1、李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德， 随机调查了本校 10 名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时） ： 4，3，4，6，5，5，6，5，4，5则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A4，5 B5，4 C5，5 D5，6 4（4 分） 如图， 在四边形 ABCD 中， CDAB， ACBC， 若B50， 则DCA 等于 （ ） A30 B35 C40 D45 5 （4 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a3a5 Ba2a3a5 Ca3a2a5 D （a2）3a5
2、 6 （4 分）已知 sinA0.9816，运用科学计算器求锐角 A 时（在开机状态下） ，按下的第一 个键是（ ） A B C D 7 （4 分）如图，若ABCADE，则下列结论中一定成立的是（ ） 第 2 页（共 26 页） AACDE BBADCAE CABAE DABCAED 8 （4 分）化简+的结果是（ ） Aa+b Bab C D 9 （4 分）如图，在直角坐标系中，以坐标原点 O（0，0） ，A（0，4） ，B（3，0）为顶点的 RtAOB，其两个锐角对应的
3、外角角平分线相交于点 P，且点 P 恰好在反比例函数 y 的图象上，则 k 的值为（ ） A36 B48 C49 D64 10 （4 分）如图，放置在直线 l 上的扇形 OAB由图滚动（无滑动）到图，再由图 滚动到图若半径 OA2，AOB45，则点 O 所经过的最短路径的长是（ ） A2+2 B3 C D+2 11 （4 分）如图 1，点 P 从ABC 的顶点 B 出发，沿 BCA 匀速运动到点 A，图 2 是点 P 运动时，线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象，其中 M 是曲线部分的最低点， 则ABC 的面积是（
4、） 第 3 页（共 26 页） A12 B24 C36 D48 12 （4 分）如图，在ABC 中，AD，BE 分别是 BC，AC 边上的中线，且 ADBE，垂足 为点 F，设 BCa，ACb，ABc，则下列关系式中成立的是（ ） Aa2+b25c2 Ba2+b24c2 Ca2+b23c2 Da2+b22c2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分请直接填写最后结果分请直接填写最后结果 13 （4 分）计算：+ &n
5、bsp; 14（4分） 如图， 将ABC沿BC方向平移至DEF处 若EC2BE2， 则CF的长为 15 （4 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2x+2m0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的 取值范围是 16 （4 分）如图，矩形纸片 ABCD，AB6cm，BC8cm，E 为边 CD 上一点将BCE 沿 BE 所在的直线折叠， 点 C 恰好落在 AD 边上的点 F 处， 过点 F 作 FMBE， 垂足为点 M， 取 AF 的中点 N，连接 MN，则 MN cm 第 4 页（共
6、26 页） 17 （4 分）某快递公司在甲地和乙地之间共设有 29 个服务驿站（包括甲站、乙站） ，一辆 快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该 站的货包各 1 个，又要装上该站发往后面各站的货包各 1 个在整个行程中，快递货车 装载的货包数量最多是 个 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 个小题，共个小题，共 52 分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤步骤 18 （5 分）解方程组： 19 （5 分）已知：如图，E 是ABCD
7、的边 BC 延长线上的一点，且 CEBC 求证：ABCDCE 20 （8 分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题： “A5G 通讯； B民法典； C北斗导航；D数字经济； E小康社会” ，对某小区居民进行了随机抽样调查，每 人只能从中选择一个本人最关注的话题， 根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有 人； （2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整； （3）最关注话题扇形统计图中的 a
8、; ，话题 D 所在扇形的圆心角是 度； （4）假设这个小区居民共有 10000 人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典” 的人数大约有多少？ 第 5 页（共 26 页） 21 （8 分）如图，在直角坐标系中，直线 y1ax+b 与双曲线 y2（k0）分别相交于第 二、四象限内的 A（m，4） ，B（6，n）两点，与 x 轴相交于 C 点已知 OC3，tan ACO （1）求 y1，y2对应的函数表达式； （2）求AOB 的面积； （3）直接写出当 x0 时，不等式 ax+b的解集 &n
9、bsp; 22 （8 分）如图，著名旅游景区 B 位于大山深处，原来到此旅游需要绕行 C 地，沿折线 A CB 方可到达当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从 A 地到景区 B 的笔直公路 请结合A45， B30， BC100 千米，1.4， 1.7 等数据信息，解答下列问题： （1）公路修建后，从 A 地到景区 B 旅游可以少走多少千米？ （2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每 天的工效比原计划增加 25%，结果提前 50 天完成了施工任务求施工队原计划每天修建 多少千米？ 23 （9 分）如
10、图，ABC 内接于O，AD 平分BAC 交 BC 边于点 E，交O 于点 D，过 点 A 作 AFBC 于点 F，设O 的半径为 R，AFh （1）过点 D 作直线 MNBC，求证：MN 是O 的切线； （2）求证：ABAC2Rh； 第 6 页（共 26 页） （3）设BAC2，求的值（用含 的代数式表示） 24 （9 分）如图，在直角坐标系中，四边形 OABC 是平行四边形，经过 A（2，0） ，B，C 三点的抛物线 yax2+bx+（a0）与 x 轴的另一个交点为 D，其顶点为 M，对称轴
11、与 x 轴交于点 E （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2） 已知 R 是抛物线上的点， 使得ADR 的面积是OABC 的面积的， 求点 R 的坐标； （3）已知 P 是抛物线对称轴上的点，满足在直线 MD 上存在唯一的点 Q，使得PQE 45，求点 P 的坐标 第 7 页（共 26 页） 2020 年山东省淄博市中考数学试卷年山东省淄博市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，
12、共分，共 48 分在每小题所给出的四个选项中，分在每小题所给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 （4 分）若实数 a 的相反数是2，则 a 等于（ ） A2 B2 C D0 【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可求出 a 的值 【解答】解：2 的相反数是2， a2 故选：A 【点评】本题考查了实数的性质、相反数，解决本题的关键是掌握相反数的概念 2 （4 分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D &
13、nbsp;【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项符合题意 故选：D 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分 折叠后可重合 3 （4 分）李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德， 第 8 页（共 26 页） 随机调查了本校 10 名学生在上周参
14、加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时） ： 4，3，4，6，5，5，6，5，4，5则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A4，5 B5，4 C5，5 D5，6 【分析】根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可 【解答】解：这组数据 4，3，4，6，5，5，6，5，4，5 中，出现次数最多的是 5，因此 众数是 5， 将这组数据从小到大排列后，处在第 5、6 位的两个数都是 5，因此中位数是 5 故选：C 【点评】本题考查中位数、众数的意义和计算方法，理解中位数、众数的意义是正确解 答的前提，掌握计算方法是解决问
15、题的关键 4（4 分） 如图， 在四边形 ABCD 中， CDAB， ACBC， 若B50， 则DCA 等于 （ ） A30 B35 C40 D45 【分析】由 ACBC 可得ACB90，又B50，根据直角三角形两个锐角互余可 得CAB40，再根据平行线的性质可得DCACAB40 【解答】解：ACBC， ACB90， 又B50， CAB90B40， CDAB， DCACAB40 故选：C 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，根据题
16、意得出CAB 的 度数是解答本题的关键 5 （4 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a3a5 Ba2a3a5 Ca3a2a5 D （a2）3a5 【分析】A根据合并同类项的定义即可判断； B根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断； 第 9 页（共 26 页） C根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断； D根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断 【解答】解：Aa2+a3a5，所以 A 选项错误； Ba2a3a5，所以 B 选项正确； Ca3a
17、2a，所以 C 选项错误； D （a2）3a6，所以 D 选项错误； 故选：B 【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，解决 本题的关键是综合掌握以上知识 6 （4 分）已知 sinA0.9816，运用科学计算器求锐角 A 时（在开机状态下） ，按下的第一 个键是（ ） A B C D 【分析】根据计算器求锐角的方法即可得结论 【解答】解：已知 sinA0.9816，运用科学计算器求锐角 A 时（在开机状态下）的按 键顺序是：2ndF，sin，0， 按下的第一个键是
18、2ndF 故选：D 【点评】本题考查了计算器三角函数，解决本题的关键是熟练利用计算器 7 （4 分）如图，若ABCADE，则下列结论中一定成立的是（ ） AACDE BBADCAE CABAE DABCAED 【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论 【解答】解：ABCADE， ACAE，ABAD，ABCADE，BACDAE， BACDACDAEDAC， 即BADCAE故 A，C，D 选项错误，B 选项正确， 故选：B 第 10 页（共 26 页）
19、 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键 8 （4 分）化简+的结果是（ ） Aa+b Bab C D 【分析】根据同分母分式相加减的运算法则计算即可同分母分式相加减，分母不变， 分子相加减 【解答】解：原式 ab 故选：B 【点评】本题主要考查了分式的加减，熟记运算法则是解答本题的关键 9 （4 分）如图，在直角坐标系中，以坐标原点 O（0，0） ，A（0，4） ，B（3，0）为顶点的 RtAOB，其两个锐角对应的外角角平
20、分线相交于点 P，且点 P 恰好在反比例函数 y 的图象上，则 k 的值为（ ） A36 B48 C49 D64 【分析】过 P 分别作 AB、x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 C、D、E，如图，利用勾股定 理计算出 AB5，根据角平分线的性质得 PEPCPD，设 P（t，t） ，利用面积的和差 得到t（t4）+5t+t（t3）+34tt，求出 t 得到 P 点坐标， 然后把 P 点坐标代入 y中求出 k 的值 【解答】解：过 P 分别作 AB、x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 C、D、E，如图， A（0，4） ，B（3，0） ，
21、 第 11 页（共 26 页） OA4，OB3， AB5， OAB 的两个锐角对应的外角角平分线相交于点 P， PEPC，PDPC， PEPCPD， 设 P（t，t） ，则 PCt， SPAE+SPAB+SPBD+SOABS矩形PEOD， t（t4）+5t+t（t3）+34tt， 解得 t6， P（6，6） ， 把 P（6，6）代入 y得 k6636 故选：A 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点
22、的坐标满足其 解析式也考查了角平分线的性质和三角形面积公式 10 （4 分）如图，放置在直线 l 上的扇形 OAB由图滚动（无滑动）到图，再由图 滚动到图若半径 OA2，AOB45，则点 O 所经过的最短路径的长是（ ） A2+2 B3 C D+2 【分析】利用弧长公式计算即可 第 12 页（共 26 页） 【解答】解：如图， 点 O 的运动路径的长的长+O1O2+的长 + ， 故选：C 【点评】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题
23、意，灵活运用所学知识 解决问题，属于中考常考题型 11 （4 分）如图 1，点 P 从ABC 的顶点 B 出发，沿 BCA 匀速运动到点 A，图 2 是点 P 运动时，线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象，其中 M 是曲线部分的最低点， 则ABC 的面积是（ ） A12 B24 C36 D48 【分析】由图 2 知，ABBC10，当 BPAC 时，y 的值最小，即ABC 中，BC 边上 的高为 8（即此时 BP8） ，即可求解 【解答】解：由图 2 知，ABBC10， 当 BPAC 时，y 的值最小，即ABC 中，BC
24、 边上的高为 8（即此时 BP8） ， 当 y8 时，PC6， ABC 的面积ACBP81248， 故选：D 【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积 第 13 页（共 26 页） 等知识点解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义， 理解动点的完整运动过程 12 （4 分）如图，在ABC 中，AD，BE 分别是 BC，AC 边上的中线，且 ADBE，垂足 为点 F，设 BCa，ACb，ABc，则下列关系式中成立的是（ ） Aa2+b
25、25c2 Ba2+b24c2 Ca2+b23c2 Da2+b22c2 【分析】设 EFx，DFy，根据三角形重心的性质得 AF2y，BF2EF2x，利用勾 股定理得到 4x2+4y2c2，4x2+y2b2，x2+4y2a2，然后利用加减消元法消去 x、y 得到 a、b、c 的关系 【解答】解：设 EFx，DFy， AD，BE 分别是 BC，AC 边上的中线， 点 F 为ABC 的重心，AEACb，BDa， AF2DF2y，BF2EF2x， ADBE， AFBAFEBFD90， 在 RtAFB 中，4
26、x2+4y2c2， 在 RtAEF 中，4x2+y2b2， 在 RtBFD 中，x2+4y2a2， +得 5x2+5y2（a2+b2） ， 4x2+4y2（a2+b2） ， 得 c2（a2+b2）0， 即 a2+b25c2 故选：A 【点评】 本题考查了三角形的重心： 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2： 第 14 页（共 26 页） 1 也考查了勾股定理 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，
27、共 20 分请直接填写最后结果分请直接填写最后结果 13 （4 分）计算：+ 2 【分析】分别根据立方根的定义与算术平方根的定义解答即可 【解答】解：+2+42 故答案为：2 【点评】本题主要考查了立方根与算术平方根，熟记立方根与二次根式的性质是解答本 题的关键 14（4 分） 如图， 将ABC 沿 BC 方向平移至DEF 处 若 EC2BE2， 则 CF 的长为 1 【分析】利用平移的性质得到 BECF，然后利用 EC2BE2 得到 BE 的长，从而得到 CF 的长 【解答】解：
28、ABC 沿 BC 方向平移至DEF 处 BECF， EC2BE2， BE1， CF1 故答案为 1 【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新 的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中 的某一点移动后得到的，这两个点是对应点连接各组对应点的线段平行（或共线）且 相等 15 （4 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2x+2m0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的 取值范围是 m 【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式b
29、24ac0，建立关于 m 的不 等式，求出 m 的取值范围 第 15 页（共 26 页） 【解答】解：方程有两个不相等的实数根，a1，b1，c2m b24ac（1）2412m0， 解得 m， 故答案为 m 【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 16 （4 分）如图，矩形纸片 ABCD，AB6cm，BC8cm，E 为边 CD 上一点将BCE 沿 BE
30、所在的直线折叠， 点 C 恰好落在 AD 边上的点 F 处， 过点 F 作 FMBE， 垂足为点 M， 取 AF 的中点 N，连接 MN，则 MN 5 cm 【分析】连接 AC，FC，求出 AC，利用三角形的中位线定理解决问题即可 【解答】解：连接 AC，FC 由翻折的性质可知，BE 垂直平分线段 CF， FMBE， FM，C 共线，FMMC， ANFN， MNAC， 四边形 ABCD 是矩形， ABC90， 第 16 页（共 26 页） AC
31、10（cm） ， MNAC5（cm） ， 故答案为 5 【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型 17 （4 分）某快递公司在甲地和乙地之间共设有 29 个服务驿站（包括甲站、乙站） ，一辆 快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该 站的货包各 1 个，又要装上该站发往后面各站的货包各 1 个在整个行程中，快递货车 装载的货包数量最多是 210 个 【分析】根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规
32、律，写出货包数量的函数解 析式，再根据二次函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站 【解答】解：当一辆快递货车停靠在第 x 个服务驿站时， 快递货车上需要卸下已经通过的（x1）个服务驿站发给该站的货包共（x1）个， 还要装上下面行程中要停靠的（nx）个服务驿站的货包共（nx）个 根据题意，完成下表： 服务驿站序号 在第 x 服务驿站启程时快递货车货包总数 1 n1 2 （n1）1+（n2）2（n2） 3 2（n2）2+（n3）3（n3） 4 3（n3）3+（n4）4（n4） &n
33、bsp;5 4（n4）4+（n5）5（n5） n 0 由上表可得 yx（nx） 当 n29 时，yx（29x）x2+29x（x14.5）2+210.25， 当 x14 或 15 时，y 取得最大值 210 答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是 210 个 故答案为：210 第 17 页（共 26 页） 【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，二次函数的性质在实际生活中的应用，二 次函数的最值在 x时取得 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共
34、 7 个小题，共个小题，共 52 分解答要写出必要的文字说分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算明、证明过程或演算 步骤步骤 18 （5 分）解方程组： 【分析】利用加减消元法解答即可 【解答】解：， +，得：5x10， 解得 x2， 把 x2 代入，得：6+y8， 解得 y4， 所以原方程组的解为 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元 法与加减消元法 19 （5 分）已知：如图，E 是ABCD 的边 BC 延长线上的一点，且 CE
35、BC 求证：ABCDCE 【分析】 由平行四边形的性质得出 ABCD， ABCD， 由平行线的性质得出BDCE， 由 SAS 即可得出结论 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， BDCE， 第 18 页（共 26 页） 在ABC 和DCE 中， ABCDCE（SAS） 【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平 行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键 20 （8 分）某校数学实践小
36、组就近期人们比较关注的五个话题： “A5G 通讯； B民法典； C北斗导航；D数字经济； E小康社会” ，对某小区居民进行了随机抽样调查，每 人只能从中选择一个本人最关注的话题， 根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有 200 人； （2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整； （3）最关注话题扇形统计图中的 a 25 ，话题 D 所在扇形的圆心角是 36 度； （4）假设这个小区居民共有 10000 人，请估计该小区居民中最关注的话
37、题是“民法典” 的人数大约有多少？ 【分析】 （1）根据选择 B 的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的居民人数； （2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择 A 和 C 的人数，从而可以 将条形统计图补充完整； （3）根据统计图中的数据，可以得到 a 和话题 D 所在扇形的圆心角的度数； （4） 根据题意和统计图中的数据， 可以计算出计该小区居民中最关注的话题是 “民法典” 的人数大约有多少 【解答】解： （1）调查的居民共有：6030%200（人） ， 故答案为：200； （2）选择 C 的
38、居民有：20015%30（人） ， 选择 A 的有：2006030204050（人） ， 第 19 页（共 26 页） 补全的条形统计图如右图所示； （3）a%50200100%25%， 话题 D 所在扇形的圆心角是：36036， 故答案为：25，36； （4）1000030%3000（人） ， 答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有 3000 人 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确 题意，利用数形结合的思想解答
39、 21 （8 分）如图，在直角坐标系中，直线 y1ax+b 与双曲线 y2（k0）分别相交于第 二、四象限内的 A（m，4） ，B（6，n）两点，与 x 轴相交于 C 点已知 OC3，tan ACO （1）求 y1，y2对应的函数表达式； （2）求AOB 的面积； （3）直接写出当 x0 时，不等式 ax+b的解集 【分析】 （1）根据 OC3，tanACO，可求直线与 y 轴的交点坐标，进而求出点 A、 B 的坐标，确定两个函数的关系式； 第 20 页（共 26 页） （2）由 SAOBSAO
40、C+SBOC，进行计算即可； （3）由函数的图象直接可以得出，当 x0 时，不等式 ax+b的解集 【解答】解： （1）设直线 y1ax+b 与 y 轴交于点 D， 在 RtOCD 中，OC3，tanACO OD2， 即点 D（0，2） ， 把点 D（0，2） ，C（3，0）代入直线 y1ax+b 得，b2，3a+b0，解得，a， 直线的关系式为 y1x+2； 把 A（m，4） ，B（6，n）代入 y1x+2 得， m3，n2， A（3，4） ，B（6，2） ，
41、k3412， 反比例函数的关系式为 y2， 因此 y1x+2，y2； （2）由 SAOBSAOC+SBOC， 34+32， 9 （3）由图象可知，当 x0 时，不等式 ax+b的解集为 x3 【点评】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法， 线段与坐标的相互转化是解决问题的关键 22 （8 分）如图，著名旅游景区 B 位于大山深处，原来到此旅游需要绕行 C 地，沿折线 A 第 21 页（共 26 页） CB 方可到达当地政府为了增强景区的吸
42、引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从 A 地到景区 B 的笔直公路 请结合A45， B30， BC100 千米，1.4， 1.7 等数据信息，解答下列问题： （1）公路修建后，从 A 地到景区 B 旅游可以少走多少千米？ （2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每 天的工效比原计划增加 25%，结果提前 50 天完成了施工任务求施工队原计划每天修建 多少千米？ 【分析】 （1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D，在直角BCD 中，解直角三角形求出 CD 的长度和 BD 的长度， 在直角ACD 中， 解直角三角形
43、求出 AD 的长度和 AC 的长度， 再求出 AB 的长度，进而求出从 A 地到景区 B 旅游可以少走多少千米； （2）本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间实际的工作时间50，然后列出 方程可求出结果，最后检验并作答 【解答】解： （1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D， 在直角BCD 中，ABCD，sin30，BC1000 千米， CDBCsin3010050（千米） ， BDBCcos3010050（千米） ， 在直角ACD 中，ADCD50（千米） ， AC50（千米） ，
44、AB50+50（千米） ， 从 A 地到景区 B 旅游可以少走： AC+BCAB50+100 （50+50） 50+50 5035（千米） 答：从 A 地到景区 B 旅游可以少走 35 千米； （2）设施工队原计划每天修建 x 千米，依题意有， 50， 第 22 页（共 26 页） 解得 x0.54， 经检验 x0.54 是原分式方程的解 答：施工队原计划每天修建 0.54 千米 【点评】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形的知识，求三角形的边或高的问 题一般可以
45、转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线同时考查了分式方程 的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即根据题意找出等 量关系，列出方程，解出分式方程，检验，作答注意：分式方程的解必须 检验 23 （9 分）如图，ABC 内接于O，AD 平分BAC 交 BC 边于点 E，交O 于点 D，过 点 A 作 AFBC 于点 F，设O 的半径为 R，AFh （1）过点 D 作直线 MNBC，求证：MN 是O 的切线； （2）求证：ABAC2Rh； （3）设BAC2，求的值（用含 的代数式表示）
46、【分析】 （1）连接 OD，由角平分线的性质可得BADCAD，可得，由垂径 定理可得 ODBC，可证 ODMN，可得结论； （2）连接 AO 并延长交O 于 H，通过证明ACFAHB，可得，可得结论； （3）由“HL”可证 RtDQBRtDPC，RtDQARtDPA，可得 BQCP，AQ AP，可得 AB+AC2AQ，由锐角三角函数可得 AD，即可求解 【解答】解： （1）如图 1，连接 OD， 第 23 页（共 26 页） AD 平分BAC， BADCAD， ， 又OD
47、 是半径， ODBC， MNBC， ODMN， MN 是O 的切线； （2）如图 2，连接 AO 并延长交O 于 H， AH 是直径， ABH90AFC， 又AHBACF， ACFAHB， ， ABACAFAH2Rh； （3）如图 3，过点 D 作 DQAB 于 Q，DPAC，交 AC 延长线于 P，连接 CD， 第 24 页（共 26 页） BAC2，AD 平分BAC， BADCAD，
48、 ， BDCD， BADCAD，DQAB，DPAC， DQDP， RtDQBRtDPC（HL） ， BQCP， DQDP，ADAD， RtDQARtDPA（HL） ， AQAP， AB+ACAQ+BQ+AC2AQ， cosBAD， AD， 2cos 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，角平分线的性质，全等三角形的判 定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是 本题的关键 2
49、4 （9 分）如图，在直角坐标系中，四边形 OABC 是平行四边形，经过 A（2，0） ，B，C 三点的抛物线 yax2+bx+（a0）与 x 轴的另一个交点为 D，其顶点为 M，对称轴与 x 轴交于点 E 第 25 页（共 26 页） （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2） 已知 R 是抛物线上的点， 使得ADR 的面积是OABC 的面积的， 求点 R 的坐标； （3）已知 P 是抛物线对称轴上的点，满足在直线 MD 上存在唯一的点 Q，使得PQE 45，求点 P 的坐标 【分析】 （1）OA2BC，故函数的
50、对称轴为 x1，则 x1，将点 A 的坐标 代入抛物线表达式得：04a2b+，联立即可求解； （2） ADR 的面积是OABC 的面积的， 则AD|yR|OAOB， 则6|yR| 2，即可求解； （3）PQE45，故PRE90，则PRE 为等腰直角三角形，当直线 MD 上存在 唯一的点 Q，则 RQMD，即可求解 【解答】解： （1）OA2BC，故函数的对称轴为 x1，则 x1， 将点 A 的坐标代入抛物线表达式得：04a2b+， 联立并解得， 故抛物线的表达式为：yx2+x+； （2）由抛物线的表达式得，点
51、 M（1，3） 、点 D（4，0） ； ADR 的面积是OABC 的面积的， 第 26 页（共 26 页） AD|yR|OAOB，则6|yR|2，解得：yR， 联立并解得或， 故点 R 的坐标为（1+，）或（1，）或（1， ）或（1， ） ； （3）作PEQ 的外接圆 R， PQE45， 故PRE90，则PRE 为等腰直角三角形， 当直线 MD 上存在唯一的点 Q，则 RQMD， 点 M、D 的坐标分别为（1，3） 、 （4，0） ， 则 ME4，ED413，则 MD5， 过点 R 作 RHME 于点 H， 设点 P（1，2m） ，则 PHHEHRm， 则圆 R 的半径为m，则点 R（1+m，m） ， SMEDSMRD+SMRE+SDRE， 即EMEDMDRQ+EDyR+MERH， 435m+4m3m，解得 m6084， 故点 P（1，120168） 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、面 积的计算等，综合性强，难度较大