1、河南省顶级名校河南省顶级名校 20202020 届高三届高三 6 6 月考前模拟考试月考前模拟考试 数学（理科）数学（理科） 本试卷共 6 页，23 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正 向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损. 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先 划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂
2、改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答. 5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.设 2 1 i 1 i z ，则z （ ） A. 1 2 B. 2 2 C.1 D.2 2.已知集合 2xAy y， 2 320 xxBx，则（ ） A.AB B.AB R C.AB D.BA 3.设为平面，m，n为两条直线，若m，则“mn”是“n”的（ ） A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不
3、充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知双曲线C： 22 22 1 yx ab （0a，0b）的两条渐近线互相垂直，则C的离心率为（ ） A.2 B.2 C.3 D.3 5.已知定义在R上的函数 f x满足 2f xf x， 当01x时， 1 3 f xx， 则 17 8 f （ ） A. 1 2 B.2 C. 1 8 D.8 6.若 1 x， 2 x， n x的平均数为a，方差为b，则 1 23x ， 2 23x ，23 n x 的平均数和方差分别为 （ ） A.2a，2b B.2a，4b C.23a，2b D.23a，4b 7.记等差数列 n a的前n项和为 n S，若 2 4S ，
4、4 2S ，则 6 S （ ） A.6 B.4 C.2 D.0 8.函数 1 4sin 2 x x f x x 的部分图象大致为（ ） A.B.C.D. 9.已知椭圆C： 22 2 1 3 xy a 的右焦点为F，O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足OFFP， 则C 的方程为（ ） A. 22 312 1 xy B. 22 38 1 xy C. 22 36 1 xy D. 22 1 43 xy 10.下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均 为 1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则AB CD（ ） A.24 B.26
5、C.28 D.32 11.意大利数学家斐波那契（1175 年1250 年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8， 该数列从第三项起， 每一项都等于前两项之和， 即 21nnn aaa （n N） ， 故此数列称为斐波那契数列， 又称“兔子数列” ，其通项公式为 11515 225 nn n a .设n是不等式 2 log1515211 xx x 的正整数解，则n的最小值为（ ） A.10 B.9 C.8 D.7 12.已知直线y与函数 sinf xx（01）的图象相交，将其中三个相邻交点从左到右依 次记为A，B，C，且满足ACnBC（n N）.有下列结论： n的值可能为 2；
6、当3n，且时， f x的图象可能关于直线x 对称； 当 6 时，有且仅有一个实数，使得 f x在, 11 上单调递增； 不等式1n恒成立. 其中所有正确结论的编号为 A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.曲线lnyxx在点1,0处的切线方程为_. 14.若x，y满足约束条件 20, 0, 30, y xy xy ，则 y z x 的最大值为_. 15.2020 年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国 人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.若将 4 名医生志愿者分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院
7、至少去 1 人） ，则共有_种分配方案. 16.已知正方形ABCD边长为 3，点E，F分别在边AB，AD上运动（E不与A，B重合，F不与A， D重合） ，将AEF以EF为折痕折起，当A，E，F位置变化时，所得五棱锥A EBCDF体积的最大 值为_. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（本小题满分 12 分） ABC中，D为BC上的点，AD平分BAC，5AD，8AC ，ACD的面积为10 3. （1）求CD的长； （2）求sinB
8、. 18.（本小题满分 12 分） 如图，三棱柱 111 ABCABC中，底面ABC为等边三角形，E，F分别为AB， 1 AA的中点， 1 CEFB， 11 2 3 2 3 ABAAEB. （1）证明：EF 平面 1 CEB； （2）求直线EF与平面 1 CFB所成角的大小. 19.（本小题满分 12 分） 足球运动被誉为“世界第一运动”.为推广足球运动，某学校成立了足球社团.由于报名人数较多，需对报名 者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下： （1）下表是某同学 6 次的训练数据，以这 150 个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率.为加入足球 社团，该同学进行了“点球测试” ，每次
9、点球是否踢进相互独立，将他在测试中所踢的点球次数记为，求 E； 点球数 20 30 30 25 20 25 进球数 10 17 20 16 13 14 （2）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接 球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传 球的人为第 1 次触球者，接到第n次传球的人即为第1n次触球者（n N） ，第n次触球者是甲的概率记 为 n P. （）求 1 P， 2 P， 3 P（直接写出结果即可） ； （）证明：数列 1 3 n P 为等比数列. 20.（本小题满分 12 分） 在
10、平面直角坐标系xOy中，P为直线 0 l：4x上的动点，动点Q满足 0 PQl，且原点O在以PQ为直 径的圆上.记动点Q的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）过点2,0E的直线 1 l与曲线C交于A，B两点，点D（异于A，B）在C上，直线AD，BD分 别与x轴交于点M，N，且3ADAM.求BMN面积的最小值. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 1 ecos ax fxx （0a）.（其中常数e2.71828，是自然对数的底数） （1）若3a ，求 f x在0, 2 上的极大值点； （2） （）证明 f x在 2 0, 1 a a 上单调递增； （）求关于x的方程 1 e a
11、fx 在0, 2 上的实数解的个数. （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则 按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4；坐标系与参数方程 椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽， 在直尺.上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在纵槽和橫槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅 笔，使直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆，其中2MA ，1MB ，如图，以两条导槽的交点 为原点O，横槽所在直线为x轴，
12、建立直角坐标系. （1）将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为（02） ，用表示点M的坐标，并 求出C的普通方程； （2）已知过C的左焦点F，且倾斜角为（0 2 ）的直线 1 l与C交于D，E两点，过点F且垂直 于 1 l的直线 2 l与C交于G，H两点.当 1 FE ，GH， 1 FD 依次成等差数列时，求直线 2 l的普通方程. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知a，b，c为正实数，且满足1a b c .证明： （1） 11 1 22 abc ； （2） 333 222 111 3abc abc . 数学（理科）参考答案数学（理科）参考答案 一、选择题
13、1.B 2.D 3.C 4.A 5.A 6.D 7.A 8.C 9.D 10.B 11.C 12.D 11.解析：n是不等式 2 log1515211 xx x 的正整数解， 2 log1515211 nn n ， 2 1515 log11 22 nn ， 11 1515 2 22 nn ， 11 2 11515 2255 nn ， 令 11515 225 nn n a ，则数列 n a即为斐波那契数列， 11 2 5 n a ，即 11 2 2 5 n a ， 显然数列 n a为递增数列，所以数列 2 n a亦为递增数列， 不难知道 7 13a ， 8 21a ，且 11 2 7 2 5 a
14、 ， 11 2 8 2 5 a ， 使得 11 2 2 5 n a 成立的n的最小值为 8， 使得 2 log1515211 nn n 成立的n的最小值亦为 8，故选 C. 12.解析：如图所示， 不妨设 1, A x， 2, B x， 3, C x，且线段AB的中点为 0, M x， 显然有 31 2 xx ， 12 0 2 xx x ，且 f x的图象关于直线 0 xx对称， ACnBC（n N） ， 1 AB n n AC （n N） ， 21 21n xx n ，即 21 21n xx n ，（1） 01，且n N， 由正弦曲线的图像可知， 0 2 2 xk （kZ） ， 12 2 2
15、2 xx k （kZ） ，即 21 42xxk，（2） 由等式（1） ， （2）可得 1 3 2 2 xk n ， 3 sin 2 2 k n ，即cos n ， cos0,1 n ，且n N，3n，且 1 ,1 2 ， 对于结论，显然2n，故结论错误； 对于结论，当3n，且时，则 1 cos 32 ，故 sin 2 fx x ， 若 f x的图象关于直线x 对称，则 22 k （kZ） ，即2k（kZ） ， 显然与矛盾，从而可知结论错误； 对于结论， 1 ,1 2 ，且 f x在区间, 11 上单调递增， 162 162 ， 1 2 ，故结论正确； 对于结论，下证不等式cos1n n （3n
16、） ， （法一）当3n时， 1 coscos 32n ， 3 cos1 2 n n （3n） ，即cos1n n （3n） ， （法二）即证不等式 1 cos0 nn （3n）恒成立， 构造函数 1 cosg x xx （3x） ，显然函数 g x单调递增， 当3n时， 1 30 6 g ng，即不等式 1 cos0 nn （3n）恒成立，故结论正确； 综上所述，正确的结论编号为，故选 D. 二、填空题： 13.10 xy 14.2 15.14 16.2 3 16.解析：不妨设3AEa，3AFb，,0,1a b， 在直角三角形AEF中，易知EF边上的高为 22 3ab h ab ， 又五棱锥A
17、 EBCDF的底面面积为9 1 2 ab S ， 欲使五棱锥A EBCDF的体积最大，须有平面AEF 平面EBCDF， max 22 1 9 1 32 abab VSh ab ， 22 2abab， max 9 2 9 12 242 abab Vabab ab ab ， 令tab，则0,1t， 3 max 9 2 2 4 Vtt，0,1t， （法一）令 3 2f ttt，0,1t，则 2 2 3ttf， 不难知道，当 6 3 t 时， f t取得最大值 4 6 9 ， max 9 2 4 6 2 3 49 V， 综上所述，当 6 3 ab时， 五棱锥A EBCDF的体积V取得最大值2 3，故应
18、填2 3. （法二）由题，可令2cost，, 4 2 ， 则 322 222 2cos sintttt， 令 2 2cos sing，, 4 2 ， 则 2 24222 2cossin22sinsinsing 3 222 22sinsinsin 8 327 ， （当且仅当 22 22sinsin，即 6 sin 3 时，等号成立） ，所以 max 2 6 9 g， 当 6 sin 3 时， 6 2cos 3 t，所以 3 max max 4 6 22 9 ttg， 从而易知，当 6 3 ab时， 五棱锥A EBCDF的体积V取得最大值2 3，故应填2 3. （法三） 3 62316231 22
19、22 2222 tttttttt ， 又 62316231 2222 ttt 3 62316231 2222 2 6 39 ttt ， 3 4 6 2 9 tt，可知当 6 3 t 时，等号成立， 易知当 6 3 ab时，五棱锥A EBCDF的体积V取得最大值， 其最大值为 9 2 4 6 2 3 49 ，故应填2 3. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分） 解： （1）5AD，8AC ，ACD的面积为10 3， 1 5 8sin10 3 2 DAC ， 3 sin 2 DAC，3 分 0180BAC ，AD平分BAC， 090DAC ， 60D
20、AC.4 分 在ACD中，由余弦定理，得 22222 2cos582 5 8 cos6049CDADACACADDAC ， 7CD.6 分 （2） （法一）在ACD中，由正弦定理，得 sinsin CDAD DACC ， sin5sin605 3 sin 714 ADDAC C CD ，8 分 在ACD中，ADAC， C为锐角， 2 11 cos1 sin 14 CC，10 分 60DAC， 2120BACDAC ， 60BC，即60BC， 31115 33 3 sinsin 60sin60 coscos60 sin 21421414 BCCC.12 分 （法二）在ACD中，由余弦定理，得 2
21、22 5781 cos 2 5 77 ADC ， 2 4 3 sin1 cos 7 ADCADC，10 分 4 31133 3 sinsin60 727214 BADC.12 分 【命题意图】考察正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、三角形内角和公式.涉及到的思想方 法有方程思想和数形结合思想.检验解三角形等知识应用能力. 18.（本小题满分 12 分） 解： （1）证明： （法一）设 1 2AAa， 11 2 3 2 3 ABAAEB，则 2 2ABa， 1 6EBa， 1 2BBa， 点E为棱AB的中点， 2EBa， 222 11 EBEBBB， 1 EBBB.2 分 三棱柱 111 ABCA
22、BC的侧面 11 ABB A为平行四边形， 四边形 11 ABB A为矩形， 点F为棱 1 AA的中点， 2222 1111 9FBAFABa， 2222 3FEAFAEa， 222 11 FBEFEB， 1 EFEB.4 分 三棱柱的底面ABC是正三角形，E为AB的中点， CEAB， 1 CEFB， AB 平面 11 ABB A， 1 FB 平面 11 ABB A，且AB， 1 FB必相交， CE 平面 11 ABB A. EF 平面 11 ABB A， CEEF.5 分 1 ECEBE， EF 平面 1 CEB.6 分 （法二）先证明三棱柱 111 ABCABC是正三棱柱，与法一相同. 1
23、 90FAEEBB . 又 11 2 3 2 3 ABAAB E，点E，F分别为AB， 1 AA的中点， 1 2 BBAE AFEB ， 1 FAEEBB， 1 90FEABEB， 1 90FEB， 又EFCE，CE平面 1 CEB， 1 EB 平面 1 CEB，且 1 CEEBE， EF 平面 1 CEB.6 分 （2）解： （法一）由（1）可知CE 平面 11 ABB A， 1 CEBB， CE 平面ABC， 三棱柱 111 ABCABC是正三棱柱，8 分 设 11 AB的中点为M，则直线EB，CE，EM两两垂直， 分别以EB，EC，EM的方向为x，y，z轴的正方向，以点E为原点，建立如图
24、所示的空间直角坐标 系. 设0,0,0E， 0, 6 ,0Ca， 2 ,0,Faa， 1 2 ,0,2Baa， 则 2 ,0,EFaa ， 2 , 6 ,FCaaa， 1 2 2 ,0,FBaa.8 分 设平面 1 CFB的一个法向量为, ,nx y z，则 260, 2 200, axayaz axyaz 两式相加并化简得： 30 xy，不妨取1x ，3y ，则2 2z ，即 1,3, 2 2n .10 分 设直线EF与平面 1 CFB所成角为，则 22 2 2 sin 2312 aaEF n aEF n ， 则直线EF与平面 1 CFB所成角的大小为45.12 分 （法二）由（1）知，在正
25、三棱柱 111 ABCABC中，侧棱长为2a，底面正三角形ABC的边长为2 2a， 高为6a，3EFa. 则三棱柱 111 ABCABC的体积 1 1 1 3 1 2 2624 3 2 ABC A B C Vaaaa ， 三棱锥FAEC的体积 3 113 26 323 FAEC Vaaaa ， 三棱锥 1 BBEC的体积 1 3 112 3 262 323 BAEC Vaaaa ， 四棱锥 111 BFCC A的体积 11 1 3 11 22 262 3 32 BFCC A Vaaaaa ， 易知用三棱柱 111 ABCABC的体积减去上述三个棱锥的体积即为三棱锥 1 ECFB的体积， 即 1
26、 33333 32 3 4 32 33 33 E CFB Vaaaaa .8 分 设点E到平面 1 CFB的距离为h，应用勾股定理求得 1 3FBa，3FCa和 1 2 3BCa， 易知等腰三角形 1 CFB的底边上的高为6a， 则三棱锥 1 ECFB的体积 1 2 11 2 362 32 E CFB Vaaha h .10 分 由 32 32aa h，求得 3 2 ha， 设直线EF与平面 1 CFB所成角为，则 2 sin 2 h EF ， 则直线EF与平面 1 CFB所成角的大小为45.12 分 （法三）由（1）知，在正三棱柱 111 ABCABC中，侧棱长为2a，底面正三角形ABC的边
27、长为2 2a， 高为6a，3EFa， 1 6EBa. 直接求得三棱锥 1 CEFB的体积 1 3 11 3663 32 C EFB Vaaaa .8 分 设点E到平面 1 CFB的距离为h，应用勾股定理求得 1 3FBa，3FCa和 1 2 3BCa， 易知等腰三角形 1 CFB的底边上的高为6a， 则三棱锥 1 ECFB的体积 1 2 11 2 362 32 E CFB Vaaha h .10 分 由 32 32aa h，求得 3 2 ha， 设直线EF与平面 1 CFB所成角为，则 2 sin 2 h EF ， 则直线EF与平面 1 CFB所成角的大小为45.12 分 【命题意图】考查的知
28、识点有线面垂直的性质与判定，空间向量，线面所成的角，勾股定理等.涉及到的思 想方法主要有向量法，等体积法，数形结合思想，等价转化思想.检验的能力素养主要为空间想象能力，计 算能力，综合应用数学知识与思想方法处理数学问题的能力. 19.（本小题满分 12 分） 解： （1）这 150 个点球中的进球频率为10 17 20 16 13 14 0.6 150 ，1 分 则该同学踢一次点球命中的概率0.6p ，2 分 由题意，可能取 1，2，3，则 10.6P，20.6 0.40.24P， 2 30.40.16P，5 分 则的期望 1 0.62 0.24 3 0.161.56E .6 分 （2） （）
29、由题意 1 1P ， 2 0P ， 3 1 2 P ，9 分 （）第n次触球者是甲的概率为 n P， 当2n时，第1n次触球者是甲的概率为 1n P ，第1n次触球者不是甲的概率为 1 1 n P， 则 111 11 011 22 nnnn PPPP ，10 分 从而 1 111 323 nn PP ，又 1 12 33 P ， 1 3 n P 是以 2 3 为首项，公比为 1 2 的等比数列.12 分 【命题意图】考查样本估计总体，随机变量的期望，考查递推关系以及等比数列的概念；考察分析问题、 解决问题的能力，建模能力，处理数据能力. 20.（本小题满分 12 分） 解： （1）由题意，不妨
30、设,Q x y，则4,Py，4,OPy ，,OQx y， O在以PQ为直径的圆上， 0OP OQ，2 分 2 4,40yx yxy， 2 4yx， 曲线C的方程为 2 4yx.4 分 （2） （法一）设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 33 ,D x y，,0M m，,0N n， 依题意，可设 1 l：xtya（其中2a） ，5 分 由方程组 2 , 4 , xty yx a 消去x并整理，得 2 440ytya， 则 12 4yyt， 12 48y ya ，6 分 同理， 13 4y ym ， 23 4y yn ， 13 4 y y m ， 23 4 y y n ，8 分 又3A
31、DAM， 313111 ,3,xx yymxy， 311 3yyy ， 31 2yy ， 1323123 11 44 y yy yyMNmyny 121112 11 2 42 yyyyyy ，10 分 2 2 212121212 11 2482 24 BMN SMNyy yyyyyy yt ， 当0t 时，BMN面积取得最小值，其最小值为8 2.12 分 （2） （法二）设直线 1 l：2xmy， 11 ,A x y， 22 ,B x y， 33 ,D x y， 由方程组 2 2 4 , ,x yx my 消去x并整理，得 2 480ymy， 则 12 8y y ， 3ADAM，由法一，可知
32、31 2yy ， 23 16y y ， 13 2 2 128 y y y ，6 分 设 BD l：xnyb， 由方程组 2 , 4 , xnyb yx 消去x并整理，得 2 440ynyb， 则 23 416y yb ， 4b，即4,0N ，8 分 设 AD l：xsyt， 同理，可得 13 2 2 128 4y yt y ， 2 2 32 t y ，即 2 2 32 ,0M y ， 2 2 32 4 y MN ，10 分 22 2 116 28 2 2 BMN SMNyy y （当且仅当 2 2 2y 时，等号成立） ， BMN面积取得最小值为8 2.12 分 （法三）3ADAM，由法一，可
33、知 31 2yy ， 23 16y y ，6 分 而 31 3113 4 AD yy k xxyy ， AD l： 2 1 1 13 4 4 y yyx yy ， 令0y ，则 2 131 42 M y yy x ，8 分 同理， BD l： 2 2 2 23 4 4 y yyx yy ， 令0y ，则 23 4 4 N y y x ， 2 1 4 2 MN y ，10 分 2 1 21 11 11816 428 2 222 BMN y SMNyy yy （当且仅当 1 2 2y 时，等号成立） ， BMN面积取得最小值为8 2.12 分 （法四）令AEtEB（0t ） ，则 12 22xt
34、x， 由法一，可知 12 8y y ， 2 1212 1 4 16 x xy y， 由方程组 12 12 22 , 4, xt x x x 可解得 1 2xt， 2 2 x t ， 根据抛物线的对称性，不妨令点A在第一象限，即 1 0y ， 2 0y ， 2 ,2 2Att， 22 2 ,B tt ，6 分 又3ADAM，由法一，可知 31 2yy ， 23 16y y ，7 分 8 , 4 2Dtt，4 ,0Mt，8 分 设 BD l：xnyb，由方程组 2 , 4 , xnyb yx 消去x并整理，得 2 440ynyb， 则 23 416y yb ， 4b，即4,0N ， 44MNt，1
35、0 分 2 11 4 28 2 2 BMN SMNyt t （当且仅当1t 时，等号成立） ， BMN面积取得最小值为8 2.12 分 【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，其几何关系的向量表达为背景，利用方程思想、韦达定理构建 目标函数，利用坐标法解决几何问题贯穿始终， 主要考查直线与抛物线的位置关系及定点问题、最值问题， 考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力. 21.（本小题满分 12 分） 解： （1）易知 11 cossinetancose axax fxaxxaxx ，1 分 若3a ，则 1 3tancoseaxxfxx ，所以可得下表： x 0, 3 3 , 3
36、2 fx 0 f x 极大值 函数 f x在0, 3 上单调递增，在, 3 2 上单调递减， 函数 f x的极大值点为 3 .3 分 （2） （）0a，在0, 2 上必存在唯一实数 0 x，使得 0 tanxa， 易知函数 f x在 0 0,x上单调递增，在 0, 2 x 上单调递减，4 分 欲证明 f x在 2 0, 1 a a 上单调递增，只需证明 0 2 1 a x a ， 0 tanxa， 0 2 sin 1 a x a ，故只需证明 00 sin xx，5 分 令 sinxg xx，0, 2 x ，则 cos10 xg x ， 函数 g x在0, 2 上单调递减， 当 0 0, 2
37、x 时， 0 00g xg， 00 sin0 xx，即 00 sin xx，亦即 0 2 1 a x a ，6 分 函数 f x在 2 0, 1 a a 上单调递增.7 分 （）先证明当0 x时，有e1 x x ， 令 e1 x xh x ，0 x，则 e10 x h x ，0 x， 函数 h x在0,上单调递增， 当0 x时， e10 x h xx ，即e1 x x ，8 分 再证明函数 f x的最大值 1 0 e a f x ， 显然 0 tanxa， 0 2 1 cos 1 x a ， 0 2 sin 1 a x a ， （法一） 0 1 1 cos 0 1 cos x e x ， 0
38、1 1 cos 0 cos x xe ， 00 000 11 sin 1coscos 00 ecosee axax axxx f xx ， 下证 0 0 1 1 sin cos ee ax x a ，即证 0 0 11 sin cos ax xa ，即证 2 2 2 1 1 1 a a a a ， 2 2 22 11 1 11 a a a aa ， 1 0 e a f x ，10 分 （法二） 0 1 00 esin x axax ， 0 2 1 0000 2 ecossincos 1 ax a f xxaxx a ， 下证 12 2 e 1 a a a ，令 1 t a ，则0t ， 即证
39、2 1 e 1 t t （0t ） ，即证 2 1e10 t t （0t ） ， 令 2 1e1 t tF t ，则 2 1e0 t Ftt， 函数 F t为单调递增函数， 当0t 时， 00F tF， 2 1e10 t t （0t ） ， 1 0 e a f x ，10 分 （法三）欲证 0 1 1 0 ecose ax a x ，即证 0 1 1 0 1 e cos ax a x ， 只需证 0 0 11 cos ax ax ，即证 00 00 11 tan tancos xx xx ， 即证 000 000 sincos1 cossincos xxx xxx ，即证 22 0000 si
40、ncossinxxxx， 只需证 32 000 sincossinxxx，即证 32 000 sinsinsin10 xxx ， 即证 2 00 sin1sin10 xx， 又 0 0, 2 x ，所以 2 00 sin1sin10 xx显然成立， 1 0 e a f x ，10 分 令函数 1 1 cosee ax a xG x ，0, 2 x ， 先求函数 G x在 0, 2 x 上的零点个数， 1 e0 2 a G ， 0 0G x，且函数 G x在 0, 2 x 上单调递减， 函数 G x在 0, 2 x 上有唯一零点，即函数 G x在 0, 2 x 上的零点个数为 1； 再求函数 G
41、 x在 0 0,x上的零点个数， 1 1 0e e a G ， 0 0G x，且函数 G x在 0 0,x上单调递增， 当01a时， 1 1 e e a ，即 00G，故函数 G x在 0 0,x上没有零点， 即函数 G x在 0 0,x上的零点个数为 0； 当1a 时， 1 1 e e a ，即 00G，故函数 G x在 0 0,x上有唯一零点， 即函数 G x在 0 0,x上的零点个数为 1； 综上所述，当01a时，函数 G x的零点个数为 1； 当1a 时，函数 G x的零点个数为 2， 当01a时，关于x的方程 1 e a fx 在0, 2 上的实数解的个数为 1； 当1a 时，关于x
42、的方程 1 e a fx 在0, 2 上的实数解的个数为 2.12 分 【命题意图】本题以基本初等函数及不等式为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论 思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 解： （1）设,M x y，依题意，2cosx，siny， 2cos ,sinM，2 分 由 22 cossin1，可得 2 2 1 4 x y， C的普通方程为 2 2 1 4 x y.4 分 （2） 1 l的倾斜角为（0 2 ） ， 12 ll， 2 l的倾斜角 2 ， 依题意，易知 3,0F ， 可设直线
43、 1 l： 3cos , 3cos xt xt （t为参数） ，5 分 将 3cos , sin, xt yt 代入 2 2 1 4 x y并整理，得 22 1 3sin2 3 cos10tt ， 易知 22 12cos4 1 3sin160 ， 设D，E对应的参数分别为 1 t， 2 t， 则 12 2 2 3cos 1 3sin tt ， 1 2 2 1 1 3sin t t ，7 分 2 12121 2 2 4 4 1 3sin ttttt t ， 由参数的几何意义，得 12 121 2 1111 4 tt FEFDttt t ，8 分 设G，H对应的参数分别为 3 t， 4 t，同理，
44、对于直线 2 l，将换为 2 ， 2 34343 4 2 4 4 1 3cos GHttttt t ，9 分 1 FE ，GH， 1 FD 依次成等差数列， 11 2 GH FEFD ， 2 4 2 1 3cos GH ， 2 1 cos 3 ，易得tan2，即 2 l的斜率为 2 2 ， 直线 2 l的普通方程为230 xy.10 分 【命题意图】本题主要考查椭圆的参数方程，直线参数方程中参数的几何意义，考查数学运算、逻辑推理 等核心素养.考查学生的化归与转化能力. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 解： （1）证明：a，b，c为正实数，且1a b c ， 10b ca
45、 ，2 分 1 1 2 abc 111 222 aaaa 当且仅当 1 0 2 aa 时，即当 1 0 2 a时，等号成立， 11 1 22 abc .4 分 （2） （法一） 333 222222 111111 3abcabc abcabc 6 分 3 2223 22 bcacabcbcaab abc abcbcacba 8 分 3 222 2 c bc aa b abc b ca cb a 33abc ， （当且仅当 1 3 abc时，等号成立） 333 222 111 3abc abc .10 分 （法二） 333333 abcabcabc 2 2 333222 aabbccabc， 2 333222 222222 111111 abcabc abcabc ，6 分 又 2 222 222 111111 9abcabc abcabc ， 2 222222 222 111 9abcabc abc ，8 分 又 2222222222 93 1113()3abcabcabc， 333 222 111 3abc abc .10 分 【命题意图】本题以绝对值不等式和均值不等式的证明为载体，考查学生的运算能力，转化化归思想及数 学抽象，逻辑推理等数学核心