1、22 用配方法求解一元二次方程用配方法求解一元二次方程 第第 1 课时课时 用配方法求解简单的一元二次方程用配方法求解简单的一元二次方程 1会用直接开平方法解形如(xm)2n(n0)的方程；(重点) 2理解配方法的基本思路；(难点) 3会用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程(重点) 一、情景导入 一块石头从 20m 高的塔上落下，石头离地面的高度 h(m)和下落时间 x(s)大致有如下关系：h 205x2，问石头经过多长时间落到地面？ 二、合作探究 探究点一：用直接开平方法解一元二次方程 用直接开平方法解下列方程： (1)x2160; (2)3x2270； (3)(x2)29; (4)(
2、2y3)216. 解析：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负 数的形式，再根据平方根的定义求解注意开方后，等式的右边取“正、负”两种情况 解：(1)移项，得 x216.根据平方根的定义，得 x 4，即 x14，x24； (2)移项，得 3x227.两边同时除以 3，得 x29.根据平方根的定义，得 x 3，即 x13，x2 3； (3)根据平方根的定义，得 x2 3，即 x23 或 x23，所以 x15，x21； (4)根据平方根的定义，得 2y3 4，即 2y34 或 2y34，所以 y17 2，y2 1 2. 方法总结：直接开平方法是解一元二次方程的
3、最基本的方法，它的理论依据是平方根的定义， 它的可解类型有如下几种：x2a(a0)；(xa)2b(b0)；(axb)2c(c0)；(axb)2 (cxd)2(|a|c|) 探究点二：用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程 用配方法解方程：x22x10. 解析：方程左边不是一个完全平方式，需将左边配方 解：移项，得 x22x1. 配方，得 x22x(2 2) 21(2 2) 2， 即(x1)22. 开平方，得 x1 2. 解得 x1 21，x2 21. 方法总结：用配方法解一元二次方程时，应按照步骤严格进行，以免出错配方添加时，记住 方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方 三、板书设计 用
4、配方法解简单的一元二次方程： 1直接开平方法：形如(xm)2n(n0)用直接开平方法解 2用配方法解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(xm)2n(n0)的形式，再用直接开 平方法，便可求出它的根 3用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程的一般步骤： (1)移项，把方程的常数项移到方程的右边，使方程的左边只含二次项和一次项； (2)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为(xm)2n(n0)的形式； (3)用直接开平方法求出它的解 通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法直接开平方法、配方法，领会降次转化的 数学思想培养学生从不同角度进行探究的习惯和能力，使学生在数学活动
5、中形成实事求是的态度 以及独立思考的习惯. 第第 2 课时课时 用配方法求解较复杂的一元二次方程用配方法求解较复杂的一元二次方程 1会用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程；(重点) 2能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程(难点) 一、情景导入 某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程 s(m)和时间 t(s)之间的关系为：s10t3t2，那么行驶 200m 需要多长时间？ 二、合作探究 探究点一：用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程 用配方法解方程：1 2x 25 2x 5 40. 解析：先把方程二次项的系数化为 1，再配方成(xm)2n(n0)的形式，最后开平方即可 解：方程
6、两边同除以1 2，得 x 25x5 20. 移项，得 x25x5 2. 配方，得 x25x(5 2) 25 2( 5 2) 2， 即(x5 2) 215 4 . 两边开平方，得 x5 2 15 2 . 即 x5 2 15 2 或 x5 2 15 2 . 所以 x15 15 2 ，x25 15 2 . 易错提醒：用配方法解一元二次方程时，易出现以下错误：(1)方程一边忘记加常数项；(2)忘记 将二次项系数化为 1；(3)在二次项系数化为 1 时，常数项忘记除以二次项系数；(4)配方时，只在一 边加上一次项系数一半的平方 探究点二：配方法的应用 【类型一】 利用配方法求代数式的值 已知 a23ab
7、2b 2 37 160，求 a4 b的值 解析：观察方程可以知道，原方程可以用配方法转化为两个数的平方和等于 0 的形式，得到这 两个数都为 0，从而可求出 a，b 的值，再代入代数式计算即可 解：原等式可以写成：(a3 2) 2(b1 4) 20. a3 20，b 1 40，解得 a 3 2，b 1 4. a4 b3 24 1 4 1 2. 方法总结：这类题目主要是配方法和非负数性质的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的 平方和等于 0 的形式是解题的关键 【类型二】 利用配方法求代数式的最值或判定代数式的值与 0 的关系 请用配方法说明：不论 x 取何值，代数式 x25x7 的值恒为正
8、解析：本题是要运用配方法将代数式化为一个平方式加上一个常数的形式 解：x25x7x25x(5 2) 27(5 2) 2(x5 2) 23 4，而(x 5 2) 20， (x5 2) 23 4 3 4. 代数式 x25x7 的值恒为正 方法总结：对于代数式是一个关于 x 的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方 法，将原代数式变形为一个平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方是一个非负数，从而就可 以求出原代数式的最值 【类型三】 利用配方法解决一些简单的实际问题 如图，一块矩形土地，长是 48m，宽是 24m，现要在它的中央划一块矩形草地，四周铺 上花砖路，路面宽都相等，草地面积占矩
9、形土地面积的5 9，求花砖路面的宽 解析：若设花砖路面宽为 xm，则草地的长与宽分别为(482x)m 及(242x)m，根据等量关系： 矩形草地的面积5 9矩形土地的面积，即可列一元二次方程求解 解：设花砖路面的宽为 xm.根据题意，得(482x)(242x)5 94824. 整理，得 x236x128. 配方，得 x236x(18)2128(18)2， 即(x18)2196. 两边开平方，得 x18 14. 即 x1814，或 x1814. 所以 x132(不合题意，舍去)，x24. 故花砖路面的宽为 4m. 方法总结：列一元二次方程解决实际问题时，一定要检验方程的根，这些根虽然满足所列的一
10、 元二次方程，但未必符合实际问题，因此，求出一元二次方程的解之后，要把不符合实际问题的解 舍去 三、板书设计 用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程的步骤： (1)把原方程化为一般形式； (2)二次项系数化为 1，方程两边都除以二次项系数； (3)移项，把常数项移到右边，使方程左边只含二次项和一次项； (4)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方； (5)用直接开平方法解方程 通过对比用配方法解二次项系数是 1 的一元二次方程，发现解二次项系数不是 1 的一元二次方程的 方法，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识培养学生发现问题的能力，通过学生亲自解 方程的感受与经验，总结成文，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯.