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河北省石家庄市新华区2020年6月高考全仿真数学试题(理科)含答案

1、2 2020020 年高三全仿真模拟理科数学年高三全仿真模拟理科数学试卷试卷 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的.) 1.设集合 2 lg34AxZ yxx, 24 x Bx,则AB ( ) A.2,4 B.2

2、,4 C. 3 D.2,3 2.满足条件4zizi的复数z对应点的轨迹是( ) A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 3.已知0,1x,令log 5 x a ,cosbx,3xc ,那么a,b,c之间的大小关系为( ) A.abc B.bac C.bca D.cab 4.如图,点 A 的坐标为1,0,点 C 的坐标为2,4.函数 2 f xx,若在矩形ABCD内随机取一点.则该 点取自阴影部分的概率为( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 5 12 5.从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人天,要求星期五有 2 人参加, 星期六、星期日各有

3、 1 人参加,则不同的选派方法共有( ) A.40 种 B.60 种 C.100 种 D.120 种 6.已知函数 f x的图象如图所示,则函数 f x的解析式可能是( ) A. 44| xx f xx B. 4 44log | xx f xx C. 1 4 44log | xx f xx D. 4 44log | xx f xx 7.大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生 原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中华传统文化中隐藏着 的世界数学史上第一道数列题.其规律是:偶数项是序号平方再除以 2,奇数项是序号

4、平方减 1 再除以 2,其 前 10 项依次是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前 100 项而设计的,那么在两个判断框中,可以先后填入( ) A.n 是偶数?,100?n B.n 是奇数?,100?n C.n 是偶数?,100?n D.n 是奇数?,100?n 8.下列判断正确的个数是( ) “2x”是“ln30 x”的充分不必要条件 函数 2 2 1 ( )9 9 f xx x 的最小值为 2 当,R 时,命题“若,则sinsin”的逆否命题为真命题 命题“0 x ,201920190 x ”的否定是“” A.0 B.1 C.2 D

5、.3 9.已知函数 2sin0,| 2 f xx ,其图象相邻的最高点之间的距离为,将函数 yf x的图象向左平移 12 个单位长度后得到函数 g x的图象,且 g x为奇函数,则( ) A. f x的图象关于点,0 6 对称 B. f x的图象关于点,0 6 对称 C. f x在, 6 3 上单调递增 D. f x在 2 , 36 上单调递增 10.已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F,圆 222 xyb与双曲线在第一象 限内的交点为 M,若 12 3MFMF.则该双曲线的离心率为( ) A.2 B.3 C.2 D.3 11.过正方体 11

6、11 ABCDABC D的顶点 A 作平面,使每条棱在平面的正投影的长度都相等,则这样的 平面可以作( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 12.已知 2 2 log1 ,13 123 5,3 22 xx f x xxx ,若 fxm有四个不同的实根 1 x, 2 x, 3 x, 4 x,且 1234 xxxx,则 34 12 mm xx xx 的取值范围( ) A.0,10 B.0,10 C.0,4 D.0,4 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.二项式 5 1 x x 的展开式中含x的项的系数是_. 14.已知平面向量a,b满足1, 1a ,

7、1b ,22ab,则a与b的夹角为_. 15.设数列 n a的前 n 项和为 n S,若 1 1 2 a 且当2n时, 1nnn aSS ,则 n a的通项公式 n a _. 16.四棱锥SABCD中,底面ABCD是边长为 2 的正方形,侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角形,若 2 24SC,则四棱锥SABCD的体积取值范围为_. 三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题,每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答) (一)必考题:60 分. 17.(12 分)如图在ABC中,点 P 在边BC上, 3 C ,2AP

8、,4AC PC . (1)求APB; (2)若ABC的面积为 5 3 2 ,求sinPAB. 18.(12 分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为 2 的正方形,且2PAPB,若点 E, F 分别为AB和CD的中点. (1)求证:平面 ABCD平面 PEF; (2)若二面角PAB C的平面角的余弦值为 3 6 ,求PC与平面PAB所成角的正弦值. 19.(12 分)某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨,通过试验田培育,得到了这些康乃馨种子在当地 环境下的发芽率,并按发芽率分为 8 组:0.486,0.536、0.536,0.586、0.836,0.886加以统计, 得到如图所示

9、的频率分布直方图.企业对康乃馨的种子进行分级, 将发芽率不低于 0.736 的种子定为 “A 级” , 发芽率低于 0.736 但不低于 0636 的种子定为“B 级” ,发芽率低于 0.636 的种子定为“C 级”. (1)现从这些康乃馨种子中随机抽取一种,估计该种子不是“C 级”种子的概率; (2)该花卉企业销售花种,且每份“A 级” 、 “B 级” 、 “C 级”康乃馨种子的售价分别为 20 元、15 元、10 元.某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份,共花费 X 元,以频率为概率,求 X 的分布列和 数学期望; (3)企业改进了花卉培育技术,使得每种康乃馨种子的发芽率提高到

10、原来的 1.1 倍,那么对于这些康乃馨 的种子,与旧的发芽率数据的方差相比,技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化?若发生变化,是变 大了还是变小了?(结论不需要证明). 20. (12 分) 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 3 2 , 其右顶点为 A, 下顶点为 B, 定点0,2C, ABC的面积为 3,过点 C 作与 y 轴不重合的直线l交椭圆 C 于 P,Q 两点,直线BP,BQ分别与 x 轴交 于 M,N 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)试探究 M,N 的横坐标的乘积是否为定值,若是,请求出该定值;若不是,请说明理由. 21.(12 分)已知函数

11、 2 1 ln2 2 f xxxax,其中aR. (1)讨论函数 f x的单调性; ( 2)若函数 f x存 在两个极值点 1 x, 2 x(其中 21 xx) ,且 21 f xf x的取值 范围为 153 2ln2,ln2 84 ,求 a 的取值范围. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (10 分) 在平面直角坐标系xOy中,已知曲线 C 的参数方程为 cos sin x y (为参数) ,直线l的参数方程为 24 2 13 10 13 xt yt (t为参数) ,点 P 的坐标

12、为2,0. (1)若点 Q 在曲线 C 上运动,点 M 在线段PQ上运动,且2PMMQ,求动点 M 的轨迹方程. (2)设直线与曲线 C 交于 A,B 两点,求PA PB的值. 23.【选修 4-5:不等式选讲】 (10 分) (1)已知, ,a b cR,且1a b c ,证明: 111 9 abc ; (2)已知, ,a b cR,且1abc.证明: 111 cba abc . 20202020 年高三全仿真模拟答案年高三全仿真模拟答案 一、选择题 1-12DAADB DDBCD DA 12.详解:由题设,有 f xm在1,3上有两个不同的解 1 x, 2 x,在3,上有两个不同的解 3

13、x, 4 x. 当1,3x时, 2 log1f xx,故 2122 log1log1xx, 因为 12 xx,故 2122 log1log1xx, 所以 12 111xx即 1212 x xxx且01m. 当3,x时, 2 123 5 22 f xxx, 34 10 xx且01m. 所以 34 12 100,10 mm xxm xx ,故选 A. 二、填空 13.5 14. 3 4 15. 1 ,1 2 1 ,2 1 n n n n 16. 4 3 8 , 33 16. 【解析】 如图所示, 四棱锥SABCD中, 可得:ADSA;ADABAD平面SAB平面SAB 平面ABCD, 过 S 作SO

14、AB于 O, 则SO平面ABCD, 故 14 33 SABCDABCD VSSOSO , 在S A B 中,2SAAB,设SAB,则有232cosSC,又 112 2 24cos, 2233 SC ,则2sin3,2SO ,四棱锥SABCD的体积 取值范围为 4 3 8 , 33 . 三、解答题 17.(12 分) 【解析(1)在APC中,因为 3 C ,2AP ,4AC PC, 设ACx,则 4 PC x 由余弦定理得: 2 22 44 22cos 3 xx xx ,得2x,.4 分 则ACPCAP,此时APC为等边三角形,从而 2 3 APB ;.6 分 (2)由 15 3 sin 232

15、 ABC SAC BC ,得5BC ,则3BP,.8 分 作ADBC交BC于 D,由(1)知,在等边APC中,3AD ,1PD , 在RtABD中 22 3 1619ABADBD.10 分 在ABP中,由正弦定理得 sinsin ABPB APBPAB ,所以 3 3 3 57 2 sin 3819 PAB .12 分 18.【详解】 (1)PAPB,E为AB中点,ABPE, 又ABEF,PE 平面PEF,EF 平面PEF,PEEFE, AB 平面PEF,又AB 平面ABCD, 平面ABCD平面PEF.5 分 (2)PEAB,EFAB,平面PAB平面ABCDAB, PEF就是二面角PAB C的

16、平面角,所以 3 cos 6 PEF, 如图作POEF,垂足为 O,则 3 63 OEOE PE ,所以 1 2 OE , 3 2 OF ,则 11 2 OP , 如图,建立空间直角坐标系,.7 分 则 11 0,0, 2 P , 3 1,0 2 C , 1 1,0 2 A , 1 1,0 2 B , 设平面PAB的法向量为, ,nx y z,则 0 0 PB n AB n ,即 111 0 22 20 xyz x ,令1z ,则 0 11 1 x y z , 则 0,11,1n 是平面PAB的一个法向量,.9 分 311 1, 22 PC ,.10 分 则 2 1122 sincos, 61

17、26 n PC n PC nPC . 所以PC与平面PAB所成角的正弦值 22 6 .12 分 19.(1)设事件 M 为: “从这些康乃馨种子中随机抽取一种,且该种子不是“C 级”种子” ,由图表,得 0.4 1.24.06.04.4 1.20.40.051a ,解得2.4a, 由图表,知“C 级”种子的频率为0.4 1.22.40.050.2, 故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种,该种子是“C 级”的概率为 0.2. 因为事件 M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种,且该种子是“C 级”种子”为对立事件,所以事 件 M 的概率1 0.20.8P M ;.4 分 (2)由题意,任取一

18、颗种子,恰好是“A 级”康乃馨的概率为4.4 1.20.40.050.3, 恰好是“B 级”康乃馨的概率为4.06.00.050.5, 恰好是“C 级”的概率为0.4 1.22.40.050.2. 随机变量 X 的可能取值有 20、25、30、35、40,.6 分 且 2 200.20.04P X ,252 0.5 0.20.2P X , 2 300.52 0.3 0.20.37P X ,350.3 0.5 20.3P X , 2 400.320.09P X . 所以 X 的分布列为 X 20 25 30 35 40 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 故 X 的数学期20 0.

19、0425 0.2 30 0.3735 0.3 40 0.0931E X .10 分 (3)与旧的发芽率数据的方差相比,技术改进后发芽率数据的方差变大了.12 分 20.(1)由已知,A,B 的坐标分别是,0A a,0,Bb,由于ABC的面积为 3, 1 23 2 b a,又由 3 2 e 得2ab,解得:1b,或3b(舍去) , 2a,1b椭圆方程为 2 2 1 4 x y;.5 分 (2)设直线PQ的方程为2ykx,P,Q 的坐标分别为 11 ,P x y, 22 ,Q x y 则直线BP的方程为 1 1 1 1 y yx x ,令0y ,得点 M 的横坐标 1 1 1 M x x y 直线

20、BQ的方程为 2 2 1 1 y yx x ,令0y ,得点 N 的横坐标 2 2 1 N x x y .7 分 121212 2 12121212 113339 MN x xx xx x xx yykxkxk x xk xx .8 分 把直线2ykx代入椭圆 2 2 1 4 x y得 22 1416120kxkx 由韦达定理得 12 2 12 14 x x k , 12 2 16 14 k xx k .10 分 2 22222 22 12 124 14 124812489363 9 1414 MN k x x kkkkk kk ,是定值.12 分 21.解: (1) 2 121 20 xax

21、 fxxax xx .1 分 令 2 21g xxax,则 2 44a , 当0a或0,即1a 时, 0fx恒成立,所以 f x在0,上单调递增.3 分 当 0 0 a ,即1a 时, 由 0fx,得 2 01xaa或 2 1xaa 由 0fx,得 22 11aaxaa , f x在 2 0,1aa和 2 , 1aa上单调递增,在 22 1,1aaaa上单调递减. 综上所述,当1a 时, f x在0,上单调递增; 当1a 时, f x在 2 0,1aa和 2 , 1aa上单调递增,在 22 1,1aaaa上单 调递减.5 分 (2)由(1)得,当1a 时, f x有两极值点 1 x, 2 x(

22、其中 21 xx). 由(1)得 1 x, 2 x为 2 210g xxax 的两根,所以 12 2xxa, 12 1x x .6 分 所以 22 2 21212 1 1 1 ln2 2 x f xf xxxa xx x 2222 221221221 1112112 lnlnln 2222 xxxxxxxxx xxx xxxx .8 分 令 2 1 1 x tt x ,则 21 11 ln 22 f xf xh ttt t , 因为 2 2 222 111121 0 2222 ttt h t tttt , 所以 h t在1,上单调递减,而 3 2ln2 4 h, 15 42ln2 8 h, 所

23、以24t .10 分 又 2 122 12 1 422,4 xx att x xt ,易知 1 2xt t 在2,4上单调递增, 所以 2 925 4 24 a 所以实数 a 的取值范围为 3 2 5 , 44 .12 分 22.(1)cos ,sinQ,,M x y, 则由2PMMQ,得,2,2 cos,sinxyxy 即 322cos 32sin x y , 消去,得 2 2 24 39 xy ,此即为点 M 的轨迹方程.5 分 (2)曲线 C 的普通方程为 22 1xy,直线l的普通方程 5 2 12 yx, 设为直线l的倾斜角,则 5 tan 12 , 5 sin 13 , 12 co

24、s 13 , 则直线l的参数方程可设为 12 2 13 5 13 xt yt ( t 为参数) , 代入曲线 C 的普通方程,得 2 48 30 13 tt, 由于 2 48276 120 13169 , 故可设点 A,B 对应的参数为 1 t , 2 t , 则 121 2 3PA PBtttt .10 分 23.证明: (1) 111abcabcabc abcabc 111 bcacab aabbcc 39 babcac abcbca , 当abc时等号成立.5 分 (2)因为 1111 1111111111 222 22abcabacbcabacbc , 又因为1abc,所以 1 c ab , 1 b ac , 1 a bc , 111 cba abc . 当abc时等号成立,即原不等式成立.10 分