时， 应根据条件适当选择方法， 如本题已知有一个公共角， 而它的两条夹边都能成比例，则应选择判定定理 2 加以判断. 探究点二：相似三角形的判定定理 2 的应用 如图所示，零件的外径为 a，要求它的厚度 x，需求出内孔的直径 AB，但不能直接量出 AB，现用一个交叉长钳（AC 和 BD 相等）去量，若 OA：OCOB：ODn，且量得 CDb，求厚 度 x. 解析：欲求
7、厚度 x，而 xaAB 2 ，根据题意较易推出AOBCOD，利用相似三角形的对应 边成比例，列出关于 AB 的比例式，解之即可. 解：因为 OA：OCOB：OD，AOBCOD， 所以AOBCOD， 故AB CD OA OCn，可得 ABbn， 所以 xabn 2 . 方法总结：当条件中有两边对应成比例时，通常考虑相似三角形的判定定理 2，并注意利 用图形的隐含条件，如公共角、对顶角. 如图，在ABC 中，AB8cm，BC16cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 向点 B 以 1cm/s 的速 度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动.如果点 P，Q 同时出发
8、，经过多长时间 后PBQ 与ABC 相似？ 解析：要证明PBQ 与ABC 相似，很显然B 为公共角，因此可运用两边对应成比例且夹角 相等来得到相似，可根据对应边成比例列方程求解，同时要注意分类讨论. 解：设经过 t s 后，PBQ 与ABC 相似. （1）当BP BA BQ BC时， PBQABC. 此时8t 8 2t 16，解得 t4. 即经过 4s 后PBQ 与ABC 相似； （2）当BP BC BQ BA时，PBQCBA. 此时8t 16 2t 8，解得 t1.6. 即经过 1.6s 后PBQ 与ABC 相似. 综上可知，点 P，Q 同时出发，经过 1.6s 或 4s 后PBQ 与ABC
9、 相似. 易错提醒：在点运动的情况下寻找相似的条件，随着点的位置的变化，PBQ 的形状也会 发生变化，因此既要考虑PBQABC 的情况，还要考虑PBQCBA 的情况. 三、板书设计 相似三角形的判定定理 2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，培养学生的观察、发现、比 较、归纳能力，进一步发展学生的探究、交流能力.感受两个三角形相似的判定定理 2 与全等三角形 判定定理（SAS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关. 第第 3 课时课时 利用三边判定三角形相似利用三边判定三角形相似 1.掌握相似三角形的判定定理 3； （重点）
10、 2.能熟练运用相似三角形的判定定理 3.（难点） 一、情景导入 如图，如果要判定ABC 与ABC相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的 关系？ 可否用类似于判定三角形全等的 SSS 方法，通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边 对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都 是原来三角形各边长的 k 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？ 二、合作探究 探究点一：三边成比例的两个三角形相似 已知ABC 的三边长分别为 1， 2， 5，DEF 的三边长分别为 10， 2，2，试判断 ABC 与DEF 是否相似.
11、解析：因为已知两个三角形的三边长，所以可以考虑根据三边之间的比例关系来判定两个三角 形是否相似. 解：因为 1 2 2 2 5 10， 所以ABC 与DEF 相似. 方法总结：已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三 边是否对应成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边，所以在判定两个三角 形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系. 探究点二：相似三角形的判定定理 3 的应用 如图所示，在ABC 中，点 D、E 分别是ABC 的边 AB，AC 上的点，AD3，AE6， DE5，BD15，CE3，BC15.根据以上条件，你认为BAED
12、吗？并说明理由. 解析：要说明BAED，只需要得到ABCAED，根据三边成比例的两个三角形相似可 证得ABCAED. 解：BAED. 理由如下：由题意，得 ABADBD31518， ACAECE639， AC AD 9 33， AB AE 18 6 3，CB DE 15 5 3， 所以AC AD AB AE CB DE，故ABCAED， 所以BAED. 方法总结：证明两角相等，可通过证明对应的两个三角形相似而得到，给出的已知条件以 边为主时，首先考虑使用“三边成比例”的判定条件. 如图甲，小正方形的边长均为 1，则乙图中的三角形（阴影部分）与ABC 相似的是哪一 个图形？ 解析：图中的三角形均
13、为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边是 否对应成比例来判断乙图中的三角形与ABC 是否相似. 解：由甲图可知 AC 1212 2，BC2，AB 1233 10. 同理，图中，三角形的三边长分别为 1， 5，2 2； 同理，图中，三角形的三边长分别为 1， 2， 5； 同理，图中，三角形的三边长分别为 2， 5，3； 同理，图中，三角形的三边长分别为 2， 5， 13. 2 1 2 2 10 5 2， 图中的三角形与ABC 相似. 方法总结： （1）各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长， 然后根据三角形三边的长度是否成比例来判断两个三角形是否相似
14、； （2）判断三边是否成比例，可 以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定 两个三角形是否相似. 三、板书设计 相似三角形的判定定理 3：三边成比例的两个三角形相似. 从学生已学的知识入手，通过设置问题，引导学生进行计算、推理和归纳，提高分析问题和解决问 题的能力.感受两个三角形相似的判定定理 3 与全等三角形判定定理（SSS）的区别与联系，体会事 物间一般到特殊、特殊到一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推 理能力，培养学生与他人交流、合作的意识和品质. 第第 4 课时课时 黄金分割黄金分割 1.知道并理解黄金分割的定
15、义，熟记黄金比； 2.能对黄金分割进行简单运用.（重点、难点） 一、情景导入 生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？ 比如， 下图是一个五角星图案， 如何找点 C 把 AB 分成两段 AC 和 BC， 使得画出的图形匀称美观呢？ 二、合作探究 探究点一：黄金分割的有关概念 已知 M 是线段 AB 的黄金分割点，MA 是被分线段 AB 中较长的线段，且 MA 51，求 原线段 AB 的长. 解析：由于 M 是黄金分割点，根据黄金比较长线段 原线段 51 2 ，可求出原线段长. 解：因为 M 是线段 AB 的黄金分割点，且 MAMB， 所以MA AB
16、51 2 ， 所以 AB 2 51 MA 2 51（ 51）2. 方法总结： 把一条线段黄金分割后， 原线段、 较长线段、 较短线段之间有固定的比值关系， 只要知道其中一条线段的长度，就可以求出另外两条线段的长度. 已知线段 AB6，点 C 为线段 AB 的黄金分割点，求下列各式的值： （1）ACBC； （2）AC BC. 解析：黄金分割点是线段上一个点，这个点把线段分成一长一短两部分，由题意可知较长的线 段是原线段的 51 2 ，并且在一条线段上有两个黄金分割点. 解：若 ACBC，如图，则 AC 51 2 AB 51 2 63 53，所以 BCABAC6 （3 53）93 5. （1）AC
17、BC3 53（93 5）3 5393 56 512； （2）AC BC（3 53）（93 5）27 545279 536 572. 若 ACBC，如图. （1）ACBC126 5； （2）AC BC36 572. 易错提醒：注意一条线段有两个黄金分割点，因此题中未指出黄金分割点离哪个端点较近 时，要分情况讨论. 探究点二：黄金分割的应用 在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近 0.618 越给人以美 感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为 0.60，她的 身高为 1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？ 解析：想要看起来更美，则鞋底到肚脐的长度与身高之比应为黄
18、金比，此题应根据已知条件求 出肚脐到脚底的距离，再求高跟鞋的高度. 解：设肚脐到脚底的距离为 x m，根据题意，得 x 1.600.60，解得 x0.96. 设穿上 y m 高的高跟鞋看起来会更美，则y0.96 1.60y0.618. 解得 y0.075，而 0.075m7.5cm. 故她应该穿约为 7.5cm 高的高跟鞋看起来会更美. 易错提醒：要准确理解黄金分割的概念，较长线段的长是全段长的 0.618.注意此题中全段 长是身高与高跟鞋鞋高之和. 三、板书设计 黄 金 分 割 定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC 和BC，如果AC AB BC AC，那么称线段AB被点 C黄金分割 黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点 黄金比：较长线段：原线段 51 2 ：1 经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程，通过问题情境的创设和解决过程，体会黄金分割 的文化价值，在应用中进一步理解相关内容，在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意 识和自信心.感受数学与生活的紧密联系，体会数学的思维方式，增进数学学习的兴趣.