1、2 简谐运动的描述简谐运动的描述 学科素养与目标要求 物理观念：1.知道什么是振动的振幅、周期、频率及相位.2.知道简谐运动的数学表达式，知 道描述简谐运动的基本物理量 科学思维：理解周期和频率的关系，结合简谐运动的图象会进行有关判断 科学探究：观察简谐运动图象，结合数学知识，理解表达式中各物理量的含义 一、描述简谐运动的物理量 1振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离 2全振动(如图 1 所示) 图 1 类似于 OBOCO 的一个完整的振动过程 3周期和频率 (1)周期 定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间 单位：国际单位是秒(s) (2)频率 定义：单位时间内完成全振动的次数 单
2、位：赫兹(Hz) (3)T 和 f 的关系：T1 f. 4相位 描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态 二、简谐运动的表达式 简谐运动的一般表达式为 xAsin (t) 1x 表示振动物体相对于平衡位置的位移；t 表示时间 2A 表示简谐运动的振幅 3 叫做简谐运动的“圆频率”，表示简谐运动的快慢，2 T 2f(与周期 T 和频率 f 的 关系) 4t 代表简谐运动的相位， 表示 t0 时的相位，叫做初相位(或初相) 5相位差 若两个简谐运动的表达式为 x1A1sin(t1)，x2A2sin(t2)，则相位差为 (t2) (t1)21. 1判断下列说法的正误 (1)在机械振动的过程中，振幅是不
3、断变化的( ) (2)振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移，它是矢量( ) (3)振动周期指的是振动物体从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时 间( ) (4)按 x5sin (8t1 4) cm 的规律振动的弹簧振子的振动周期为 0.25 s( ) 2有一个弹簧振子，振幅为 0.8 cm，周期为 0.5 s，初始时(t0)具有正的最大位移，则它的 振动方程是 x_ m. 答案 0.008sin (4t 2) 一、描述简谐运动的物理量 如图所示为理想弹簧振子，O 点为它的平衡位置，其中 A、A点关于 O 点对称 (1)振子从某一时刻经过 O 点计时，至下一次再经过 O 点的时间为一个
4、周期吗？ (2)先后将振子拉到 A 点和 B 点由静止释放， 两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一 次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？ 答案 (1)不是经过一个周期振子一定从同一方向经过 O 点，即经过一个周期，位移、速度 第一次均与初始时刻相同 (2)周期相同，振动的周期决定于振动系统本身，与振幅无关位移相同，均为零路程不相 同，一个周期内振子通过的路程与振幅有关 1振幅和位移的区别 (1)振幅等于最大位移的数值 (2)对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的 (3)位移是矢量，振幅是标量 2路程与振幅的关系 (1)振动物体在一个周期内的路程为四个振幅 (2)振动
5、物体在半个周期内的路程为两个振幅 (3)振动物体在1 4个周期内的路程不一定等于一个振幅 3一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关 例 1 如图 2 所示，将弹簧振子从平衡位置下拉一段距离 x，释放后振子在 A、B 间振动， 且 AB20 cm，振子由 A 首次到 B 的时间为 0.1 s，求： 图 2 (1)振子振动的振幅、周期和频率； (2)振子由 A 到 O 的时间； (3)振子在 5 s 内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小 答案 (1)10 cm 0.2 s 5 Hz (2)0.05 s (3)1 000 cm 10 cm 解析 (1)由题图可知，振
6、子振动的振幅为 10 cm， t0.1 sT 2，所以 T0.2 s. 由 f1 T得 f5 Hz. (2)根据简谐运动的对称性可知， 振子由 A 到 O 的时间与振子由 O 到 B 的时间相等， 均为 0.05 s. (3)设弹簧振子的振幅为 A，A10 cm.振子在 1 个周期内通过的路程为 4A，故在 t5 s25T 内通过的路程 s4025 cm1 000 cm.5 s 内振子振动了 25 个周期，故 5 s 末振子仍处在 A 点，所以振子偏离平衡位置的位移大小为 10 cm. 例 2 (多选)(2018 嘉兴市高二第一学期期末)如图 3 所示为一质点的振动图象，曲线满足正 弦变化规律
7、，则下列说法中正确的是( ) 图 3 A该振动为简谐振动 B该振动的振幅为 10 cm C质点在前 0.12 s 内通过的路程为 20 cm D0.04 s 末，质点的振动方向沿 x 轴负方向 答案 AD 解析 该图象表示质点的位移随时间周期性变化的规律，是简谐振动，故 A 正确；由题图可 知该振动的振幅为 5 cm，故 B 错误；由题图可知质点振动的周期为 0.08 s,0.12 s11 2T，质点 通过的路程为 6A30 cm，故 C 错误；根据振动规律可知，0.04 s 末质点的振动方向沿 x 轴 负方向，故 D 正确 二、简谐运动表达式的理解 2 从表达式 xAsin (t)体会简谐运
8、动的周期性 当 (t2)(t1)2n 时， t 2n nT，振子位移相同，每经过周期 T 完成一次全振动 3从表达式 xAsin (t)体会特殊点的值当(t)等于 2n 2时，sin (t)1，即 xA；当(t)等于 2n3 2 时，sin (t)1，即 xA；当(t)等于 n 时，sin (t )0，即 x0. 例 3 (多选)一弹簧振子 A 的位移 x 随时间 t 变化的关系式为 x0.1sin 2.5t，位移 x 的单位 为 m，时间 t 的单位为 s.则( ) A弹簧振子的振幅为 0.2 m B弹簧振子的周期为 1.25 s C在 t0.2 s 时，振子的运动速度为零 D若另一弹簧振子
9、 B 的位移 x 随时间 t 变化的关系式为 x0.2sin (2.5t 4)，则 A 滞后 B 4 答案 CD 解析 由振动方程 x0.1sin 2.5t， 可读出振幅为 0.1 m， 圆频率 2.5 rad/s， 故周期 T2 2 2.5 s0.8 s，故 A、B 错误；在 t0.2 s 时，x0.1 m，即振子的位移最大，速度最小， 为零，故 C 正确；两振动的相位差 212.5t 42.5t 4，即 B 超前 A 4，或者说 A 滞后 B 4，故 D 正确 学科素养 例3考查了对简谐运动表达式的理解 应用简谐运动的表达式解决相关问题时， 首先应明确振幅 A，周期 T、频率 f 的对应关
10、系，然后把确定的物理量与所要解决的问题相对 应，找到关系在解题过程中，回顾了物理概念和规律，锻炼了学生从物理学视角对客观事 物的本质属性、内在规律及相互关系认识的能力，体现了“物理观念”与“科学思维”学科 素养 三、简谐运动的周期性和对称性 (如图 4 所示) 图 4 (1)时间的对称 物体来回通过相同两点间的时间相等，即 tDBtBD. 物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等， 图中 tOBtBOtOAtAO，tODtDO tOCtCO. (2)速度的对称 物体连续两次经过同一点(如 D 点)的速度大小相等，方向相反 物体经过关于 O 点对称的两点(如 C 与 D)时， 速度大小相
11、等， 方向可能相同， 也可能相反 (3)位移的对称 物体经过同一点(如 C 点)时，位移相同 物体经过关于 O 点对称的两点(如 C 与 D)时，位移大小相等、方向相反 例 4 如图 5 所示， 弹簧振子以 O 点为平衡位置， 在 B、 C 两点间做简谐运动， 在 t0 时刻， 振子从 O、B 间的 P 点以速度 v 向 B 点运动；在 t0.2 s 时，振子速度第一次变为v；在 t 0.5 s 时，振子速度第二次变为v，已知 B、C 之间的距离为 25 cm. 图 5 (1)求弹簧振子的振幅 A； (2)求弹簧振子的振动周期 T 和频率 f. 答案 (1)12.5 cm (2)1 s 1 H
12、z 解析 (1)弹簧振子以 O 点为平衡位置，在 B、C 两点间做简谐运动，所以振幅是 B、C 之间 距离的1 2，所以 A 25 2 cm12.5 cm. (2)由简谐运动的对称性可知从 P 到 B 的时间与从 B 返回到 P 的时间是相等的， 所以 tBP0.2 2 s 0.1 s 同理可知：tPO0.3 2 s0.15 s 又 tPOtBPT 4 联立得：T1 s，所以 f1 T1 Hz. 1(描述简谐运动的物理量)(多选)一个质点做简谐运动的图象如图 6 所示，下列叙述中正确 的是( ) 图 6 A质点的振动频率为 4 Hz B在 10 s 内质点经过的路程为 20 cm C在 5 s
13、 末，质点做简谐运动的相位为3 2 Dt1.5 s 和 t4.5 s 两时刻质点的位移大小相等，都是 2 cm 答案 BD 解析 由题图振动图象可直接得到周期 T4 s，频率 f1 T0.25 Hz，故 A 错误；做简谐运动 的质点一个周期内经过的路程是 4A8 cm,10 s 为 2.5 个周期，故质点经过的路程为 20 cm，故 B 正确；由图象知位移与时间的关系为 x0.02sin ( 2t) m当 t5 s 时，其相位为 25 5 2，故 C 错误； 在 1.5 s 和 4.5 s 两时刻， 质点位移相同， x2sin ( 21.5) cm 2 cm， 故 D 正确 2.(简谐运动的表
14、达式)一个小球和轻质弹簧组成的系统， 按 x15sin(8t1 4) cm 的规律振动 (1)求该振动的周期、频率、振幅和初相； (2)另一简谐运动表达式为 x25sin(8t5 4) cm，求它们的相位差 答案 (1)0.25 s 4 Hz 5 cm 4 (2) 解析 (1)已知 8 rad/s，由 2 T 得 T0.25 s， f1 T4 Hz.由 x15sin (8t 1 4) cm 知 A5 cm，1 4 (2)由 (t2)(t1)21 得 5 4 4. 3 (简谐运动的分析)如图 7 所示为 A、 B 两个简谐运动的位移时间图象 请根据图象回答： 图 7 (1)A 的振幅是_ cm，
15、周期是_ s；B 的振幅是_cm，周期是_s. (2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式； (3)在 t0.05 s 时两质点的位移分别是多少？ 答案 (1)0.5 0.4 0.2 0.8 (2)xA0.5sin (5t) cm xB0.2sin (2.5t 2) cm (3)xA 2 4 cm xB0.2sin5 8 cm. 解析 (1)由题图知：A 的振幅是 0.5 cm，周期是 0.4 s；B 的振幅是 0.2 cm，周期是 0.8 s. (2)t0 时刻 A 中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，A，由 TA0.4 s，得 A2 TA 5 rad/s.则 A 简谐运动的表达式
16、为 xA0.5sin (5t) cm.t0 时刻 B 中振动的质点从正向 最大位移处开始沿负方向振动，B 2，由 TB0.8 s 得 B 2 TB2.5 rad/s，则 B 简谐运动的 表达式为 xB0.2sin (2.5t 2) cm. (3)将 t0.05 s 分别代入两个表达式中得：xA0.5sin (50.05) cm0.5 2 2 cm 2 4 cm，xB0.2sin (2.50.05 2) cm0.2sin 5 8 cm. 4(简谐运动的周期性和对称性)如图 8 所示，一质点沿水平直线做简谐运动，先后以相同速 度通过 a、b 两点，经历时间 tab1 s，过 b 点后再经 t1 s
17、 质点第一次反向通过 b 点O 点为平衡位置，若在这两秒内质点所通过的路程是 8 cm，试求该质点的振动周期和振幅 图 8 答案 4 s 4 cm 解析 简谐运动是以平衡位置为中心的对称运动，因为通过 a、b 两点时的速度相同，根据简 谐运动的对称性，可知质点从 b 点返回 a 点所用的时间必与从 a 点到 b 点所用的时间相同， 即 tbatab1 s，质点从 a 点经最左端位置 d 再返回 a 点所用的时间 tada必与质点从 b 点经最 右端位置 c 再返回 b 点所用的时间 tbcb相等，即 tadatbcbt1 s. 综上所述，质点的振动周期为 Ttabtbcbtbatada4 s由题图和简谐运动的对称性可知， 质点在一个周期内通过的路程为 s2 ab 2 bc 2 ad 2( ab 2 bc )28 cm16 cm. 所以质点的振幅为 As 44 cm.