1、广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达 15233000 人次将 15233000 用科学记数法表示应为（ ） A152.33105 B15.233106 C1.5233107 D0.15233108 2 （3 分）某校饭堂随机抽取了 100 名学生，对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查后（每 人选一种） ， 绘制了如图的条形统计图， 根据图中的信息， 学生最喜欢的套餐种类是 （ ） A套餐一 B套餐二 C套餐三 D套餐四 3 （3 分）下列运算正确的是（ ） A+ B236 Cx5x6
2、x30 D （x2）5x10 4 （3 分）ABC 中，点 D，E 分别是ABC 的边 AB，AC 的中点，连接 DE若C68， 则AED（ ） A22 B68 C96 D112 5 （3 分）如图所示的圆锥，下列说法正确的是（ ） A该圆锥的主视图是轴对称图形 B该圆锥的主视图是中心对称图形 C该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形 第 2 页（共 23 页） D该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 6 （3 分）一次函数 y3x+1 的图象过点
3、（x1，y1） ， （x1+1，y2） ， （x1+2，y3） ，则（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy2y1y3 Dy3y1y2 7 （3 分）如图，RtABC 中，C90，AB5，cosA，以点 B 为圆心，r 为半径作 B，当 r3 时，B 与 AC 的位置关系是（ ） A相离 B相切 C相交 D无法确定 8 （3 分）往直径为 52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 AB 48cm，则水的最大深度为（ ） A8cm B10cm C16cm D20cm 9（3 分） 直线 yx+a
4、 不经过第二象限， 则关于 x 的方程 ax2+2x+10 实数解的个数是 （ ） A0 个 B1 个 C2 个 D1 个或 2 个 10 （3 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，AB6，BC8，过点 O 作 OE AC，交 AD 于点 E，过点 E 作 EFBD，垂足为 F，则 OE+EF 的值为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分分.） 11 （3 分）已知A100，则A 的补角等于 1
5、2 （3 分）化简： 第 3 页（共 23 页） 13 （3 分）方程的解是 14 （3 分）如图，点 A 的坐标为（1，3） ，点 B 在 x 轴上，把OAB 沿 x 轴向右平移到 ECD，若四边形 ABDC 的面积为 9，则点 C 的坐标为 15 （3 分）如图，正方形 ABCD 中，ABC 绕点 A 逆时针旋转到ABC，AB，AC分别交 对角线 BD 于点 E，F，若 AE4，则 EFED 的值为 16 （3 分）对某条线段的
6、长度进行了 3 次测量，得到 3 个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0， 若用 a 作为这条线段长度的近似值，当 a mm 时， （a9.9）2+（a10.1）2+（a 10.0）2最小对另一条线段的长度进行了 n 次测量，得到 n 个结果（单位：mm）x1， x2，xn，若用 x 作为这条线段长度的近似值，当 x mm 时， （xx1）2+（x x2）2+（xxn）2最小 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 102 分分.解答应写出文字解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤.） &nbs
7、p;17 （9 分）解不等式组： 18 （9 分）如图，ABAD，BACDAC25，D80求BCA 的度数 19 （10 分）已知反比例函数 y的图象分别位于第二、第四象限，化简： + 第 4 页（共 23 页） 20 （10 分）为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共 30 名老人提供居家养老服务，收集得到这 30 名老人的年龄（单位：岁）如下： 甲社 区 67 68 73 75 76 78 80 82 83 84 85 85 90 92 95 乙社 区 &nb
8、sp;66 69 72 74 75 78 80 81 85 85 88 89 91 96 98 根据以上信息解答下列问题： （1）求甲社区老人年龄的中位数和众数； （2） 现从两个社区年龄在 70 岁以下的 4 名老人中随机抽取 2 名了解居家养老服务情况， 求这 2 名老人恰好来自同一个社区的概率 21 （12 分）如图，平面直角坐标系 xOy 中，OABC 的边 OC 在 x 轴上，对角线 AC，OB 交于点 M，函数 y（x0）的图象经过点 A （3，4）和点 M （1）求 k 的值和点 M 的坐标； （2）求OAB
9、C 的周长 22 （12 分）粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人 化是自动驾驶的终极目标 某公交集团拟在今明两年共投资 9000 万元改装 260 辆无人驾 驶出租车投放市场今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是 50 万元，预计明年每辆无人 驾驶出租车的改装费用可下降 50% （1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元； （2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆 23 （12 分）如图，ABD 中，ABDADB （1）作点 A 关于 BD 的对称点 C； （要求：尺规作图，不写作法，保留作
10、图痕迹） （2）在（1）所作的图中，连接 BC，DC，连接 AC，交 BD 于点 O 第 5 页（共 23 页） 求证：四边形 ABCD 是菱形； 取 BC 的中点 E，连接 OE，若 OE，BD10，求点 E 到 AD 的距离 24 （14 分）如图，O 为等边ABC 的外接圆，半径为 2，点 D 在劣弧上运动（不与 点 A，B 重合） ，连接 DA，DB，DC （1）求证：DC 是ADB 的平分线； （2）四边形 ADBC 的面积 S 是线段 DC 的长 x 的函数吗？如果是，求出函数解析
11、式；如 果不是，请说明理由； （3）若点 M，N 分别在线段 CA，CB 上运动（不含端点） ，经过探究发现，点 D 运动到 每一个确定的位置，DMN 的周长有最小值 t，随着点 D 的运动，t 的值会发生变化，求 所有 t 值中的最大值 25 （14 分）平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 G：yax2+bx+c（0a12）过点 A（1，c 5a） ，B（x1，3） ，C（x2，3） 顶点 D 不在第一象限，线段 BC 上有一点 E，设OBE 的面积为 S1，OCE 的面积为 S2，S1S2+ （1）用含 a 的式子表示 b； （2）求点 E
12、 的坐标： （3）若直线 DE 与抛物线 G 的另一个交点 F 的横坐标为+3，求 yax2+bx+c 在 1x 6 时的取值范围（用含 a 的式子表示） 第 6 页（共 23 页） 2020 年广东省广州市中考数学试卷年广东省广州市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.） &nbs
13、p;1 （3 分）广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达 15233000 人次将 15233000 用科学记数法表示应为（ ） A152.33105 B15.233106 C1.5233107 D0.15233108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：152330001.5233107， 故
14、选：C 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式， 其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 2 （3 分）某校饭堂随机抽取了 100 名学生，对他们最喜欢的套餐种类进行问卷调查后（每 人选一种） ， 绘制了如图的条形统计图， 根据图中的信息， 学生最喜欢的套餐种类是 （ ） A套餐一 B套餐二 C套餐三 D套餐四 【分析】根据条形统计图得出即可 【解答】解：根据条形统计图可知：学生最喜欢的套餐种类是套餐一， 故选：A 【点评
15、】本题考查了条形统计图，能根据图形得出正确的信息是解此题的关键 第 7 页（共 23 页） 3 （3 分）下列运算正确的是（ ） A+ B236 Cx5x6x30 D （x2）5x10 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断 【解答】解：A、原式为最简结果，不符合题意； B、原式6a，不符合题意； C、原式x11，不符合题意； D、原式x10，符合题意 故选：D 【点评】此题考查了二次根式的混合运算，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，熟练掌握 运算法则是解本题的关
16、键 4 （3 分）ABC 中，点 D，E 分别是ABC 的边 AB，AC 的中点，连接 DE若C68， 则AED（ ） A22 B68 C96 D112 【分析】根据三角形的中位线定理得到 DEBC，根据平行线的性质即可求得AED C68 【解答】解：点 D、E 分别是ABC 的边 AB、AC 的中点， DEBC， C68， AEDC68 故选：B 【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，能熟练地运用三角形的中位线定理是解 此题的关键 5 （3 分）如图所示的圆锥，下列说
17、法正确的是（ ） 第 8 页（共 23 页） A该圆锥的主视图是轴对称图形 B该圆锥的主视图是中心对称图形 C该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形 D该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 【分析】圆锥的主视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形，从而得出 答案 【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形， 故选：A 【点评】本题主要考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及 轴对称
18、图形、中心对称图形的概念 6 （3 分）一次函数 y3x+1 的图象过点（x1，y1） ， （x1+1，y2） ， （x1+2，y3） ，则（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy2y1y3 Dy3y1y2 【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据 x1x1+1x2+2 即可得 出结论 【解答】解：一次函数 y3x+1 中，k30， y 随着 x 的增大而减小 一次函数 y3x+1 的图象过点 （x1， y1） ， （x1+1， y2） ， （x1+2， y3） ， 且 x1x1+1x2+2， &nbs
19、p;y3y2y1， 故选：B 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标 一定适合此函数的解析式是解答此题的关键 7 （3 分）如图，RtABC 中，C90，AB5，cosA，以点 B 为圆心，r 为半径作 B，当 r3 时，B 与 AC 的位置关系是（ ） 第 9 页（共 23 页） A相离 B相切 C相交 D无法确定 【分析】根据三角函数的定义得到 AC，根据勾股定理求得 BC，和B 的半径比较即可 【解答】解：RtABC 中，C90，AB5，c
20、osA， ， AC4， BC3， r3， B 与 AC 的位置关系是相切， 故选：B 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相 切、相交、相离 8 （3 分）往直径为 52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 AB 48cm，则水的最大深度为（ ） A8cm B10cm C16cm D20cm 【分析】连接 OB，过点 O 作 OCAB 于点 D，交O 于点 C，先由垂径定理求出 BD 的 长，再根据勾股定理求出 O
21、D 的长，进而可得出 CD 的长 【解答】解：连接 OB，过点 O 作 OCAB 于点 D，交O 于点 C，如图所示： AB48， BDAB4824， O 的直径为 52， 第 10 页（共 23 页） OBOC26， 在 RtOBD 中，OD10， CDOCOD261016（cm） ， 故选：C 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三 角形是解答此题的关键 9（3 分） 直线 yx+a 不经过第二象限， 则
22、关于 x 的方程 ax2+2x+10 实数解的个数是 （ ） A0 个 B1 个 C2 个 D1 个或 2 个 【分析】 利用一次函数的性质得到 a0， 再判断224a0， 从而得到方程根的情况 【解答】解：直线 yx+a 不经过第二象限， a0， 当 a0 时，关于 x 的方程 ax2+2x+10 是一次方程，解为 x， 当 a0 时，关于 x 的方程 ax2+2x+10 是二次方程， 224a0， 方程有两个不相等的实数根 故选：D 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次
23、方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的 实数根；当0 时，方程无实数根也考查了一次函数的性质 10 （3 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，AB6，BC8，过点 O 作 OE AC，交 AD 于点 E，过点 E 作 EFBD，垂足为 F，则 OE+EF 的值为（ ） 第 11 页（共 23 页） A B C D 【分析】依据矩形的性质即可得到AOD 的面积为 12，再根据 SAODSAOE+SDOE， 即可得到 OE+
24、EF 的值 【解答】解：AB6，BC8， 矩形 ABCD 的面积为 48，AODOAC5， 对角线 AC，BD 交于点 O， AOD 的面积为 12， EOAO，EFDO， SAODSAOE+SDOE，即 12AOEO+DOEF， 125EO+5EF， 5（EO+EF）24， EO+EF， 故选：C 【点评】本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对 角线相等且互相平分 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小
25、题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分分.） 11 （3 分）已知A100，则A 的补角等于 80 【分析】根据补角的概念求解可得 【解答】解：A100， A 的补角18010080 故答案为：80 【点评】本题主要考查补角，解题的关键是掌握如果两个角的和等于 180（平角） ，就 说这两个角互为补角即其中一个角是另一个角的补角 12 （3 分）化简： 【分析】此题先把二次根式化简，再进行合并即可求出答案 【解答】解：2 故填： 【点评】此题考查了二次
26、根式的加减，关键是把二次根式化简，再进行合并 第 12 页（共 23 页） 13 （3 分）方程的解是 x 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可 得到分式方程的解 【解答】解：方程， 去分母得：2x3， 解得：x， 经检验 x是分式方程的解 故答案为：x 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验 14 （3 分）如图，点 A 的坐标为（1，3） ，点 B 在 x 轴上，把OAB 沿 x
27、轴向右平移到 ECD，若四边形 ABDC 的面积为 9，则点 C 的坐标为 （4，3） 【分析】 根据平移的性质得出四边形 ABDC 是平行四边形， 从而得 A 和 C 的纵坐标相同， 根据四边形 ABDC 的面积求得 AC 的长，即可求得 C 的坐标 【解答】解：把OAB 沿 x 轴向右平移到ECD， 四边形 ABDC 是平行四边形， ACBD，A 和 C 的纵坐标相同， 四边形 ABDC 的面积为 9，点 A 的坐标为（1，3） ， 3AC9， AC3， C（4，3） ， &nbs
28、p;故答案为（4，3） 【点评】本题考查了坐标与图形的变换平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得 平移的距离是解题的关键 第 13 页（共 23 页） 15 （3 分）如图，正方形 ABCD 中，ABC 绕点 A 逆时针旋转到ABC，AB，AC分别交 对角线 BD 于点 E，F，若 AE4，则 EFED 的值为 16 【分析】 根据正方形的性质得到BACADB45， 根据旋转的性质得到EAF BAC45，根据相似三角形的性质即可得到结论 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， BACAD
29、B45， 把ABC 绕点 A 逆时针旋转到ABC， EAFBAC45， AEFDEA， AEFDEA， ， EFEDAE2， AE4， EFED 的值为 16， 故答案为：16 【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关 的相似三角形是解题的关键 16 （3 分）对某条线段的长度进行了 3 次测量，得到 3 个结果（单位：mm）9.9，10.1，10.0， 若用 a 作为这条线段长度的近似值，当 a 10.0 mm 时， （a9.
30、9）2+（a10.1）2+ （a10.0）2最小对另一条线段的长度进行了 n 次测量，得到 n 个结果（单位：mm） x1，x2，xn，若用 x 作为这条线段长度的近似值，当 x mm 时， （xx1）2+（xx2）2+（xxn）2最小 【分析】构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题 【解答】解：设 y（a9.9）2+（a10.1）2+（a10.0）23a260.0a+300.02， 第 14 页（共 23 页） a30， 当 x10.0 时，y 有最小值， 设 w（xx1） 2+（xx2）2+（xx
31、n）2nx22（x1+x2+xn）x+（x12+x22+xn2） ， n0， 当 x时，w 有最小值 故答案为 10.0， 【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 102 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （9 分）解不等式组： 【分析】根据不等式的性质求出两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集即可 【解答】解： 解不等式得：
32、x3， 解不等式得：x2， 所以不等式组的解集为：x3 【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其 中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小； 大小小大中间找；大大小小找不到 18 （9 分）如图，ABAD，BACDAC25，D80求BCA 的度数 【分析】运用 SAS 公理，证明ABCADC，得到DB80，再根据三角形内 角和为 180即可解决问题 【解答】解：在ABC 与ADC 中， ， ABCADC（SAS） ，
33、; 第 15 页（共 23 页） DB80， BCA180258075 【点评】主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；应牢固掌握全等三角形的 判定及其性质，这是灵活运用的基础和关键 19 （10 分）已知反比例函数 y的图象分别位于第二、第四象限，化简： + 【分析】由反比例函数图象的性质可得 k0，化简分式和二次根式，可求解 【解答】解：反比例函数 y的图象分别位于第二、第四象限， k0， k10， +k+4+k+4+|k 1|k+4k+15 【点评】
34、本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象的性质，平方差公式，分式和 二次根式的化简等知识，确定 k 的取值范围是本题的关键 20 （10 分）为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共 30 名老人提供居家养老服务，收集得到这 30 名老人的年龄（单位：岁）如下： 甲社 区 67 68 73 75 76 78 80 82 83 84 85 85 90 92 95 乙社 区 66 69 72 74 75 78 80 81 85 85 88 89 91 96 98 根据以上信息解答下列问题： &nb
35、sp;（1）求甲社区老人年龄的中位数和众数； （2） 现从两个社区年龄在 70 岁以下的 4 名老人中随机抽取 2 名了解居家养老服务情况， 求这 2 名老人恰好来自同一个社区的概率 【分析】 （1）根据中位数、众数的意义和计算方法分别求出结果即可； （2）用列表法表示所有可能出现的结果情况，从而求出两人来自同一社区的概率 【解答】解： （1）甲社区：这 15 位老人年龄出现次数最多的是 85 岁，因此众数是 85 岁， 从小到大排列处在中间位置的一个数是 82 岁，因此中位数是 82 岁； 第 16 页（共
36、 23 页） （2）年龄小于 79 岁甲社区 2 人，乙社区的有 2 人，从 4 人中任取 2 人，所有可能出现 的结果如下： 共有 12 种可能出现的结果，其中“同一个社区”的有 4 种， P（来自同一个社区） 【点评】本题考查中位数、众数的意义和计算方法，列表法求随机事件发生的概率，列 举出所有可能出现的结果是求出概率的关键 21 （12 分）如图，平面直角坐标系 xOy 中，OABC 的边 OC 在 x 轴上，对角线 AC，OB 交于点 M，函数 y（x0）的图象经过点 A （3，4）和点 M （1）求 k 的值
37、和点 M 的坐标； （2）求OABC 的周长 【分析】 （1）利用待定系数法求出 k，再利用平行四边形的性质，推出 AMCM，推出 点 M 的纵坐标为 2 （2）求出点 C 的坐标，求出 OA，OC 的长即可解决问题 【解答】解： （1）点 A（3，4）在 y上， k12， 四边形 ABCD 是平行四边形， AMMC， 第 17 页（共 23 页） 点 M 的纵坐标为 2， 点 M 在 y上， M（6，2） （2）AMM
38、C，A（3，4） ，M（6，2） C（9，0） ， OC9，OA5， 平行四边形 ABCD 的周长为 2（5+9）28 【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，解题 的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 22 （12 分）粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人 化是自动驾驶的终极目标 某公交集团拟在今明两年共投资 9000 万元改装 260 辆无人驾 驶出租车投放市场今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是 50 万元，预计明年每辆无人 驾驶出租车的改装费用可下降
39、50% （1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元； （2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆 【分析】 （1）根据今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是 50 万元，预计明年每辆无人驾 驶出租车的改装费用可下降 50%，列出算式即可求解； （2）根据“某公交集团拟在今明两年共投资 9000 万元改装 260 辆无人驾驶出租车投放 市场”列出方程求解即可 【解答】解： （1）50（150%）25（万元） 故明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是 25 万元； （2）设明年改装的无人驾驶出租车是 x 辆
40、，则今年改装的无人驾驶出租车是（260 x） 辆，依题意有 50（260 x）+25x9000， 解得 x160 故明年改装的无人驾驶出租车是 160 辆 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系是解题关键 23 （12 分）如图，ABD 中，ABDADB 第 18 页（共 23 页） （1）作点 A 关于 BD 的对称点 C； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，连接 BC，DC，连接 AC，交 BD 于点 O 求证：
41、四边形 ABCD 是菱形； 取 BC 的中点 E，连接 OE，若 OE，BD10，求点 E 到 AD 的距离 【分析】 （1）根据点关于直线的对称点的画法，过点 A 作 BD 的垂线段并延长一倍，得 对称点 C； （2）根据菱形的判定即可求解； 过 B 点作 BFAD 于 F，根据菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面 积公式即可求解 【解答】解： （1）如图所示：点 C 即为所求； （2）证明：ABDADB， ABAD， C 是点 A 关于 BD 的对称点， CBAB，C
42、DAD， ABBCCDAD， 四边形 ABCD 是菱形； 过 B 点作 BFAD 于 F， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD，OBBD5， E 是 BC 的中点， BC2OE13， 第 19 页（共 23 页） OC12， OA12， 四边形 ABCD 是菱形， AD13， BF1252213， 故点 E 到 AD 的距离是 【点评】此题主要考查了基本作图以及轴对称变换的作法、菱形的判定与性质，直
43、角三 角形的性质，勾股定理，三角形面积等知识，得出 BC，AC 的长是解题关键 24 （14 分）如图，O 为等边ABC 的外接圆，半径为 2，点 D 在劣弧上运动（不与 点 A，B 重合） ，连接 DA，DB，DC （1）求证：DC 是ADB 的平分线； （2）四边形 ADBC 的面积 S 是线段 DC 的长 x 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如 果不是，请说明理由； （3）若点 M，N 分别在线段 CA，CB 上运动（不含端点） ，经过探究发现，点 D 运动到 每一个确定的位置，DMN 的周长有最小值 t，随着点 D 的运动，t 的值会发
44、生变化，求 所有 t 值中的最大值 【分析】 （1）由等边三角形的性质可得ABCBACACB60，圆周角定理可得 ADCBDC60，可得结论； （2）将ADC 绕点逆时针旋转 60，得到BHC，可证DCH 是等边三角形，可得四 边形 ADBC 的面积 SSADC+SBDCSCDHCD2，即可求解； （3）作点 D 关于直线 AC 的对称点 E，作点 D 关于直线 BC 的对称点 F，由轴对称的性 质可得 EMDM，DNNF，可得DMN 的周长DM+DN+MNFN+EM+MN，则当点 E，点 M，点 N，点 F 四点共线时，DMN 的周长有最小值，即最小值为
45、 EFt，由轴 对称的性质可求 CDCECF，ECF120，由等腰三角形的性质和直角三角形的性 第 20 页（共 23 页） 质可求 EF2PEECCDt，则当 CD 为直径时，t 有最大值为 4 【解答】证明： （1）ABC 是等边三角形， ABCBACACB60， ADCABC60，BDCBAC60， ADCBDC， DC 是ADB 的平分线； （2）四边形 ADBC 的面积 S 是线段 DC 的长 x 的函数， 理由如下： 如图 1，将ADC 绕点逆时针旋转 60，
46、得到BHC， CDCH，DACHBC， 四边形 ACBD 是圆内接四边形， DAC+DBC180， DBC+HBC180， 点 D，点 B，点 H 三点共线， DCCH，CDH60， DCH 是等边三角形， 四边形 ADBC 的面积 SSADC+SBDCSCDHCD2， Sx2； （3）如图 2，作点 D 关于直线 AC 的对称点 E，作点 D 关于直线 BC 的对称点 F， 第 21 页（共 23 页） 点 D，点 E
47、关于直线 AC 对称， EMDM， 同理 DNNF， DMN 的周长DM+DN+MNFN+EM+MN， 当点 E，点 M，点 N，点 F 四点共线时，DMN 的周长有最小值， 则连接 EF，交 AC 于 M，交 BC 于 N，连接 CE，CF，DE，DF， DMN 的周长最小值为 EFt， 点 D，点 E 关于直线 AC 对称， CECD，ACEACD， 点 D，点 F 关于直线 BC 对称， CFCD，DCBFCB， CDCECF，ECFACE+ACD+DCB+
48、FCB2ACB120， CPEF，CECF，ECF120， EPPF，CEP30， PCEC，PEPCEC， EF2PEECCDt， 当 CD 有最大值时，EF 有最大值，即 t 有最大值， CD 为O 的弦， CD 为直径时，CD 有最大值 4， t 的最大值为 4 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等边三角形的性质，旋转的性质， 轴对称的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键 25 （14 分）平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 G：yax2+bx+
49、c（0a12）过点 A（1，c 第 22 页（共 23 页） 5a） ，B（x1，3） ，C（x2，3） 顶点 D 不在第一象限，线段 BC 上有一点 E，设OBE 的面积为 S1，OCE 的面积为 S2，S1S2+ （1）用含 a 的式子表示 b； （2）求点 E 的坐标： （3）若直线 DE 与抛物线 G 的另一个交点 F 的横坐标为+3，求 yax2+bx+c 在 1x 6 时的取值范围（用含 a 的式子表示） 【分析】 （1）将点 A 坐标代入解析式可求解； （2） 由三角形面积关系， 可得 BE
50、CE+1， 由对称轴为 x3， 可求 BC 中点 M 的坐标 （3， 3） ，由线段的数量关系，可求 EM，可求解； （3） 先求出点 F 坐标， 点 D 坐标可求直线 DF 解析式， 可得点 E 坐标， 可求 DE 解析式， 可得 c9a，由二次函数的性质可求解 【解答】解： （1）抛物线 G：yax2+bx+c（0a12）过点 A（1，c5a） ， c5aa+b+c， b6a； （2）如图，设 BC 的中点为 M， B（x1，3） ，C（x2，3） ，线段 BC 上有一点 E， S1BE3BE，S2CE3
51、CE， S1S2+ CE+BE， BECE+1， 第 23 页（共 23 页） b6a， 抛物线 G：yax26ax+c， 对称轴为 x3， BC 的中点 M 坐标为（3，3） ， BEBM+EM，CECMEM，BMCM，BECE+1， EM， 点 E（，3）或（，3） ； （3）直线 DE 与抛物线 G：yax26ax+c 的另一个交点 F 的横坐标为+3， ya（）26a（+3）+c9a+c， 点 F（+3，
52、9a+c） ， 点 D 是抛物线的顶点， 点 D（3，9a+c） ， 直线 DF 的解析式为：y6x18+c9a， 点 E 坐标为（，3） ， 又点 D（3，9a+c） ， 直线 DE 解析式为：y（618a2c）x+7c63a18， 直线 DE 与直线 DF 是同一直线， 6618a2c， c9a， 抛物线解析式为：yax26ax+9a， 1x6， 当 x3 时，ymin0，当 x6 时，ymax9a， 0y9a 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角 形面积公式，一次函数图象的性质，求出 c9a 是本题的关键