1、2020 年山东省新高考预测年山东省新高考预测数学数学试试卷卷 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，将第卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡 相应位置上，考试结束，将答题卡交回考试时间 120 分钟，满分 150 分 注意事项： 1答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上 2第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其它答案标号答案不能答在试题卷上 3第卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来 的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带不按
2、以上要求作答的答案无效 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题： （本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1设复数(2)(32 )zii，则复数z在复平面内对应的点的坐标为（ ） A(4,1) B(8,1) C(4, 1) D(8, 1) 2已知集合ln(1)Ax yx, 2 4 0Bx x，则AB（ ） A2x x B 12xx C 12xx D2x x 3 “直线l与平面内的无数条直线垂直”是“直线l与平面垂直”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4函数 sin| | ( )2
3、 x f x 在上的图象大致是（ ） A B. C D 5如图，在直角梯形ABCD中，4AB ，2CD ，/ABCD，ABAD，E是BC的中点，则 ()ABACAE（ ） A8 B12 C16 D20 6宁波古圣王阳明的传习录专门讲过易经八卦图，如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、 艮、兑八卦） ，每一卦由三根线组成（ “”表示一根阳线， “”表示一根阴线） 从八卦中任取两卦， 这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（ ） A 5 14 B 3 14 C 3 28 D 5 28 7已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，点,(0) 4 p Aaa 在C上，| 3AF 若直线A
4、F与 C交于另一点B，则|AB （ ） A12 B10 C9 D4.5 8三棱锥PABC的所有顶点都在半径为 2 的球O的球面上若PAC是等边三角形，平面PAC 平 面ABC，ABBC，则三棱锥PABC体积的最大值为（ ） A2 B3 C2 3 D3 3 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目 要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的 0 分 9已知等比数列 n a的公比为q，前 4 项的和为 1 14a ，且 2 a， 3 1a ， 4 a成等差数列，则q的值可能 为（ ） A 1 2 B1 C2 D3 10
5、 某学校为了了解本校学生的上学方式， 在全校范围内随机抽查部分学生， 了解到上学方式主要有：A _ 结伴步行，B自行乘车，C _家人接送，D 其他方式并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的 统计图根据图中信息，下列说法正确的是（ ） A扇形统计图中D的占比最小 B条形统计图中A和C一样高 C无法计算扇形统计图中A的占比 D估计该校一半的学生选择结伴步行或家人接送 11若将函数( )cos 2 12 f xx 的图象向左平移 8 个单位长度，得到函数( )g x的图象，则下列说法正 确的是（ ） A( )g x的最小正周期为 B( )g x在区间0, 2 上单调递减 C 12 x 不是函数(
6、)g x图象的对称轴 D( )g x在, 6 6 上的最小值为 1 2 12已知 2 21 ( )1 x m x f x e ， 2 2 ( )(2)1g xmx若 ( ) ( )( ) x x g x xef x e 有唯一的零点， 则m的值可能为（ ） A2 B3 C3 D4 第卷（非选择题 共 90 分） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知 2, 0, ( ) 22,0, x xx f x x 则( ( 2)f f _ 14已知21(0,0)abab，则 21b ab 的最小值等于_ 15已知 23 2(1)xax的展开式的所有项系数之和为 27，则实数
7、a _，展开式中含 2 x的项的 系数是_ （本题第一空 2 分，第二空 3 分） 16已知圆 22 00 :8Mxxyy，点( 2,4)T ，从坐标原点O向圆M作两条切线OP，OQ，切 点分别为P，Q， 若切线OP，OQ的斜率分别为 1 k， 2 k， 且 12 1kk ， 则|TM的取值范围为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在等差数列 n a中，已知 6 12a ， 18 36a （1）求数列 n a的通项公式 n a； （2）若_，求数列 n b的前n项和 n S 在 1 4 n nn b a a ，( 1)n nn
8、 ba ，2 nnn baa这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并 对其求解 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18（12分） 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 向量(cos,23 )mCbc，(cos , 3 )nAa， / /mn （1）求角A的大小； （2）若ABC的面积为 3 3 2 ，且 222 1 2 bac，求b的值 19 （12 分）如图，在等腰梯形ABCD中，/ /BCAD，2AB ，1BC ，3AD ，BPAD， 将ABP沿BP折起，使平面ABP 平面PBCD，得到如图所示的四棱锥ABCDP，其中M为AD 的中点 （1）试分别在PB，CD
9、上确定点E，F，使平面/ /MEF平面ABC； （2）求二面角MPCA的余弦值 20 （12 分）某企业进行深化改革，使企业的年利润不断增长该企业记录了从 2014 年到 2019 年的年利润 y（单位：百万）的相关数据，如下： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代号t 1 2 3 4 5 6 年利润/y百万 3 5 8 11 13 14 （1）根据表中数据，以年份代号t为横坐标，年利润y为纵坐标建立平面直角坐标系，根据所给数据作出 散点图； （2）利用最小二乘法求出y关于t的线性回归方程（保留 2 位小数） ； （3）用iy表示用正确的线性回归方程得到的与
10、年份代号t对应的年利润的估计值， i y为与年份代号t对应 的年利润数据，当0 ii yy时，将年利润数据 i y称为一个“超预期数据” ，现从这 6 个年利润数据中任取 2 个，记X为“超预期数据”的个数，求X的分布列与数学期望 附：对于一组数据 11 ,x y， 22 ,xy，, nn xy，其回归直线 ybxa的斜率和截距的最小二乘估 计分别为： 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxnx ， a ybx 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 经过点( 2,1)M ，且右焦点( 3,0)F （1）求椭
11、圆的标准方程； （2）过(1,0)N且斜率存在的直线AB交椭圆于A，B两点，记tMA MB，若t的最大值和最小值分 别为 1 t， 2 t，求 12 tt的值 22 （12 分）已知函数( )eln x a f xx （其中2.71828e，是自然对数的底数） （1）当0a 时，求函数( )f x的图象在(1,(1)f处的切线方程； （2）求证：当 1 1a e 时，( )1f xe 参考答案及解析参考答案及解析 参考答案：参考答案： 1-4：DCBA 5-8：DBCB 9：AC 10：ABD 11：ACD 12：ACD 13：14 14：2 22 15：2 23 16：2 54,2 54 解
12、析解析： 1(2)(32 )8ziii，所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(8, 1)，故选 D 2 由 题 意 得 ，ln(1)1Ax yxx x， 2 4 022Bx xxx剟?， 所 以 12ABxx，故选 C 3根据线面垂直的判定和性质，可知由后者可推前者，但由前者不能推后者，故“直线l与平面内的无 数条直线垂直”是“直线l与平面垂直”的必要不充分条件，选 B 4()( )fxf x，( )f x是偶函数，故排除 B，D21 2 f ，排除 C故选 A 5 法一 设ABa，ADb， 则0a b ， 2 16a ， 1 2 ACADDCba， 11 () 22 AEACAB， 131
13、242 baaab ，所以 2213153535 ()20 24242424 ABACAEabaabaabaa ba ，故选 D 法二 以A为坐标原点建立平面直角坐标系 （如图所示） ， 设(0)ADt t， 则( 4 , 0 )B，(2, )Ct， 1 3, 2 Et ， 所以 13 ()(4,0)(2, )3,(4,0)5,20 22 ABACAEttt ，故选 D 6由题意知，八卦中含 1 根与 2 根阴线的卦各有 3 种，含 0 根与 3 根阴线的卦各有 1 种，故从 8 种卦中取 2 卦的取法总数为 2 8 C种，2 卦中恰含 4 根阴线的取法为 21 33 16CC 种，所以所求概
14、率 2 8 63 14 P C ，故 选 B 7 由抛物线的定义知|3 42 pp AF ， 解得4p ， 所以抛物线C的方程为 2 8yx，(1, )Aa， 则 2 8a ， 解得2 2a 或2 2a （舍去） ，所以(1,2 2)A又焦点(2,0)F，所以直线AF的斜率为2 2，直 线AF的方程为2 2(2)yx ， 代入抛物线C的方程 2 8yx， 得 2 54 0 xx， 所以5 AB xx， |549 AB ABxxp，故选 C 8根据ABBC可知AC为三角形ABC所在截面圆 1 O的直径，又平面PAC 平面ABC，APC 为等边三角形，所以P在 1 OO上，如图所示，设PAx，则
15、1 1 2 AOx， 1 3 2 POx，所以 2 22 2 11 3131 242242 302 3 2222 POxOOxxxxxx ， 所以 1 1 2 33 2 AO , 1 3 2 33 2 PO ，当底面三角形ABC的面积最大时，即底面为等腰直角 三角形时三棱锥PABC的体积最大，此时 1 111 2 3333 332 ABC VSPO 9因为 2 a， 3 1a ， 4 a成等差数列，所以 243 21aaa，因此， 1234131 3214aaaaaaa， 故 3 4a 又 n a是 公 比 为q的 等 比 数 列 ， 所 以 由 243 21aaa，得 33 1 21aqa
16、q ，解得2q 或 1 2 10由条形统计图知，B _自行乘车上学的有 42 人，C_家人接送上学的有 30 人，D_其他方式上学的 有 18 人，采用B，C，D三种方式上学的共 90 人，设A _结伴步行上学的有 x人，由扇形统计图知，A _结伴步行上学与 B _自行乘车上学的学生占 60%，所以 4260 90100 x x ，解得30 x ，故条形图中A， C一样高，扇形图中A类占比与C一样都为 25%，A和C共占约 50%，故 D 也正确D 的占比最小，A 正确 11( )cos 2cos 2 8123 g xxx ( )g x的最小正周期为，选项 A 正确：当0, 2 x 时， 4
17、2, 333 x 时， 故( )g x在0, 2 上有增有减， 选项 B 错误；0 12 g ， 故 12 x 不是( )g x 图象的一条对称轴，选项 C 正确当, 6 6 x 时， 2 20, 33 x ，且当 2 2 33 x ，即 6 x 时，( )g x取最小值 1 2 ，D 正确 12 ( ) ( )( ) x x g x xef x e 只有一个零点， 2 2 2 (2)1 210 x x mx m xe e 只有一个实数根，即 2 22 11 (2)210 xx xx mm ee 只 有一个实数根令 2 1 x x t e ，则 22 2 2 11 (1) 0 xx x x x
18、exe x t e e ， 函数 2 1 x x t e 在R上单调递减，且x 时，0t ，函数 2 1 x x t e 的大致图象如图所示，所以 只需关于t的方程 2 (2)210(*)mtmt 有且只有一个正实根 当2m时，方程(*)为 2 4410tt ，解得 1 2 t ，符合题意； 当3m时，方程(*)为 2 5610tt ，得 1 5 t 或1t ，不符合题意； 当3m时，方程(*)为 2 610tt ，得310t ，只有3100，符合题意 当4m 时，方程(*)为 2 2810tt ，得 43 2 2 t ，只有 43 2 0 2 ，符合题意故选 A，C， D 13根据题意得：
19、2 ( 2)( 2)4f ， 则 4 ( ( 2)(4)2216214f ff 14由题意得 212222 2 222 22 bbabbab a abababab ，当且仅当221ab 时，等号成立，所以 21b ab 的最小值为2 22 15由已知可得 23 21(1)27a，则2a ， 2323223 2(1)2(12 )(216128xaxxxxxxx，展开式中含 2 x的项的系数是 2 12 123 16由题意可知，直线OP的方程为 1 yk x，OQ的方程为 2 yk x，因为OP，OQ与圆M相切， 所 以 100 2 1 2 2 1 k xy k ， 200 2 2 2 2 1 k
20、 xy k ， 分 别 对 两 个 式 子 进 行 两 边 平 方 ， 整 理 可 得 222 101000 (8280kxk x yy， 222 202000 8280kxk x yy， 所 以 1 k， 2 k是 方 程 222 0000 8280kxkx yy的两个不相等的实数根，所以 2 0 1 2 2 0 8 8 y k k x 又 12 1kk ，所以 2 0 2 0 8 1 8 y x ，即 22 00 16xy又4162 5TO ，所以| 4| 4TOTMTO剟，所以 2 54|2 54TM剟 答案 254 , 254 17 （1）由题意， 1 1 512, 1736, ad
21、ad 解得2d ， 1 2a 2(1)22 n ann （2）选条件： 41 22(1)(1) n b nnn n ， 111 1 223(1) n S n n 111111 12231nn 1 1 11 n nn 选条件：2 n an，( 1)n nn ba ， 2468( 1)2 n n Sn ， 当n为偶数时， ( 24)( 68) 2(1)2 n Snn 2 2 n n；当n为奇数时，1n为偶数， (1)21 n Snnn , 1, . n nn S nn 为偶数 ， 为奇数 选条件：2 n an，2 nnn baa， 2 2224 nn n bnn， 123 24446424n n
22、Sn， 2341 42444642(1)424 nn n Snn ， 由-得， 1231 32424242424 nn n Sn 1 8 14 24 14 n n n ， 1 8 14 24 3 n n n ， 1 82 144 93 nn n n S 18 （1）法一 因为/mn，所以3acos(23 )cosCbcA， 由正弦定理得3sincos2sincos3cossinACBAAC， 得3sin()2sincosACBA， 所以3sin2sincosBBA，因为sin0B，所以 3 cos 2 A，又(0,)A， ，所以 6 A 法二 因为/mn，所以3 acos (23 )cosCb
23、cA， 易知 222 cos 2 abc C ab ， 222 cos 2 bca A bc ，代入上式得， 222222 3(23 ) 22 abcbca abc abbc ， 整理得， 222 3bcbca，所以 222 3 cos 22 bca A bc ， 又(0,)A，所以 6 A （2）由（1）得 222 3bcbca，又 222 1 2 bac，所以 2 3 cb，又 11213 3 sin 22223 ABC SbcAbb，得 2 9b ，所以3b 19 （1）E，F分别为BP，CD的中点，证明如下： 连接ME， MF，EF，M，F分别为AD，CD的中点， / /MFAC又E为
24、BP的中点，且四边形PBCD为梯形，/BCEFMF 平面ABC，AC 平面ABC， / /MF平面ABC，同理/ /EF平面ABC, 又MFEFF，MF,EF 平面MEF， 平面/ /MEF平面ABC （2）由题意知AP，BP， DP两两垂直，以P为坐标原点，PB，PD，PA所在的直线分别为x轴， y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 在等腰梯形ABCD中，2AB ，1BC ，3AD ，BPAD，1AP ，1BP ，2PD ， 1 0,1, 2 M ，(0,0,0)P，(1,1,0)C，(0,0,1)A， (1,1,0)PC ， 1 0,1, 2 PM 设平面MPC的法向量为1( ,)nx
25、yz， 则 1 1 0, 0, nPC nPM 即 0, 1 0, 2 xy yz 令2z ，则1y ，1x ，1( 1,1, 2)n 为平面MPC的一个法向量 同理可得平面PAC的一个法向量为2( 1,1,0)n 设二面角MPCA的平面角为， 由图可知0, 2 ， 则 12 12 23 cos 362 nn nn 二面角MPCA的余弦值为 3 3 20 （1）根据表中数据，描点如图： （2）由已知数据得t 123456 3.5 6 ， 35811 13 14 9 6 y ， 6 1 3 1024446584230 ii i t y ， 6 2 1 14916253691 i i t ， 6
26、1 62 22 1 6 23063.5 9 2.34 9163.5 6 ii i i i t yty b tt ，92.343.50.81aybt ， 所以y关于t的线性回归方程为2.340.81yt （3）由（2）可知，当1t 时， 1 3.15y ；当2t 时， 2 5.49y ；当3t 时， 3 7.83y ；当4t 时， 4 10.17y ；当5t 时， 5 12.51y ；当6t 时， 6 14.85y 与年利润数据 i y对比可知，满足0 ii yy 的数据有 3 个，所以X的所有可能取值为 0，1，2， 则 2 3 2 6 1 (0) 5 C P X C ， 11 33 2 6
27、3 (1) 5 C C P X C ， 2 3 2 6 1 (2) 5 C P X C ，X的分布列为 X 0 1 2 P 1 5 3 5 1 5 数学期望 131 ()0121 555 E X 21 （1）由椭圆 22 22 1 xy ab 的右焦点为( 3,0)，知 22 3ab，即 22 3ba，则 22 22 1 3 xy aa ， 2 3a 又椭圆过点( 2,1)M ， 22 41 1 3aa ，又 2 3a ， 2 6a 椭圆的标准方程为 22 1 63 xy （2）设直线AB的方程为(1)yk x， 11 ,A xy， 22 ,B xy，由 22 1, 63 (1) xy yk
28、x 得 222 2(1)6xkx，即 2222 124260kxk xk，点(1,0)N在椭圆内部，0 ， 2 12 2 2 12 2 4 , 12 26 , 21 k xx k k x x k 则 1212 2211tMA MBxxyy 112221 2411x xxxkkxkxk 222 1212 1225kx xkkxxkk ， 将代入得， 22 222 22 264 1225 2121 kk tkkkkk kk ， 2 2 1521 21 kk t k ， 2 (152 )210t kkt ，Rk ， 则 2 1 24(152 )(1) 0tt ， (215)(1)1 0tt ，即 2
29、 21316 0tt， 由题意知 1 t， 2 t是 2 213160tt的两根， 12 13 2 tt 22 （1）0a 时，( )ln x f xex， 1 ( )(0) x fxex x ，(1)fe，(1)1fe ， 函数( )f x的图象在(1,(1)f处的切线方程为：(1)(1)yeex，即(1)10exy （2）证明 1 ( )(0) x a fxex x ， 设( )( )g xfx ，则 2 1 ( )0 x a g xe x ， ( )g x是增函数， x aa ee ，由 1 aa xe x e ， 当 a xe时，( )0fx ； 若 1 01ee x aa x ，由
30、11 1 aa exe x ， 当 1 0min 1, a xe 时，( )0fx ， 故( )0fx 仅有一解，记为 0 x，则当 0 0 xx时，( )0fx ，( )f x递减；当 0 x x时，( )0fx ， ( )f x递增； min000 ( )lnf xf xexax， 而 000 0 00 0 11 0lnxxfxeaeaaxx xx ， 记( )lnh xxx， 则 00 00 11 lnf xxh xx ， 0 111 11aah xh eee ， 而 h x显然是增函数， 0 0 11 0 xe ex ， 0 1 ( )1hh ee x 综上，当 1 1a e 时，( )1f xe