1、2020 年东莞市高考数学二模试卷（文科）年东莞市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题）. 1已知集合 Ax|x23x，B1，1，2，3，则 AB（ ） A1，1，2 B1，2 C1，2，3 D1，2 2已知复数，i 为虚数单位，则（ ） A B C D 3 在一个圆柱内挖去一个圆锥， 圆锥的底面与圆柱的上底面重合， 顶点是圆柱下底面中心 若 圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为（ ） A3 B4 C D4 4设等差数列an前 n 项和 Sn，满足 a3+a46，2a59，则 S7（ ） A B21 C D28 5某轮船公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单
2、位：mm）进行质检，若从这批轮胎中随机 选取 3 个，至少有 2 个轮胎的宽度在 1953 内，则称这批轮胎基本合格已知这批轮胎 的宽度分别为 195，196，190，194，200，则这批轮胎基本合格的概率为（ ） A B C D 6古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作圆锥曲线论中记载了用平面切割圆锥得到圆锥 曲线的方法如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合），已知两个圆 锥的底面半径均为 1，母线长均为 3，记过圆锥轴的平面 ABCD 为平面 （ 与两个圆锥 侧面的交线为 AC，BD），用平行于 的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即 双曲线的一部分，且双曲线的两条渐近线分别平
3、行于 AC，BD，则双曲线的离心 率为（ ） A B C D 7已知 为锐角，cos，则（ ） A B C2 D3 8已知函数为偶函数，若曲线 yf（x）的一条切线与直线 2x+3y0 垂直， 则切点的横坐标为（ ） A Bln2 C2 D2ln2 9已知 A，B，C 三点不共线，且点 O 满足 ，则（ ） A B C D 10ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bcosC+ccosB6，c3，B2C， 则 cosC 的值为（ ） A B C D 11在三棱锥 ABCD 中，ABD 与CBD 均为边长为 2 的等边三角形，且二面角 ABD C 的平面角为 120，则该三
4、棱锥的外接球的表面积为（ ） A B7 C D8 12已知函数 f（x）e|x|ax2，对任意 x10，x20，都有（x2x1）（f（x2）f（x1） 0，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知实数 x，y 满足，则目标函数 z2x+y 的最大值为 14设等比数列an前 n 项和 Sn，满足，则公比 q 为 15若非零向量 ， 满足| |4| |，（2 ） ，则 与 的夹角为 16在三棱锥 ABCD 中，ABAD，当三棱锥 ABCD 的体积最大时，三棱锥 ABCD 外接球的体积与三棱锥 ABCD 的体积之比为 三
5、、 解答题 （共 70 分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题（60 分） 17已知数列an是等比数列，数列bn满足 b1b2，b3，an+1bn+12nbn+1 （1）求an的通项公式； （2）求bn的前 n 项和 18已知几何体 ABCDEF 中，ABCD，FCEA，ADAB，AE面 ABCD，ABADEA 2，CDCF4 （1）求证：平面 BDF平面 BCF； （2）求点 B 到平面 ECD 的距离 19为了提高生产效益，某企业引进一批新的生产设备，为了解设备生产产品的
6、质量情况， 分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取 100 件产品进行质量检测，所有产品质 量指标值均在（15，45以内，规定质量指标值大于 30 的产品为优质品，质量指标值在 （15， 30以内的产品为合格品 旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示， 新设备所生产的产品质量指标如频数分布表所示 质量指标值 频数 （15，20 2 （20，25 8 （25，30 20 （30，35 30 （35，40 25 （40，45 15 合计 100 （1）请分别估计新、旧设备所生产的产品优质品率 （2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越 高根据已知图表
7、数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有 95%的把握认为“产 品质量高低与新设备有关” 非优质品 优质品 合计 新设备产品 旧设备产品 合计 （3）已知每件产品的纯利润 y（单位：元）与产品质量指标 t 的关系式为 若每台新设备每天可以生产 1000 件产品，买一台新设备需要 80 万元，请估计至少需要生产多少天才可以收回设备成本 参考公式：，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20已知点 O（0，0）、点 P（4，
8、0）及抛物线 C：y24x （1）若直线 l 过点 P 及抛物线 C 上一点 Q，当OPQ 最大时求直线 l 的方程； （2）问 x 轴上是否存在点 M，使得过点 M 的任一条直线与抛物线 C 交于点 A、B，且点 M 到直线 AP、BP 的距离相等？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由 21已知 f（x）+alnxax （1）若 a0，讨论函数 f（x）的单调性； （2）当 a1 时，若不等式x0 在1，+）上恒成立，求 b 的取值范围 选考题（10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 x
9、Oy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C1的极坐标方程为 cos2sin1 若 P 为曲线 C1上的动点， Q 是射线 OP 上的 一动点，且满足|OP| |OQ|2，记动点 Q 的轨迹为 C2 （1）求 C2的直角坐标方程； （2）若曲线 C1与曲线 C2交于 M，N 两点，求OMN 的面积 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 （1）当 k1 时，解不等式 f（x）1； （2）若 f（x）x 对于任意的实数 x 恒成立，求实数 k 的取值范围 参考答案 一、单项选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题
10、目要求的） 1已知集合 Ax|x23x，B1，1，2，3，则 AB（ ） A1，1，2 B1，2 C1，2，3 D1，2 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 解：集合 Ax|x23xx|0 x3， B1，1，2，3， AB1，2 故选：D 2已知复数，i 为虚数单位，则（ ） A B C D 【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，进而求得答案 解：因为复数； 故 i； 所以：； 故选：B 3 在一个圆柱内挖去一个圆锥， 圆锥的底面与圆柱的上底面重合， 顶点是圆柱下底面中心 若 圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为（ ） A3 B4 C D4 【分析】首先求出圆锥
11、的母线的长和圆锥的底面周长，进一步利用侧面积公式的应用求 出结果 解：根据题意知：圆锥的高为 2，圆锥的底面半径为 1， 所以圆锥的底面周长为 2，圆锥的母线长为， 所以圆锥的侧面展开面的面积为 S 故选：C 4设等差数列an前 n 项和 Sn，满足 a3+a46，2a59，则 S7（ ） A B21 C D28 【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解 解：因为等差数列an满足 a3+a46，2a59， 所以，解可得 a1，d1， 则 S77 故选：C 5某轮船公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm）进行质检，若从这批轮胎中随机 选取 3 个，至少有 2 个轮胎的宽度在
12、 1953 内，则称这批轮胎基本合格已知这批轮胎 的宽度分别为 195，196，190，194，200，则这批轮胎基本合格的概率为（ ） A B C D 【分析】5 个轮胎中宽度合格的有 3 个，由此能求出这批轮胎基本合格的概率 解：若从这批轮胎中随机选取 3 个，至少有 2 个轮胎的宽度在 1953 内，则称这批轮胎 基本合格 这批轮胎的宽度分别为 195，196，190，194，200， 其中宽度合格的有：195，196，194，共 3 个， 则这批轮胎基本合格的概率为 P 故选：A 6古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作圆锥曲线论中记载了用平面切割圆锥得到圆锥 曲线的方法如图，将两个完全相同
13、的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合），已知两个圆 锥的底面半径均为 1，母线长均为 3，记过圆锥轴的平面 ABCD 为平面 （ 与两个圆锥 侧面的交线为 AC，BD），用平行于 的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即 双曲线的一部分，且双曲线的两条渐近线分别平行于 AC，BD，则双曲线的离心 率为（ ） A B C D 【分析】 设与平面 平行的平面为 ， 以 AC， BD 的交点在平面 内的射影为坐标原点， 两圆锥的轴在平面 内的射影为 x 轴，在平面 内与 x 轴垂直的直线为 y 轴，建立平面 直角坐标系 根据渐近线方程求得， 得离心率 解：设与平面 平行的平面为 ，以 AC，BD 的交点
14、在平面 内的射影为坐标原点，两 圆锥的轴在平面 内的射影为 x 轴，在平面 内与 x 轴垂直的直线为 y 轴，建立平面直 角坐标系 根据题意可设双曲线 由题意可得双曲线的渐近线方程为， 由，得离心率 故选：A 7已知 为锐角，cos，则（ ） A B C2 D3 【分析】根据条件利用正切的二倍角公式先求得 tan，再利用两角差的正切公式 即可求出答案 解：因为 为锐角，所以 sin，则 tan， 故 tan，解得 tan（2 舍去） 所以， 故选：B 8已知函数为偶函数，若曲线 yf（x）的一条切线与直线 2x+3y0 垂直， 则切点的横坐标为（ ） A Bln2 C2 D2ln2 【分析】根
15、据函数为偶函数可得 a 的值，进而表示出切线的斜率，列出方程 ，解出 x0即可 解：因为 f（x）为偶函数，所以 f（x）f（x），即 ex+ex+aex，则 a1， 所以 f（x）ex+ex，则 f（x）exex 设切点得横坐标为 x0， 则 解得， 所以 x0ln2 故选：B 9已知 A，B，C 三点不共线，且点 O 满足 ，则（ ） A B C D 【分析】把已知条件整理即可求解结论 解：因为点 O 满足 16123 ， 故+1212+33 ； 即：+12+3 12+3； 故选：A 10ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bcosC+ccosB6，c3，B2C，
16、则 cosC 的值为（ ） A B C D 【分析】由已知利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理可得 b6cosC，利用两角和的正 弦函数公式， 正弦定理化简已知等式可得 a2c6， 进而根据余弦定理即可求解 cosC 的 值 解：c3，B2C， sinBsin2C2sinCcosC， 由正弦定理，可得，可得 b6cosC， bcosC+ccosB62c，由正弦定理可得 sinBcoC+sinCcosB2sinC，可得 sin（B+C） sinA2sinC，可得 a2c6， cosC，可得 cos2C， ca，C 为锐角， 解得 cosC 故选：D 11在三棱锥 ABCD 中，ABD 与CBD 均
17、为边长为 2 的等边三角形，且二面角 ABD C 的平面角为 120，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A B7 C D8 【分析】取 BD 的中点 E，因为ABD 与CBD 均为边长为 2 的等边三角形，且二面角 ABDC 的平面角为 120，所以ABD，BCD 的外接圆的圆心 P，G 分别在 AE， CE 上，过 P，G 分别作两个半平面的垂线，交于 O，可得 O 为三棱锥的外接球的球心， 且可得OEC60，由等边三角形的边长为 2，可得 EG，G 及 OG 的值，进而求出外 接球的半径 OC 的值，再求出外接球的表面积 解：由题意如图所示：由ABD 与CBD 均为边长为 2 的等边三角
18、形，且二面角 ABD C 的平面角为 120，设 E 为 BD 的中点，可得AEC120，CE 2， 设 P， G 分别为ABD， BCD 的外接圆的圆心， CGCE， EG， 过 P，G 分别作两个半平面的垂线，交于 O，则可得 O 为该三棱锥的外接球的球心， 连接 OC，OE，则 OC 为外接球的半径，可得OPEOGE，可得OEC60，而 OGE90，所以 OG1， 在OGC 中：R2OC2OG2+CG212+（ ）2， 所以外接球的表面积 S4R2， 故选：C 12已知函数 f（x）e|x|ax2，对任意 x10，x20，都有（x2x1）（f（x2）f（x1） 0，则实数 a 的取值范围
19、是（ ） A B C D 【分析】由题意将原问题转化为函数单调性的问题，利用导函数的符号结合题意确定实 数 a 的取值范围即可 解：由题意可知函数 f（x）是（，0）上的单调递减函数， 且当 x0 时， 据此可得：2axex+10，即 恒成立， 令 g（x）xex（x0），则 g（x）ex（x+1），据此可得函数 g（x）在区间（， 1）上单调递减，在区间（1，0）上单调递增，函数 g（x）的最小值为， 则， 据此可得：实数 a 的取值范围是 故选：A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知实数 x，y 满足，则目标函数 z2x+y 的最大值为 3 【分析】由
20、题意作出其平面区域，将 z2x+y 化为 y2x+z，z 相当于直线 y2x+z 的纵截距，由几何意义可得 解：由题意作出其平面区域， 将 z2x+y 化为 y2x+z，z 相当于直线 y2x+z 的纵截距， 则由解得， x1，y1； 故 z2x+y 的最大值是 21+13， 故答案为：3 14设等比数列an前 n 项和 Sn，满足，则公比 q 为 或 2 【分析】根据等比数列的通项公式喝求和公式即可求出 解：由题意可得，可得， 整理可得 2q25q+20，解得 q2 或 ， 故答案为：2 或 15若非零向量 ， 满足| |4| |，（2 ） ，则 与 的夹角为 【分析】根据平面向量的数量积与
21、夹角公式，计算即可 解：由| |4| |0，且（2 ） ， 所以（2 ）20， 所以 22|； 所以 scos； 又 0， 所以 与 的夹角为 故答案为： 16在三棱锥 ABCD 中，ABAD，当三棱锥 ABCD 的体积最大时， 三棱锥ABCD外接球的体积与三棱锥ABCD的体积之比为 【分析】 由题意画出图形， 可知当三棱锥 ABCD 的体积最大时， 平面 ABD平面 BCD， 证明三角形 BCD 为直角三角形，得到 BD 的中点 E 为三棱锥 ABCD 外接球的球心，分 别求出三棱锥 ABCD 外接球的体积及三棱锥的体积，作比得答案 解：如图， ABAD，BD， 又，BC2+CD2BD2 可
22、得BCD 是以BCD 为直角的直角三角形， 当三棱锥 ABCD 的体积最大时，平面 ABD平面 BCD， 在BCD 内，三角形的外心为 BD 的中点 E，E 又是ABD 的外心， E 为三棱锥 ABCD 外接球的球心，则外接球的半径 RBD2 ； ， CEBD，平面 ABD平面 BCD，且平面 ABD平面 BCDBD， CE平面 ABD 又 三棱锥 ABCD 外接球的体积与三棱锥 ABCD 的体积之比为 故答案为： 三、 解答题 （共 70 分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）（一）必
23、考题（60 分） 17已知数列an是等比数列，数列bn满足 b1b2，b3，an+1bn+12nbn+1 （1）求an的通项公式； （2）求bn的前 n 项和 【分析】（1）可令 n1，n2，可得 a2，a3，由等比数列的通项公式可得公比，即可得 到所求通项公式； （2）将原等式变形，结合等差数列的定义和通项公式可得 bnn （）n，再由数列的 错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和 解：（1）数列an是等比数列，数列bn满足 b1b2 ，b3，a n+1bn+1 2nbn+1， 当 n1 可得 a2b22b1+1，即有 a22（1+1）4，n2 时，a3b34b2+1，即有 a3
24、 （2+1）8， 可得等比数列an的公比为 2，且 an4 2n22n； （2）由 an+1bn+12nbn+1，即 2n+1bn+12nbn+1， 可得2nbn为首项为 1，公差为 1 的等差数列，可得 2nbn1+n1n， 则 bnn （ ）n， 即有bn的前 n 项和为 Sn1 +2 （）2+3 （） 3+n （ ）n， Sn1 （）2+2 （）3+3 （）4+n （）n+1， 相减可得Sn+（）2+（）3+（）nn （）n+1 n （）n+1， 化简可得bn的前 n 项和为 2（n+2） （ ）n 18已知几何体 ABCDEF 中，ABCD，FCEA，ADAB，AE面 ABCD，ABA
25、DEA 2，CDCF4 （1）求证：平面 BDF平面 BCF； （2）求点 B 到平面 ECD 的距离 【分析】（1）推导出 BDBC，FC面 ABCD，BDFC，从而 BD平面 BCF，由此 能证明平面 BDF平面 BCF （2）设点 B 到平面 ECD 的距离为 h，由 VBCDEVEBCD，能求出点 B 到平面 ECD 的距 离 【解答】（1）证明：由已知得 BDBC2， BD2+BC2CD2，BDBC， FCEA，且 AE面 ABCD，FC面 ABCD， BC平面 ABCD，BDFC， FCBCC，BD平面 BCF， BD面 BDF，平面 BDF平面 BCF （2）解：AE面 ABCD
26、，EAAD，EACD， ABCD，ADAB，CDAD， EA平面 EAD，CD平面 EAD， ED平面 EAD，CDDE，ECD 为直角三角形， 设点 B 到平面 ECD 的距离为 h， 则 VBCDEVEBCD， ， h， 点 B 到平面 ECD 的距离为 19为了提高生产效益，某企业引进一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况， 分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取 100 件产品进行质量检测，所有产品质 量指标值均在（15，45以内，规定质量指标值大于 30 的产品为优质品，质量指标值在 （15， 30以内的产品为合格品 旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示， 新
27、设备所生产的产品质量指标如频数分布表所示 质量指标值 频数 （15，20 2 （20，25 8 （25，30 20 （30，35 30 （35，40 25 （40，45 15 合计 100 （1）请分别估计新、旧设备所生产的产品优质品率 （2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越 高根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有 95%的把握认为“产 品质量高低与新设备有关” 非优质品 优质品 合计 新设备产品 旧设备产品 合计 （3）已知每件产品的纯利润 y（单位：元）与产品质量指标 t 的关系式为 若每台新设备每天可以生产 1000 件产品，买一
28、台新设备需要 80 万元，请估计至少需要生产多少天才可以收回设备成本 参考公式：，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】（1）根据频率分布表和直方图分别计算新、旧设备所生产的产品优质率； （2）根据已知图表数据填写列联表，计算 K2，对照临界值得出结论； （3）计算每台新设备每天产品的纯利润，求出至少需要生产多少天才能收回设备成本 解：（1）根据题意，估计新设备所生产的产品优质率为100%70%， 估计旧设备所生产的
29、产品优质品率为 5（0.06+0.03+0.02）100%55%； （2）根据已知图表数据填写下面列联表， 非优质品 优质品 合计 新设备产品 30 70 100 旧设备产品 45 55 100 合计 75 125 200 由表中数据，计算 K24.83.841， 所以有 95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关” （3）因为新设备所生产的产品优质率为 70%， 所以每台新设备每天所生产 1000 间产品中，估计有 100070%700 件优质品， 有 1000700300 件合格品， 所以每台新设备每天生产的产品纯利润为 7002+30011700（元）， 买一台新设备需要 80 万元，
30、则 80100001700471（天）， 所以估计至少需要生产 471 天才可以收回设备成本 20已知点 O（0，0）、点 P（4，0）及抛物线 C：y24x （1）若直线 l 过点 P 及抛物线 C 上一点 Q，当OPQ 最大时求直线 l 的方程； （2）问 x 轴上是否存在点 M，使得过点 M 的任一条直线与抛物线 C 交于点 A、B，且点 M 到直线 AP、BP 的距离相等？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由 【分析】（1）要使OPQ 最大时，则过 P 的直线与抛物线相切，设过 P 的切线方程， 与抛物线联立，由判别式等于 0 可得直线方程； （2）假设存在，由点 M 到直线
31、 AP、BP 的距离相等可得 M 在APB 的角平分线上，所 以APMBPM， 即 kAP+kBP0， 设直线 AB 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根 之积，再求 kAP+kBP的表达式，使其值为 0，可得 t（n4）0 恒成立，与 t 值无关时， n4，即求出定点 M 的坐标 解：（1）当过 P 点与抛物线相切时，即 Q 为切点时，OPQ 最大， 显然切线的斜率存在且不为 0，设过 P 的切线方程为：xmy4， 联立切线与抛物线的方程：，整理可得：y24my+160，则16m2416 0，解得：m2， 所以OPQ 最大时求直线 l 的方程为：x2y4， 即 x+2y+40，或 x2y+4
32、0； （2）假设存在这样的 M 满足条件，设 M（n，0），因为点 M 到直线 AP、BP 的距离相 等， 所以 M 为APB 的角平分线上的点，所以APMBPM， 所以 kAP+kBP0， 设过 M 的直线方程为：xty+n，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立直线与抛物线的方程：，整理可得：y24ty4n0，y1+y24t，y1y2 4n， kAP+kBP+ 0， 所以 2ty1y2+（n+4）（y1+y2）0，即 2t （4n）+（n+4） 4t0，整理可得 t（n4） 0， 所以不论 t 为何值，n4 时都符合条件， 所以 x 轴上存在 M（4，0）使得点 M 到直线 AP、BP
33、 的距离相等 21已知 f（x）+alnxax （1）若 a0，讨论函数 f（x）的单调性； （2）当 a1 时，若不等式x0 在1，+）上恒成立，求 b 的取值范围 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）通过讨论 b 的范围，求出函数的单调性求出函数的单调区间，确定 b 的范围即可 解：（1）f（x）的定义域为（0，+）（1 分） ， 当 x（0，1）时，f（x）0；x（1，+）时，f（x）0， 函数 f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+）上单调递增 （2）当 a1 时， 由题意，b（x1）exlnx0 在1，+）上恒成立 若 b0，当 x
34、1 时，显然有 b（x1）exlnx0 恒成立；不符题意 若 b0，记 h（x）b（x1）exlnx，则 显然 h（x）在1，+）单调递增， 当时，当 x1（3）时，h（x）h（1）be10（4） x1，+）时，h（x）h（1）0 当（6），h（1）be1（7）0， （8） 存在 x01，使 h（x）0 当 x（1，x0）时，h（x）0，x（x0，+）时，h（x）0， h（x）在（1，x0）上单调递减；在（x0，+）上单调递增 当 x（1，x0）时，h（x）h（1）0，不全题意 综上所述，所求 b 的取值范围是 选考题（10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题
35、计分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C1的极坐标方程为 cos2sin1 若 P 为曲线 C1上的动点， Q 是射线 OP 上的 一动点，且满足|OP| |OQ|2，记动点 Q 的轨迹为 C2 （1）求 C2的直角坐标方程； （2）若曲线 C1与曲线 C2交于 M，N 两点，求OMN 的面积 【分析】 （1） 直接利用转换关系， 把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果 解：（1）曲线 C1的极坐标方程为 cos2si
36、n1 若 P 为曲线 C1上的动点，Q 是射线 OP 上的一动点，且满足|OP| |OQ|2，记动点 Q 的 轨迹为 C2 设 P（1，），Q（，）， 则：1cos21sin1，即， 由于|OP| |OQ|2， 所以 2cos4sin，整理得 22cos4sin，转换为直角坐标方程为：（x1） 2+（y+2）25（原点除外） （2）曲线 C1的极坐标方程为 cos2sin1 转换为直角坐标方程为：x2y10 曲线 C2的圆心为（1，2），半径为 ， 所以圆心到直线 C1的距离 d 所以|MN| 由于点 O 到 C1的距离 所以 选修 4-5：不等式选讲 23已知函数 （1）当 k1 时，解不等
37、式 f（x）1； （2）若 f（x）x 对于任意的实数 x 恒成立，求实数 k 的取值范围 【分析】 （1） 由题意可得|x1|+|x+3|3， 由零点分区间法和绝对值的定义， 去绝对值， 解不等式，求并集，可得所求解集； （2）由题意可得|xk|+|x+3|x+2 恒成立讨论 x2 恒成立，x2 时，可得|x k|恒成立， 讨论2x1， x1 时， 结合绝对值不等式的解法和恒成立思想， 可得所求范围 解：（1）当 k1 时，不等式 f（x）1 即为|x1|+|x+3|3， 等价为或或， 解得 1x或1x1 或 x， 则原不等式的解集为1，； （2）f（x）x 对于任意的实数 x 恒成立，即为|xk|+|x+3|x+2 恒成立 当 x2 时，|xk|+|x+3|0 x+2 恒成立； 当x2时， |xk|+|x+3|x+2恒成立等价为|xk|+x+2， 即|xk| 恒成立， 当2x1 时，|xk|恒成立； 当 x1 时，|xk|恒成立等价为 xk或 xk恒成立 即 x2k+1 或 x（k）恒成立， 则 2k+11 解得 k1， 所以 k 的取值范围是（，1