1、第二十六届“ 希望杯” 全国数学邀请赛 初三第2试试题 一、 选择题( 每小题4分, 共4 0分.以下每个题目的选择支中, 仅有一个是正确的.) 图1 1.已知二次函数y=a x 2+b x+c的图象如图1, 则下列不等式中, 一定成立 的是() (A)a b0.( B)a c0. ( D)a b c0. 2.在R t A B C中,A、B、C所对边的长分别是a,b,c, 若B= 9 0 , 则 关于x的方程b( x 2 +1)+2a x+c( 1-x 2) =0() (A)有两个相等的实数根.( B)有两个不相等的实数根. ( C)没有实数根. ( D)根的情况不确定. 3.已知正实数a,b
2、,c满足 c a+b a b+c b c+a, 则下列不等式中一定成立的是( ) (A)abc.( B)bca. ( C)cab. ( D)acb. 4. G i v e na ne q u a t i o n2x 2+3 x+5m= 0. I f o n e r o o t o f t h e e q u a t i o n i s l a r g e r t h a n1,t h e n t h e v a l u er a n g eo fmi s( ) 图2 (A)m-1.( B)|m|1. ( C)0m1. ( D)m-1. ( 英汉小词典: r o o t方程的根) 5.若x,y都
3、是正实数, 并且x+y=2 0 1 5, 则y x +x y 的最小值是() (A)2 0 1 5.( B) 2 0 1 5 2 . ( C)2. ( D)1. 6.用k个相同的长方形按图2的方式拼成一个正方形, 则k的值为( ) (A)1 0.( B)1 2. ( C)1 8. ( D)2 4. 图3 7.化简1+ 2- 2 + 2- 3 3+ 2+ 2 + 2+ 3 , 可得() (A)3- 2.( B) 2+1 2 . ( C)2- 2. ( D)2-1. 8.如图3, 正方形A B C D的边长为1 0+52, 点E在边C B上,E FD E, 与 A C的延长线交于点F, 若C E=
4、C F, 则C E的值为( ) (A)5.( B)5 2. ( C)1 0. ( D)1 0 2. 图4 9.如图4, 已知B=4 5 ,C=3 0 , 甲、 乙两人分别从B,C出发, 向A处 行走, 甲的速度为1 8米/分, 若两人同时到达A处, 则乙的速度是() (A)9 6米/分.( B)1 8 2米/分. ( C)1 8 3米/分. ( D)9(2+ 3)米/分. 图5 1 0.如图5,A B、A C分别和圆O切于点B、C, 直线A O交B C于点M, 若OM =1 3 B C,1 A B2 + 1 B O2 =1 4, 则 BO C的面积是( ) (A)2.( B)5 2. ( C)
5、8 3. ( D)3. 二、 填空题( 每小题4分, 共4 0分.) 1 1.化简:2-4 3-2 2 =. 1 2.若x0,y0, 且x-6y=- x y, 则 x y =. 1 3. S u p p o s en o n - z e r or e a l n u mb e raa n dbs a t i s f ya b=a-b,t h e nb a +a b -a b=. ( 英汉小词典: s a t i s f y满足) 1 4.若 关 于x的 不 等 式 组 x 2 -x-2 0,b、c是 实 数,若 二 次 函 数f(x)=a 2 x 2 +b x+c满 足|f(0) | = |f
6、(1)| = |f(2)| =1, 则 b-2c a =. 1 6.如图6, 已知点B、C在圆上, 点A在O内,A=B=6 0 ,A B=8 c m,B C=1 2 c m, 则 O的半径长为. 图6图7图8 1 7.满足不等式2 3 2 8-x 3的最大质数x= . 1 8.已知x 2 =x+1,y 2 =y+1, 且xy, 则x 3 +y 3 =. 1 9.如图7, 在A B C中,C=9 0 ,B=3 0 ,A B=1 0, 半径为1的圆在三角形内随意移动, 则三角形内始终不能被圆覆盖部分的面积是 . ( 圆周率取3) 2 0.如 图8,已 知 正 方 形A B C D,A B=1 2,
7、A E D=6 0 ,E DF G,E FF G,则 A E+B F+C G AD =. 三、 解答题每题都要写出推算过程. 图9 2 1. ( 本题满分1 0分) 已知a1, a2, ,an是n个整数, 且1=a1a2an=2 0 1 6, 若a1,a2, , an中任意n-1个数的平均数仍是整数, 求n的最大值. 2 2. ( 本题满分1 5分) 如图9, 圆心在O、O , 半径都是1 2的两个等圆交于A、B两点, 若弧A C B比弧 AD B长4, 求O O 的长. 2 3. ( 本题满分1 5分) 图1 0 如图1 0, 在R t A B C中,C= 9 0 ,B= 3 0 ,A C=
8、 3 m, 点P和点Q同时从 点A出发,P沿折线A - C - B - A以1 m/s的速度运动,Q沿折线A - B - C - A以2 m/s的 速度运动( 当其中一点回到A点时, 另一点也随之停止运动).求: ( 1)当P C和P Q第一次相等时点P运动的时间; ( 2)当A P Q的面积等于A B C面积的一半时点P运动的时间. 初三第 2 试答案 题号1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010 答案DACACCDBBC 题号11111212131314141515 答案 22 92201523或5 题号16161717181819192020 答案4 3397423 10 36 9 21.21. n 的最大值是 32. 2222. .6( 62)OO . 2323. .（1）PC 和 PQ 第一次相等时，点 P 运动的时间是 3 33 2 秒. （2）当APQ 的面积等于ABC 面积的一半时点 P 运动的时间是 3 2 2 秒， 3 3 2 秒或 3 3 3 2 秒.