1、2 2020020 年高三全仿真模拟理科数学年高三全仿真模拟理科数学试卷试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.） 1.设集合 2 lg34AxZ yxx， 24 x Bx，则AB （ ） A.2,4 B.2
2、,4 C. 3 D.2,3 2.满足条件4zizi的复数z对应点的轨迹是（ ） A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 3.已知0,1x，令log 5 x a ，cosbx，3xc ，那么a，b，c之间的大小关系为（ ） A.abc B.bac C.bca D.cab 4.如图，点 A 的坐标为1,0，点 C 的坐标为2,4.函数 2 f xx，若在矩形ABCD内随机取一点.则该 点取自阴影部分的概率为（ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 5 12 5.从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人天，要求星期五有 2 人参加， 星期六、星期日各有
3、 1 人参加，则不同的选派方法共有（ ） A.40 种 B.60 种 C.100 种 D.120 种 6.已知函数 f x的图象如图所示，则函数 f x的解析式可能是（ ） A. 44| xx f xx B. 4 44log | xx f xx C. 1 4 44log | xx f xx D. 4 44log | xx f xx 7.大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生 原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着 的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以 2，奇数项是序号
4、平方减 1 再除以 2，其 前 10 项依次是 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前 100 项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入（ ） A.n 是偶数？，100?n B.n 是奇数？，100?n C.n 是偶数？，100?n D.n 是奇数？，100?n 8.下列判断正确的个数是（ ） “2x”是“ln30 x”的充分不必要条件 函数 2 2 1 ( )9 9 f xx x 的最小值为 2 当,R 时，命题“若，则sinsin”的逆否命题为真命题 命题“0 x ，201920190 x ”的否定是“” A.0 B.1 C.2 D
5、.3 9.已知函数 2sin0,| 2 f xx ，其图象相邻的最高点之间的距离为，将函数 yf x的图象向左平移 12 个单位长度后得到函数 g x的图象，且 g x为奇函数，则（ ） A. f x的图象关于点,0 6 对称 B. f x的图象关于点,0 6 对称 C. f x在, 6 3 上单调递增 D. f x在 2 , 36 上单调递增 10.已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，圆 222 xyb与双曲线在第一象 限内的交点为 M，若 12 3MFMF.则该双曲线的离心率为（ ） A.2 B.3 C.2 D.3 11.过正方体 11
6、11 ABCDABC D的顶点 A 作平面，使每条棱在平面的正投影的长度都相等，则这样的 平面可以作（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 12.已知 2 2 log1 ,13 123 5,3 22 xx f x xxx ，若 fxm有四个不同的实根 1 x， 2 x， 3 x， 4 x，且 1234 xxxx，则 34 12 mm xx xx 的取值范围（ ） A.0,10 B.0,10 C.0,4 D.0,4 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.二项式 5 1 x x 的展开式中含x的项的系数是_. 14.已知平面向量a，b满足1, 1a ，
7、1b ，22ab，则a与b的夹角为_. 15.设数列 n a的前 n 项和为 n S，若 1 1 2 a 且当2n时， 1nnn aSS ，则 n a的通项公式 n a _. 16.四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为 2 的正方形，侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角形，若 2 24SC，则四棱锥SABCD的体积取值范围为_. 三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：60 分. 17.（12 分）如图在ABC中，点 P 在边BC上， 3 C ，2AP
8、，4AC PC . （1）求APB； （2）若ABC的面积为 5 3 2 ，求sinPAB. 18.（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 2 的正方形，且2PAPB，若点 E， F 分别为AB和CD的中点. （1）求证：平面 ABCD平面 PEF； （2）若二面角PAB C的平面角的余弦值为 3 6 ，求PC与平面PAB所成角的正弦值. 19.（12 分）某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地 环境下的发芽率，并按发芽率分为 8 组：0.486,0.536、0.536,0.586、0.836,0.886加以统计， 得到如图所示
9、的频率分布直方图.企业对康乃馨的种子进行分级， 将发芽率不低于 0.736 的种子定为 “A 级” ， 发芽率低于 0.736 但不低于 0636 的种子定为“B 级” ，发芽率低于 0.636 的种子定为“C 级”. （1）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率； （2）该花卉企业销售花种，且每份“A 级” 、 “B 级” 、 “C 级”康乃馨种子的售价分别为 20 元、15 元、10 元.某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费 X 元，以频率为概率，求 X 的分布列和 数学期望； （3）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到
10、原来的 1.1 倍，那么对于这些康乃馨 的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变 大了还是变小了？（结论不需要证明）. 20. （12 分） 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 3 2 ， 其右顶点为 A， 下顶点为 B， 定点0,2C， ABC的面积为 3，过点 C 作与 y 轴不重合的直线l交椭圆 C 于 P，Q 两点，直线BP，BQ分别与 x 轴交 于 M，N 两点. （1）求椭圆 C 的方程； （2）试探究 M，N 的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 21.（12 分）已知函数
11、 2 1 ln2 2 f xxxax，其中aR. （1）讨论函数 f x的单调性； （ 2）若函数 f x存 在两个极值点 1 x， 2 x（其中 21 xx） ，且 21 f xf x的取值 范围为 153 2ln2,ln2 84 ，求 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】 （10 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线 C 的参数方程为 cos sin x y （为参数） ，直线l的参数方程为 24 2 13 10 13 xt yt （t为参数） ，点 P 的坐标
12、为2,0. （1）若点 Q 在曲线 C 上运动，点 M 在线段PQ上运动，且2PMMQ，求动点 M 的轨迹方程. （2）设直线与曲线 C 交于 A，B 两点，求PA PB的值. 23.【选修 4-5：不等式选讲】 （10 分） （1）已知, ,a b cR，且1a b c ，证明： 111 9 abc ； （2）已知, ,a b cR，且1abc.证明： 111 cba abc . 20202020 年高三全仿真模拟答案年高三全仿真模拟答案 一、选择题 1-12DAADB DDBCD DA 12.详解：由题设，有 f xm在1,3上有两个不同的解 1 x， 2 x，在3,上有两个不同的解 3
13、x， 4 x. 当1,3x时， 2 log1f xx，故 2122 log1log1xx， 因为 12 xx，故 2122 log1log1xx， 所以 12 111xx即 1212 x xxx且01m. 当3,x时， 2 123 5 22 f xxx， 34 10 xx且01m. 所以 34 12 100,10 mm xxm xx ，故选 A. 二、填空 13.5 14. 3 4 15. 1 ,1 2 1 ,2 1 n n n n 16. 4 3 8 , 33 16. 【解析】 如图所示， 四棱锥SABCD中， 可得：ADSA；ADABAD平面SAB平面SAB 平面ABCD， 过 S 作SO
14、AB于 O， 则SO平面ABCD， 故 14 33 SABCDABCD VSSOSO ， 在S A B 中，2SAAB，设SAB，则有232cosSC，又 112 2 24cos, 2233 SC ，则2sin3,2SO ，四棱锥SABCD的体积 取值范围为 4 3 8 , 33 . 三、解答题 17.（12 分） 【解析（1）在APC中，因为 3 C ，2AP ，4AC PC， 设ACx，则 4 PC x 由余弦定理得： 2 22 44 22cos 3 xx xx ，得2x，.4 分 则ACPCAP，此时APC为等边三角形，从而 2 3 APB ；.6 分 （2）由 15 3 sin 232
15、 ABC SAC BC ，得5BC ，则3BP，.8 分 作ADBC交BC于 D，由（1）知，在等边APC中，3AD ，1PD ， 在RtABD中 22 3 1619ABADBD.10 分 在ABP中，由正弦定理得 sinsin ABPB APBPAB ，所以 3 3 3 57 2 sin 3819 PAB .12 分 18.【详解】 （1）PAPB，E为AB中点，ABPE， 又ABEF，PE 平面PEF，EF 平面PEF，PEEFE， AB 平面PEF，又AB 平面ABCD， 平面ABCD平面PEF.5 分 （2）PEAB，EFAB，平面PAB平面ABCDAB， PEF就是二面角PAB C的
16、平面角，所以 3 cos 6 PEF， 如图作POEF，垂足为 O，则 3 63 OEOE PE ，所以 1 2 OE ， 3 2 OF ，则 11 2 OP ， 如图，建立空间直角坐标系，.7 分 则 11 0,0, 2 P ， 3 1,0 2 C ， 1 1,0 2 A ， 1 1,0 2 B ， 设平面PAB的法向量为, ,nx y z，则 0 0 PB n AB n ，即 111 0 22 20 xyz x ，令1z ，则 0 11 1 x y z ， 则 0,11,1n 是平面PAB的一个法向量，.9 分 311 1, 22 PC ，.10 分 则 2 1122 sincos, 61
17、26 n PC n PC nPC . 所以PC与平面PAB所成角的正弦值 22 6 .12 分 19.（1）设事件 M 为： “从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子” ，由图表，得 0.4 1.24.06.04.4 1.20.40.051a ，解得2.4a， 由图表，知“C 级”种子的频率为0.4 1.22.40.050.2， 故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为 0.2. 因为事件 M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件，所以事 件 M 的概率1 0.20.8P M ；.4 分 （2）由题意，任取一
18、颗种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为4.4 1.20.40.050.3， 恰好是“B 级”康乃馨的概率为4.06.00.050.5， 恰好是“C 级”的概率为0.4 1.22.40.050.2. 随机变量 X 的可能取值有 20、25、30、35、40，.6 分 且 2 200.20.04P X ，252 0.5 0.20.2P X ， 2 300.52 0.3 0.20.37P X ，350.3 0.5 20.3P X ， 2 400.320.09P X . 所以 X 的分布列为 X 20 25 30 35 40 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 故 X 的数学期20 0.
19、0425 0.2 30 0.3735 0.3 40 0.0931E X .10 分 （3）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了.12 分 20.（1）由已知，A，B 的坐标分别是,0A a，0,Bb，由于ABC的面积为 3， 1 23 2 b a，又由 3 2 e 得2ab，解得：1b，或3b（舍去） ， 2a，1b椭圆方程为 2 2 1 4 x y；.5 分 （2）设直线PQ的方程为2ykx，P，Q 的坐标分别为 11 ,P x y， 22 ,Q x y 则直线BP的方程为 1 1 1 1 y yx x ，令0y ，得点 M 的横坐标 1 1 1 M x x y 直线
20、BQ的方程为 2 2 1 1 y yx x ，令0y ，得点 N 的横坐标 2 2 1 N x x y .7 分 121212 2 12121212 113339 MN x xx xx x xx yykxkxk x xk xx .8 分 把直线2ykx代入椭圆 2 2 1 4 x y得 22 1416120kxkx 由韦达定理得 12 2 12 14 x x k ， 12 2 16 14 k xx k .10 分 2 22222 22 12 124 14 124812489363 9 1414 MN k x x kkkkk kk ，是定值.12 分 21.解： （1） 2 121 20 xax
21、 fxxax xx .1 分 令 2 21g xxax，则 2 44a ， 当0a或0，即1a 时， 0fx恒成立，所以 f x在0,上单调递增.3 分 当 0 0 a ，即1a 时， 由 0fx，得 2 01xaa或 2 1xaa 由 0fx，得 22 11aaxaa ， f x在 2 0,1aa和 2 , 1aa上单调递增，在 22 1,1aaaa上单调递减. 综上所述，当1a 时， f x在0,上单调递增； 当1a 时， f x在 2 0,1aa和 2 , 1aa上单调递增，在 22 1,1aaaa上单 调递减.5 分 （2）由（1）得，当1a 时， f x有两极值点 1 x， 2 x（
22、其中 21 xx）. 由（1）得 1 x， 2 x为 2 210g xxax 的两根，所以 12 2xxa， 12 1x x .6 分 所以 22 2 21212 1 1 1 ln2 2 x f xf xxxa xx x 2222 221221221 1112112 lnlnln 2222 xxxxxxxxx xxx xxxx .8 分 令 2 1 1 x tt x ，则 21 11 ln 22 f xf xh ttt t ， 因为 2 2 222 111121 0 2222 ttt h t tttt ， 所以 h t在1,上单调递减，而 3 2ln2 4 h， 15 42ln2 8 h， 所
23、以24t .10 分 又 2 122 12 1 422,4 xx att x xt ，易知 1 2xt t 在2,4上单调递增， 所以 2 925 4 24 a 所以实数 a 的取值范围为 3 2 5 , 44 .12 分 22.（1）cos ,sinQ，,M x y， 则由2PMMQ，得，2,2 cos,sinxyxy 即 322cos 32sin x y ， 消去，得 2 2 24 39 xy ，此即为点 M 的轨迹方程.5 分 （2）曲线 C 的普通方程为 22 1xy，直线l的普通方程 5 2 12 yx， 设为直线l的倾斜角，则 5 tan 12 ， 5 sin 13 ， 12 co
24、s 13 ， 则直线l的参数方程可设为 12 2 13 5 13 xt yt （ t 为参数） ， 代入曲线 C 的普通方程，得 2 48 30 13 tt， 由于 2 48276 120 13169 ， 故可设点 A，B 对应的参数为 1 t ， 2 t ， 则 121 2 3PA PBtttt .10 分 23.证明： （1） 111abcabcabc abcabc 111 bcacab aabbcc 39 babcac abcbca ， 当abc时等号成立.5 分 （2）因为 1111 1111111111 222 22abcabacbcabacbc ， 又因为1abc，所以 1 c ab ， 1 b ac ， 1 a bc ， 111 cba abc . 当abc时等号成立，即原不等式成立.10 分