1、13 正方形的性质与判定正方形的性质与判定 第第 1 课时课时 正方形的性质正方形的性质 1了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理；(重点) 2会利用正方形的性质进行相关的计算和证明(难点) 一、情景导入 如图(1)所示， 把可以活动的矩形框架 ABCD 的 BC 边平行移动， 使矩形的邻边 AD， DC 相等， 观察这时矩形 ABCD 的形状 如图(2)所示，把可以活动的菱形框架 ABCD 的A 变为直角，观察这时菱形 ABCD 的形状 图(1)中图形的变化可判断矩形 ABCD特殊的四边形是什么四边形？图(2)中图形变化可判断 菱形 ABCD特殊的四边形是什么四边形？经过观察，你发
2、现既是矩形又是菱形的图形是什么四边 形？ 引入正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即：有一组邻边相等的矩形是正方形或有一 个角是直角的菱形是正方形 二、合作探究 探究点一：正方形的性质 如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AO2，求正方形的周长 与面积 解：四边形 ABCD 是正方形， ACBD，OAOD2. 在 RtAOD 中，由勾股定理，得 AD OA2OD2 2222 8. 正方形的周长为 4AD4 88 2，面积为 AD2( 8)28. 方法总结：结合勾股定理，充分利用正方
3、形的四边相等、四角相等、对角线相等且互相垂直平 分的性质，是解决与正方形有关的题目的关键 探究点二：正方形的性质的应用 【类型一】 利用正方形的性质求角度 四边形 ABCD 是正方形，ADE 是等边三角形，求BEC 的大小 解析：等边ADE 可以在正方形的内部，也可以在正方形的外部，因此本题分两种情况 解：当等边ADE 在正方形 ABCD 外部时，如图，ABAE，BAE90 60 150 . AEB15 . 同理可得DEC15 . BEC60 15 15 30 ； 当等边ADE 在正方形 ABCD 内部时，如图，ABAE，BAE90 60 30 ， AEB75 . 同理可得DEC75 . BE
4、C360 75 75 60 150 . 综上所述，BEC 的大小为 30 或 150 . 易错提醒：因为等边ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以边相等本题分两种情况： 等边ADE 在正方形的外部或在正方形的内部 【类型二】 利用正方形的性质求线段长 如图，正方形 ABCD 的边长为 1cm，AC 为对角线，AE 平分BAC，EFAC，求 BE 的 长 解析：线段 BE 是 RtABE 的一边，但由于 AE 未知，不能直接用勾股定理求 BE，由条件可 证ABEAFE，问题转化为求 EF 的长，结合已知条件易获解 解：四边形 ABCD 为正方形， B90 ，ACB45 ，ABBC1cm.
5、 EFAC， EFAEFC90. 又ECF45 ， EFC 是等腰直角三角形， EFFC. BAEFAE，BEFA90 ，AEAE， ABEAFE， ABAF1cm，BEEF. FCBE. 在 RtABC 中， AC AB2BC2 1212 2(cm)， FCACAF 21(cm)， BE 21(cm) 方法总结：正方形被对角线分成 4 个等腰直角三角形，因此在正方形中解决问题时常用到等腰 三角形的性质与直角三角形的性质 【类型三】 利用正方形的性质证明线段相等 如图， 已知过正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点 P， 作 PEBC 于点 E， PFCD 于点 F， 求证：APEF. 解析
6、：由 PEBC，PFCD 知四边形 PECF 为矩形，故有 EFPC，这时只需说明 APCP， 由正方形对角线互相垂直平分可知 APCP. 证明：连接 AC，PC，如图 四边形 ABCD 为正方形， BD 垂直平分 AC， APCP. PEBC，PFCD，BCD90 ， 四边形 PECF 为矩形， PCEF，APEF. 方法总结：(1)在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等；(2)无论是正方形还是矩 形，经常连接对角线，这样可以使分散的条件集中 三、板书设计 正方形 正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个 角是直角的平行四边形叫做 正方形 正方形的性质 四个角都是直角 四条边都相等
7、 对角线相等且互相垂直平分 经历正方形有关性质的探索过程，把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容在观 察中寻求新知， 在探究中发展推理能力， 逐步掌握说理的基本方法 培养合情推理能力和探究习惯， 体会平面几何的内在价值 第第 2 课时课时 正方形的判定正方形的判定 1掌握正方形的判定方法；(重点) 2会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算(难点) 一、情景导入 我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？ 请填入下图中 通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形； 而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩
8、形、菱形都是特殊的平行四边形 1怎样判断一个四边形是矩形？ 2怎样判断一个四边形是菱形？ 3怎样判断一个四边形是平行四边形？ 4怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？ 议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？ 二、合作探究 探究点一：正方形的判定 【类型一】 先证明是矩形再证明是正方形 已知： 如图所示， 在 RtABC 中， C90 ， BAC， ABC 的平分线交于点 D， DEBC 于点 E，DFAC 于点 F.求证：四边形 CEDF 是正方形 解析： 欲证明四边形 CEDF 是正方形， 先根据C90 ， DEBC， DFAC， 证明四边形 CEDF 是矩形，再证明一组邻边相等即可 证
9、明：如图所示，过点 D 作 DGAB 于点 G. DFAC，DEBC， DFCDEC90 . 又C90 ， 四边形 CEDF 是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形) AD 平分BAC，DFAC，DGAB， DFDG. 同理可得 DEDG.DEDF. 四边形 CEDF 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形) 方法总结：正方形的判定方法有很多，可以先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角 线互相垂直；或先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等 【类型二】 先证明是菱形再证明是正方形 如图，EG，FH 过正方形 ABCD 的对角线的交点 O，且 EGFH.求证：四边形 EFGH 是
10、正方形 解析：已知 EGFH，要证四边形 EFGH 为正方形，则只需要证四边形的对角线 EG，HF 互相 平分且相等即可，根据题意可通过三角形全等来证 OEOHOGOF. 证明：四边形 ABCD 为正方形， OBOC，ABOBCO45 ，BOC90 COHBOH. EGFH， BOEBOH90 ， COHBOE， CHOBEO，OEOH. 同理可证：OEOFOG， OEOFOGOH. 又EGFH， 四边形 EFGH 为菱形 EOGOFOHO，即 EGHF， 四边形 EFGH 为正方形 方法总结：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 探究点二：正方形、菱形、矩形与平行四边形之间的关系 填空：
11、 (1)对角线_的四边形是矩形； (2)对角线_的平行四边形是矩形； (3)对角线_的平行四边形是正方形； (4)对角线_的矩形是正方形； (5)对角线_的菱形是正方形 解：(1)相等且互相平分 (2)相等 (3)垂直且相等 (4)垂直 (5)相等 方法总结：从对角线上分析特殊四边形之间的关系应充分考虑特殊四边形的性质与判别，防止 混淆菱形、矩形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四边形，特殊之处在于：矩形是有一 个角为直角的平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形；而正方形是兼具两者特性的更特 殊的平行四边形，它既是矩形，又是菱形 三、板书设计 经历正方形判定条件的探索过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握 说理的基本方法理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.