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2020年中考数学试题分类汇编之十三 二次函数

1、 1 2020 年中考数学试题分类汇编之十三 二次函数 一、选择题 10 (2020 安徽) (4 分) 如图,ABC和DEF都是边长为 2 的等边三角形, 它们的边BC, EF在同一条直线l上,点C,E重合现将ABC在直线l向右移动,直至点B与F重合 时停止移动在此过程中,设点C移动的距离为x,两个三角形重叠部分的面积为y,则y 随x变化的函数图象大致为( ) A B C D 【解答】解:如图 1 所示:当02x 时,过点G作GHBF于H ABC和DEF均为等边三角形, GEJ为等边三角形 33 22 GHEJx, 2 13 24 yEJ GHx 当2x 时,3y ,且抛物线的开口向上 2

2、如图 2 所示:24x 时,过点G作GHBF于H 2 13 (4) 24 yFJ GHx,函数图象为抛物线的一部分,且抛物线开口向上 故选:A 10.(2020 福建)已知 111 ,P x y, 222 ,P x y是抛物线 2 2yaxax上的点,下列命题正 确的是( ) A. 若 12 |1| |1| xx,则 12 yy B. 若 12 |1| |1| xx,则 12 yy C. 若 12 |1| |1| xx,则 12 yy D. 若 12 yy,则 12 xx 【答案】C 10 (2020 陕西)在平面直角坐标系中,将抛物线 yx2(m1)x+m(m1)沿 y 轴向 下平移 3 个

3、单位则平移后得到的抛物线的顶点一定在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解:yx2(m1)x+m(x)2+m, 该抛物线顶点坐标是(,m) , 将其沿 y 轴向下平移 3 个单位后得到的抛物线的顶点坐标是 (, m3) , m1, m10, 0, m310, 点(,m3)在第四象限; 3 故选:D 6 (2020 哈尔滨) (3 分)将抛物线 2 yx向上平移 3 个单位长度,再向右平移 5 个单位长 度,所得到的拋物线为( ) A 2 (3)5yx B 2 (3)5yx C 2 (5)3yx D 2 (5)3yx 【解答】解:由“上加下减”的原则可知,将抛物线 2

4、 yx向上平移 3 个单位所得抛物线的 解析式为: 2 3yx; 由 “左加右减” 的原则可知, 将抛物线 2 3yx向右平移 5 个单位所得抛物线的解析式为: 2 (5)3yx; 故选:D 8(2020 杭州)(3 分)设函数 ya(xh)2+k(a,h,k 是实数,a0) ,当 x1 时,y 1;当 x8 时,y8, ( ) A若 h4,则 a0 B若 h5,则 a0 C若 h6,则 a0 D若 h7,则 a0 解:当 x1 时,y1;当 x8 时,y8;代入函数式得:1 = (1 ) 2 + 8 = (8 )2+ , a(8h)2a(1h)27, 整理得:a(92h)1, 当 h4,则

5、a1,故 A 错误; 当 h5,则 a1,故 B 错误; 当 h6,则 a= 1 3,故 C 正确; 当 h7,则 a= 1 5,故 D 错误; 选:C 10(2020 杭州)(3 分)在平面直角坐标系中,已知函数 y1x2+ax+1,y2x2+bx+2,y3 x2+cx+4,其中 a,b,c 是正实数,且满足 b2ac设函数 y1,y2,y3的图象与 x 轴的交 点个数分别为 M1,M2,M3, ( ) A若 M12,M22,则 M30 B若 M11,M20,则 M30 C若 M10,M22,则 M30 D若 M10,M20,则 M30 解:选项 B 正确 4 理由:M11,M20, a24

6、0,b280,a,b,c 是正实数, a2,b2ac, c= 1 2b 2, 在二次函数 y3x2+cx+4 中, 则有c216= 1 4b 216=1 4(b 264)0, M30, 选项 B 正确, 故选:B 12 (2020 天津)已知抛物线 2 yaxbxc(a,b,c是常数0a,1c) 经过点2,0, 其对称轴是直线 1 2 x 有下列结论: 0abc 关于x的方程 2 axbxca有两个不等的实数根; 1 2 a 其中,正确结论的个数是( ) A0 B1 C2 D3 答案:C 15.(2020 河北)如图,现要在抛物线(4)yxx上找点 ( , )P a b,针对b的不同取值,所

7、找点P的个数,三人的说法如下, 甲:若5b,则点P的个数为 0; 乙:若4b,则点P的个数为 1; 丙:若3b,则点P的个数为 1 下列判断正确的是( ) 5 A. 乙错,丙对 B. 甲和乙都错 C. 乙对,丙错 D. 甲错,丙对 【答案】C 【详解】当 b=5 时,令 x(4-x)=5,整理得:x2-4x5=0, =(-4)2-4 5=-60,因此点 P 有 2 个,丙的 说法不正确; 故选:C 6.(2020 江西)在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线 2 23yxx与y轴交 于点A, 与x轴正半轴交于点B, 连接AB, 将R t O A B向右上方平移, 得到Rt O A B, 且

8、点O,A落在抛物线的对称轴上, 点B落在抛物线上, 则直线A B的表达式为 ( ) Ayx B1yx C 1 2 yx D2yx 【解析】 将抛物线32 2 xxy配方可得4) 1( 2 xy,对称轴为直线1x,抛物线与x轴 的两个交点坐标分别为)0 , 3(),0 , 1(,B(3,0)与y轴交点)3, 0( A,OA=3,OB=4 根据平移的规律可得3OBBO且1 O x,4 B x,代入抛物线可得5 B y,直线 AB 的解析式为3 xy,根据ABBA可得直线BA的解析式为mxy,再将 )5 , 4( B 代入可得1m,直线BA的解析式为1 xy,故选 B 11(2020 四川绵阳)三孔

9、桥横截面的三个孔都是呈抛物线形,两小孔形状、大小完全相同。 当水面刚好淹没小孔时,大孔水面宽度为 10 米,孔顶离水面 1.5 米;当水位下降,大孔水 面宽度为 14 米时,单个小孔的水面宽度为 4 米。若大孔水面宽度为 20 米,则单个小孔的水 面宽度为( ). A. 4 3米 B.5 2米 C.2 13米 D.7 米 【解析】答案:B. 解:以大孔的对称轴为y轴,以刚好淹没时水面高度为x轴建立 平面直角坐标系。如图:则 A(5,0),G(0,1.5),所以大孔所在抛物 线的解析式可求得为: 2 33 + 502 yx ,设小孔所在抛物线 为 2 ()ym xh。当大孔大孔水面宽度为 14

10、米时,如图 C 6 点的横坐标是 7,所以 C 点坐标为(7, 36 - 25 ) ,此时 F、H 点的纵坐标为: 36 - 25 。代入 2 ()ym xh中, 得到: 22 36 20 25 mxmhxmh, 由此时水面宽度为 4 米, 得:4 m , 解得 1 9 25 m , 2 0m (舍去). 2 9 () 25 yxh 。当大孔水面宽度为 20 米时,即 H 点 坐标为: (10, 9 - 2 ) 。所以有: 2 99 -) 252 xh (。此时有: 1 5 2 2 xh 2 5 2 2 xh 。此时小孔水面宽度为: 12 5 2xx。故选 B. 10.(2020 贵阳)已知二

11、次函数 2 yaxbxc的图象经过( 3,0) 与(1,0)两点,关于x的 方程 2 0axbxcm (0)m 有两个根,其中一个根是 3则关于x的方程 2 0axbxcn (0)nm 有两个整数根,这两个整数根是( ) A. 2或 0 B. 4或 2 C. 5或 3 D. 6或 4 【答案】B 【详解】 二次函数 2 yaxbxc的图象经过( 3,0) 与(1,0)两点, 即方程 2 0axbxc 的两个根是3 和 1, 2 0axbxcm 可以看成二次函数 y 的图象沿着 y 轴平移 m 个单位,得到一个根 3, 由 1 到 3 移动 2 个单位,可得另一个根为5.由于 0nm, 可知方程

12、 2 0axbxcn 的两根范围在53 和 13, 由此判断 B 符合该范围 故选 B 10 (2020 贵州黔西南) (4 分)如图,抛物线 yax2+bx+4 交 y 轴于点 A,交过点 A 且平行 于x轴的直线于另一点B, 交x轴于C, D两点 (点C在点D右边) , 对称轴为直线x= 5 2, 连接 AC,AD,BC若点 B 关于直线 AC 的对称点恰好落在线段 OC 上,下列结论中错误的是 ( ) 7 A点 B 坐标为(5,4) BABAD Ca= 1 6 DOCOD16 解:抛物线 yax2+bx+4 交 y 轴于点 A, A(0,4) , 对称轴为直线 x= 5 2,ABx 轴,

13、 B(5,4) 故 A 无误; 如图,过点 B 作 BEx 轴于点 E, 则 BE4,AB5, ABx 轴,BACACO, 点 B 关于直线 AC 的对称点恰好落在线段 OC 上, ACOACB,BACACB, BCAB5, 在 RtBCE 中,由勾股定理得:EC3,C(8,0) , 对称轴为直线 x= 5 2,D(3,0) 在 RtADO 中,OA4,OD3, AD5,ABAD, 故 B 无误; 8 设 yax2+bx+4a(x+3) (x8) , 将 A(0,4)代入得:4a(0+3) (08) , a= 1 6,故 C 无误; OC8,OD3,OCOD24,故 D 错误 综上,错误的只有

14、 D 故选:D 8.(2020 山东青岛)已知在同一直角坐标系中二次函数 2 yaxbx和反比例函数 c y x 的 图象如图所示,则一次函数 c yxb a 的图象可能是( ) A. B. C. D. 解:由二次函数图象可知:a0,对称轴 2 b x a 0, a0,b0, 由反比例函数图象知:c0, c a 0,一次函数图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴, 对照四个选项,只有 B 选项符合一次函数 c yxb a 的图象特征 故选:B 9 12.(2020 长沙)“闻起来臭,吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃,臭豆腐虽小,但制作流 程却比较复杂, 其中在进行加工煎炸臭豆腐时, 我们把焦脆

15、而不糊的豆腐块数的百分比称为 “可食用率”,在特定条件下,“可食用率”p 与加工煎炸的时间 t(单位:分钟)近似满足函 数关系式: 2 patbtc(0,a a,b,c 为常数) ,如图纪录了三次实验数据,根据上 述函数关系和实验数据,可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( ) A. 3.50 分钟 B. 4.05 分钟 C. 3.75 分钟 D. 4.25 分 钟 解:将(3,0.8)(4,09)(5,0.6)代入 2 patbtc得: 0.893 0.9164 0.6255 abc abc abc 和得 0.1=7 0.39 ab ab 得0.4=2a,解得 a=0.2 将 a=0 2代入可

16、得 b=1.5 对称轴= 1.5 3.75 22 ( 0.2) b a 故选 C 10 (2020 齐齐哈尔) ( (3 分)如图,抛物线 yax2+bx+c(a0)与 x 轴交于点(4,0) , 其对称轴为直线 x1,结合图象给出下列结论: ac0; 4a2b+c0; 当 x2 时,y 随 x 的增大而增大; 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根 10 其中正确的结论有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解:抛物线开口向上,因此 a0,与 y 轴交于负半轴,因此 c0,故 ac0,所以正 确; 抛物线对称轴为 x1,与 x 轴的一个交点为(4,0)

17、,则另一个交点为(2,0) ,于是 有 4a2b+c0,所以不正确; x1 时,y 随 x 的增大而增大,所以正确; 抛物线与 x 轴有两个不同交点, 因此关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的 实数根,所以正确; 综上所述,正确的结论有:, 故选:C 8 (2020 新疆生产建设兵团) (5 分)二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示,则一次函数 y ax+b 和反比例函数 y= 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) ABCD 解:因为二次函数 yax2bx+c 的图象开口向上,得出 a0,与 y 轴交点在 y 轴的正半 轴,得出 c0,利用对称轴 x= 20

18、,得出 b0, 11 所以一次函数 yax+b 经过一、三、四象限,反比例函数 y= 经过一、三象限, 故选:D 9 (2020 四川南充) (4 分)如图,正方形四个顶点的坐标依次为(1,1) , (3,1) , (3,3) , (1,3) 若抛物线 yax2的图象与正方形有公共点,则实数 a 的取值范围是( ) A1 9 a3 B1 9 a1 C1 3 a3 D1 3 a1 【解答】解:当抛物线经过(1,3)时,a3, 当抛物线经过(3,1)时,a= 1 9, 观察图象可知1 9 a3, 故选:A 10 (2020 四川南充) (4 分)关于二次函数 yax24ax5(a0)的三个结论:对

19、任 意实数 m,都有 x12+m 与 x22m 对应的函数值相等;若 3x4,对应的 y 的整 数值有 4 个,则 4 3 a1 或 1a 4 3;若抛物线与 x 轴交于不同两点 A,B,且 AB6,则 a 5 4或 a1其中正确的结论是( ) A B C D 【解答】解:二次函数 yax24ax5 的对称轴为直线 x= 4 2 = 2, x12+m 与 x22m 关于直线 x2 对称, 对任意实数 m,都有 x12+m 与 x22m 对应的函数值相等; 故正确; 当 x3 时,y3a5,当 x4 时,y5, 若 a0 时,当 3x4 时,3a5y5, 当 3x4 时,对应的 y 的整数值有

20、4 个, 1a 4 3, 12 若 a0 时,当 3x4 时,5y3a5, 当 3x4 时,对应的 y 的整数值有 4 个, 4 3 a1, 故正确; 若 a0,抛物线与 x 轴交于不同两点 A,B,且 AB6, 0,25a20a50, 16 2 + 200 5 5 0 , a1, 若 a0,抛物线与 x 轴交于不同两点 A,B,且 AB6, 0,25a20a50, 16 2 + 200 5 5 0 , a 5 4, 综上所述:当 a 5 4或 a1 时,抛物线与 x 轴交于不同两点 A,B,且 AB6 故选:D 10 (2020 辽宁抚顺) (3 分)如图,在 RtABC 中,ACB90,A

21、CBC2,CD AB 于点 D点 P 从点 A 出发,沿 ADC 的路径运动,运动到点 C 停止,过点 P 作 PEAC 于点 E, 作 PFBC 于点 F 设点 P 运动的路程为 x, 四边形 CEPF 的面积为 y, 则能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是( ) A B C D 13 解:在 RtABC 中,ACB90,ACBC2, AB4,A45, CDAB 于点 D, ADBD2, PEAC,PFBC, 四边形 CEPF 是矩形, CEPF,PECF, 点 P 运动的路程为 x,APx, 则 AEPExsin45x, CEACAE2x, 四边形 CEPF 的面积为 y,当点 P 从

22、点 A 出发,沿 AD 路径运动时, 即 0 x2 时, yPECEx(2x)x2+2x(x2)2+2, 当 0 x2 时,抛物线开口向下; 当点 P 沿 DC 路径运动时,即 2x4 时, CD 是ACB 的平分线, PEPF,四边形 CEPF 是正方形, AD2,PDx2,CP4x, y(4x)2(x4)2 当 2x4 时,抛物线开口向上, 综上所述:能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是:A 故选:A 6 (2020 内蒙古呼和浩特) (3 分)已知二次函数 y(a2)x2(a+2)x+1,当 x 取互为 相反数的任意两个实数值时, 对应的函数值 y 总相等, 则关于 x 的一元二次方

23、程 (a2) x2(a+2)x+10 的两根之积为( ) A0 B1 C D 解:二次函数,y(a2)x2(a+2)x+1 当 x 取互为相反数的任意两个实数值时,对应的函数值 y 总相等, 可知二次函数图象的对称轴为直线 x0,即 y 轴, 14 则,解得:a2, 关于 x 的一元二次方程(a2)x2(a+2)x+10 为4x2+10, 两根之积为, 故选:D 7(2020 内蒙古呼和浩特)(3 分) 关于二次函数 yx26x+a+27, 下列说法错误的是 ( ) A若将图象向上平移 10 个单位,再向左平移 2 个单位后过点(4,5) ,则 a5 B当 x12 时,y 有最小值 a9 Cx

24、2 对应的函数值比最小值大 7 D当 a0 时,图象与 x 轴有两个不同的交点 解:A、将二次函数向上平移 10 个单位,再向左平 移 2 个单位后,表达式为:, 若过点(4,5) ,则,解得:a5,故选项正确; B、,开口向上,当 x12 时,y 有最小值 a9,故选项正确; 当 x2 时,ya+16,最小值为 a9,a+16(a9)25,即 x2 对应的函数值比最 小值大 25,故选项错误; D、,当 a0 时,9a0, 即方程有两个不同的实数根,即二次函数图象与 x 轴有两个不同的交 点,故选项正确, 故选:C 20 (2020 黑龙江牡丹江) (3 分)如图,抛物线 2 yaxbxc与

25、x轴正半轴交于A,B两 点,与y轴负半轴交于点C若点(4,0)B,则下列结论中,正确的个数是( ) 0abc ; 40ab; 1 (M x, 1) y与 2 (N x, 2) y是抛物线上两点,若 12 0 xx, 则 12 yy; 若抛物线的对称轴是直线3x ,m为任意实数, 则(3)(3)(3)a mmbm; 若3AB, 则430bc 15 A5 B4 C3 D2 【解答】解:如图,抛物线开口向下,与y轴交于负半轴,对称轴在y轴右侧, 0a,0c ,0 2 b a ,0b, 0abc,故正确; 如图,抛物线过点(4,0)B,点A在x轴正半轴, 对称轴在直线2x 右侧,即2 2 b a ,

26、4 20 22 bab aa ,又0a ,40ab,故正确; 1 (M x, 1) y与 2 (N x, 2) y是抛物线上两点, 12 0 xx, 可得:抛物线 2 yaxbxc在0 2 b x a 上,y随x的增大而增大, 在 2 b x a 上,y随x的增大而减小, 12 yy不一定成立,故错误; 若抛物线对称轴为直线3x ,则3 2 b a ,即6ba , 则 2 (3)(3)(3)(3)0a mmbma m, (3)(3)(3)a mmbm,故正确;3AB,则点A的横坐标大于 0 或小于等于 1, 当1x 时,代入,0yabc , 当4x 时,1640abc, 4 16 bc a ,

27、 则 4 0 16 bc bc ,整理得:450bc,则432bcc,又0c ,20c, 430bc,故正确, 故正确的有 4 个 故选:B 8 (2020 四川遂宁) (4 分)二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象如图所示,对称轴为直线 16 x1,下列结论不正确的是( ) Ab24ac Babc0 Cac0 Dam2+bmab(m 为任意实数) 解:由图象可得:a0,c0,b24ac0, 2 = 1, b2a0,b24ac,故 A 选项不合题意, abc0,故 B 选项不合题意, 当 x1 时,y0,ab+c0, a+c0,即 ac0,故 C 选项符合题意, 当 xm 时,yam2+

28、bm+c, 当 x1 时,y 有最小值为 ab+c, am2+bm+cab+c, am2+bmab,故 D 选项不合题意, 故选:C 12(2020 山东枣庄)(3 分)如图,已知抛物线 2 yaxbxc的对称轴为直线1x 给出 下列结论: 0ac ; 2 40bac; 20ab; 0abc 其中,正确的结论有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解:抛物线开口向下,0a ,对称轴为1 2 b x a ,因此0b ,与y轴交于正半 轴,因此0c , 17 于是有:0ac ,因此正确; 由1 2 b x a ,得20ab,因此不正确, 抛物线与x轴有两个不同交点,因此 2 40

29、bac,正确, 由对称轴1x ,抛物线与x 轴的一个交点为(3,0),对称性可知另一个交点为( 1,0),因此 0abc,故正确, 综上所述,正确的结论有, 故选:C 8 (2020 湖南岳阳) (3 分) (2020岳阳)对于一个函数,自变量 x 取 c 时,函数值 y 等于 0,则称 c 为这个函数的零点若关于 x 的二次函数 yx210 x+m(m0)有两个不 相等的零点 x1,x2(x1x2) ,关于 x 的方程 x2+10 xm20 有两个不相等的非零实数 根 x3,x4(x3x4) ,则下列关系式一定正确的是( ) A0 1 3 1 B1 3 1 C0 2 4 1 D2 4 1 【

30、解答】解:由题意关于 x 的方程 x2+10 xm20 有两个不相等的非零实数根 x3,x4 (x3x4) ,就是关于 x 的二次函数 yx210 x+m(m0)与直线 y2 的交点的横 坐标, 画出函数的图象草图如下: 抛物线的对称轴为直线 x= 10 2(1) = 5, x3x15, 由图象可知:0 1 3 1 一定成立, 故选:A 12 (3 分) (2020玉林)把二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象作关于 x 轴的对称变换, 所得图象的解析式为 ya (x1) 2+4a, 若 (m1) a+b+c0, 则 m 的最大值是 ( ) 18 A4 B0 C2 D6 【解答】解:把二次

31、函数 yax2+bx+c(a0)的图象作关于 x 轴的对称变换,所得图 象的解析式为 ya(x1)2+4a,原二次函数的顶点为(1,4a) , 原二次函数为 ya(x1)24aax22ax3a,b2a,c3a, (m1)a+b+c0,(m1)a2a3a0, a0,m1230,即 m6, m 的最大值为 6, 故选:D 7 (3 分) (2020常德)二次函数 yax2+bx+c(a0)的图象如图所示,下列结论: b24ac0;abc0;4a+b0;4a2b+c0 其中正确结论的个数是( ) A4 B3 C2 D1 【解答】解:由图象知,抛物线与 x 轴有两个交点, 方程 ax2+bx+c0 有

32、两个不相等的实数根,b24ac0,故正确, 由图象知,抛物线的对称轴直线为 x2, 2 =2,4a+b0,故正确, 由图象知,抛物线开口方向向下,a0,4a+b0, b0,而抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上,c0,abc0,故正确, 由图象知,当 x2 时,y0, 4a2b+c0,故错误, 即正确的结论有 3 个,故选:B 12 (2020 贵州遵义) (4 分)抛物线 yax2+bx+c 的对称轴是直线 x2抛物线与 x 轴的 一个交点在点(4,0)和点(3,0)之间,其部分图象如图所示,下列结论中正确 的个数有( ) 4ab0;c3a;关于 x 的方程 ax2+bx+c2 有两个

33、不相等实数根;b2+2b 4ac 19 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解:抛物线的对称轴为直线 x= 2 = 2, 4ab0,所以正确; 与 x 轴的一个交点在(3,0)和(4,0)之间, 由抛物线的对称性知,另一个交点在(1,0)和(0,0)之间, x1 时 y0,且 b4a, 即 ab+ca4a+c3a+c0, c3a,所以错误; 抛物线与 x 轴有两个交点,且顶点为(2,3) , 抛物线与直线 y2 有两个交点, 关于 x 的方程 ax2+bx+c2 有两个不相等实数根,所以正确; 抛物线的顶点坐标为(2,3) , 4; 2 4 =3,b2+12a4ac, 4ab0,b

34、4a, b2+3b4ac, a0,b4a0, b2+2b4ac,所以正确; 故选:C 9 (2020 山西) (3 分)竖直上抛物体离地面的高度 h(m)与运动时间 t(s)之间的关系可 以近似地用公式 h5t2+v0t+h0表示, 其中 h0(m) 是物体抛出时离地面的高度, v0(m/s) 是物体抛出时的速度某人将一个小球从距地面 1.5m 的高处以 20m/s 的速度竖直向上抛 出,小球达到的离地面的最大高度为( ) A23.5m B22.5m C21.5m D20.5m 解:由题意可得,h5t2+20t+1.55(t2)2+21.5, 20 故当 t2 时,h 取得最大值,此时 h21

35、.5, 选:C 10 (2020 四川自贡) (4 分)函数 y= 与 yax 2+bx+c 的图象如图所示,则函数 ykxb 的大致图象为( ) AB CD 解:根据反比例函数的图象位于一、三象限知 k0, 根据二次函数的图象确知 a0,b0, 函数 ykxb 的大致图象经过一、二、三象限, 故选:D 11 (2020 山东滨州) (3 分)对称轴为直线1x 的抛物线 2 (yaxbxc a、b、c为常数, 且0)a 如图所示,小明同学得出了以下结论:0abc , 2 4bac,420abc, 30ac,()(ab m amb m为任意实数) ,当1x 时,y随x的增大而增大其 中结论正确的

36、个数为( ) A3 B4 C5 D6 【解答】解:由图象可知:0a ,0c , 1 2 b a , 20ba , 0abc,故错误; 21 抛物线与x轴有两个交点, 2 40bac, 2 4bac,故正确; 当2x 时,420yabc,故错误; 当1x 时,0yabc,30ac,故正确; 当1x 时,y的值最小,此时,yabc, 而当xm时, 2 yambmc,所以 2 abc ambmc, 故 2 ab ambm,即()ab m amb,故正确, 当1x 时,y随x的增大而减小,故错误, 故选:A 11 (2020 四川眉山) (4 分)已知二次函数 yx22ax+a22a4(a 为常数)的

37、图象与 x 轴有交点,且当 x3 时,y 随 x 的增大而增大,则 a 的取值范围是( ) Aa2 Ba3 C2a3 D2a3 解:二次函数 yx22ax+a22a4(a 为常数)的图象与 x 轴有交点, (2a)241(a22a4)0 解得:a2; 抛物线的对称轴为直线 xa,抛物线开口向上,且当 x3 时,y 随 x 的增大 而减小, a3,实数 a 的取值范围是2a3 故选:D 9 (2020 山东泰安) (4 分)在同一平面直角坐标系内,二次函数 yax2+bx+b(a0)与 一次函数 yax+b 的图象可能是( ) A B CD 选:C 9 (2020 浙江宁波) (4 分)如图,二

38、次函数 yax2+bx+c(a0)的图象与 x 轴交于 A,B 两点, 与 y 轴正半轴交于点 C, 它的对称轴为直线 x1 则下列选项中正确的是 ( ) 22 Aabc0 B4acb20 Cca0 D当 xn22(n 为实数)时,yc 【解答】解:由图象开口向上,可知 a0, 与 y 轴的交点在 x 轴的上方,可知 c0, 又对称轴方程为 x1,所以 20,所以 b0, abc0,故 A 错误; 一次函数 yax2+bx+c(a0)的图象与 x 轴交于 A,B 两点, b24ac0, 4acb20,故 B 错误; 2 = 1, b2a, 当 x1 时,yab+c0, a2a+c0, ca0,

39、故 C 错误; 当 xn22(n 为实数)时,yax2+bx+ca(n22)+b(n22)an2(n2+2) +c, a0,n20,n2+20, yan2(n2+2)+cc,故 D 正确, 故选:D 9 (2020 浙江温州) (4 分)已知(3,y1) , (2,y2) , (1,y3)是抛物线 y3x212x+m 上的点,则( ) Ay3y2y1 By3y1y2 Cy2y3y1 Dy1y3y2 23 解:抛物线的对称轴为直线 x= 12 2(3) = 2, a30,x2 时,函数值最大, 又3 到2 的距离比 1 到2 的距离小, y3y1y2 故选:B 10 (4 分) (2020株洲)

40、二次函数 yax2+bx+c,若 ab0,ab20,点 A(x1,y1) ,B (x2,y2)在该二次函数的图象上,其中 x1x2,x1+x20,则( ) Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1、y2的大小无法确定 【解答】解:ab20,b20,a0 又ab0,b0, x1x2,x1+x20, x2x1,x10 点 A(x1,y1) ,B(x2,y2)在该二次函数 yax2+bx+c 的图象上, 1= 12+ 1+ ,2= 22+ 2+ = 12 1+ y1y22bx10 y1y2 故选:B 二、填空题 16 (2020 哈尔滨) (3 分)抛物线 2 3(1)8yx的顶点坐标为 (1,8

41、) 【解答】解:抛物线 2 3(1)8yx是顶点式, 顶点坐标是(1,8) 故答案为:(1,8) 16 (2020 南京) (2 分)下列关于二次函数 22 ()1(yxmmm为常数)的结论:该 函数的图象与函数 2 yx 的图象形状相同; 该函数的图象一定经过点(0,1); 当0 x 时, 24 y随x的增大而减小; 该函数的图象的顶点在函数 2 1yx的图象上 其中所有正确结论 的序号是 【解答】解:二次函数 2 ()1(yxmmm为常数)与函数 2 yx 的二次项系数相 同, 该函数的图象与函数 2 yx 的图象形状相同,故结论正确; 在函数 22 ()1yxmm中,令0 x ,则 22

42、 1 1ymm , 该函数的图象一定经过点(0,1),故结论正确; 22 ()1yxmm, 抛物线开口向下, 对称轴为直线xm, 当xm时,y随x的增大而减小, 故结论错误; 抛物线开口向下,当xm时,函数y有最大值 2 1m , 该函数的图象的顶点在函数 2 1yx的图象上故结论正确, 故答案为 17. (2020 无锡) 二次函数 2 33yaxax的图像过点6,0A, 且与y轴交于点B, 点M 在该抛物线的对称轴上,若ABM是以AB为直角边的直角三角形,则点M的坐标为 _ 解:对 2 33yaxax,当 x=0 时,y=3,点 B 坐标为(0,3) , 抛物线 2 33yaxax的对称轴

43、是直线: 33 22 a x a , 当ABM=90 时,如图 1,过点 M 作 MFy 轴于点 F,则 3 2 MF , 1+2=90 ,2+3=90 , 1=3, 又MFB=BOA=90 , BFMAOB, MFBF OBOA ,即 3 2 36 BF ,解得:BF=3, OF=6, 点 M 的坐标是( 3 2 ,6) ; 25 当BAM=90 时, 如图 2, 过点 A 作 EHx 轴, 过点 M 作 MHEH 于点 H, 过点 B 作 BEEH 于点 E,则 39 6 22 MH , 同上面的方法可得 BAEAMH, AEBE MHAH ,即 36 9 2 AH ,解得:AH=9, 点

44、 M 的坐标是( 3 2 ,9) ; 综上,点 M 的坐标是 3 , 9 2 或 3 ,6 2 15.(2020 无锡)请写出一个函数表达式,使其图象的对称轴为y轴:_ 解:设函数的表达式为 y=ax2+bx+c, 图象的对称轴为 y 轴, 对称轴为 x= 2 b a =0, b=0, 满足条件的函数可以是: 2 yx=.(答案不唯一) 26 故答案是:y=x2(答案不唯一) 12.(2020 山东青岛)抛物线 2 221yxkxk(k为常数)与x轴交点的个数是 _ 解:=4(k-1)2+8k=4k2+40, 抛物线与x轴有 2 个交点 故答案为:2 15. (2020 湖北武汉) 抛物线 2

45、 yaxbxc(a,b,c为常数,0a ) 经过(2,0)A,( 4,0) B 两点,下列四个结论: 一元二次方程 2 0axbxc的根为 1 2x , 2 4x ; 若点 1 5,Cy, 2 ,Dy在该抛物线上,则 12 yy; 对于任意实数t,总有 2 atbtab; 对于a的每一个确定值,若一元二次方程 2 axbxcp(p为常数,0p )的根为 整数,则p的值只有两个 其中正确的结论是_(填写序号) 解:抛物线 2 yaxbxc经过(2,0)A, ( 4,0)B 两点 一元二次方程 2 0axbxc的根为 1 2x , 2 4x ,则结论正确 抛物线的对称轴为 42 1 2 x 3x

46、时的函数值与5x 时的函数值相等,即为 1 y 0a 当 1x时,y 随 x 的增大而减小 又1 3 12 yy ,则结论错误 当1x时,yabc 则抛物线的顶点的纵坐标为a bc ,且0a bc 将抛物线 2 yaxbxc向下平移a bc 个单位长度得到的二次函数解析式为 27 22 ()yaxbxcabcaxbxab 由二次函数图象特征可知, 2 yaxbxab的图象位于 x 轴的下方,顶点恰好在 x 轴 上 即0y 恒成立 则对于任意实数t,总有 2 0atbtab,即 2 atbtab,结论正确 将抛物线 2 yaxbxc向下平移 p个单位长度得到的二次函数解析式为 2 yaxbxcp

47、 函数 2 yaxbxcp 对应的一元二次方程为 2 0axbxcp , 即 2 a xb x cp 因此,若一元二次方程 2 axbxcp的根为整数,则其根只能是 12 1,3xx 或 12 0,2xx 或 12 1xx 对应的p的值只有三个,则结论错误 综上,结论正确的是 故答案为: 12 (2020 上海) (4 分)如果将抛物线 yx2向上平移 3 个单位,那么所得新抛物线的表达 式是 yx2+3 【解答】解:抛物线 yx2向上平移 3 个单位得到 yx2+3 故答案为:yx2+3 10 (2020 宁夏) (3 分)若二次函数 yx2+2x+k 的图象与 x 轴有两个交点,则 k 的取值 范围是 k1 6 (2020 黑龙江牡丹江) (3 分)将抛物线 2 1yaxbx向上平移 3 个单位长度后,经过点 ( 2,5),则8411ab的值是 5 【解答】解:将抛物线 2 1yaxbx向上平移 3 个单位长度后, 表达式为: 2 2yaxbx, 经过点( 2,5),代入得:423ab,