1、2092020 学年度高二学期高三年级二模考试数学（学年度高二学期高三年级二模考试数学（文文科）试卷科）试卷 第卷 一、选择题 1集合 1 , 2 x Px y y ， 2 ,2Qx y yx ，则集合PQ中元素的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 2设 3 1 i z i （i为虚数单位） ，则z （ ） A 2 2 B2 C 1 2 D2 3对于直线m，n和平面，有如下四个命题 （1）若m，/m，则； （2）若m，/m n，n，则； （3）若n，n，m，则m （4）若m，mn，则/n 其中真命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 4风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、
2、塔、亭组成其亭、塔平面图通常是正方形，正六边 形和正八边形下图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影其正六边形的边长计算方法如下： 110001 A BA BB B， 221112 A BABB B， 332223 A BA BB B， ， 11nnnnn A BABB ， 其 中 1231201n BBB BB BB B ， * nN根据每层边长间的规律建筑师通过推算，可初步估计需要 多少材料， 所用材料中， 横向梁所用木料与正六边形的周长有关 某一风雨桥亭、 塔共 5 层， 若 00 8mA B ， 01 0.5mB B 则这五层正六边形的周长总和为（ ） A35m B45m C210m D270
3、m 5若 98 与 63 的最大公约数为a，二进制数 2 110011化为十进制数为b，则ab（ ） A.60 B.58 C.54 D.53 6 已知四边形ABCD为平行四边形，2AB ，3AD ，M为CD中点，2BNNC， 则A N M N （ ） A 1 3 B 2 3 C1 D 4 3 7如图所示的曲线图是 2020 年 1 月 25 日至 2020 年 2 月 12 日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲 线图，则下列判断错误的是（ ） A1 月 31 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了 1 3 B1 月 25 日至 2 月 12 日陕西省及西安市新冠肺炎累计病例都呈递增
4、趋势 C2 月 2 日到 2 月 10 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了 97 例 D2 月 8 日到 2 月 10 日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于 2 月 6 日到 2 月 8 日的增长率 8记不等式组 20 20 360 xy xy xy ，表示的平面区域为D下面给出的四个命题： （ ） 1: ,px yD，0 xy； 2 ,210px yDxy ； 3: ,px yD， 1 4 1 y x ； 4: ,px yD， 22 2xy； 其中真命题的是： （ ） A 1 p， 2 p B 2 p， 3 p C 2 p， 4 p D 34 ,pp 9达芬奇的经典之作蒙娜丽莎举世闻名如
5、图所示，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入 迷某业余爱好者对蒙娜丽莎的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧， 在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据： 6cmAB，6cmBC ，10.392cmAC （其中 3 0.866 2 ） 根据测量得到的结果推算：将蒙娜丽 莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ） A 3 B 4 C 2 10在如图所示的空间几何体中，下面的长方体 1111 ABCDABC D的三条棱长4ABAD， 1 2AA ， 上面的四棱锥 1111 PABC D中 11 D EC E，PE 平面 1111 ABC D，
6、1PE ，则过五点A、B、C、D、 P的外接球的表面积为（ ） A 311 9 B 311 18 C 313 9 D 313 18 11 已知函数 2 2 ln x e f xkxkx x ， 若2x是函数 f x的唯一极值点， 则实数k的取值范围是 （ ） A2, B0,2 C, 2 e D 2 , 4 e 12已知抛物线C的方程为 2 4yx，F为其焦点，过F的直线与抛物线C交于A，B两点（点A在x轴 上方） ，点1,2P ，连接AP交y轴于M，过M作/MD PF交AB于D，若5FADA，则AB斜率 为（ ） A 3 4 B 4 3 C 1 2 D2 第卷 二、填空题 13已知双曲线 22
7、 22 :10,0 xy Cab ab 的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C的焦 距为_ 14设数列 n a的前n项和为 n S，且满足 1 12 22n n aaan ，则 5 S _ 15如图所示，一栋建筑物AB高 30 10 3 m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD在它们之间 的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得 对塔顶C的仰角为30，则通信塔CD的高为_m 16 九章算术卷第五商功中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥” 如 图所示，现有阳马SABCD，SA平面ABCD，1AB ，3AD，3SA
8、BC上有一点E，使 截面SDE的周长最短，则SE与CD所成角的余弦值等于_ 三、解答题 172020 年 1 月，教育部关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见印发，自 2020 年起， 在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划” ） 强基计划聚焦高端芯片与软件、智能科技、 新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国 家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生新材料产业是重要的战略性新兴产业，下图是我 国 2011-2019 年中国新材料产业市场规模及增长趋势图其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿 元） ，折线图
9、表示新材料产业市场规模年增长率（%） （1）求 2015 年至 2019 年这 5 年的新材料产业市场规模的平均数； （2）从 2012 年至 2019 年中随机挑选一年，求该年新材料产业市场规模较上一年的年增加量不少于 6000 亿元的概率： （3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大 （结论不要求证明） 18已知函数 2 12 2cossinf xxx （）求 0f的值； （） 从 1 1， 2 2； 1 1， 2 1这两个条件中任选一个， 作为题目的已知条件， 求函数 f x 在, 2 6 上的最小值，并直接写出函数 f x的一个周期 注：如果选择两个条件分
10、别解答，按第一个解答计分 19如图所示，ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上（P不与B，C重合） ，E为线段BC 的中点，现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD平面BCP （1）证明：BP 平面DCP （2）若2BC ，当三棱锥DBPC的体积最大时，求E到平面BDP的距离 20已知动点P 3,0， 3,0的距离之和为 4，点P在x轴上的射影是C，2CQCP （1）求动点Q的轨迹方程； （2）过点 3,0的直线交点P的轨迹于点A，B，交点Q的轨迹于点M，N，求 21 4 MNAB的 最大值 21已知函数 1cos x f xex （1）求 f x的单调区间； （2）若 1 x，
11、 2 ,x ， 12 xx，且 12 12 4 xx e f xe f x，证明： 12 0 xx 请考生在第（22） 、 （23）题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号 22选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆 1 C的极坐标方程为 2 4cossin，以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半 轴建立平面直角坐标系xOy （1）求圆 1 C的直角坐标方程； （2）已知曲线 2 C的参数方程为 2 2 xt yt （t为参数） ， 曲线 2 C与圆 1 C交于A，B两点，求圆 1 C夹在A， B两点间的劣弧AB的长 23选修 4-5：不等式选讲 已知函数 1
12、f xxx （1）求不等式 2f x 的解集； （2）设 f x的最小值为s，若0a ，0b，0c ，且abcs ，求1 3321abc的取值范 围 文数二模答案 一、选择题 1C 2A 3C 4C 5B 6A 7D 8C 9A 10C 11D 12 B 5B 由题意知，98 63 135 ，63 35128 ，35 28 17 ，28 74， 98 与 63 的最大公约数为 7， 7a 又 2345 2 1100111 1 20 20 21 21 251 ， 51b ， 51 758ab 选 B 6A 解： 1111 2323 AN MNABBNDCCBABBNABBC 2221112121
13、 23 32329293 ABBCABBCABBC 故选：A 7D 解：1 月 31 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有 87 例，其中西安 32 例，所以西安所占比例为 321 873 ，故 A 正确； 由曲线图可知，1 月 25 日至 2 月 12 日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故 B 正确； 2 月 2 日后到 2 月 10 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了213 11697例，故 C 正确； 2 月 8 日到 2 月 10 日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了 98885 8844 ，2 月 6 日到 2 月 8 日西安新冠肺炎 累计确诊病例增加了 88747 7437
14、 ，显然 75 3744 ，故 D 错误 故选：D 8C 解：实数x，y满足 20 2 360 xy yx xy ， 由约束条件作出可行域为D，如图阴影部分， 2,0A ，0,2B，1,3C ， zxy 经过可行域的点A及直线BC时分别取得最值， 可得：2,2z ，所以 1 P错误； 1 2zxy经过可行域的B、C时分别取得最值， 可得： 1 5, 2z ，所以 2 P正确； 1 1 y z x ，它的几何意义是可行域内的点与1, 1连线的斜率， 可得：DA的斜率是最大值为： 1 3 ； BD的斜率取得最小值为：3； 2 1 3, 3 z ；所以 3 P错误； 22 3 zxy，它的几何意义是
15、可行域内的点与0,0连线的距离的平方， 最小值为原点到直线2yx的距离的平方： 2 2 2 1 1 ， 最大值为OC的平方： 22 1 03010 ， 3 2,10z 所以 4 P正确；故选：C 9A 解：依题意0,，设 2 x e k x 则0 x 2 x e g x x ， 3 2 x ex gx x 设蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为 g x 则0,2，2x故选：A 10C 解：问题转化为求四棱锥PABCD的外接球的表面积 4913PC ， 3 sin 13 PCD 所以PCD外接圆的半径为 1313 3 6 2 13 r ， 由于PE 平面 1111 ABC D，则PE 平
16、面ABCD， PE 平面PCD，所以平面PCD平面ABCD， 所以外接球的 222 169313 24 3636 Rr 所以 2 313 4 9 SR 球表面积 故选：C 11D 解：函数f x（ ）的定义域是0, 2 33 2 22 x x ekxx exk fxk xxx ， 2x是函数 f x的唯一一个极值点 2x是导函数 0fx 的唯一根， 2 0 x ekx 在0,无变号零点， 即 2 x e k x 在0 x上无变号零点，令 2 x e g x x ， 因为 3 2 x ex gx x ，所以 g x在0,2上单调递减， 在2x上单调递增 所以 g x的最小值为 2 2 4 e g
17、，所以必须 2 4 e k ，故选：D 12B 解：由已知1,0F，准线方程为1x， 过点A作 1 AA垂直于准线交准线于 1 A， 因为/MD PF且 5FADA ，所以 1 5 AFAM ADAP ， 又因为 1 AA垂直于准线交准线于 1 A，所以 1 1 5 A xAM APAA ， 即 1 15 A A x x ，解得 1 4 A x ，代入抛物线方程可得 1 ,1 4 A ， AB斜率，即为AF的斜率，所以 1 04 1 3 1 4 k 故选：B 二、填空题 134 14 31 16 解： 1 12 22n n aaan ，可得1n 时， 1 1a ， 2n时， 2 121 221
18、 n n aaan ， 又 1 12 22n n aaan ，两式相减可得 1 21 n n a ， 即 1 1 2 n n a ，上式对1n 也成立， 可得数列 n a是首项为 1，公比为 1 2 的等比数列， 可得 5 5 1 1 31 2 1 16 1 2 S 故答案为： 31 16 1560 解：由题意可知：45CAM，105AMC， 由三角形内角和定理可知30ACM在RtABM中， sin sin15 ABAB AMBAM AM 在ACM中，由正弦定理可知： sin45sin45 sinsinsin30sin15sin30 AMCMAMAB CM ACMCAM ， 在RtDCM中，
19、sin45 sinsin60sin6060 sin15 sin30 CDAB CMDCDCM CM 16 2 cos 4 SEF 17解： （1）2015 年至 2019 年这 5 年的新材料产业市场规模的平均数 2.12.73.1 3.94.5 3.26 5 x 万亿元； （2）设A表示事件“从 2012 年至 2019 年中随机挑选一年，读年新材料产业市场规模的增加值达到 6000 亿 元”，从 2012 年起，每年新材料产业市场规模的增加值依次为： 3000，2000，3000，5000，6000，4000，8000，6000（单位：亿元） ， 所以 3 8 P A （3）从 2012
20、年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大 18解： （） 2 02cos 0 sin02f （）选择条件 f x的一个周期为 2 2cossin2cos21sin2f xxxxx 22 2sin2cos212sin 21 224 xxx 因为, 2 6 x ，所以 37 2 +, 4412 x 所以1sin 21 4 x 所以 1212f x 当2= 42 x 时，即 3 = 8 x时， f x在, 2 6 取得最小值12 选择条件 f x的一个周期为2 2 22 117 2cossin2 sin2 1 sinsin 48 f xxxxxx 因为, 2 6 x ，所以 1 sin1
21、, 2 x 所以当sin = 1x 时，即 = 2 x时， f x在, 2 6 取得最小值1 19 （1）证明：因为平面ABCD平面BPC，ABCD是正方形， 平面ABCD平面BPCBC，所以DC 平面BPC 因为BP 平面BPC，所以BPDC 因为点P在以BC为直径的半圆弧上，所以BPPC 又DCPCC，所以BP 平面DCP （2）当点P位于BC的中点时，BCP的面积最大， 三棱锥DBPC的体积也最大因为2BC ， 所以1PE ，所以BEP的面积为 11 1 1 22 ， 所以三棱锥DBEP的体积为 111 2 323 . 因为BP 平面DCP，所以BPDP， 22 2 226DP ， BD
22、P的面积为 1 263 2 . 设E到平面BDP的距离为d，由 11 3 33 d， 得 3 3 d ，即E到平面BDP的距离为 3 3 20解:（1）设 1 3,0F ， 2 3,0F 因为点P到两点 3,0， 3,0的距离之和为 4，即 12 4PFPF 可得点P的轨迹是以 3,0， 3,0为焦点，长轴长为 4 的椭圆， 所以24a，即2a ，且3c ，则 22 1bac， 所以点P的轨迹方程是 2 2 1 4 x y 设点Q坐标为, x y，因2CQCP所以点P的坐标为, 2 y x ， 可得 2 2 1 42 xy ，化简得点Q的轨迹方程为 22 4xy （2）若ABx轴，则1AB ，
23、2MN ， 21 0 4 MNAB 若直线AB不与x轴垂直，设直线AB的方程为3ykxk， 即30kxyk，则坐标原点到直线AB的距离 2 1 3 k d k ， 2 2 2 2 44 4 4 1 k MNd k 设 11 ,A x y， 22 ,B x y 将3ykxk代入 2 2 1 4 x y，并化简得， 2222 1 48 31240kxk xk 2 12 2 8 3 14 k xx k ， 2 12 2 124 1 4 k x x k 2 22 12121 2 114ABkxxkxxx x 2 2 22 2 222 4 124 8 344 1 141414 k kk k kkk 2
24、2 42 2 2 2 2 1999 1 1 44511 45 2 45 k MNAB kk k k k k ， 当且仅当 2 2 1 4k k 即 2 2 k 时，等号成立. 综上所述， 21 4 MNAB最大值为 1 21解： （1） f x的定义域为, ， cossin2sin 4 xxx fxexexex ， 由 0fx，得sin0 4 x ，从而 3 22 44 kxk ，kZ； 由 0fx，得sin0 4 x ，从而 5 22 44 kxk ，kZ； 所以， f x的单调递减区间为 3 2,2 44 kk ，kZ； 单调递增区间为 5 2,2 44 kk ，kZ （2） 12 12
25、4 xx e f xe f x，即 12 12 coscos4 xx exex， 令 cos x g xex，则 12 4g xg x， sin x g xex 当0 x时， 1 sin0g xx ；当0 x时，sin0 x， sin0 x g xex， 故,x 时， 0g x恒成立，所以 g x在,上单调递增， 不妨设 12 xx，注意到 0 0cos02ge，所以 12 0 xx， 令 G xg xgx，,0 x ，则 2sin xx G xeex ， 令 2sin xx xeex ，则 2cos2 1 cos0 xx xeexx ， 所以 x在,0上单调递增，从而 00 x， 即 0G
26、x，所以 G x在,0上单调递减， 于是 0004G xGgg， 即 4g xgx，又 1 ,0 x ， 所以 11 4g xgx，于是 112 4gxg xg x， 而 g x在,0上单调递增，所以 12 xx，即 12 0 xx 22 （1）解：因为 2 4cossin4 cos4 sin， 则 22 44xyxy，整理得， 22 228xy， 所以圆 1 C的直角坐标方程为 22 228xy （2）解：曲线 2 C的普通方程为22yx，由题意知， 当2x时， 1 C， 2 C的交点为A， 即 22 228 2 2 xy yx ，解得， 0 4 x y ， 即0,4A，当2x时， 1 C，
27、 2 C的交点为B， 即 22 228 22 xy yx ，解得， 4 4 x y ， 即4,4B，由（1）知，圆心 1 2,2C， 半径2 2r 1 2,2C A ， 1 2,2C B ， 则 11 0C A C B，则 1 2 AC B ， 所以劣弧AB的长为2 22 2 23 （1）12xx ， 由 00 1 12212 xx x xxx ； 由 01 12 x x xx ； 由 1 3 122 x x xx ；所以 1 2 x 或 3 2 （2） 11f xxx ，1abc ， 1 33211 3(1)213221abccccc ， 01c设 1 35 ,0 2 12 32211, 23 2 53,1 3 cc g ccccc cc , 当0 1 2 c时，函数单调递减，所以 1 ,3 2 g c ； 当 12 23 c时，函数单调递减，所以 1 1 , 3 2 g c ； 当 2 1 3 c时，函数单调递增，所以 1 ,2 3 g c 所以 1 ,3 3 g c