1、4 的平方根是（ ） A2 B2 C2 D 2 （3 分）下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）实数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的 是（ ） Aa Bb Cc D无法确定 4 （3 分）如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A B C D 5 （3 分）如果将一组数据中的每个数都减去 5，那么所得的一组新数据（ ） A众数改变，方差改变 B众数不变
2、，平均数改变 C中位数改变，方差不变 D中位数不变，平均数不变 6 （3 分）利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（ ） 第 2 页（共 31 页） A按键即可进入统计计算状态 B计算的值，按键顺序为： C计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度” “分” “秒”为单位的结果 D计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式 0.333333333 7 （3 分）如图，OA1A2为等腰直角三角形，OA11，以斜边 OA2为直角边作等腰直角三 角
3、形 OA2A3，再以 OA3为直角边作等腰直角三角形 OA3A4，按此规律作下去， 则 OAn 的长度为（ ） A （）n B （）n 1 C （）n D （）n 1 8 （3 分）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在AOB 中，射线 OC 交边 AB 于点 D， 则ADC 的度数为（ ） 第 3 页（共 31 页） A60 B70 C80 D85 9 （3 分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板” 在一次数学活动课上，小 明用边长为 4cm 的正方形纸片制作了如图所示的七巧板， 并设计了下列
4、四幅作品 “奔 跑者” ，其中阴影部分的面积为 5cm2的是（ ） A B C D 10 （3 分）如图，点 G 为ABC 的重心，连接 CG，AG 并延长分别交 AB，BC 于点 E，F， 连接 EF，若 AB4.4，AC3.4，BC3.6，则 EF 的长度为（ ） A1.7 B1.8 C2.2 D2.4 11 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 DC 上，将矩形沿 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处若 AB3，BC5，则 tanDAE 的值为（ ） 第 4 页（共 31
5、 页） A B C D 12 （3 分）如图，正比例函数 y1mx，一次函数 y2ax+b 和反比例函数 y3的图象在同 一直角坐标系中，若 y3y1y2，则自变量 x 的取值范围是（ ） Ax1 B0.5x0 或 x1 C0 x1 Dx1 或 0 x1 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 13 （3 分）5G 是第五代移动通信技术，其网络下载速度可以达到每秒 1300000KB 以上，正 常下载一部高清电影约需 1 秒将 1300000 用
6、科学记数法表示为 14（3 分） 已知正多边形的一个外角等于 40， 则这个正多边形的内角和的度数为 15 （3 分）关于 x 的一元二次方程（m1）x2+2x10 有两个不相等的实数根，则 m 的 取值范围是 16 （3 分）按如图所示的程序计算函数 y 的值，若输入的 x 值为3，则输出 y 的结果 为 17 （3 分）如图，已知点 A（2，0） ，B（0，4） ，C（2，4） ，D（6，6） ，连接 AB，CD，将 线段 AB 绕着某一点旋转一定角度，使其与线段 C
7、D 重合（点 A 与点 C 重合，点 B 与点 D 重合） ，则这个旋转中心的坐标为 第 5 页（共 31 页） 18 （3 分）二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论： ab0； a+b10； a1； 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的一个根为 1， 另一个根为 其中正确结论的序号是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 个小题，满分个小题，满分 66 分）分） 19 （6 分）先化简，再求值： （），其中 x+
8、1，y1 20 （8 分）奥体中心为满足暑期学生对运动的需求，欲开设球类课程，该中心随机抽取部 分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球” 、 “篮球” 、 “足球” 、 “排球” 、 “乒乓球” 中选择自己最喜欢的一项根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次共调查了多少名学生？ （2）将条形统计图补充完整； （3）我们把“羽毛球” “篮球” ， “足球” 、 “排球” 、 “乒乓球”分别用 A，B，C，D，E 表示小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选 择不
9、同项目的概率 第 6 页（共 31 页） 21 （9 分）新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具某药店三月份共销售 A， B 两种型号的口罩 9000 只，共获利润 5000 元，其中 A，B 两种型号口罩所获利润之比为 2：3已知每只 B 型口罩的销售利润是 A 型口罩的 1.2 倍 （1）求每只 A 型口罩和 B 型口罩的销售利润； （2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共 10000 只，其中 B 型口罩的进货量 不超过A型口罩的1.5倍， 设购进A型口罩m只， 这10000只口罩的销售总利润为W
10、元 该 药店如何进货，才能使销售总利润最大？ 22 （9 分）如图，在ABCD 中，D60，对角线 ACBC，O 经过点 A，B，与 AC 交于点 M，连接 AO 并延长与O 交于点 F，与 CB 的延长线交于点 E，ABEB （1）求证：EC 是O 的切线； （2）若 AD2，求的长（结果保留 ） 23 （9 分）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问 题，清华大学牵头研制一款“测温机器人” ，如图 1，机器人工作时，行人抬手在测温头 处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人
11、不抬臂杆并 报警，从而有效阻隔病原体 第 7 页（共 31 页） （1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据下表是抽样采集某一 地区居民的身高数据： 测量对象 男性（1860 岁） 女性（1855 岁） 抽样人数 （人） 2000 5000 20000 2000 5000 20000 平均身高 （厘米） 173 175 176 164 165 164 根据你所学的知识， 若要更准确的表示这一地区男、 女的平均身高， 男性应采用 厘 米，女性应
12、采用 厘米； （2）如图 2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利 用（1）中的数据得出测温头点 P 距地面 105 厘米指示牌挂在两臂杆 AB，AC 的连接点 A 处，A 点距地面 110 厘米臂杆落下时两端点 B，C 在同一水平线上，BC100 厘米， 点 C 在点 P 的正下方 5 厘米处若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角 （参考数据表） 计算器按键顺序 计 算 结 果 （ 近 计算器按键顺序 计 算 结 果 （ 近 第 8 页（共 31 页） 似 值） 似 值） &nbs
13、p; 0.1 78.7 0.2 84.3 1.7 5.7 3.5 11.3 24 （12 分）如图，在等边三角形 ABC 中，点 E 是边 AC 上一定点，点 D 是直线 BC 上一动 点，以 DE 为一边作等边三角形 DEF，连接 CF 【问题解决】 如图 1，若点 D 在边 BC 上，求证：CE+CFCD； 【类比探究】 如图 2，若点 D 在边 BC 的延长线上，请探究线段 CE，CF 与 CD 之间存在怎样的数量关 系？并说明理由 25 （13 分
14、）如图，抛物线 yax2+bx+2 与 x 轴交于 A，B 两点，且 OA2OB，与 y 轴交于 点 C，连接 BC，抛物线对称轴为直线 x，D 为第一象限内抛物线上一动点，过点 D 作 DEOA 于点 E，与 AC 交于点 F，设点 D 的横坐标为 m （1）求抛物线的表达式； （2）当线段 DF 的长度最大时，求 D 点的坐标； （3）抛物线上是否存在点 D，使得以点 O，D，E 为顶点的三角形与BOC 相似？若存 在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 第 9 页（共 31 页） 第
15、10 页（共 31 页） 2020 年山东省烟台市中考数学试卷年山东省烟台市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分）每小题都给出标号为分）每小题都给出标号为 A，B，C， D 四个备选答案，其中有且只有一个是正确的四个备选答案，其中有且只有一个是正确的 1 （3 分）4 的平方根是（ ） A2 B2 C2 D 【分析】根据平方根的定义，求数 4 的平方根即可 【解答】解：4 的平方
16、根是2 故选：C 【点评】本题考查了平方根的定义解题的关键是掌握平方根的定义注意一个正数有 两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根 2 （3 分）下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可 【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； &nbs
17、p;D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意 故选：A 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找 对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋 转 180 度后与原图形重合解题的关键是轴对称图形与中心对称图形的概念：如果一个 图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做 对称轴 如果一个图形绕某一点旋转 180后能够与自身重合， 那么这个图形就叫做中心 对称图形，这个点叫做对称中心 3 （3 分）实数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，
18、那么这三个数中绝对值最大的 是（ ） 第 11 页（共 31 页） Aa Bb Cc D无法确定 【分析】根据有理数大小比较方法，越靠近原点其绝对值越小，进而分析得出答案 【解答】解：有理数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示， 这三个数中，实数 a 离原点最远，所以绝对值最大的是：a 故选：A 【点评】此题主要考查了有理数大小比较，正确掌握有理数大小的比较方法是解题关键 4 （3 分）如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A B &nb
19、sp;C D 【分析】结合三视图确定各图形的位置后即可确定正确的选项 【解答】解：结合三个视图发现，这个几何体是长方体和圆锥的组合图形 故选：B 【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够正确的确定各个图 形的位置，难度不大 5 （3 分）如果将一组数据中的每个数都减去 5，那么所得的一组新数据（ ） A众数改变，方差改变 B众数不变，平均数改变 C中位数改变，方差不变 D中位数不变，平均数不变 【分析】由每个数都减去 5，那么所得的一组新数据的众数、中位数
20、、平均数都减少 5， 方差不变，据此可得答案 【解答】解：如果将一组数据中的每个数都减去 5，那么所得的一组新数据的众数、中位 第 12 页（共 31 页） 数、平均数都减少 5，方差不变， 故选：C 【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差、众数、中位数和平均数的定义 6 （3 分）利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（ ） A按键即可进入统计计算状态 B计算的值，按键顺序为： C计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度” “分” “秒”为单位的结果
21、; D计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式 0.333333333 【分析】根据计算器的按键写出计算的式子然后求值 【解答】解：A、按键即可进入统计计算状态是正确的，故选项 A 不 符合题意； B、计算的值，按键顺序为：，故选项 B 符合题意； C、计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度” “分” “秒”为单位的结果是 正确的，故选项 C 不符合题意； D、计算器显示结果为时，若按键，则结果切换为小数格式 0.333333333 是正 确的，故选项 D 不符合题意； 故选：B 第 1
22、3 页（共 31 页） 【点评】本题考查了科学计算器，熟练了解按键的含义是解题的关键 7 （3 分）如图，OA1A2为等腰直角三角形，OA11，以斜边 OA2为直角边作等腰直角三 角形 OA2A3，再以 OA3为直角边作等腰直角三角形 OA3A4，按此规律作下去， 则 OAn 的长度为（ ） A （）n B （）n 1 C （）n D （）n 1 【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出 答案 【解答】解：OA1A2为等腰直角三角形，OA11， OA2； OA
23、2A3为等腰直角三角形， OA32； OA3A4为等腰直角三角形， OA42 OA4A5为等腰直角三角形， OA54， OAn的长度为（）n 1 故选：B 【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出 斜边是解题关键 8 （3 分）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在AOB 中，射线 OC 交边 AB 于点 D， 则ADC 的度数为（ ） 第 14 页（共 31 页） A60 B70 C80
24、 D85 【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质即可得到结论 【解答】解：OAOB，AOB140， AB（180140）20， AOC60， ADCA+AOC20+6080， 故选：C 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确的识别 图形是解题的关键 9 （3 分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板” 在一次数学活动课上，小 明用边长为 4cm 的正方形纸片制作了如图所示的七巧板， 并设计了下列四幅作品 “奔 跑者” ，其中阴影部分的面积为 5cm2
25、的是（ ） A B C D 第 15 页（共 31 页） 【分析】先求出最小的等腰直角三角形的面积421cm2，可得平行四边形面 积为 2cm2， 中等的等腰直角三角形的面积为 2cm2， 最大的等腰直角三角形的面积为 4cm2， 再根据阴影部分的组成求出相应的面积即可求解 【解答】解：最小的等腰直角三角形的面积421（cm2） ，平行四边形面积为 2cm2，中等的等腰直角三角形的面积为 2cm2，最大的等腰直角三角形的面积为 4cm2，则 A、阴影部分的面积为 2+24（cm2） ，不符合题意； &nb
26、sp;B、阴影部分的面积为 1+23（cm2） ，不符合题意； C、阴影部分的面积为 4+26（cm2） ，不符合题意； D、阴影部分的面积为 4+15（cm2） ，符合题意 故选：D 【点评】本题考查图形的剪拼、七巧板，解题的关键是求出最小的等腰直角三角形的面 积，学会利用分割法求阴影部分的面积 10 （3 分）如图，点 G 为ABC 的重心，连接 CG，AG 并延长分别交 AB，BC 于点 E，F， 连接 EF，若 AB4.4，AC3.4，BC3.6，则 EF 的长度为（ ） A1.7 B1.8 C2.2 D2.4
27、 【分析】由已知条件得 EF 是三角形的中位线，进而根据三角形中位线定理求得 EF 的长 度 【解答】解：点 G 为ABC 的重心， AEBE，BFCF， EF1.7， 故选：A 【点评】本题主要考查了三角形的重心，三角形的中位线定理，关键正确利用重心定义 得 EF 为三角形的中位线 第 16 页（共 31 页） 11 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 DC 上，将矩形沿 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处若 AB3，BC5，则 tanDAE 的值为（
28、） A B C D 【分析】先根据矩形的性质得 ADBC5，ABCD3，再根据折叠的性质得 AFAD 5，EFDE，在 RtABF 中，利用勾股定理计算出 BF4，则 CFBCBF1，设 CEx，则 DEEF3x，然后在 RtECF 中根据勾股定理得到 x2+12（3x）2，解 方程即可得到 x，进一步得到 EF 的长，再根据正弦函数的定义即可求解 【解答】解：四边形 ABCD 为矩形， ADBC5，ABCD3， 矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上的 F 处， AFAD5，EFDE， &n
29、bsp;在 RtABF 中，BF4， CFBCBF541， 设 CEx，则 DEEF3x 在 RtECF 中，CE2+FC2EF2， x2+12（3x）2，解得 x， DEEF3x， tanDAE， 故选：D 【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，灵活运用这些 性质进行推理是本题的关键 12 （3 分）如图，正比例函数 y1mx，一次函数 y2ax+b 和反比例函数 y3的图象在同 一直角坐标系中，若 y3y1y2，则自变量 x 的取值范围是（ ）
30、 第 17 页（共 31 页） Ax1 B0.5x0 或 x1 C0 x1 Dx1 或 0 x1 【分析】根据图象，找出双曲线 y3落在直线 y1上方，且直线 y1落在直线 y2上方的部分 对应的自变量 x 的取值范围即可 【解答】解：由图象可知，当 x1 或 0 x1 时，双曲线 y3落在直线 y1上方，且直 线 y1落在直线 y2上方，即 y3y1y2， 所以若 y3y1y2，则自变量 x 的取值范围是 x1 或 0 x1 故选：D 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题
31、，利用数形结合是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 13 （3 分）5G 是第五代移动通信技术，其网络下载速度可以达到每秒 1300000KB 以上，正 常下载一部高清电影约需 1 秒将 1300000 用科学记数法表示为 1.3106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同 【解答】解：将数据 1300000 用科学记
32、数法可表示为：1.3106 故答案为：1.3106 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 14 （3 分）已知正多边形的一个外角等于 40，则这个正多边形的内角和的度数为 1260 【分析】 利用任意多边形的外角和均为 360， 正多边形的每个外角相等即可求出它的边 数，再根据多边形的内角和公式计算即可 【解答】解：正 n 边形的每个外角相等，且其和为 360， 第 18 页（共
33、 31 页） 40， 解得 n9 （92）1801260， 即这个正多边形的内角和为 1260 故答案为：1260 【点评】本题主要考查了正多边形外角和与内角和等知识解题的关键是明确正多边形 的每个外角相等，且其和为 360，比较简单 15 （3 分）关于 x 的一元二次方程（m1）x2+2x10 有两个不相等的实数根，则 m 的 取值范围是 m0 且 m1 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 m10 且224（m1） （1）0，然后求出两个不等式的公共部分即可 【解答
34、】解：根据题意得 m10 且224（m1）（1）0， 解得 m0 且 m1 故答案为：m0 且 m1 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的 实数根；当0 时，方程无实数根 16（3分） 按如图所示的程序计算函数y的值， 若输入的x值为3， 则输出y的结果为 18 【分析】根据31 确定出应代入 y2x2中计算出 y 的值 【解答】解：31， 把 x3 代入 y2x2，得
35、y2918， 故答案为：18 第 19 页（共 31 页） 【点评】本题主要考查函数值的计算，理解题意是前提条件，熟练掌握函数值的定义是 解题的关键 17 （3 分）如图，已知点 A（2，0） ，B（0，4） ，C（2，4） ，D（6，6） ，连接 AB，CD，将 线段 AB 绕着某一点旋转一定角度，使其与线段 CD 重合（点 A 与点 C 重合，点 B 与点 D 重合） ，则这个旋转中心的坐标为 （4，2） 【分析】画出平面直角坐标系，作出线段 AC，BD 的垂直平分线的交点 P，点 P 即为旋 转中心
36、 【解答】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是 P 点，P（4，2） 故答案为（4，2） 【点评】本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分 线的交点即为旋转中心 18 （3 分）二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论： ab0； a+b10； a1； 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的一个根为 1， 另一个根为 第 20 页（共 31 页） 其中正确结论的序号是 【分析】由抛物线的开口方向判断
37、a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点得出 c 的值， 然后根据抛物线与 x 轴交点的个数及 x1 时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得 结论进行判断 【解答】解：由二次函数的图象开口向上可得 a0，对称轴在 y 轴的右侧，b0， ab0，故错误； 由图象可知抛物线与 x 轴的交点为（1，0） ，与 y 轴的交点为（0，1） ， c1， a+b10，故正确； a+b10， a1b， b0， a10， a1，故正确； 抛物线与与 y 轴的交点为（0，1）
38、， 抛物线为 yax2+bx1， 抛物线与 x 轴的交点为（1，0） ， ax2+bx10 的一个根为 1，根据根与系数的关系，另一个根为，故正确； 故答案为 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换会利 用特殊值代入法求得特殊的式子，如：ya+b+c，然后根据图象判断其值 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 个小题，满分个小题，满分 66 分）分） 19 （6 分）先化简，再求值： （），其中 x+1，y1 第 21 页（共 31 页） &nb
39、sp; 【分析】先将括号里面的两个分式通分，进而进行分式的减法，再将除法转化为乘法， 进行约分化简，最后代入求值即可 【解答】解： （）， ， ， ， 当 x+1，y1 时， 原式2 【点评】本题考查分式的混合运算，掌握计算法则，依据运算顺序进行计算是得出正确 答案的前提 20 （8 分）奥体中心为满足暑期学生对运动的需求，欲开设球类课程，该中心随机抽取部 分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球” 、 “篮球” 、 “足球” 、 “排球” 、 “乒乓球” 中选择自己最喜欢的一项根据调查结果绘制了
40、不完整的条形统计图和扇形统计图，请 根据图中信息，解答下列问题： （1）此次共调查了多少名学生？ （2）将条形统计图补充完整； （3）我们把“羽毛球” “篮球” ， “足球” 、 “排球” 、 “乒乓球”分别用 A，B，C，D，E 表示小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选 择不同项目的概率 第 22 页（共 31 页） 【分析】 （1）用羽毛球的人数除以所占的百分比即可得出答案； （2）用总人数减去其他项目的人数求出足球的人数，从而补全统计图； （3
41、）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和他俩选择不同项目的情况数，然后 根据概率公式即可得出答案 【解答】解： （1）此次共调查的学生有：40200（名） ； （2）足球的人数有：2004060203050（人） ，补全统计图如下： （3）根据题意画树状图如下： 第 23 页（共 31 页） 共用 25 种等可能的情况数，其中他俩选择不同项目的有 20 种， 则他俩选择不同项目的概率是 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复 不遗漏的列
42、出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两 步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 21 （9 分）新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具某药店三月份共销售 A， B 两种型号的口罩 9000 只，共获利润 5000 元，其中 A，B 两种型号口罩所获利润之比为 2：3已知每只 B 型口罩的销售利润是 A 型口罩的 1.2 倍 （1）求每只 A 型口罩和 B 型口罩的销售利润； （2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共 10000 只，其中 B 型口罩的进货量 不超过A型口罩的1.5倍， 设购进A
43、型口罩m只， 这10000只口罩的销售总利润为W元 该 药店如何进货，才能使销售总利润最大？ 【分析】 （1）设销售 A 型口罩 x 只，销售 B 型口罩 y 只，根据“药店三月份共销售 A，B 两种型号的口罩 9000 只， 共获利润 5000 元， 其中 A， B 两种型号口罩所获利润之比为 2： 3”列方程组解答即可； （2） 根据题意即可得出 W 关于 m 的函数关系式； 根据题意列不等式得出 m 的取值范围， 再结合根据一次函数的性质解答即可 【解答】解：设销售 A 型口罩 x 只，销售 B 型口罩 y 只，根据题意得： ，解得， &n
44、bsp;经检验，x4000，y5000 是原方程组的解， 每只 A 型口罩的销售利润为：（元） ，每只 B 型口罩的销售利润为：0.5 1.20.6（元） 答：每只 A 型口罩和 B 型口罩的销售利润分别为 0.5 元，0.6 元 （2）根据题意得，W0.5m+0.6（10000m）0.1m+6000， 10000m1.5m，解得 m4000， 0.10， W 随 m 的增大而减小， 第 24 页（共 31 页） m 为正整数， 当 m4000 时，W 取最大值，则0
45、.14000+60005600， 即药店购进 A 型口罩 4000 只、B 型口罩 6000 只，才能使销售总利润最大，最大利润为 5600 元 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用， 解题的关键是根据一次函数 x 值的增大而确定 y 值的增减情况 22 （9 分）如图，在ABCD 中，D60，对角线 ACBC，O 经过点 A，B，与 AC 交于点 M，连接 AO 并延长与O 交于点 F，与 CB 的延长线交于点 E，ABEB （1）求证：EC 是O 的切线； （2）若 AD2，求的长（结果保留
46、） 【分析】 （1）证明：连接 OB，根据平行四边形的性质得到ABCD60，求得 BAC30，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到ABOOAB30， 于是得到结论； （2） 根据平行四边形的性质得到 BCAD2， 过 O 作 OHAM 于 H， 则四边形 OBCH 是矩形，解直角三角形即可得到结论 【解答】 （1）证明：连接 OB， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD60， ACBC， ACB90， BAC30， BEAB， EBAE， &nbs
47、p;ABCE+BAE60， EBAE30， 第 25 页（共 31 页） OAOB， ABOOAB30， OBC30+6090， OBCE， EC 是O 的切线； （2）四边形 ABCD 是平行四边形， BCAD2， 过 O 作 OHAM 于 H， 则四边形 OBCH 是矩形， OHBC2， OA4，AOM2AOH60， 的长度 【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，弧长
48、的计算， 正确的作出辅助线是解题的关键 23 （9 分）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问 题，清华大学牵头研制一款“测温机器人” ，如图 1，机器人工作时，行人抬手在测温头 处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并 报警，从而有效阻隔病原体 第 26 页（共 31 页） （1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据下表是抽样采集某一 地区居民的身高数据： 测量对象 男性（1860 岁） 女性（1855 岁） 抽样人数 （人
49、） 2000 5000 20000 2000 5000 20000 平均身高 （厘米） 173 175 176 164 165 164 根据你所学的知识， 若要更准确的表示这一地区男、 女的平均身高， 男性应采用 176 厘 米，女性应采用 164 厘米； （2）如图 2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利 用（1）中的数据得出测温头点 P 距地面 105 厘米指示牌挂在两臂杆 AB，AC 的连接点 A 处，A 点距地面 110 厘米臂杆落下时两端点 B，C 在同一水平线上，BC100 厘米， 点 C 在
50、点 P 的正下方 5 厘米处若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角 （参考数据表） 计算器按键顺序 计 算 结 果 （ 近 计算器按键顺序 计 算 结 果 （ 近 第 27 页（共 31 页） 似 值） 似 值） 0.1 78.7 0.2 84.3 1.7 5.7 3.5 11.3 【分析】 （1）根据样本平均数即可解决问题 （2）利用等腰三角形的性质求出BAC 即可 【解答】解： （1）用表格可知，男性应采用 176 厘
51、米，女性应采用 164 厘米 故答案为 176，164 （2）如图 2 中，ABAC，AFBC， BFFC50cm，FACFAB， 由题意 FC10cm， tanFAC5， FAC78.7， BAC2FAC157.4， 答：两臂杆的夹角为 157.4 【点评】本题考查解直角三角形的应用，样本平均数等知识，解题的关键是熟练掌握基 本知识，属于中考常考题型 24 （12 分）如图，在等边三角形 ABC 中，点 E 是边 AC 上一定点，点 D 是直线 BC 上一动 点，以 DE
52、 为一边作等边三角形 DEF，连接 CF 【问题解决】 如图 1，若点 D 在边 BC 上，求证：CE+CFCD； 【类比探究】 如图 2，若点 D 在边 BC 的延长线上，请探究线段 CE，CF 与 CD 之间存在怎样的数量关 系？并说明理由 第 28 页（共 31 页） 【分析】 【问题解决】在 CD 上截取 CHCE，易证CEH 是等边三角形，得出 EHEC CH，证明DEHFEC（SAS） ，得出 DHCF，即可得出结论； 【类比探究】过 D 作 DGAB，交 AC 的延长线
53、于点 G，由平行线的性质易证GDC DGC60，得出GCD 为等边三角形，则 DGCDCG，证明EGDFCD （SAS） ，得出 EGFC，即可得出 FCCD+CE 【解答】 【问题解决】证明：在 CD 上截取 CHCE，如图 1 所示： ABC 是等边三角形， ECH60， CEH 是等边三角形， EHECCH，CEH60， DEF 是等边三角形， DEFE，DEF60， DEH+HEFFEC+HEF60， DEHFEC， 在DEH 和FEC 中， ， &nbs
54、p;DEHFEC（SAS） ， DHCF， CDCH+DHCE+CF， CE+CFCD； 【类比探究】解：线段 CE，CF 与 CD 之间的等量关系是 FCCD+CE；理由如下： ABC 是等边三角形， AB60， 过 D 作 DGAB，交 AC 的延长线于点 G，如图 2 所示： 第 29 页（共 31 页） GDAB， GDCB60，DGCA60， GDCDGC60， GCD 为等边三角形， DGCDCG，GDC60，
55、 EDF 为等边三角形， EDDF，EDFGDC60， EDGFDC， 在EGD 和FCD 中， ， EGDFCD（SAS） ， EGFC， FCEGCG+CECD+CE 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性 质等知识；作辅助线构建等边三角形是解题的关键 25 （13 分）如图，抛物线 yax2+bx+2 与 x 轴交于 A，B 两点，且 OA2OB，与 y 轴交于 点 C，连接 BC，抛物线对称轴为直线 x，D 为第一象
56、限内抛物线上一动点，过点 D 作 DEOA 于点 E，与 AC 交于点 F，设点 D 的横坐标为 m （1）求抛物线的表达式； 第 30 页（共 31 页） （2）当线段 DF 的长度最大时，求 D 点的坐标； （3）抛物线上是否存在点 D，使得以点 O，D，E 为顶点的三角形与BOC 相似？若存 在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）点 A、B 的坐标分别为（2t，0） 、 （t，0） ，则 x（2tt） ，即可求 解； （2）点 D（m，m2+m+2） ，则点 F（m，m+2） ，
57、则 DFm2+m+2（m+2） m2+2m，即可求解； （3）以点 O，D，E 为顶点的三角形与BOC 相似，则，即2 或， 即可求解 【解答】解： （1）设 OBt，则 OA2t，则点 A、B 的坐标分别为（2t，0） 、 （t，0） ， 则 x（2tt） ，解得：t1， 故点 A、B 的坐标分别为（2，0） 、 （1，0） ， 则抛物线的表达式为：ya（x2） （x+1）ax2+bx+2， 解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx2+x+2； （2）对于 yx2+x+2，令 x0，则 y2，故点 C（0，2） ， 由点 A、C 的坐标得，直线 AC 的表达式为：yx+2， 设点 D 的横坐标为 m，则点 D（m，m2+m+2） ，则点 F（m，m+2） ， 则 DFm2+m+2（m+2）m2+2m， 10，故 DF 有最大值，DF 最大时 m1， 点 D（1，2） ； 第 31 页（共 31 页） （3）存在，理由： 点 D（m，m2+m+2）