1、第 43 课时 开放与探究型问题70 分)一、选择题(每题 6 分，共 12 分)12016 荆门 如图 431，点 A，B ，C 在一条直线上，ABD ，BCE 均为等边三角形，连结AE 和 CD，AE 分别交 CD，BD 于点 M，P，CD交 BE 于点 Q，连结 PQ，BM，下面结论：ABE DBC；DMA60；BPQ 为等边三角形； MB 平分AMC，其中结论正确的有 (D)A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【解析】 由等边三角形的性质得出 ABDB，ABDCBE60，BEBC，得出ABE DBC，由 SAS 即可证出ABEDBC；由ABE DBC，得出 BAE BDC，根据 AP
2、BDPM，得出DMAABD60 ；由 ASA 证明 ABPDBQ，得出对应边相等 BPBQ，即可得出BPQ 为等边三角形；DMA60 ，得到AMC 120，所以AMCPBQ180，所以P，B，Q，M 四点共圆，又由于 BPBQ，由圆周角定理得出BMPBMQ ，即 MB 平分AMC.22016湖州 如图 432，AC 是矩形 ABCD 的对角线，O 是ABC 的内切圆，现将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，使点 D 与点 O重合，折痕为 FG，点 F， G 分别在边 AD，BC图 431图 432上，连结 OG，DG，若 OGDG，且O 的半径长为 1，则下列结论不成立的是 (A)ACDDF4
3、BCDDF2 33CBC AB2 43DBCAB2【解析】 如答图所示，设 AB 与圆 O 相切于点 M，BC 与O 相切于点 H，连结 MO 并延长 MO 交 CD 于点 T，连结 OH，连结 OD交 FG 于 R，过点 G 作 GNAD 于点 N，分别交 OD 于点 K，交 OT 于点 P.由折叠易知，OGDG，OHBC，所以OHGGCD90，HOGOGH90，来源:学#科#网 Z#X#X#KOGDG，OGHDGC90，DGCHOG，OHGGCD，HGCD，GCOH1，易得四边形 BMOH 是正方形，所以 BMBH MO OH1，设 CDm，则 HGm，ABm，AMm1 ，又O 是ABC
4、的切圆，ACm1m12m，AC2AB，ACB 30，BC AB，2m m，解得 m 1，3 3 3mAB 1，BC2m3 ，3 3第 2 题答图BCAB2，D 选项正确；BCAB2m22 4，C 选项正确3由折叠知，OGGD，又 OGGD，OGD 是等腰直角三角形，且 ORRD，所以 RGRD，RGRD，注意到 GNAD 为所作，GRDFRD90，RKGNKD ，RKG RGKNKD NDK90，NDK RGK，所以RKGRFD ，所以 FDKG，易得四边形 OHGP 是矩形，所以 PG1，由 GNDC ，可得OPKOTD， 1，PKDT OPOT PK3 3 12 3 3PK3 ，KG4 D
5、F，3 3CDDF 1(4 )2 3，B 选项正确；3 3 3CDDF 1(4 )5，A 选项错误故选 A.3 3二、填空题(每题 6 分，共 12 分)32016南充 如图 433，正方形 ABCD 边长为 1，以 AB 为直径作半圆，点P 是 CD 中点，BP 与半圆交于点 Q，连结 DQ.给出如下结论： DQ1； ；S PDQ ；cos ADQ .其中正确结论是_.(填写序PQBQ 32 18 35号)图 433 第 3 题答图【解析】 正确理由：连结 OQ，OD，DP CDBO AB，且 DPOB，12 12四边形 OBPD 是平行四边形AOD OBQ ，DOQ OQB ，OB OQ，
6、OBQ OQB ，AOD DOQ，AODQOD，OQDDAO90，DQAD1.所以正确正确理由：延长 DQ 交 BC 于点 E，过点 Q 作 QFCD，垂足为 F，根据切线长定理，得 QEBE，设 QEx，则BEx，DE 1x，CE1x，在 Rt CDE 中，(1x) 2(1 x)21，解得 x ，CE ，14 34DQF DEC， ，得 FQ ，DQDE FQCE 45 35PQF PBC， ，PQBP FQCB 35 ，PQBQ 32所以正确；错误，理由：SPDQ DPQF ，12 12 12 35 320所以错误；正确，理由：ADBC，来源:学|科|网 Z|X|X|KADQ DEC，co
7、s ADQcosDEC ，CEDE3454 35所以正确故答案为.42017岳阳 如图 434，AB 是O 的直径，P 为AB 延长线上的一个动点，过点 P 作O 的切线，切点为 C.连结 AC，BC，作APC 的平分线交 AC于点 D.下列结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)CPDDPA ；若A30，则 PC BC；3若CPA30，则 PBOB；无论点 P 在 AB 延长线上的位置如何变化， CDP 为定值三、解答题(共 46 分)5(16 分)2016 重庆在 ABC 中，ABAC，A60，点 D 是线段 BC 的中点，EDF 120，DE 与线段 AB 相交于点 E，DF 与线段 A
8、C(或 AC 的延长线)相交于点 F.图 435(1)如图，若 DFAC，垂足为 F，AB4，求 BE 的长；图 434(2)如图，将 (1)中的EDF 绕点 D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于点 F.求证：BECF AB；12(3)如图，将 (2)中的EDF 继续绕点 D 顺时针旋转一定的角度，使 DF 与线段 AC 的延长线交与点 F，作 DNAC 于点 N，若 DNFN ，求证：BECF (BE CF)3解：(1)由四边形 AEDF 的内角和为 360，可知 DEAB ，又ABAC，A 60，ABC 是等边三角形，BD 2.在 RtBDE 中，B60，BE 1；(2)如
9、答图，取 AB 的中点 G，连结 DG，易证：DG 为ABC 的中位线，故 DGDC，BGDC60，又四边形 AEDF 的对角互补，故 GEDDFC，DEG DFC.故 EG CF，BECFBE EGBG AB；12第 5 题答图 第 5 题答图(3)如答图，取 AB 的中点 G，连结 DG，同(2)，易证 DEGDFC ，故 EG CF，故 BECFBE EGBG AB.12设 CNx，在 Rt DCN 中，CD2x，DN x，3在 Rt DFN 中，NFDN x，3故 EG CF( 1) x，3BEBGEGDCCF2x ( 1)x( 1)x ，3 3故 BECF( 1)x ( 1)x2 x
10、，3 3 3(BECF) ( 1)x( 1)x 2 x.3 3 3 3 3故 BECF (BECF)36(15 分)(1)如图 436 ，已知ABC，以 AB， AC 为边向ABC 外作等边ABD 和等边 ACE，连结 BE，CD .请你完成图形，并证明：BECD ；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)来源:学科网图 436(2)如图，已知 ABC，以 AB，AC 为边向外作正方形 ABFD 和正方形ACGE，连结 BE，CD .BE 与 CD 有什么数 量关系？简单说明理由；(3)运用(1)(2)解答中积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点 B，E 的距离，已经测得ABC
11、45，CAE90，ABBC100 m，ACAE，求 BE 的长解：(1)如答图 ，证明：ABD 和ACE 都是等边三角形，来源:学科网AD AB，ACAE ，BADCAE60，BAD BACCAE BAC ，即CADEAB，第 6 题答图CADEAB，BECD ；(2)BECD.理由如下：四边形 ABFD 和四边形 ACGE 均为正方形，AD AB，ACAE ，BADCAE90，CADEAB， CADEAB ，BECD；(3)由(1)，(2)的解题经验可知，过 A 在ABC 的外侧作等腰直角三角形 ABD，如答图，BAD90，则 AD AB100，ABD45，BD100 .连结2CD，则由(2
12、) 可知 BECD.ABC45，DBCABD ABC 90.在 Rt DBC 中，BC100，BD100 ，2CD 100 ，1002 （1002）2 3BE 的长为 100 m.37(15 分)2017 成都如图 437，矩形 ABCD 中，AD2AB，E 是 AD 边上一点，DE AD(n 为大于 2 的整数) ，连结 BE，作 BE 的垂直平分线分别交1nAD，BC 于点 F，G ，FG 与 BE 的交点为 O，连结 BF 和 EG.(1)试判断四边形 BFEG 的形状，并说明理由；(2)当 ABa(a 为常数) ，n3 时，求 FG 的长；(3)记四边形 BFEG 的面积为 S1，矩形
13、 ABCD 的面积为 S2，当 时，求S1S2 1730n 的值解：(1)四边形 BFEG 是菱形理由如下：第 6 题答图图 437FG 垂直平分 BE，BO EO， BOG EOF90在矩形 ABCD 中，AD BC，GBOFEO .BOG EOF (ASA)BG EF.四边形 BFEG 是平行四边形又FG BE，平行四边形 BFEG 是菱形；(2)当 ABa，n3 时，AD2a，AE a，43根据勾股定理可得 BE a，53AFAEEF AEBF，在 RtABF 中AB2AF 2BF 2，AF a，EF a，724 2524菱形 BGEF 面积 BEFGEFAB，12FG a；54(3)设
14、 ABx，则 DE ，2xn当 时， ，可得 BG x，S1S2 1730 BGABABAD 1730 1715在 Rt ABF 中 AB2AF 2 BF2，AF x，815AEAFFE AFBG x，DE ADAE x，n6.53 13(15 分)8(15 分)2016 株洲如图 438，已知 AB 是圆 O 的切线，切点为 B，直线 AO交圆 O 于 C，D 两点， CD2，DAB30，动点 P 在直线 AB 上运动，PC 交圆 O 于另一点 Q.图 438来源:学科网(1)当点 P 运动到 Q，C 两点重合时(如图) ，求 AP 的长；(2)点运动过程中，有几个位置(几种情况) 使CQD
15、 的面积为 ？(直接写出答12案)(3)当使CQD 的面积为 ，且 Q 位于以 CD 为直径的上半圆上，CQQD 时12(如图 )，求 AP 的长解：(1)AB 是圆 O 的切线，OBA90 ，CD2，DAB30，OB 1，OB OCAC1，当点 P 运动到 Q，C 两点重合，PC 为圆 O 的切线，PCA90，DAB30 ，AC 1，AP ；233第 8 题答图(2)由于 CD 的长度为 2，而 SCQD ，故 CD 上的高的长度为 ，从而如答12 12图，可知有 4 个位置使CQD 的面积为 ；12(3)过点 Q 作 QNAD 于点 N，过点 P 作 PMAD 于点 M.S CQD ， Q
16、NCD ，QN ，12 12 12 12CD 是圆 O 的直径，CQD90，易证QCN DQN， ，QNDN CNQNQN 2CN DN.设 CNx，则 DN2x，x(2 x) ，14解得 x1 ，x 2 ，2 32 2 32CQQD，CN ， 2 .2 32 CNQN 3易证PMCQNC， 2 ，CNQN CMPM 3CM(2 )MP，3在 Rt AMP 中，AM MP3AMCM AC1，(2 )MP MP1，3 3MP ，AP 2 MP .3 14 3 12(15 分)10(15 分)2016 嘉兴类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形” (1)概念理解
17、如图 4310，在四边形 ABCD 中，添加一个条件使得四边形 ABCD 是“等邻边四边形” 请写出你添加的一个条件；(2)问题探究小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形她的猜想正确吗？请说明理由；如图，小红画了一个 RtABC，其中ABC 90，AB2， BC1，并将 RtABC 沿ABC 的平分线 BB方向平移得到A BC，连结AA，BC.小红要使平移后的四边形 ABCA是“等邻边四边形” ，应平移多少距离(即线段 BB的长)?(3)应用拓展如图， “等邻边四边形”ABCD 中，ABAD ，BAD BCD90，AC，BD 为对角线， AC AB.试探究 BC，CD，BD 的数量关
18、系2图 4310解：(1)ABBC 或 BCCD 或 CDAD 或 DAAB ；(任写一个即可)(2)正确理由为：四边形的对角线互相平分，这个四边形是平行四边形，四边形是“等邻边四边形” ，这个四边形有一组邻边相等，这个“等邻边四边形”是菱形；由ABC90，AB 2，BC1，得 AC ，5将 RtABC 平移得到 RtABC，BBAA，AB AB，AB2，BC1，AC ，5()如答图 ，当 AAAB 时，BBAAAB2；()如答图 ，当 AAAC时，BBAAAC ；5()如答图 ，当 BCA C 时，延长 CB交 AB 于点 D，则 CDAB，5BB平分ABC ，ABB ABC45，12BBD
19、 ABB45 ，BDBD.设 BDBD x，则 CDx 1，BB x，2在 RtBCD 中，BD 2(CD) 2(BC) 2，x 2(x1) 2( )2，5解得 x11， x22(不合题意，舍去 )，BB x ；2 2()如答图 ，当 BCAB2 时，与()同理得：BD 2(CD) 2(BC) 2，设 BDBD x，则 x2(x1) 22 2，解得 x1 ，x 2 (不合题意，舍去)， 1 72 1 72BB x ；214 22第 10 题答图(3)BC，CD ，BD 的数量关系为：BC 2CD 22BD 2.ABAD，如答图，将ADC 线绕点 A 旋转到ABF，连结 CF，则ABF ADC，ABF ADC，BAFDAC，AFAC，FBCD ，BAD CAF， 1，ACAF ADABACFABD ， ，CFBD ACABAC AB，2CF BD，2BAD ADCBCD ABC360，ABCADC360(BAD BCD)36090270，ABCABF270 ，CBF90，BC 2FB 2CF 2( BD)22BD 2，2BC 2CD 22BD 2.第 10 题答图