1、4 单摆单摆 学科素养与目标要求 物理观念：1.知道单摆振动时回复力的来源.2.知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公 式.3.掌握用单摆测定重力加速度的原理和方法 科学思维：1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件.2.引导学生对摆球进行受力分析，将单 摆纳入简谐运动模型 科学探究：1.观察单摆，对影响单摆周期的因素进行猜想，然后通过实验探究认识到影响单 摆周期的因素.2.会一起测量当地的重力加速度 一、单摆及单摆的回复力 1单摆 (1)如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置 就叫做单摆单摆是实际摆的理想化模型 (2)单摆的平衡位置：摆球静止时所在的位
2、置 2单摆的回复力 (1)回复力的来源：如图 1 所示，摆球的重力沿圆弧切向(填“切向”或“法线方向”)的分力 提供回复力 图 1 (2)回复力的特点：在偏角很小时，sin x l，所以单摆的回复力为 F mg l x，即小球所受的 回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，单摆的运动可看成是简谐 运动 二、单摆的周期 1单摆振动的周期与摆球质量无关(填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅无关(填 “有关”或“无关”)，但与摆长有关(填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期越长(填“越 长”“越短”或“不变”) 2单摆的周期公式 T2 l g. 三、用单摆测定重力加速度 1实
3、验原理 由 T2 l g，得 g 42l T2 ，则测出单摆的摆长 l 和周期 T，即可求出当地的重力加速度 2数据处理 (1)平均值法：利用实验中获得的摆长和周期的实验数据，从中选择几组，分别计算重力加速 度，然后取平均值 (2)图象法：以 l 和 T2为纵坐标和横坐标，作出函数 l g 42T 2的图象，图象的斜率 k=g 42，进 而求出重力加速度 g. 1判断下列说法的正误 (1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力( ) (2)单摆经过平衡位置时受到的合力为零( ) (3)制作单摆的摆球越大越好( ) (4)若单摆的振幅变为原来的一半，则周期也将变为原来的一半( ) 2一个理想的单
4、摆，已知其周期为 T.如果由于某种原因重力加速度变为原来的 2 倍，振幅 变为原来的 3 倍， 摆长变为原来的 8 倍， 摆球质量变为原来的 2 倍， 它的周期变为_ 答案 2T 一、单摆及单摆的回复力 (1)单摆的回复力就是单摆所受的合外力吗？ (2)单摆经过平衡位置时，回复力为零，合外力也为零吗？ 答案 (1)回复力不是合外力单摆的运动可看做变速圆周运动，其重力可分解为沿悬线方向 的分力和沿圆弧切线方向的分力，重力沿圆弧切线方向的分力提供使摆球沿圆弧振动的回复 力 (2)单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零 1单摆向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力 2单摆回复力来源：重
5、力沿圆弧切线方向的分力 Fmgsin 提供使摆球振动的回复力 3回复力的大小：在偏角很小时，摆球的回复力满足 Fkx，此时摆球的运动可看成是简 谐运动 注意 (1)单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零 (2)单摆的回复力为小球受到的重力沿圆弧切线方向的分力，而不是小球受到的合外力 例 1 图 2 中 O 点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至 A 点，此时细线处于张紧 状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的 A、C 之间来回摆动，B 点为运动中的最低位置， 则在摆动过程中( ) 图 2 A摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用 B摆球在 A 点和 C 点处，速度为零，合
6、力与回复力也为零 C摆球在 B 点处，速度最大，细线拉力也最大 D摆球在 B 点处，速度最大，回复力也最大 答案 C 解析 摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用， A 错误； 摆球在摆动过程中， 在最高点 A、 C 处速度为零，回复力最大，合力不为零，在最低点 B 处，速度最大，回复力为零，细线的 拉力最大，C 正确，B、D 错误 二、单摆的周期 单摆的周期公式为 T2 l g. (1)单摆的摆长 l 等于悬线的长度吗？ (2)将一个单摆移送到不同的星球表面时，周期会发生变化吗？ 答案 (1)不等于单摆的摆长 l 等于悬线的长度与摆球的半径之和 (2)可能会 单摆的周期与所在地的重力加速度g有
7、关， 不同星球表面的重力加速度可能不同 1伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟 2单摆的周期公式：T2 l g. 3对周期公式的理解 (1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为 5 时，由周期公式算出的周期和准确值相 差 0.01%) (2)公式中 l 是摆长，即悬点到摆球球心的距离 ll线r球 (3)公式中 g 是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定 (4)周期 T 只与 l 和 g 有关，与摆球质量 m 及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期 例 2 (2018 黄埔区高二检测)某单摆由 1 m 长的摆线连接一个直径 2 cm 的铁球组成，
8、关于 单摆周期，下列说法中正确的是( ) A用大球替代小球，单摆的周期不变 B摆角从 5 改为 3 ，单摆的周期会变小 C用等大的铜球替代铁球，单摆的周期不变 D将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变大 答案 C 解析 用大球替代小球， 单摆摆长变长， 由单摆周期公式 T2 l g可知， 单摆的周期变大， 故 A 错误；由单摆周期公式 T2 l g可知，在小摆角情况下，单摆做简谐运动的周期与摆 角无关，摆角从 5 改为 3 时，单摆周期不变，故 B 错误；用等大铜球替代铁球，单摆摆长不 变， 由单摆周期公式 T2 l g可知， 单摆的周期不变， 故 C 正确； 将单摆从赤道移到北极， 重力加速度
9、 g 变大，由单摆周期公式 T2 l g可知，单摆周期变小，故 D 错误 例 3 如图 3 所示，三根细线在 O 点处打结，A、B 端固定在同一水平面上相距为 l 的两点 上，使AOB 成直角三角形，BAO30 ，已知 OC 线长也是 l，下端 C 点系着一个小球(半 径可忽略)，下列说法正确的是(以下皆指小角度摆动，重力加速度为 g)( ) 图 3 A让小球在纸面内振动，周期 T2 l g B让小球在垂直纸面内振动，周期 T2 3l 2g C让小球在纸面内振动，周期 T2 3l 2g D让小球在垂直纸面内振动，周期 T2 l g 答案 A 解析 让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运
10、动，摆长为 l，周期 T2 l g； 让小球在垂直纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为( 3 4 ll)，周期 T2 3 4 1l g ，A 正确，B、C、D 错误 三、实验：用单摆测定重力加速度 1实验原理 由 T2 l g，得 g 42l T2 ，则测出单摆的摆长 l 和周期 T，即可求出当地的重力加速度 2实验器材 铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、秒表、细线(1 m 左右)、刻度尺、游标卡尺 3实验步骤 (1)让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆 (2)将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由 下垂在单
11、摆平衡位置处做上标记 (3)用刻度尺量出悬线长 l(准确到 mm)， 用游标卡尺测出摆球的直径 d， 则摆长为 lld 2. (4)把单摆拉开一个角度， 角度不大于 5 ， 释放摆球 摆球经过最低位置时， 用秒表开始计时， 测出单摆完成 30 次(或 50 次)全振动的时间， 求出一次全振动的时间， 即为单摆的振动周期 (5)改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格 4数据处理 (1)公式法：每改变一次摆长，将相应的 l 和 T 代入公式 g4 2l T2 中求出 g 值，最后求出 g 的平 均值 设计如下所示实验表格 实验次数 摆长 l/m 周期 T/s 重力加速度 g/(m s 2) 重力加
12、速度 g 的平均值/(m s 2) 1 gg1g2g3 3 2 3 (2)图象法：由 T2 l g得 T 24 2 g l，以 T2为纵坐标，以 l 为横坐标作出 T2l 图象(如图 4 所示)其斜率 k4 2 g ，由图象的斜率即可求出重力加速度 g. 图 4 5注意事项 (1)选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于 1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的金属 球 (2)摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小 (3)摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆 (4)计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，要测 n 次全振动的时间 t. 例 4 某同学利用如图 5
13、所示的装置测量当地的重力加速度实验步骤如下： 图 5 A按装置图安装好实验装置； B用游标卡尺测量小球的直径 d； C用米尺测量悬线的长度 L； D让小球在竖直平面内小角度摆动，当小球经过最低点时开始计时，并计数为 0，此后小球 每经过最低点一次，依次计数 1、2、3、，当数到 20 时，停止计时，测得时间为 t； E多次改变悬线长度，对应每个悬线长度，都重复实验步骤 C、D； F计算出每个悬线长度对应的 t2； G以 t2为纵坐标、L 为横坐标，作出 t2L 图线 结合上述实验，完成下列问题： (1)用游标为 10 分度的游标卡尺测量小球直径，某次测量示数如图 6 所示，读出小球直径 d 为
14、_ cm. 图 6 (2)该同学根据实验数据，利用计算机作出 t2L 图线如图 7 所示根据图线拟合得到方程 t2 404.0L3.07，由此可以得出当地的重力加速度 g_ m/s2.(取 29.86，结果保留 3 位有效数字) 图 7 (3)从理论上分析图线没有过坐标原点的原因，下列分析正确的是_ A不应在小球经过最低点时开始计时，应该在小球运动到最高点时开始计时 B开始计时后，不应记录小球经过最低点的次数，而应记录小球做全振动的次数 C不应作 t2L 图线，而应作 tL 图线 D不应作 t2L 图线，而应作 t2(L1 2d)图线 答案 (1)1.52 (2)9.76 (3)D 解析 (1
15、)游标卡尺主尺的示数是 1.5 cm15 mm，游标尺示数是 20.1 mm0.2 mm，小球 的直径 d15 mm0.2 mm15.2 mm1.52 cm. (2)根据单摆周期公式 T2 l g得： t 102 l g，又 lL d 2，则 t 24002l g400 2L g 2002d g . 故 t2L 图象的斜率表示400 2 g 的大小， 由题意知斜率 k404.0，则400 2 g 404.0， 代入 29.86 得 g9.76 m/s2. (3)单摆摆长等于摆线长度与摆球半径之和，把摆线长度作为单摆摆长小于实际摆长，故 t2 L 图象不过原点，在纵轴上截距不为零，故 D 正确
16、学科素养 通过本题，学生回顾了游标卡尺的读数方法，提高了根据实际情况设计实验步 骤的能力，锻炼了用单摆测定重力加速度的本领在解题过程中，展现了实验探究过程中交 流、反思的能力本题着重体现了“实验探究”这个高中物理学科核心素养. 1(对单摆回复力的理解)(多选)一单摆做小角度摆动，其振动图象如图 8 所示，以下说法正 确的是( ) 图 8 At1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零 Bt2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小 Ct3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大 Dt4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大 答案 CD 解析 由题图读出 t1时刻摆球在正向最大位移处，速度为零，回复力最大，合外力
17、不为零， 故 A 错误；t2时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大， 故 B 错误；t3时刻摆球在负向最大位移处，速度为零，回复力最大，故 C 正确；t4时刻位移 为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故 D 正确 2.(单摆的周期公式)(2018 新余一中高二下学期段考)如图 9 所示，摆长为 l 的单摆放在倾角为 的光滑固定斜面上，则摆球在斜面所在的平面内做小摆角振动时的周期为( ) 图 9 AT2 l g BT2 l gcos CT2 l gsin D以上答案都不对 答案 C 3(单摆的周期公式)(多选)图 10 为甲、乙两单摆的振动图象
18、，则( ) 图 10 A若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比 l甲l乙21 B若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比 l甲l乙41 C若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两单摆所在星球的重力加 速度之比 g甲g乙41 D若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两单摆所在星球的重力加 速度之比 g甲g乙14 答案 BD 解析 由题图可知 T甲T乙21，根据公式 T2 l g，若两单摆在同一地点，则两单摆 摆长之比为 l甲l乙T甲 2T 乙 241，故 A 错误，B 正确；若两单摆摆长相等，则所在星 球的重力加速度之比为 g甲g乙T
19、乙 2T 甲 214，故 C 错误，D 正确 4(用单摆测定重力加速度)(2018 西安中学高二第二学期期中)某同学在做“利用单摆测重力 加速度”的实验中，先测得摆线长为 97.50 cm，摆球直径为 2.00 cm，然后用秒表记录了单摆 全振动 50 次所用的时间，如图 11 所示，则： 图 11 (1)该摆摆长为_ cm，秒表所示读数为_ s. (2)如果测得的 g 值偏小，可能的原因是( ) A测摆线长时摆线拉得过紧 B摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了 C开始计时时，秒表过迟按下 D实验中误将 49 次全振动记为 50 次 (3)为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长 l 并测出相应的周期 T，从而得出对应的 l 与 T 的数据，再以 l 为横坐标，T2为纵坐标，将所得数据连成直线如图 12 所示，并求得该直 线的斜率为 k，则重力加速度 g_(用 k 表示) 图 12 答案 (1)98.50 75.2 (2)B (3)4 2 k