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2020年山东省淄博市中考数学试卷(含详细解答)

1、李老师为了解学生家务劳动时间情况,更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德, 随机调查了本校 10 名学生在上周参加家务劳动的时间,收集到如下数据(单位:小时) : 4,3,4,6,5,5,6,5,4,5则这组数据的中位数和众数分别是( )  A4,5 B5,4 C5,5 D5,6  4(4 分) 如图, 在四边形 ABCD 中, CDAB, ACBC, 若B50, 则DCA 等于 ( )    A30 B35 C40 D45  5 (4 分)下列运算正确的是( )  Aa2+a3a5 Ba2a3a5 Ca3a2a5 D (a2)3a5

2、 6 (4 分)已知 sinA0.9816,运用科学计算器求锐角 A 时(在开机状态下) ,按下的第一 个键是( )  A B C D  7 (4 分)如图,若ABCADE,则下列结论中一定成立的是( )    第 2 页(共 26 页)    AACDE BBADCAE CABAE DABCAED  8 (4 分)化简+的结果是( )  Aa+b Bab C D  9 (4 分)如图,在直角坐标系中,以坐标原点 O(0,0) ,A(0,4) ,B(3,0)为顶点的 RtAOB,其两个锐角对应的

3、外角角平分线相交于点 P,且点 P 恰好在反比例函数 y 的图象上,则 k 的值为( )   A36 B48 C49 D64  10 (4 分)如图,放置在直线 l 上的扇形 OAB由图滚动(无滑动)到图,再由图 滚动到图若半径 OA2,AOB45,则点 O 所经过的最短路径的长是( )    A2+2 B3 C D+2  11 (4 分)如图 1,点 P 从ABC 的顶点 B 出发,沿 BCA 匀速运动到点 A,图 2 是点 P 运动时,线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象,其中 M 是曲线部分的最低点, 则ABC 的面积是(

4、)    第 3 页(共 26 页)    A12 B24 C36 D48  12 (4 分)如图,在ABC 中,AD,BE 分别是 BC,AC 边上的中线,且 ADBE,垂足 为点 F,设 BCa,ACb,ABc,则下列关系式中成立的是( )   Aa2+b25c2 Ba2+b24c2 Ca2+b23c2 Da2+b22c2  二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题个小题,每小题 4 分,共分,共 20 分请直接填写最后结果分请直接填写最后结果  13 (4 分)计算:+   &n

5、bsp; 14(4分) 如图, 将ABC沿BC方向平移至DEF处 若EC2BE2, 则CF的长为       15 (4 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2x+2m0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的 取值范围是     16 (4 分)如图,矩形纸片 ABCD,AB6cm,BC8cm,E 为边 CD 上一点将BCE 沿 BE 所在的直线折叠, 点 C 恰好落在 AD 边上的点 F 处, 过点 F 作 FMBE, 垂足为点 M, 取 AF 的中点 N,连接 MN,则 MN   cm     第 4 页(共

6、26 页)   17 (4 分)某快递公司在甲地和乙地之间共设有 29 个服务驿站(包括甲站、乙站) ,一辆 快递货车由甲站出发,依次途经各站驶往乙站,每停靠一站,均要卸下前面各站发往该 站的货包各 1 个,又要装上该站发往后面各站的货包各 1 个在整个行程中,快递货车 装载的货包数量最多是   个  三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 7 个小题,共个小题,共 52 分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤步骤  18 (5 分)解方程组:  19 (5 分)已知:如图,E 是ABCD

7、的边 BC 延长线上的一点,且 CEBC  求证:ABCDCE   20 (8 分)某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题: “A5G 通讯; B民法典; C北斗导航;D数字经济; E小康社会” ,对某小区居民进行了随机抽样调查,每 人只能从中选择一个本人最关注的话题, 根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图    请结合统计图中的信息,解决下列问题:  (1)数学实践小组在这次活动中,调查的居民共有   人;  (2)将上面的最关注话题条形统计图补充完整;  (3)最关注话题扇形统计图中的 a  

8、; ,话题 D 所在扇形的圆心角是   度;  (4)假设这个小区居民共有 10000 人,请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典” 的人数大约有多少?    第 5 页(共 26 页)   21 (8 分)如图,在直角坐标系中,直线 y1ax+b 与双曲线 y2(k0)分别相交于第 二、四象限内的 A(m,4) ,B(6,n)两点,与 x 轴相交于 C 点已知 OC3,tan ACO  (1)求 y1,y2对应的函数表达式;  (2)求AOB 的面积;  (3)直接写出当 x0 时,不等式 ax+b的解集 &n

9、bsp; 22 (8 分)如图,著名旅游景区 B 位于大山深处,原来到此旅游需要绕行 C 地,沿折线 A CB 方可到达当地政府为了增强景区的吸引力,发展壮大旅游经济,修建了一条从 A 地到景区 B 的笔直公路 请结合A45, B30, BC100 千米,1.4, 1.7 等数据信息,解答下列问题:  (1)公路修建后,从 A 地到景区 B 旅游可以少走多少千米?  (2)为迎接旅游旺季的到来,修建公路时,施工队使用了新的施工技术,实际工作时每 天的工效比原计划增加 25%,结果提前 50 天完成了施工任务求施工队原计划每天修建 多少千米?   23 (9 分)如

10、图,ABC 内接于O,AD 平分BAC 交 BC 边于点 E,交O 于点 D,过 点 A 作 AFBC 于点 F,设O 的半径为 R,AFh  (1)过点 D 作直线 MNBC,求证:MN 是O 的切线;  (2)求证:ABAC2Rh;    第 6 页(共 26 页)   (3)设BAC2,求的值(用含  的代数式表示)    24 (9 分)如图,在直角坐标系中,四边形 OABC 是平行四边形,经过 A(2,0) ,B,C 三点的抛物线 yax2+bx+(a0)与 x 轴的另一个交点为 D,其顶点为 M,对称轴

11、与 x 轴交于点 E  (1)求这条抛物线对应的函数表达式;  (2) 已知 R 是抛物线上的点, 使得ADR 的面积是OABC 的面积的, 求点 R 的坐标;  (3)已知 P 是抛物线对称轴上的点,满足在直线 MD 上存在唯一的点 Q,使得PQE 45,求点 P 的坐标     第 7 页(共 26 页)    2020 年山东省淄博市中考数学试卷年山东省淄博市中考数学试卷  参考答案与试题解析参考答案与试题解析  一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题个小题,每小题 4 分,

12、共分,共 48 分在每小题所给出的四个选项中,分在每小题所给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的  1 (4 分)若实数 a 的相反数是2,则 a 等于( )  A2 B2 C D0  【分析】根据相反数的概念:只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可求出 a 的值  【解答】解:2 的相反数是2,  a2  故选:A  【点评】本题考查了实数的性质、相反数,解决本题的关键是掌握相反数的概念  2 (4 分)下列图形中,不是轴对称图形的是( )  A B  C D &

13、nbsp;【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解  【解答】解:A、是轴对称图形,故本选项不符合题意;  B、是轴对称图形,故本选项不符合题意;  C、是轴对称图形,故本选项不符合题意;  D、不是轴对称图形,故本选项符合题意  故选:D  【点评】本题考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分 折叠后可重合  3 (4 分)李老师为了解学生家务劳动时间情况,更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德,   第 8 页(共 26 页)   随机调查了本校 10 名学生在上周参

14、加家务劳动的时间,收集到如下数据(单位:小时) : 4,3,4,6,5,5,6,5,4,5则这组数据的中位数和众数分别是( )  A4,5 B5,4 C5,5 D5,6  【分析】根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可  【解答】解:这组数据 4,3,4,6,5,5,6,5,4,5 中,出现次数最多的是 5,因此 众数是 5,  将这组数据从小到大排列后,处在第 5、6 位的两个数都是 5,因此中位数是 5  故选:C  【点评】本题考查中位数、众数的意义和计算方法,理解中位数、众数的意义是正确解 答的前提,掌握计算方法是解决问

15、题的关键  4(4 分) 如图, 在四边形 ABCD 中, CDAB, ACBC, 若B50, 则DCA 等于 ( )    A30 B35 C40 D45  【分析】由 ACBC 可得ACB90,又B50,根据直角三角形两个锐角互余可 得CAB40,再根据平行线的性质可得DCACAB40  【解答】解:ACBC,  ACB90,  又B50,  CAB90B40,  CDAB,  DCACAB40  故选:C  【点评】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质,根据题

16、意得出CAB 的 度数是解答本题的关键  5 (4 分)下列运算正确的是( )  Aa2+a3a5 Ba2a3a5 Ca3a2a5 D (a2)3a5  【分析】A根据合并同类项的定义即可判断;  B根据同底数幂的乘法,底数不变,指数相加即可判断;    第 9 页(共 26 页)   C根据同底数幂的除法,底数不变,指数相减即可判断;  D根据幂的乘方,底数不变,指数相乘即可判断  【解答】解:Aa2+a3a5,所以 A 选项错误;  Ba2a3a5,所以 B 选项正确;  Ca3a

17、2a,所以 C 选项错误;  D (a2)3a6,所以 D 选项错误;  故选:B  【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方,解决 本题的关键是综合掌握以上知识  6 (4 分)已知 sinA0.9816,运用科学计算器求锐角 A 时(在开机状态下) ,按下的第一 个键是( )  A B C D  【分析】根据计算器求锐角的方法即可得结论  【解答】解:已知 sinA0.9816,运用科学计算器求锐角 A 时(在开机状态下)的按 键顺序是:2ndF,sin,0,  按下的第一个键是

18、2ndF  故选:D  【点评】本题考查了计算器三角函数,解决本题的关键是熟练利用计算器  7 (4 分)如图,若ABCADE,则下列结论中一定成立的是( )   AACDE BBADCAE CABAE DABCAED  【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论  【解答】解:ABCADE,  ACAE,ABAD,ABCADE,BACDAE,  BACDACDAEDAC,  即BADCAE故 A,C,D 选项错误,B 选项正确,  故选:B    第 10 页(共 26 页)

19、   【点评】本题考查了全等三角形的性质,熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键  8 (4 分)化简+的结果是( )  Aa+b Bab C D  【分析】根据同分母分式相加减的运算法则计算即可同分母分式相加减,分母不变, 分子相加减  【解答】解:原式      ab  故选:B  【点评】本题主要考查了分式的加减,熟记运算法则是解答本题的关键  9 (4 分)如图,在直角坐标系中,以坐标原点 O(0,0) ,A(0,4) ,B(3,0)为顶点的 RtAOB,其两个锐角对应的外角角平

20、分线相交于点 P,且点 P 恰好在反比例函数 y 的图象上,则 k 的值为( )   A36 B48 C49 D64  【分析】过 P 分别作 AB、x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为 C、D、E,如图,利用勾股定 理计算出 AB5,根据角平分线的性质得 PEPCPD,设 P(t,t) ,利用面积的和差 得到t(t4)+5t+t(t3)+34tt,求出 t 得到 P 点坐标, 然后把 P 点坐标代入 y中求出 k 的值  【解答】解:过 P 分别作 AB、x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为 C、D、E,如图,  A(0,4) ,B(3,0) ,  

21、  第 11 页(共 26 页)   OA4,OB3,  AB5,  OAB 的两个锐角对应的外角角平分线相交于点 P,  PEPC,PDPC,  PEPCPD,  设 P(t,t) ,则 PCt,  SPAE+SPAB+SPBD+SOABS矩形PEOD,  t(t4)+5t+t(t3)+34tt,  解得 t6,  P(6,6) ,  把 P(6,6)代入 y得 k6636  故选:A   【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征:反比例函数图象上点

22、的坐标满足其 解析式也考查了角平分线的性质和三角形面积公式  10 (4 分)如图,放置在直线 l 上的扇形 OAB由图滚动(无滑动)到图,再由图 滚动到图若半径 OA2,AOB45,则点 O 所经过的最短路径的长是( )    A2+2 B3 C D+2  【分析】利用弧长公式计算即可    第 12 页(共 26 页)   【解答】解:如图,   点 O 的运动路径的长的长+O1O2+的长  +  ,  故选:C  【点评】本题考查轨迹,弧长公式等知识,解题的关键是理解题

23、意,灵活运用所学知识 解决问题,属于中考常考题型  11 (4 分)如图 1,点 P 从ABC 的顶点 B 出发,沿 BCA 匀速运动到点 A,图 2 是点 P 运动时,线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象,其中 M 是曲线部分的最低点, 则ABC 的面积是( )   A12 B24 C36 D48  【分析】由图 2 知,ABBC10,当 BPAC 时,y 的值最小,即ABC 中,BC 边上 的高为 8(即此时 BP8) ,即可求解  【解答】解:由图 2 知,ABBC10,  当 BPAC 时,y 的值最小,即ABC 中,BC

24、 边上的高为 8(即此时 BP8) ,  当 y8 时,PC6,  ABC 的面积ACBP81248,  故选:D  【点评】本题是运动型综合题,考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积   第 13 页(共 26 页)   等知识点解题关键是深刻理解动点的函数图象,了解图象中关键点所代表的实际意义, 理解动点的完整运动过程  12 (4 分)如图,在ABC 中,AD,BE 分别是 BC,AC 边上的中线,且 ADBE,垂足 为点 F,设 BCa,ACb,ABc,则下列关系式中成立的是( )   Aa2+b

25、25c2 Ba2+b24c2 Ca2+b23c2 Da2+b22c2  【分析】设 EFx,DFy,根据三角形重心的性质得 AF2y,BF2EF2x,利用勾 股定理得到 4x2+4y2c2,4x2+y2b2,x2+4y2a2,然后利用加减消元法消去 x、y 得到 a、b、c 的关系  【解答】解:设 EFx,DFy,  AD,BE 分别是 BC,AC 边上的中线,  点 F 为ABC 的重心,AEACb,BDa,  AF2DF2y,BF2EF2x,  ADBE,  AFBAFEBFD90,  在 RtAFB 中,4

26、x2+4y2c2,  在 RtAEF 中,4x2+y2b2,  在 RtBFD 中,x2+4y2a2,  +得 5x2+5y2(a2+b2) ,  4x2+4y2(a2+b2) ,  得 c2(a2+b2)0,  即 a2+b25c2  故选:A  【点评】 本题考查了三角形的重心: 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2:   第 14 页(共 26 页)   1 也考查了勾股定理  二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题个小题,每小题 4 分,共分,

27、共 20 分请直接填写最后结果分请直接填写最后结果  13 (4 分)计算:+ 2   【分析】分别根据立方根的定义与算术平方根的定义解答即可  【解答】解:+2+42  故答案为:2  【点评】本题主要考查了立方根与算术平方根,熟记立方根与二次根式的性质是解答本 题的关键  14(4 分) 如图, 将ABC 沿 BC 方向平移至DEF 处 若 EC2BE2, 则 CF 的长为 1     【分析】利用平移的性质得到 BECF,然后利用 EC2BE2 得到 BE 的长,从而得到 CF 的长  【解答】解:

28、ABC 沿 BC 方向平移至DEF 处  BECF,  EC2BE2,  BE1,  CF1  故答案为 1  【点评】本题考查了平移的性质:把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新 的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同;新图形中的每一点,都是由原图形中 的某一点移动后得到的,这两个点是对应点连接各组对应点的线段平行(或共线)且 相等  15 (4 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2x+2m0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的 取值范围是 m   【分析】若一元二次方程有两不等根,则根的判别式b

29、24ac0,建立关于 m 的不 等式,求出 m 的取值范围    第 15 页(共 26 页)   【解答】解:方程有两个不相等的实数根,a1,b1,c2m  b24ac(1)2412m0,  解得 m,  故答案为 m  【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系:  (1)0方程有两个不相等的实数根;  (2)0方程有两个相等的实数根;  (3)0方程没有实数根  16 (4 分)如图,矩形纸片 ABCD,AB6cm,BC8cm,E 为边 CD 上一点将BCE 沿 BE

30、所在的直线折叠, 点 C 恰好落在 AD 边上的点 F 处, 过点 F 作 FMBE, 垂足为点 M, 取 AF 的中点 N,连接 MN,则 MN 5 cm   【分析】连接 AC,FC,求出 AC,利用三角形的中位线定理解决问题即可  【解答】解:连接 AC,FC   由翻折的性质可知,BE 垂直平分线段 CF,  FMBE,  FM,C 共线,FMMC,  ANFN,  MNAC,  四边形 ABCD 是矩形,  ABC90,    第 16 页(共 26 页)   AC

31、10(cm) ,  MNAC5(cm) ,  故答案为 5  【点评】本题考查翻折变换,矩形的性质,三角形的中位线定理等知识,解题的关键是 学会添加常用辅助线,构造三角形中位线解决问题,属于中考常考题型  17 (4 分)某快递公司在甲地和乙地之间共设有 29 个服务驿站(包括甲站、乙站) ,一辆 快递货车由甲站出发,依次途经各站驶往乙站,每停靠一站,均要卸下前面各站发往该 站的货包各 1 个,又要装上该站发往后面各站的货包各 1 个在整个行程中,快递货车 装载的货包数量最多是 210 个  【分析】根据理解题意找出题目中所给的等量关系,找出规

32、律,写出货包数量的函数解 析式,再根据二次函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站  【解答】解:当一辆快递货车停靠在第 x 个服务驿站时,  快递货车上需要卸下已经通过的(x1)个服务驿站发给该站的货包共(x1)个,  还要装上下面行程中要停靠的(nx)个服务驿站的货包共(nx)个  根据题意,完成下表:  服务驿站序号 在第 x 服务驿站启程时快递货车货包总数  1 n1  2 (n1)1+(n2)2(n2)  3 2(n2)2+(n3)3(n3)  4 3(n3)3+(n4)4(n4) &n

33、bsp;5 4(n4)4+(n5)5(n5)     n 0  由上表可得 yx(nx)   当 n29 时,yx(29x)x2+29x(x14.5)2+210.25,  当 x14 或 15 时,y 取得最大值 210  答:在整个行程中,快递货车装载的货包数量最多是 210 个  故答案为:210    第 17 页(共 26 页)   【点评】本题考查了规律型:数字的变化类,二次函数的性质在实际生活中的应用,二 次函数的最值在 x时取得  三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共

34、 7 个小题,共个小题,共 52 分解答要写出必要的文字说分解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算明、证明过程或演算 步骤步骤  18 (5 分)解方程组:  【分析】利用加减消元法解答即可  【解答】解:,  +,得:5x10,  解得 x2,  把 x2 代入,得:6+y8,  解得 y4,  所以原方程组的解为  【点评】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元 法与加减消元法  19 (5 分)已知:如图,E 是ABCD 的边 BC 延长线上的一点,且 CE

35、BC  求证:ABCDCE   【分析】 由平行四边形的性质得出 ABCD, ABCD, 由平行线的性质得出BDCE, 由 SAS 即可得出结论  【解答】证明:四边形 ABCD 是平行四边形,  ABCD,ABCD,  BDCE,    第 18 页(共 26 页)   在ABC 和DCE 中,  ABCDCE(SAS)   【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识;熟练掌握平 行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键  20 (8 分)某校数学实践小

36、组就近期人们比较关注的五个话题: “A5G 通讯; B民法典; C北斗导航;D数字经济; E小康社会” ,对某小区居民进行了随机抽样调查,每 人只能从中选择一个本人最关注的话题, 根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图    请结合统计图中的信息,解决下列问题:  (1)数学实践小组在这次活动中,调查的居民共有 200 人;  (2)将上面的最关注话题条形统计图补充完整;  (3)最关注话题扇形统计图中的 a 25 ,话题 D 所在扇形的圆心角是 36 度;  (4)假设这个小区居民共有 10000 人,请估计该小区居民中最关注的话

37、题是“民法典” 的人数大约有多少?  【分析】 (1)根据选择 B 的人数和所占的百分比,可以求得本次调查的居民人数;  (2)根据(1)中的结果和统计图中的数据,可以计算出选择 A 和 C 的人数,从而可以 将条形统计图补充完整;  (3)根据统计图中的数据,可以得到 a 和话题 D 所在扇形的圆心角的度数;  (4) 根据题意和统计图中的数据, 可以计算出计该小区居民中最关注的话题是 “民法典” 的人数大约有多少  【解答】解: (1)调查的居民共有:6030%200(人) ,  故答案为:200;  (2)选择 C 的

38、居民有:20015%30(人) ,  选择 A 的有:2006030204050(人) ,    第 19 页(共 26 页)   补全的条形统计图如右图所示;  (3)a%50200100%25%,  话题 D 所在扇形的圆心角是:36036,  故答案为:25,36;  (4)1000030%3000(人) ,  答:该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有 3000 人   【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体,解答本题的关键是明确 题意,利用数形结合的思想解答

39、 21 (8 分)如图,在直角坐标系中,直线 y1ax+b 与双曲线 y2(k0)分别相交于第 二、四象限内的 A(m,4) ,B(6,n)两点,与 x 轴相交于 C 点已知 OC3,tan ACO  (1)求 y1,y2对应的函数表达式;  (2)求AOB 的面积;  (3)直接写出当 x0 时,不等式 ax+b的解集   【分析】 (1)根据 OC3,tanACO,可求直线与 y 轴的交点坐标,进而求出点 A、 B 的坐标,确定两个函数的关系式;    第 20 页(共 26 页)   (2)由 SAOBSAO

40、C+SBOC,进行计算即可;  (3)由函数的图象直接可以得出,当 x0 时,不等式 ax+b的解集  【解答】解: (1)设直线 y1ax+b 与 y 轴交于点 D,  在 RtOCD 中,OC3,tanACO  OD2,  即点 D(0,2) ,  把点 D(0,2) ,C(3,0)代入直线 y1ax+b 得,b2,3a+b0,解得,a,  直线的关系式为 y1x+2;  把 A(m,4) ,B(6,n)代入 y1x+2 得,  m3,n2,  A(3,4) ,B(6,2) ,  

41、k3412,  反比例函数的关系式为 y2,  因此 y1x+2,y2;  (2)由 SAOBSAOC+SBOC,  34+32,  9  (3)由图象可知,当 x0 时,不等式 ax+b的解集为 x3   【点评】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质,把点的坐标代入是常用的方法, 线段与坐标的相互转化是解决问题的关键  22 (8 分)如图,著名旅游景区 B 位于大山深处,原来到此旅游需要绕行 C 地,沿折线 A   第 21 页(共 26 页)   CB 方可到达当地政府为了增强景区的吸

42、引力,发展壮大旅游经济,修建了一条从 A 地到景区 B 的笔直公路 请结合A45, B30, BC100 千米,1.4, 1.7 等数据信息,解答下列问题:  (1)公路修建后,从 A 地到景区 B 旅游可以少走多少千米?  (2)为迎接旅游旺季的到来,修建公路时,施工队使用了新的施工技术,实际工作时每 天的工效比原计划增加 25%,结果提前 50 天完成了施工任务求施工队原计划每天修建 多少千米?   【分析】 (1)过点 C 作 AB 的垂线 CD,垂足为 D,在直角BCD 中,解直角三角形求出 CD 的长度和 BD 的长度, 在直角ACD 中, 解直角三角形

43、求出 AD 的长度和 AC 的长度, 再求出 AB 的长度,进而求出从 A 地到景区 B 旅游可以少走多少千米;  (2)本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间实际的工作时间50,然后列出 方程可求出结果,最后检验并作答  【解答】解: (1)过点 C 作 AB 的垂线 CD,垂足为 D,  在直角BCD 中,ABCD,sin30,BC1000 千米,  CDBCsin3010050(千米) ,  BDBCcos3010050(千米) ,  在直角ACD 中,ADCD50(千米) ,  AC50(千米) ,  

44、AB50+50(千米) ,  从 A 地到景区 B 旅游可以少走: AC+BCAB50+100 (50+50) 50+50 5035(千米)   答:从 A 地到景区 B 旅游可以少走 35 千米;  (2)设施工队原计划每天修建 x 千米,依题意有,  50,    第 22 页(共 26 页)   解得 x0.54,  经检验 x0.54 是原分式方程的解  答:施工队原计划每天修建 0.54 千米   【点评】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形的知识,求三角形的边或高的问 题一般可以

45、转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线同时考查了分式方程 的应用,解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤,即根据题意找出等 量关系,列出方程,解出分式方程,检验,作答注意:分式方程的解必须 检验  23 (9 分)如图,ABC 内接于O,AD 平分BAC 交 BC 边于点 E,交O 于点 D,过 点 A 作 AFBC 于点 F,设O 的半径为 R,AFh  (1)过点 D 作直线 MNBC,求证:MN 是O 的切线;  (2)求证:ABAC2Rh;  (3)设BAC2,求的值(用含  的代数式表示)    

46、【分析】 (1)连接 OD,由角平分线的性质可得BADCAD,可得,由垂径 定理可得 ODBC,可证 ODMN,可得结论;  (2)连接 AO 并延长交O 于 H,通过证明ACFAHB,可得,可得结论;  (3)由“HL”可证 RtDQBRtDPC,RtDQARtDPA,可得 BQCP,AQ AP,可得 AB+AC2AQ,由锐角三角函数可得 AD,即可求解  【解答】解: (1)如图 1,连接 OD,    第 23 页(共 26 页)    AD 平分BAC,  BADCAD,  ,  又OD

47、 是半径,  ODBC,  MNBC,  ODMN,  MN 是O 的切线;  (2)如图 2,连接 AO 并延长交O 于 H,   AH 是直径,  ABH90AFC,  又AHBACF,  ACFAHB,  ,  ABACAFAH2Rh;  (3)如图 3,过点 D 作 DQAB 于 Q,DPAC,交 AC 延长线于 P,连接 CD,    第 24 页(共 26 页)    BAC2,AD 平分BAC,  BADCAD,

48、  ,  BDCD,  BADCAD,DQAB,DPAC,  DQDP,  RtDQBRtDPC(HL) ,  BQCP,  DQDP,ADAD,  RtDQARtDPA(HL) ,  AQAP,  AB+ACAQ+BQ+AC2AQ,  cosBAD,  AD,  2cos  【点评】本题是圆的综合题,考查了圆的有关知识,角平分线的性质,全等三角形的判 定和性质,相似三角形的判定和性质,添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是 本题的关键  2

49、4 (9 分)如图,在直角坐标系中,四边形 OABC 是平行四边形,经过 A(2,0) ,B,C 三点的抛物线 yax2+bx+(a0)与 x 轴的另一个交点为 D,其顶点为 M,对称轴与 x 轴交于点 E    第 25 页(共 26 页)   (1)求这条抛物线对应的函数表达式;  (2) 已知 R 是抛物线上的点, 使得ADR 的面积是OABC 的面积的, 求点 R 的坐标;  (3)已知 P 是抛物线对称轴上的点,满足在直线 MD 上存在唯一的点 Q,使得PQE 45,求点 P 的坐标   【分析】 (1)OA2BC,故函数的

50、对称轴为 x1,则 x1,将点 A 的坐标 代入抛物线表达式得:04a2b+,联立即可求解;  (2) ADR 的面积是OABC 的面积的, 则AD|yR|OAOB, 则6|yR| 2,即可求解;  (3)PQE45,故PRE90,则PRE 为等腰直角三角形,当直线 MD 上存在 唯一的点 Q,则 RQMD,即可求解  【解答】解: (1)OA2BC,故函数的对称轴为 x1,则 x1,  将点 A 的坐标代入抛物线表达式得:04a2b+,  联立并解得,  故抛物线的表达式为:yx2+x+;   (2)由抛物线的表达式得,点

51、 M(1,3) 、点 D(4,0) ;  ADR 的面积是OABC 的面积的,    第 26 页(共 26 页)   AD|yR|OAOB,则6|yR|2,解得:yR,  联立并解得或,  故点 R 的坐标为(1+,)或(1,)或(1, )或(1, ) ;    (3)作PEQ 的外接圆 R,   PQE45,  故PRE90,则PRE 为等腰直角三角形,  当直线 MD 上存在唯一的点 Q,则 RQMD,  点 M、D 的坐标分别为(1,3) 、 (4,0) ,  则 ME4,ED413,则 MD5,  过点 R 作 RHME 于点 H,  设点 P(1,2m) ,则 PHHEHRm,  则圆 R 的半径为m,则点 R(1+m,m) ,  SMEDSMRD+SMRE+SDRE,  即EMEDMDRQ+EDyR+MERH,  435m+4m3m,解得 m6084,  故点 P(1,120168)   【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、面 积的计算等,综合性强,难度较大