1、2020 年河南省开封市中考数学二模试卷年河南省开封市中考数学二模试卷 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1的相反数是（ ） A B C D 2被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜 FAST，在理论上可以接收到 137 亿光年以外的电磁信号数据 137 亿用科学记数法表示为（ ） A1.37108 B1.37109 C1.371010 D1.371011 3下列计算正确的是（ ） A （2a）36a3 B （ab）2a2b2 C3 1+31 D 4如图，已知 BM 平分ABC，且 BMAD，若ABC70，则A 的度数是（ ） A30 B35 C40 D70 5如图，
2、已知 ABAC，AB6，BC4，分别以 A、B 两点为圆心，大于AB 的长为半径 画圆弧， 两弧分别相交于点 E、 F， 直线 EF 与 AC 相交于点 D， 则BDC 的周长为 （ ） A15 B13 C11 D10 6由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方 体的个数是（ ） A3 B4 C5 D6 7某校组织社团活动，小明和小刚从“数学社团” 、 “航模社团” 、 “文艺社团”三个社团中， 随机选择一个社团参加活动，两人恰好选择同一个社团的概率是（ ） A B C D 8二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
3、Aa0 Bb0 Cc1 D4a+c2b 9如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边 OA，OC 分别在 x 轴和 y 轴上，并且 OA5，OC3若把矩形 OABC 绕着点 O 逆时针旋转，使点 A 恰好落在 BC 边上的 A1 处，则点 C 的对应点 C1的坐标为（ ） A （，） B （，） C （，） D （，） 10如图，在ABCD 中，AB6，BC10，ABAC，点 P 从点 B 出发沿着 BAC 的路 径运动， 同时点 Q 从点 A 出发沿着 ACD 的路径以相同的速度运动， 当点 P 到达点 C 时，点 Q 随之停止运动，设点 P 运动的路程为 x，yPQ2，下列图象中大致
4、反映 y 与 x 之间的函数关系的是（ ） A B C D 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 11计算： 12关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个实数根，则 m 的取值范围是 13不等式组的解集是 14如图，ACBC，ACBC4，以 AC 为直径作半圆，圆心为点 O；以点 C 为圆心，BC 为半径作过点 O 作 BC 的平行线交两弧于点 D、E，则阴影部分的面积是 15如图，在矩形 ABCD 中，AB5，BC3，点 E 为射线 BC 上一动点，将ABE 沿 AE 折叠，得到ABE若 B恰好落在射线 CD 上，则 BE 的长为 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 1
5、6先化简，再求值：（x1） ，其中|x|1 17某校七、八年级各有学生 600 人，为了解这两个年级普及安全教育的情况，进行了抽样 调查，过程如下： 选择样本，收集数据 从七、八年级各随机抽取 20 名学生，进行安全教育测试，测试成绩（百分制）如下： （单 位：分） 七年级 85 79 89 83 89 98 68 89 79 59 99 87 85 89 97 86 89 90 89 77 八年级 71 94 87 92 55 94 98 78 86 94 62 99 94 51 88 97 94 98 85 91 分组整理，描述数据 （1）按如下频数分布直方图整理、描述这两组样本数据，请补
6、全七年级 20 名学生安全 教育频数分布直方图 （说明：成绩 90 分及以上为优秀，8089 分为良好，80 分以下为不合格） 分析数据，计算填空 （2）两组样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率如表所示，请补充完整， 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 优秀率 七年级 85.3 八年级 85.4 91.5 94 55% 分析数据，解决问题 （3）请估计该校七、八年级成绩优秀学生共有人数 （4）整体成绩较好的年级为 ，理由为 18如图，AB 是O 的直径，过点 A 作O 切线 AP，点 C 是射线 AP 上的动点，连接 CO 交O 于点 E，过点 B 作 BDCO，交O 于点 D，连接 D
7、E、OD、CD （1）求证：CACD； （2）填空： 当ACO 的度数为 时，四边形 EOBD 是菱形 若 BDm，则当 AC （用含 m 的式子表示）时，四边形 ACDO 是正方形 19 如图 1 为放置在水平桌面 l 上的台灯， 底座的高 AB 为 5cm， 长度均为 20cm 的连杆 BC， CD 与 AB 始终在同一平面上 （1）转动连杆 BC，CD，使BCD 成平角，ABC150，如图 2，求连杆端点 D 离 桌面 l 的高度 DE （2）将（1）中的连杆 CD 再绕点 C 逆时针旋转，使BCD165，如图 3，问此时连 杆端点 D 离桌面 l 的高度是增加还是减少？增加或减少了多少
8、？ （精确到 0.1cm， 参考数 据：1.41，1.73） 20如图，在直角坐标系中，反比例函数 y的图象与直线 ykx+b 交于 A（1，m） ，B （n，1） （1）填空：m ，n ，当 kx+b时，x 的取值范围是 ； （2）将直线 AB 向右平移 3 个单位，向上平移 5 个单位，画出平移后的直线 AB，并求 出直线 AB的解析式； （3）若点 C 在函数 y的图象上，且ABC 是以 AB 为底的等腰三角形，请直接写出 点 C 的坐标 21某校喜迎中华人民共和国成立 70 周年，将举行以“歌唱祖国”为主题的歌咏比赛，需 要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具已知毎袋贴纸
9、有 50 张，毎 袋小红旗有 20 面，贴纸和小红旗需整袋购买，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少 5 元， 用 150 元购买贴纸所得袋数与用 200 元购买小红旗所得袋数相同 （1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？ （2）如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸 2 张，小红旗 1 面设购买国旗图案贴纸 a 袋（a 为正整数） ，则购买小红旗多少袋能恰好配套？请用含 a 的代数式表示 （3）在文具店累计购物超过 800 元后，超出 800 元的部分可享受 8 折优惠学校按（2） 中的配套方案购买，共支付 w 元，求 w 关于 a 的函数关系式现全校有 1200 名学生参 加演出，需要
10、购买国旗图案贴纸和小红旗各多少袋？所需总费用多少元？ 22 （1） 【问题发现】 如图 1，在 RtABC 中，ABAC2，BAC90，点 D 为 BC 的中点，以 CD 为一 边作正方形 CDEF，点 E 恰好与点 A 重合，则线段 BE 与 AF 的数量关系为 （2） 【拓展研究】 在（1）的条件下，如果正方形 CDEF 绕点 C 旋转，连接 BE，CE，AF，线段 BE 与 AF 的数量关系有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明； （3） 【问题发现】 当正方形 CDEF 旋转到 B，E，F 三点共线时候，直接写出线段 AF 的长 23如图，直线 l：y3x+3 与 x 轴，y 轴分别相
11、交于 A、B 两点，抛物线 yx2+2x+b 经过点 B （1）该抛物线的函数解析式； （2）已知点 M 是抛物线上的一个动点，并且点 M 在第一象限内，连接 AM、BM，设点 M 的横坐标为 m，ABM 的面积为 S，求 S 与 m 的函数表达式，并求出 S 的最大值； （3）在（2）的条件下，当 S 取得最大值时，动点 M 相应的位置记为点 M 写出点 M的坐标； 将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l， 当直线l与直线AM重合时停止旋转， 在旋转过程中，直线 l与线段 BM交于点 C，设点 B，M到直线 l的距离分别为 d1，d2， 当 d1+d2最大时，求直线 l旋转的角度（即BAC
12、 的度数） 2020 年河南省开封市中考数学二模试卷年河南省开封市中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1的相反数是（ ） A B C D 【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答 【解答】解：的相反数是 故选：B 2被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜 FAST，在理论上可以接收到 137 亿光年以外的电磁信号数据 137 亿用科学记数法表示为（ ） A1.37108 B1.37109 C1.371010 D1.371011 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数
13、确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 137 亿用科学记数法表示为 1.371010 故选：C 3下列计算正确的是（ ） A （2a）36a3 B （ab）2a2b2 C3 1+31 D 【分析】直接利用完全平方公式以及二次根式的性质和积的乘方运算法则分别化简得出 答案 【解答】解：A、 （2a）38a3，故此选项错误； B、 （ab）2a22ab+b2，故此选项错误； C、3 1+33 ，故此选项错误； D、，故此选项正确； 故选：D 4如图，已知
14、BM 平分ABC，且 BMAD，若ABC70，则A 的度数是（ ） A30 B35 C40 D70 【分析】先根据角平分线的性质，求出ABC 的度数，再由平行线的性质得到A 的度 数 【解答】解：BM 平分ABC， MBAABC35 BMAD， AMBA35 故选：B 5如图，已知 ABAC，AB6，BC4，分别以 A、B 两点为圆心，大于AB 的长为半径 画圆弧， 两弧分别相交于点 E、 F， 直线 EF 与 AC 相交于点 D， 则BDC 的周长为 （ ） A15 B13 C11 D10 【分析】 利用基本作图得到 MN 垂直平分 AB， 利用线段垂直平分线的定义得到 DADB， 然后利用
15、等线段代换得到BDC 的周长AC+BC 【解答】解：由作法得 MN 垂直平分 AB， DADB， BDC 的周长DB+DC+BCDA+DC+BCAC+BC6+410 故选：D 6由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方 体的个数是（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层 小正方体的层数和个数，从而算出总的个数 【解答】解：从主视图看第一列两个正方体，说明俯视图中的左边一列有两个正方体， 主视图右边的一列只有一行，说明俯视图中的右边一列两行都只有一个正方体，所以此 几何体共有 4 个正方体 故
16、选：B 7某校组织社团活动，小明和小刚从“数学社团” 、 “航模社团” 、 “文艺社团”三个社团中， 随机选择一个社团参加活动，两人恰好选择同一个社团的概率是（ ） A B C D 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及小明和小 刚选到同一社团的情况，再利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：把“数学社团” 、 “航模社团” 、 “文艺社团”分别记为 A、B、C， 画树状图得： 共有 9 种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一个社团的的有 3 种情况， 小明和小刚恰好选择同一个社团的概率为： 故选：A 8二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列
17、结论中，正确的是（ ） Aa0 Bb0 Cc1 D4a+c2b 【分析】根据抛物线开口方向对 A 选项进行判断；利用对称轴的位置可对 B 选项进行判 断；根据抛物线与 y 轴的交点位置可对 C 选项进行判断；根据 x2，y0 可对 D 选项 进行判断 【解答】解：抛物线开口向上， a0，所以 A 选项错误； 抛物线的对称轴在 y 轴右侧， a、b 异号， b0，所以 B 选项错误； 抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，c） ， c1，所以 C 选项错误； x2 时，y0， 4a2b+c0， 即 4a+c2b，所以 D 选项正确 故选：D 9如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边 OA，
18、OC 分别在 x 轴和 y 轴上，并且 OA5，OC3若把矩形 OABC 绕着点 O 逆时针旋转，使点 A 恰好落在 BC 边上的 A1 处，则点 C 的对应点 C1的坐标为（ ） A （，） B （，） C （，） D （，） 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出ONC1三边关系，再利用勾股定理得出 答案 【解答】解：过点 C1作 C1Nx 轴于点 N，过点 A1作 A1Mx 轴于点 M， 由题意可得：C1NOA1MO90， 123， 则A1OMOC1N， OA5，OC3， OA15，A1M3， OM4， 设 NO3x，则 NC14x，OC13， 则（3x）2+（4x）29， 解得：x
19、（负数舍去） ， 则 NO，NC1， 故点 C 的对应点 C1的坐标为： （，） 故选：A 10如图，在ABCD 中，AB6，BC10，ABAC，点 P 从点 B 出发沿着 BAC 的路 径运动， 同时点 Q 从点 A 出发沿着 ACD 的路径以相同的速度运动， 当点 P 到达点 C 时，点 Q 随之停止运动，设点 P 运动的路程为 x，yPQ2，下列图象中大致反映 y 与 x 之间的函数关系的是（ ） A B C D 【分析】在 RtABC 中，利用勾股定理可求出 AC 的长度，分 0 x6、6x8 及 8x 14 三种情况找出 y 关于 x 的函数关系式，对照四个选项即可得出结论 【解答】
20、解：在 RtABC 中，BAC90，AB6，BC10， AC8 当 0 x6 时，AP6x，AQx， yPQ2AP2+AQ22x212x+36； 当 6x8 时，APx6，AQx， yPQ2（AQAP）236； 当 8x14 时，CP14x，CQx8， yPQ2CP2+CQ22x244x+260 故选：B 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 11计算： 2 【分析】根据零指数幂的性质和立方根的定义求解即可 【解答】解：原式132 故答案为：2 12关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个实数根，则 m 的取值范围是 m1 【分析】根据方程有实数根，得出0，建立关于 m 的不等式
21、，求出 m 的取值范围即 可 【解答】解：由题意知，44m0， m1， 故答案为：m1 13不等式组的解集是 1x3 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小小无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 1x0，得：x1， 解不等式x10，得：x3， 则不等式组的解集为 1x3， 故答案为：1x3 14如图，ACBC，ACBC4，以 AC 为直径作半圆，圆心为点 O；以点 C 为圆心，BC 为半径作 过点O作BC的平行线交两弧于点D、 E， 则阴影部分的面积是 2 【分析】如图，图中 S阴影S扇形ACBS扇形AODS扇形ECBSOCE根据已
22、知条件易求得 OAOCOD2，BCCE4ECBOEC30，所以由扇形面积公式、三角形 面积公式进行解答即可 【解答】解：如图，连接 CE ACBC，ACBC4，以 AC 为直径作半圆，圆心为点 O；以点 C 为圆心，BC 为半 径作， ACB90，OAOCOD2，BCCE4 又OEBC， AOECOE90 在直角OEC 中，OCCE， OEC30，OE2 ECBOEC30， S阴影S扇形ACBS扇形AODS扇形ECBSOCE 222 故答案为：2 15如图，在矩形 ABCD 中，AB5，BC3，点 E 为射线 BC 上一动点，将ABE 沿 AE 折叠，得到ABE若 B恰好落在射线 CD 上，则
23、 BE 的长为 或 15 【分析】 如图 1， 根据折叠的性质得到 ABAB5， BEBE， 根据勾股定理得到 BE2 （3BE）2+12， 于是得到 BE，如图 2，根据折叠的性质得到 ABAB5，求得 ABBF5，根据 勾股定理得到 CF4 根据相似三角形的性质列方程得到 CE12，即可得到结论 【解答】解：如图 1，将ABE 沿 AE 折叠，得到ABE， ABAB5， BEBE， CE3BE， AD3， DB4，BC1， B E2CE2+BC2， BE2（3BE）2+12， BE， 如图 2，将ABE 沿 AE 折叠，得到ABE， ABAB5， CDAB， 13， 12， 23， AE
24、垂直平分 BB， ABBF5， CF4， CFAB， CEFABE， ， 即， CE12，BE15， 综上所述：BE 的长为：或 15， 故答案为：或 15 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 16先化简，再求值：（x1） ，其中|x|1 【分析】先根据分式的运算法则进行化简，然后将 x 的值代入原式即可求出答案 【解答】解：原式 （x1） ， |x|1， x1， 由分式有意义的条件可知：x1， 当 x1 时， 原式1 17某校七、八年级各有学生 600 人，为了解这两个年级普及安全教育的情况，进行了抽样 调查，过程如下： 选择样本，收集数据 从七、八年级各随机抽取 20 名学生，进行
25、安全教育测试，测试成绩（百分制）如下： （单 位：分） 七年级 85 79 89 83 89 98 68 89 79 59 99 87 85 89 97 86 89 90 89 77 八年级 71 94 87 92 55 94 98 78 86 94 62 99 94 51 88 97 94 98 85 91 分组整理，描述数据 （1）按如下频数分布直方图整理、描述这两组样本数据，请补全七年级 20 名学生安全 教育频数分布直方图 （说明：成绩 90 分及以上为优秀，8089 分为良好，80 分以下为不合格） 分析数据，计算填空 （2）两组样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率如表所示，请补充
26、完整， 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 优秀率 七年级 85.3 88 89 20% 八年级 85.4 91.5 94 55% 分析数据，解决问题 （3）请估计该校七、八年级成绩优秀学生共有人数 （4）整体成绩较好的年级为 八年级 ，理由为 八年级的中位数、众数、优秀率都比 七年级的高 【分析】 （1）统计七年级的各个分数段人数，即可补全频数分布直方图； （2）利用中位数、众数、优秀率的意义进行计算即可； （3）分别求出七年级的优秀人数，八年级的优秀人数即可； （4）从中位数、众数、优秀率上比较得出答案 【解答】解： （1）统计七年级各个分数段的人数，补全频数分布直方图， （2）将七年
27、级的 20 名学生的成绩从小到大排列后处在第 10、11 位的两个数的平均数为 88，因此中位数是 88； 出现次数最多的数是 89，因此众数是 89； 优秀人数有 4 人，因此优秀率为 42020%； 故答案为：88，89，20%； （3）60020%+60055%120+330450（名） ， 答：该校七、八年级成绩优秀学生共有 450 名； （4）整体成绩较好的是八年级，理由是：中位数、众数、优秀率都比七年级的高； 故答案为：八年级；八年级的中位数、众数、优秀率都比七年级的高 18如图，AB 是O 的直径，过点 A 作O 切线 AP，点 C 是射线 AP 上的动点，连接 CO 交O 于点
28、 E，过点 B 作 BDCO，交O 于点 D，连接 DE、OD、CD （1）求证：CACD； （2）填空： 当ACO 的度数为 30 时，四边形 EOBD 是菱形 若 BDm，则当 AC m （用含 m 的式子表示）时，四边形 ACDO 是正方形 【分析】 （1）根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到AOCDOC，证明AOC DOC，根据全等三角形的性质证明结论； （2）根据菱形的四条边相等、圆的半径相等得到OBD 为等边三角形，得到OBD 60，根据切线的性质得到OAC90，计算得到答案； 根据等腰直角三角形的性质得到 OBBDm，根据正方形的性质解答即可 【解答】 （1）证明：BDOC，
29、AOCOBD，DOCODB， OBOD， ODBOBD， AOCDOC， 在AOC 和DOC 中， ， AOCDOC（SAS） CACD； （2）解：当四边形 EOBD 是菱形时，OBBD， OBOD， OBODBD， OBD 为等边三角形， OBD60， AOCOBD60， AP 是O 的切线， OAC90， ACO30； 当四边形 ACDO 是正方形时，ACOAOD，AOD90， DOB90， OBOD， OBBDm， ACOBm， 故答案为：30；m 19 如图 1 为放置在水平桌面 l 上的台灯， 底座的高 AB 为 5cm， 长度均为 20cm 的连杆 BC， CD 与 AB 始终在
30、同一平面上 （1）转动连杆 BC，CD，使BCD 成平角，ABC150，如图 2，求连杆端点 D 离 桌面 l 的高度 DE （2）将（1）中的连杆 CD 再绕点 C 逆时针旋转，使BCD165，如图 3，问此时连 杆端点 D 离桌面 l 的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？ （精确到 0.1cm， 参考数 据：1.41，1.73） 【分析】 （1）如图 2 中，作 BODE 于 O解直角三角形求出 OD 即可解决问题 （2）作 DFl 于 F，CPDF 于 P，BGDF 于 G，CHBG 于 H则四边形 PCHG 是 矩形，求出 DF，再求出 DFDE 即可解决问题 【解答】解： （1）
31、如图 2 中，作 BODE 于 O OEABOEBAE90， 四边形 ABOE 是矩形， OBA90， DBO1509060， ODBDsin6020（cm） ， DEOD+OEOD+AB20+539.6（cm） （2）作 DFl 于 F，CPDF 于 P，BGDF 于 G，CHBG 于 H则四边形 PCHG 是 矩形， CBH60，CHB90， BCH30， BCD165， DCP45， CHBCsin6010（cm） ，DPCDsin4510（cm） ， DFDP+PG+GFDP+CH+AB（10+10+5） （cm） ， 下降高度：DEDF20+51010510103.2（cm） 20如
32、图，在直角坐标系中，反比例函数 y的图象与直线 ykx+b 交于 A（1，m） ，B （n，1） （1）填空：m 4 ，n 4 ，当 kx+b时，x 的取值范围是 x4 或1 x0 ； （2）将直线 AB 向右平移 3 个单位，向上平移 5 个单位，画出平移后的直线 AB，并求 出直线 AB的解析式； （3）若点 C 在函数 y的图象上，且ABC 是以 AB 为底的等腰三角形，请直接写出 点 C 的坐标 【分析】 （1）将点 A，点 B 坐标代入可求解； （2）利用待定系数法可求 AB 解析式，由平移的性质可求平移后 AB的解析式； （3）由等腰三角形的性质可得 CACB，由两点距离公式可求解
33、 【解答】解： （1）反比例函数 y的图象与直线 ykx+b 交于 A（1，m） ，B（n， 1） m4，n4， 点 A（1，4） ，点 B（4，1） ， 由图象可得当 x4 或1x0 时， 直线 ykx+b 的图象在反比例函数 y的图象上 方， 即当 x4 或1x0 时，kx+b， 故答案为：4，4，x4 或1x0； （2）设直线 AB 解析式为：ykx+b，且过点 A（1，4） ，点 B（4，1） ， ， 解得：， 直线 AB 解析式为：yx5， 将直线 AB 向右平移 3 个单位，向上平移 5 个单位， 直线 AB的解析式 y（x3）5+5x+3； 图象如图所示： （3）设点 C（a，）
34、 ABC 是以 AB 为底的等腰三角形， CACB， （a+1）2+（+4）2（a+4）2+（+1）2， a2， 点 C（2，2）或（2，2） 21某校喜迎中华人民共和国成立 70 周年，将举行以“歌唱祖国”为主题的歌咏比赛，需 要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具已知毎袋贴纸有 50 张，毎 袋小红旗有 20 面，贴纸和小红旗需整袋购买，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少 5 元， 用 150 元购买贴纸所得袋数与用 200 元购买小红旗所得袋数相同 （1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？ （2）如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸 2 张，小红旗 1 面设购买国旗
35、图案贴纸 a 袋（a 为正整数） ，则购买小红旗多少袋能恰好配套？请用含 a 的代数式表示 （3）在文具店累计购物超过 800 元后，超出 800 元的部分可享受 8 折优惠学校按（2） 中的配套方案购买，共支付 w 元，求 w 关于 a 的函数关系式现全校有 1200 名学生参 加演出，需要购买国旗图案贴纸和小红旗各多少袋？所需总费用多少元？ 【分析】 （1）设每袋国旗图案贴纸为 x 元，则有，即可求解； （2）设购买 b 袋小红旗恰好与 a 袋贴纸配套，则有 50a：20b2：1，即可求解； （3）如果没有折扣，W，分别求出 a 与 b 即可求解 【解答】解： （1）设每袋国旗图案贴纸为
36、x 元，则有， 解得 x15， 经检验 x15 时方程的解， 每袋小红旗为 15+520 元； 答：每袋国旗图案贴纸为 15 元，每袋小红旗为 20 元； （2）设购买 b 袋小红旗恰好与 a 袋贴纸配套，则有 50a：20b2：1， 解得 ba， 答：购买小红旗a 袋恰好配套； （3）如果没有折扣，则 W15a+20a40a， 依题意得 40a800， 解得 a20， 当 a20 时，则 W800+0.8（40a800）32a+160， 即 W， 国旗贴纸需要：120022400 张， 小红旗需要：120011200 面， 则 a48 袋，b60 袋， 总费用 W3248+1601696 元
37、 22 （1） 【问题发现】 如图 1，在 RtABC 中，ABAC2，BAC90，点 D 为 BC 的中点，以 CD 为一 边作正方形 CDEF，点 E 恰好与点 A 重合，则线段 BE 与 AF 的数量关系为 BEAF （2） 【拓展研究】 在（1）的条件下，如果正方形 CDEF 绕点 C 旋转，连接 BE，CE，AF，线段 BE 与 AF 的数量关系有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明； （3） 【问题发现】 当正方形 CDEF 旋转到 B，E，F 三点共线时候，直接写出线段 AF 的长 【分析】 （1）先利用等腰直角三角形的性质得出 AD，再得出 BEAB2，即可得 出结论； （2）
38、先利用三角函数得出，同理得出，夹角相等即可得出ACF BCE，进而得出结论； （3）分两种情况计算，当点 E 在线段 BF 上时，如图 2，先利用勾股定理求出 EFCF AD，BF，即可得出 BE，借助（2）得出的结论，当点 E 在线段 BF 的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论 【解答】解： （1）在 RtABC 中，ABAC2， 根据勾股定理得，BCAB2， 点 D 为 BC 的中点， ADBC， 四边形 CDEF 是正方形， AFEFAD， BEAB2， BEAF， 故答案为 BEAF； （2）无变化； 如图 2，在 RtABC 中，ABAC2， ABCACB45， sinABC，
39、在正方形 CDEF 中，FECFED45， 在 RtCEF 中，sinFEC， ， FCEACB45， FCEACEACBACE， FCAECB， ACFBCE， ， BEAF， 线段 BE 与 AF 的数量关系无变化； （3）当点 E 在线段 AF 上时，如图 2， 由（1）知，CFEFCD， 在 RtBCF 中，CF，BC2， 根据勾股定理得，BF， BEBFEF， 由（2）知，BEAF， AF1， 当点 E 在线段 BF 的延长线上时，如图 3， 在 RtABC 中，ABAC2， ABCACB45， sinABC， 在正方形 CDEF 中，FECFED45， 在 RtCEF 中，sinF
40、EC， ， FCEACB45， FCB+ACBFCB+FCE， FCAECB， ACFBCE， ， BEAF， 由（1）知，CFEFCD， 在 RtBCF 中，CF，BC2， 根据勾股定理得，BF， BEBF+EF+， 由（2）知，BEAF， AF+1 即：当正方形 CDEF 旋转到 B，E，F 三点共线时候，线段 AF 的长为1 或+1 23如图，直线 l：y3x+3 与 x 轴，y 轴分别相交于 A、B 两点，抛物线 yx2+2x+b 经过点 B （1）该抛物线的函数解析式； （2）已知点 M 是抛物线上的一个动点，并且点 M 在第一象限内，连接 AM、BM，设点 M 的横坐标为 m，AB
41、M 的面积为 S，求 S 与 m 的函数表达式，并求出 S 的最大值； （3）在（2）的条件下，当 S 取得最大值时，动点 M 相应的位置记为点 M 写出点 M的坐标； 将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l， 当直线l与直线AM重合时停止旋转， 在旋转过程中，直线 l与线段 BM交于点 C，设点 B，M到直线 l的距离分别为 d1，d2， 当 d1+d2最大时，求直线 l旋转的角度（即BAC 的度数） 【分析】 （1）利用直线 l 的解析式求出 B 点坐标，再把 B 点坐标代入二次函数解析式即 可求出 b 的值； （2）设 M 的坐标为（m，m2+2m+3） ，然后根据面积关系将ABM 的
42、面积进行转化； （3）由（2）可知 m，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值； 可将求 d1+d2最大值转化为求 AC 的最小值 【解答】解： （1）令 x0 代入 y3x+3， y3， B（0，3） ， 把 B（0，3）代入 yx2+2x+b 并解得：b3， 二次函数解析式为：yx2+2x+3； （2）令 y0 代入 yx2+2x+3， 0 x2+2x+3， x1 或 3， 抛物线与 x 轴的交点横坐标为1 和 3， M 在抛物线上，且在第一象限内， 0m3， 令 y0 代入 y3x+3， x1， A 的坐标为（1，0） ， 由题意知：M 的坐标为（m，m2+2m+3） ， SS四边形OAM
43、BSAOBSOBM+SOAMSAOBm3+1（m2+2m+3） 13（m）2+， 当 m时，S 取得最大值 （3）由（2）可知：M的坐标为（，） ； 过点 M作直线 l1l，过点 B 作 BFl1于点 F， 根据题意知：d1+d2BF， 此时只要求出 BF 的最大值即可， BFM90， 点 F 在以 BM为直径的圆上， 设直线 AM与该圆相交于点 H， 点 C 在线段 BM上， F 在优弧上， 当 F 与 M重合时， BF 可取得最大值， 此时 BMl1， A（1，0） ，B（0，3） ，M（，） ， 由勾股定理可求得：AB，MB，MA， 过点 M作 MGAB 于点 G， 设 BGx， 由勾股定理可得：MB2BG2MA2AG2， （x）2x2， x， cosMBG， l1l， BCA90， BAC45