1、 2020 年中考数学九年级三轮冲刺训练圆的综合（四） 1如图，点A，B，C是半径为 2 的O上三个点，AB为直径，BAC的平分线交圆于点D， 过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F （1）判断直线EF与O的位置关系，并证明 （2）若DF4，求 tanEAD的值 2如图，在 RtABC中，ACB90，D为AB边上的一点，以AD为直径的O交BC于点 E，交AC于点F，过点C作CGAB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点 Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为O的切线 （1）求证：BC是O的切线 （2）求证： （3）若 sinAB
2、C，AC15，求四边形CHQE的面积 3已知：O1与O2相交于A、B两点，且O2在O1上（如图） （1）AD是O2的直径，连接DB并延长交O1于点C，求证：CO2AD （2）若AD是O2的非直径的弦，直线DB交O1于点C，则（1）中的结论是否成立，为 什么？请加以证明 4如图，PA是O的切线，切点为A，AC是O的直径，过A点作ABPO于点D，交O 于B，连接BC，PB （1）求证：PB是O的切线； （2）若 cosPAB，BC2，求PO的长 5如图，O1和O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交O1于点D，点 E为AD的中点，ADAB，连接O1E （1）求证：O1EO1C
3、； （2）如果O1O210，O1E6，求AB的长 6如图，ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D （1）求证：BAC2ABD； （2）当BCD是等腰三角形时，求BCD的大小； （3）当AD2，CD3 时，求边BC的长 7如图，AB为O的直径，弦CDAB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且 AFBABC （1）求证：直线BF是O的切线； （2）若CD2，BP1，求O的半径 8如图，AB是O的直径，OD弦BC于点F，交O于点E，连接CE，AE，CD，若AEC ODC （1）求证：直线CD为O的切线； （2）若AB10，BC8，则线段CD的长为 9如图，直线MN
4、交O于A，B两点，AC是O直径，CAM的平分线交O于点D，过点 D作DEMN于点E （1）求证：DE是O的切线； （2）若DE6cm，AE3cm，求O的半径 10如图，AB是O的直径，AD平分BAC交O于D，过D作DEAC交AC延长线于点E， 交AB延长线于点F （1）求证：EF是O的切线； （2）若DE，tanBDF，求DF的长 参考答案 1（1）证明：连接OD，如图所示： OAOD， OADODA， AD平分EAF， DAEDAO， DAEADO， ODAE， AEEF， ODEF， EF是O的切线； （2）解：在 RtODF中，OD2，DF4， OF6， ODAE， ， ， AE，ED，
5、 tanEAD 2（1）证明：连接OE，OP， PEAB，点Q为弦EP的中点， AB垂直平分EP， PBBE， OEOP，OBOB， BEOBPO（SSS）， BEOBPO， BP为O的切线， BPO90， BEO90， OEBC， BC是O的切线 （2）解：BEOACB90， ACOE， CAEOEA， OAOE， EAOAEO， CAEEAO， （3）解：AD为的O直径，点Q为弦EP的中点， EPAB， CGAB， CGEP， ACBBEO90， ACOE， CAEAEO， OAOE， EAQAEO， CAEEAO， ACEAQE90，AEAE， ACEAQE（AAS）， CEQE， AE
6、C+CAEEAQ+AHG90， CEHAHG， AHGCHE， CHECEH， CHCE， CHEQ， 四边形CHQE是平行四边形， CHCE， 四边形CHQE是菱形， sinABCsinACG， AC15， AG9， CG12， ACEAQE， AQAC15， QG6， HQ2HG2+QG2， HQ2（12HQ）2+62， 解得：HQ， CHHQ， 四边形CHQE的面积CHGQ645 3（1）连结AB，如图 1， AD是O2的直径， ABD90，得A+D90 又CA， C+D90， 得CO2D90，即CO2AD； （2）（1）中的结论仍成立证明如下： 连结直径AO2交O2于点D，连DB并延长
7、交O1于点C，连O2C，如图 2， 由（1）知CO2AD， 又ADBD， DBDCBC， CBCCO2C， ACO2C， CO2AD， AO2C+CO2C90， AO2C+A90， CO2AD 4解：（1）连接OB， AC为O的直径， ABC90， ABPO， POBC AOPC，POBOBC， OBOC， OBCC， AOPPOB， 在AOP和BOP中， ， AOPBOP（SAS）， OBPOAP， PA为O的切线， OAP90， OBP90， PB是O的切线； （2）PAB+BACBAC+C90， PABC， cosPABcosC， BC2， AC2， AO， PAOABC90，POAC，
8、 PAOABC， ，即， 解得PO5 5（1）证明：连接O1A， O1EAD， AE， O1和O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C， O1CAB， ACAB， ABAD， AEAC， 在 RtO1EA和 RtO1CA中， ， RtO1EARtO1CA（HL） O1EO1C； （2）解：设O2的半径长为r， O1EO1C6， O2C1064， 在 RtO1EO2中，O2E8， RtO1EARtO1CA， ACAE8r， 在 RtACO2中，O2A2AC2+O2C2，即r2（8r）2+42， 解得，r5， AC853， AB2AC6 6（1）证明：连接OA ABAC， ， OABC， BA
9、OCAO， OAOB， ABDBAO， BAC2BAD （2）解：如图 2 中，延长AO交BC于H 若BDCB，则CBDCABD+BAC3ABD， ABAC， ABCC， DBC2ABD， DBC+C+BDC180， 8ABD180， C3ABD67.5 若CDCB，则CBDCDB3ABD， C4ABD， DBC+C+CDB180， 10ABD180， BCD4ABD72 若DBDC，则D与A重合，这种情形不存在 综上所述，C的值为 67.5或 72 （3）如图 3 中，作AEBC交BD的延长线于E 则， ，设OBOA4a，OH3a， BH2AB2AH2OB2OH2， 2549a216a29a
10、2， a2， BH， BC2BH 7（1）证明：弧AC弧AC， ABCADC， AFBABC， ADCAFB， CDBF， CDAB， ABBF， AB是圆的直径， 直线BF是O的切线； （2）解：设O的半径为r，连接OD如图所示： ABCD，CD2， PDPCCD， BP1， OPr1 在 RtOPD中，由勾股定理得：r2 （r1）2+（）2 解得：r3 即O的半径为 3 8（1）证明：连接OC， CEACBA，AECODC， CBAODC， 又CFDBFO， DCBBOF， COBO， OCFB， B+BOF90， OCF+DCB90， 直线CD为O的切线； （2）解：连接AC， AB是O
11、的直径， ACB90， DCOACB， 又DB OCDACB， ACB90，AB10，BC8， AC6， ，即， 解得；DC， 故答案为： 9（1）证明：连接OD，如图所示： OAOD， 32， AD平分CAM， 21， 13， MNOD， DEMN， DEOD， DE是O的切线； （2）解：连接CD，如图所示： AC是O的直径， ADC90， AD3（cm）， DEMN， AED90， ADCAED， 又21， ADCAED， ， 即， AC15（cm）， OAACcm， 即O的半径为cm 10（1）证明：连接OD， AD平分FAC， BADDAE OAOD， OADODA， DAEODA， ODAE， EODF， DEAC， E90， ODF90， ODEF， EF是O的切线； （2）解：AB为直径， ADB90， ADE+BDF90， E90， ADE+DAE90 BDFDAE， BADDAE， BDFDAEBAD， tanBDF， tanBDFtanDAEtanBAD， ， DE， AE，AD， BD， AB6， 又FF，BDFBAD， FBDFDA， ， DF2BF，FD2FBFA， （2BF）2BF（FB+BA），又BA6， BF2， DF4