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山东省2020届高三新高考预测数学试卷(含答案)

1、2020 年山东省新高考预测年山东省新高考预测数学数学试试卷卷 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,将第卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡 相应位置上,考试结束,将答题卡交回考试时间 120 分钟,满分 150 分 注意事项: 1答卷前,考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上 2第卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其它答案标号答案不能答在试题卷上 3第卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来 的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带不按

2、以上要求作答的答案无效 第卷(选择题 共 60 分) 一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1设复数(2)(32 )zii,则复数z在复平面内对应的点的坐标为( ) A(4,1) B(8,1) C(4, 1) D(8, 1) 2已知集合ln(1)Ax yx, 2 4 0Bx x,则AB( ) A2x x B 12xx C 12xx D2x x 3 “直线l与平面内的无数条直线垂直”是“直线l与平面垂直”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4函数 sin| | ( )2

3、 x f x 在上的图象大致是( ) A B. C D 5如图,在直角梯形ABCD中,4AB ,2CD ,/ABCD,ABAD,E是BC的中点,则 ()ABACAE( ) A8 B12 C16 D20 6宁波古圣王阳明的传习录专门讲过易经八卦图,如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、 艮、兑八卦) ,每一卦由三根线组成( “”表示一根阳线, “”表示一根阴线) 从八卦中任取两卦, 这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为( ) A 5 14 B 3 14 C 3 28 D 5 28 7已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F,点,(0) 4 p Aaa 在C上,| 3AF 若直线A

4、F与 C交于另一点B,则|AB ( ) A12 B10 C9 D4.5 8三棱锥PABC的所有顶点都在半径为 2 的球O的球面上若PAC是等边三角形,平面PAC 平 面ABC,ABBC,则三棱锥PABC体积的最大值为( ) A2 B3 C2 3 D3 3 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目 要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的 0 分 9已知等比数列 n a的公比为q,前 4 项的和为 1 14a ,且 2 a, 3 1a , 4 a成等差数列,则q的值可能 为( ) A 1 2 B1 C2 D3 10

5、 某学校为了了解本校学生的上学方式, 在全校范围内随机抽查部分学生, 了解到上学方式主要有:A _ 结伴步行,B自行乘车,C _家人接送,D 其他方式并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的 统计图根据图中信息,下列说法正确的是( ) A扇形统计图中D的占比最小 B条形统计图中A和C一样高 C无法计算扇形统计图中A的占比 D估计该校一半的学生选择结伴步行或家人接送 11若将函数( )cos 2 12 f xx 的图象向左平移 8 个单位长度,得到函数( )g x的图象,则下列说法正 确的是( ) A( )g x的最小正周期为 B( )g x在区间0, 2 上单调递减 C 12 x 不是函数(

6、)g x图象的对称轴 D( )g x在, 6 6 上的最小值为 1 2 12已知 2 21 ( )1 x m x f x e , 2 2 ( )(2)1g xmx若 ( ) ( )( ) x x g x xef x e 有唯一的零点, 则m的值可能为( ) A2 B3 C3 D4 第卷(非选择题 共 90 分) 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13已知 2, 0, ( ) 22,0, x xx f x x 则( ( 2)f f _ 14已知21(0,0)abab,则 21b ab 的最小值等于_ 15已知 23 2(1)xax的展开式的所有项系数之和为 27,则实数

7、a _,展开式中含 2 x的项的 系数是_ (本题第一空 2 分,第二空 3 分) 16已知圆 22 00 :8Mxxyy,点( 2,4)T ,从坐标原点O向圆M作两条切线OP,OQ,切 点分别为P,Q, 若切线OP,OQ的斜率分别为 1 k, 2 k, 且 12 1kk , 则|TM的取值范围为_ 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (10 分)在等差数列 n a中,已知 6 12a , 18 36a (1)求数列 n a的通项公式 n a; (2)若_,求数列 n b的前n项和 n S 在 1 4 n nn b a a ,( 1)n nn

8、 ba ,2 nnn baa这三个条件中任选一个补充在第(2)问中,并 对其求解 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 18(12分) 在ABC中, 角A,B,C的对边分别为a,b,c, 向量(cos,23 )mCbc,(cos , 3 )nAa, / /mn (1)求角A的大小; (2)若ABC的面积为 3 3 2 ,且 222 1 2 bac,求b的值 19 (12 分)如图,在等腰梯形ABCD中,/ /BCAD,2AB ,1BC ,3AD ,BPAD, 将ABP沿BP折起,使平面ABP 平面PBCD,得到如图所示的四棱锥ABCDP,其中M为AD 的中点 (1)试分别在PB,CD

9、上确定点E,F,使平面/ /MEF平面ABC; (2)求二面角MPCA的余弦值 20 (12 分)某企业进行深化改革,使企业的年利润不断增长该企业记录了从 2014 年到 2019 年的年利润 y(单位:百万)的相关数据,如下: 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代号t 1 2 3 4 5 6 年利润/y百万 3 5 8 11 13 14 (1)根据表中数据,以年份代号t为横坐标,年利润y为纵坐标建立平面直角坐标系,根据所给数据作出 散点图; (2)利用最小二乘法求出y关于t的线性回归方程(保留 2 位小数) ; (3)用iy表示用正确的线性回归方程得到的与

10、年份代号t对应的年利润的估计值, i y为与年份代号t对应 的年利润数据,当0 ii yy时,将年利润数据 i y称为一个“超预期数据” ,现从这 6 个年利润数据中任取 2 个,记X为“超预期数据”的个数,求X的分布列与数学期望 附:对于一组数据 11 ,x y, 22 ,xy,, nn xy,其回归直线 ybxa的斜率和截距的最小二乘估 计分别为: 11 2 22 11 nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxnx , a ybx 21 (12 分)已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 经过点( 2,1)M ,且右焦点( 3,0)F (1)求椭

11、圆的标准方程; (2)过(1,0)N且斜率存在的直线AB交椭圆于A,B两点,记tMA MB,若t的最大值和最小值分 别为 1 t, 2 t,求 12 tt的值 22 (12 分)已知函数( )eln x a f xx (其中2.71828e,是自然对数的底数) (1)当0a 时,求函数( )f x的图象在(1,(1)f处的切线方程; (2)求证:当 1 1a e 时,( )1f xe 参考答案及解析参考答案及解析 参考答案:参考答案: 1-4:DCBA 5-8:DBCB 9:AC 10:ABD 11:ACD 12:ACD 13:14 14:2 22 15:2 23 16:2 54,2 54 解

12、析解析: 1(2)(32 )8ziii,所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(8, 1),故选 D 2 由 题 意 得 ,ln(1)1Ax yxx x, 2 4 022Bx xxx剟?, 所 以 12ABxx,故选 C 3根据线面垂直的判定和性质,可知由后者可推前者,但由前者不能推后者,故“直线l与平面内的无 数条直线垂直”是“直线l与平面垂直”的必要不充分条件,选 B 4()( )fxf x,( )f x是偶函数,故排除 B,D21 2 f ,排除 C故选 A 5 法一 设ABa,ADb, 则0a b , 2 16a , 1 2 ACADDCba, 11 () 22 AEACAB, 131

13、242 baaab ,所以 2213153535 ()20 24242424 ABACAEabaabaabaa ba ,故选 D 法二 以A为坐标原点建立平面直角坐标系 (如图所示) , 设(0)ADt t, 则( 4 , 0 )B,(2, )Ct, 1 3, 2 Et , 所以 13 ()(4,0)(2, )3,(4,0)5,20 22 ABACAEttt ,故选 D 6由题意知,八卦中含 1 根与 2 根阴线的卦各有 3 种,含 0 根与 3 根阴线的卦各有 1 种,故从 8 种卦中取 2 卦的取法总数为 2 8 C种,2 卦中恰含 4 根阴线的取法为 21 33 16CC 种,所以所求概

14、率 2 8 63 14 P C ,故 选 B 7 由抛物线的定义知|3 42 pp AF , 解得4p , 所以抛物线C的方程为 2 8yx,(1, )Aa, 则 2 8a , 解得2 2a 或2 2a (舍去) ,所以(1,2 2)A又焦点(2,0)F,所以直线AF的斜率为2 2,直 线AF的方程为2 2(2)yx , 代入抛物线C的方程 2 8yx, 得 2 54 0 xx, 所以5 AB xx, |549 AB ABxxp,故选 C 8根据ABBC可知AC为三角形ABC所在截面圆 1 O的直径,又平面PAC 平面ABC,APC 为等边三角形,所以P在 1 OO上,如图所示,设PAx,则

15、1 1 2 AOx, 1 3 2 POx,所以 2 22 2 11 3131 242242 302 3 2222 POxOOxxxxxx , 所以 1 1 2 33 2 AO , 1 3 2 33 2 PO ,当底面三角形ABC的面积最大时,即底面为等腰直角 三角形时三棱锥PABC的体积最大,此时 1 111 2 3333 332 ABC VSPO 9因为 2 a, 3 1a , 4 a成等差数列,所以 243 21aaa,因此, 1234131 3214aaaaaaa, 故 3 4a 又 n a是 公 比 为q的 等 比 数 列 , 所 以 由 243 21aaa,得 33 1 21aqa

16、q ,解得2q 或 1 2 10由条形统计图知,B _自行乘车上学的有 42 人,C_家人接送上学的有 30 人,D_其他方式上学的 有 18 人,采用B,C,D三种方式上学的共 90 人,设A _结伴步行上学的有 x人,由扇形统计图知,A _结伴步行上学与 B _自行乘车上学的学生占 60%,所以 4260 90100 x x ,解得30 x ,故条形图中A, C一样高,扇形图中A类占比与C一样都为 25%,A和C共占约 50%,故 D 也正确D 的占比最小,A 正确 11( )cos 2cos 2 8123 g xxx ( )g x的最小正周期为,选项 A 正确:当0, 2 x 时, 4

17、2, 333 x 时, 故( )g x在0, 2 上有增有减, 选项 B 错误;0 12 g , 故 12 x 不是( )g x 图象的一条对称轴,选项 C 正确当, 6 6 x 时, 2 20, 33 x ,且当 2 2 33 x ,即 6 x 时,( )g x取最小值 1 2 ,D 正确 12 ( ) ( )( ) x x g x xef x e 只有一个零点, 2 2 2 (2)1 210 x x mx m xe e 只有一个实数根,即 2 22 11 (2)210 xx xx mm ee 只 有一个实数根令 2 1 x x t e ,则 22 2 2 11 (1) 0 xx x x x

18、exe x t e e , 函数 2 1 x x t e 在R上单调递减,且x 时,0t ,函数 2 1 x x t e 的大致图象如图所示,所以 只需关于t的方程 2 (2)210(*)mtmt 有且只有一个正实根 当2m时,方程(*)为 2 4410tt ,解得 1 2 t ,符合题意; 当3m时,方程(*)为 2 5610tt ,得 1 5 t 或1t ,不符合题意; 当3m时,方程(*)为 2 610tt ,得310t ,只有3100,符合题意 当4m 时,方程(*)为 2 2810tt ,得 43 2 2 t ,只有 43 2 0 2 ,符合题意故选 A,C, D 13根据题意得:

19、2 ( 2)( 2)4f , 则 4 ( ( 2)(4)2216214f ff 14由题意得 212222 2 222 22 bbabbab a abababab ,当且仅当221ab 时,等号成立,所以 21b ab 的最小值为2 22 15由已知可得 23 21(1)27a,则2a , 2323223 2(1)2(12 )(216128xaxxxxxxx,展开式中含 2 x的项的系数是 2 12 123 16由题意可知,直线OP的方程为 1 yk x,OQ的方程为 2 yk x,因为OP,OQ与圆M相切, 所 以 100 2 1 2 2 1 k xy k , 200 2 2 2 2 1 k

20、 xy k , 分 别 对 两 个 式 子 进 行 两 边 平 方 , 整 理 可 得 222 101000 (8280kxk x yy, 222 202000 8280kxk x yy, 所 以 1 k, 2 k是 方 程 222 0000 8280kxkx yy的两个不相等的实数根,所以 2 0 1 2 2 0 8 8 y k k x 又 12 1kk ,所以 2 0 2 0 8 1 8 y x ,即 22 00 16xy又4162 5TO ,所以| 4| 4TOTMTO剟,所以 2 54|2 54TM剟 答案 254 , 254 17 (1)由题意, 1 1 512, 1736, ad

21、ad 解得2d , 1 2a 2(1)22 n ann (2)选条件: 41 22(1)(1) n b nnn n , 111 1 223(1) n S n n 111111 12231nn 1 1 11 n nn 选条件:2 n an,( 1)n nn ba , 2468( 1)2 n n Sn , 当n为偶数时, ( 24)( 68) 2(1)2 n Snn 2 2 n n;当n为奇数时,1n为偶数, (1)21 n Snnn , 1, . n nn S nn 为偶数 , 为奇数 选条件:2 n an,2 nnn baa, 2 2224 nn n bnn, 123 24446424n n

22、Sn, 2341 42444642(1)424 nn n Snn , 由-得, 1231 32424242424 nn n Sn 1 8 14 24 14 n n n , 1 8 14 24 3 n n n , 1 82 144 93 nn n n S 18 (1)法一 因为/mn,所以3acos(23 )cosCbcA, 由正弦定理得3sincos2sincos3cossinACBAAC, 得3sin()2sincosACBA, 所以3sin2sincosBBA,因为sin0B,所以 3 cos 2 A,又(0,)A, ,所以 6 A 法二 因为/mn,所以3 acos (23 )cosCb

23、cA, 易知 222 cos 2 abc C ab , 222 cos 2 bca A bc ,代入上式得, 222222 3(23 ) 22 abcbca abc abbc , 整理得, 222 3bcbca,所以 222 3 cos 22 bca A bc , 又(0,)A,所以 6 A (2)由(1)得 222 3bcbca,又 222 1 2 bac,所以 2 3 cb,又 11213 3 sin 22223 ABC SbcAbb,得 2 9b ,所以3b 19 (1)E,F分别为BP,CD的中点,证明如下: 连接ME, MF,EF,M,F分别为AD,CD的中点, / /MFAC又E为

24、BP的中点,且四边形PBCD为梯形,/BCEFMF 平面ABC,AC 平面ABC, / /MF平面ABC,同理/ /EF平面ABC, 又MFEFF,MF,EF 平面MEF, 平面/ /MEF平面ABC (2)由题意知AP,BP, DP两两垂直,以P为坐标原点,PB,PD,PA所在的直线分别为x轴, y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 在等腰梯形ABCD中,2AB ,1BC ,3AD ,BPAD,1AP ,1BP ,2PD , 1 0,1, 2 M ,(0,0,0)P,(1,1,0)C,(0,0,1)A, (1,1,0)PC , 1 0,1, 2 PM 设平面MPC的法向量为1( ,)nx

25、yz, 则 1 1 0, 0, nPC nPM 即 0, 1 0, 2 xy yz 令2z ,则1y ,1x ,1( 1,1, 2)n 为平面MPC的一个法向量 同理可得平面PAC的一个法向量为2( 1,1,0)n 设二面角MPCA的平面角为, 由图可知0, 2 , 则 12 12 23 cos 362 nn nn 二面角MPCA的余弦值为 3 3 20 (1)根据表中数据,描点如图: (2)由已知数据得t 123456 3.5 6 , 35811 13 14 9 6 y , 6 1 3 1024446584230 ii i t y , 6 2 1 14916253691 i i t , 6

26、1 62 22 1 6 23063.5 9 2.34 9163.5 6 ii i i i t yty b tt ,92.343.50.81aybt , 所以y关于t的线性回归方程为2.340.81yt (3)由(2)可知,当1t 时, 1 3.15y ;当2t 时, 2 5.49y ;当3t 时, 3 7.83y ;当4t 时, 4 10.17y ;当5t 时, 5 12.51y ;当6t 时, 6 14.85y 与年利润数据 i y对比可知,满足0 ii yy 的数据有 3 个,所以X的所有可能取值为 0,1,2, 则 2 3 2 6 1 (0) 5 C P X C , 11 33 2 6

27、3 (1) 5 C C P X C , 2 3 2 6 1 (2) 5 C P X C ,X的分布列为 X 0 1 2 P 1 5 3 5 1 5 数学期望 131 ()0121 555 E X 21 (1)由椭圆 22 22 1 xy ab 的右焦点为( 3,0),知 22 3ab,即 22 3ba,则 22 22 1 3 xy aa , 2 3a 又椭圆过点( 2,1)M , 22 41 1 3aa ,又 2 3a , 2 6a 椭圆的标准方程为 22 1 63 xy (2)设直线AB的方程为(1)yk x, 11 ,A xy, 22 ,B xy,由 22 1, 63 (1) xy yk

28、x 得 222 2(1)6xkx,即 2222 124260kxk xk,点(1,0)N在椭圆内部,0 , 2 12 2 2 12 2 4 , 12 26 , 21 k xx k k x x k 则 1212 2211tMA MBxxyy 112221 2411x xxxkkxkxk 222 1212 1225kx xkkxxkk , 将代入得, 22 222 22 264 1225 2121 kk tkkkkk kk , 2 2 1521 21 kk t k , 2 (152 )210t kkt ,Rk , 则 2 1 24(152 )(1) 0tt , (215)(1)1 0tt ,即 2

29、 21316 0tt, 由题意知 1 t, 2 t是 2 213160tt的两根, 12 13 2 tt 22 (1)0a 时,( )ln x f xex, 1 ( )(0) x fxex x ,(1)fe,(1)1fe , 函数( )f x的图象在(1,(1)f处的切线方程为:(1)(1)yeex,即(1)10exy (2)证明 1 ( )(0) x a fxex x , 设( )( )g xfx ,则 2 1 ( )0 x a g xe x , ( )g x是增函数, x aa ee ,由 1 aa xe x e , 当 a xe时,( )0fx ; 若 1 01ee x aa x ,由

30、11 1 aa exe x , 当 1 0min 1, a xe 时,( )0fx , 故( )0fx 仅有一解,记为 0 x,则当 0 0 xx时,( )0fx ,( )f x递减;当 0 x x时,( )0fx , ( )f x递增; min000 ( )lnf xf xexax, 而 000 0 00 0 11 0lnxxfxeaeaaxx xx , 记( )lnh xxx, 则 00 00 11 lnf xxh xx , 0 111 11aah xh eee , 而 h x显然是增函数, 0 0 11 0 xe ex , 0 1 ( )1hh ee x 综上,当 1 1a e 时,( )1f xe